Phương pháp giải một số dạng bài tập về con lắc đơn

Dạng 2: Xác định các đại lượng cơ bản trong dao động điều hòa của con lắc đơn

Dạng 3: Tìm \(\omega ,{\rm{ }}{\bf{T}},{\rm{ }}{\bf{f}}\) : thay đổi chiều dài dây treo l

Dạng 4: Viết phương trình dao động điều hòa của con lắc đơn

Gọi T₁ là chu kì chạy đúng, T₂ là chu kì chạy sai

Trong thời gian T₁(s) đồng hồ chạy sai |T₂-T₁| (s)

=> 1(s) đồng hồ chạy sai \(\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}}s\)

Vậy trong khoảng thời gian ∆t, đồng hồ chạy sai: \(\theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}}s\)

2. Các dạng bài tập

a) Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi thay đổi nhiệt độ.

- Khi thay đổi nhiệt độ, chiều dài của con lắc thay đổi theo biểu thức: \(l = {l_0}(1 + \alpha t)\)

• l₀: chiều dài dây treo (kim loại) ở 0⁰C
• l: chiều dài dây treo (kim loại) ở t⁰C
• α: hệ số nở dài của dây treo kim loại

Ở nhiệt độ t₁ đồng hồ chạy đúng, nhiệt độ t₂ đồng hồ chạy sai:

- Xét tỉ số: \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}\)

Ta có: \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{{{l_2}}}{{{l_1}}}}  = \sqrt {\frac{{{l_0}(1 + \alpha ({t_2})}}{{{l_0}(1 + \alpha {t_1})}}}  = \sqrt {\frac{{(1 + \alpha {t_2})}}{{(1 + \alpha {t_1})}}}  = {(1 + \alpha {t_2})^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha {t_1})^{ - \frac{1}{2}}}\)

Sử dụng công thức gần đúng: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 \pm x} \right)^n} \approx 1 \pm nx\\\left( {1 + {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \approx 1 + {x_1} - {x_2}\end{array} \right.\) với x, x₁, x₂ << 1

Vì αt₁  và αt₂<< 1\( \to {(1 + \alpha {t_2})^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha {t_1})^{ - \frac{1}{2}}} \approx \left( {1 + \frac{1}{2}\lambda {t_2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{2}\lambda {t_1}} \right) \approx 1 + \frac{1}{2}\alpha {t_2} - \frac{1}{2}\alpha {t_1} \approx 1 + \frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t.\frac{1}{2}\alpha \left( {{t_2} - {t_1}} \right)(s)\)

• Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa lên độ cao h:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{g}{{{g_h}}}} \\{g_h} = g\frac{{{R^2}}}{{{{\left( {R + h} \right)}^2}}}\end{array} \right. \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \frac{{\left( {R + h} \right)}}{R} = 1 + \frac{h}{R}\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t\frac{h}{R}(s)\)

Ta thấy \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = 1 + \frac{h}{R} > 1 \to {T_2} > {T_1}\)=> Đồng hồ chạy chậm lại

• Ở mực nước biển đồng hồ chạy đúng, khi đưa đồng hồ xuống độ sâu h thì đồng hồ chạy sai.

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{g}{{{g_d}}}} \\{g_d} = g\frac{{\left( {R - d} \right)}}{R}\end{array} \right. \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \sqrt {\frac{R}{{\left( {R - d} \right)}}}  = \sqrt {\frac{1}{{1 - \frac{d}{R}}}}  = {\left( {1 - \frac{d}{R}} \right)^{ - \frac{1}{2}}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{d}{R}\)

\( \to \theta  = \Delta t\frac{{\left| {{T_2} - {T_1}} \right|}}{{{T_1}}} = \Delta t\left| {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} - 1} \right| = \Delta t\frac{1}{2}\frac{d}{R}(s)\)

c) Xác định thời gian đồng hồ chạy sai khi thay đổi vị trí trên trái đất (nhiệt độ không đổi)

Tại nơi có gia tốc trọng trường g₁ đồng hồ chạy đúng với: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{{g_1}}}} \)

Tại nơi có gia tốc trọng trường g₂ đồng hồ chạy sai: \({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{{g_2}}}} \)

\( \to \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} \approx 1 - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}} \to \frac{{{T_2} - {T_1}}}{{{T_1}}} =  - \frac{1}{2}\frac{{\Delta g}}{{{g_1}}}\)

Dạng 10: Bài toán con lắc vướng đinh

Phương pháp:

Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với chiều dài ℓ₁ thì con lắc vướng đinh làm cho nó dao động với ℓ₂ nên chu kì, tần số góc, biên độ góc,… cũng thay đổi theo.

Chu kì T của CLVĐ: 

\(T = \dfrac{1}{2}\left( {{T_1} + {T_2}} \right) \to T = \dfrac{\pi }{{\sqrt g }}(\sqrt {{l_1}}  + \sqrt {{l_2}} )\)
Độ cao CLVĐ so với VTCB :

 Vì \({W_A} = {W_B} \Rightarrow {h_A} = {\rm{ }}{h_B}\)

Tỉ số biên độ dao động 2 bên VTCB

– Góc lớn (α₀>10⁰):

Vì \(h_A = h_B\)

→ℓ₁ (1–cosα₁) = ℓ₂(1–cosα₂)

\( \to \dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = \dfrac{{1 - c{\rm{os}}{\alpha _2}}}{{1 - c{\rm{os}}{\alpha _1}}}\)
– Góc nhỏ:

$\left( {{\alpha _0} \le {\rm{ }}{{10}^0}) \to cos\alpha  \approx 1-{\alpha ^2}/2} \right): \to \dfrac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = {(\dfrac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}})^2}$

Dạng 11: Sự trùng phùng của hai con lắc

Xét 2 con lắc dao động trong 2 mặt phẳng song song, con lắc 1 có chu kì T₁, con lắc hai có chu kì T₂ (T₁>T₂). Tại thời gian t = 0 hai con lắc có cùng 1 trạng thái (VD: cùng qua VTCB theochiều + chẳng hạn), sau thời gian nào đó trạng thái của 2 con lắc lại giống như trạng thái lúc t = 0 (tức lại cùng qua VTCB theo chiều +) được gọi là sự trùng phùng.

Phương pháp:

Thời gian ∆t nhỏ nhất kể từ khi thời điểm t = 0 cho tới lúc 2 còn lắc trùng phùng lần thứ nhất gọi là chu kì trùng phùng.

• Vì con lắc 2 có chu kì nhỏ hơn con lắc 1 nên sau lần dao động thứ nhất của con lắc 2 con lắc 1 cần 1 thời gian (T₁-T₂) để trở về vị trí xuất phát ban đầu của nó. Nói cách khác là con lắc 1 bị trễ so với con lắc 2 là (T₁-T₂).
• Sau n lần dao động của con lắc 2 khoảng thời gian trễ này sẽ là \(n.({T_1} - {T_2})\) . Để sự trùng phùng xảy ra thì khoảng thời gian trễ trên phải đúng bằng một chu kì T₂. Hay:

 \(\begin{array}{l}n({T_1} - {T_2}) = {T_2} \leftrightarrow n{T_1} = (n + 1){T_2} = \Delta t\\ \to \Delta \tau  = \dfrac{{{T_1}{T_2}}}{{\left| {{T_1} - {T_2}} \right|}}\end{array}\)

hoặc \(\Delta t = b{T_1} = a{T_2}\) , trong đó: \(\dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \dfrac{a}{b}\) (phân số tối giản)