Lý thuyết về đa thức một biến

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Đa thức một biến

Ví dụ: Đa thức \(5{x^5} + 4{x^3} - 2{x^2} + x\) là đa thức một biến (biến $x$); bậc của đa thức là: 5

2. Sắp xếp đa thức

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

+ Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó.

+ Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

Ví dụ: Cho đa thức \(P(x) = 2 + 5{x^2} - 3{x^3} + 4{x^2} - 2x - {x^3} + 6{x^5}.\) Thu gọn và sắp xếp đa thức $P(x)$

Giải:

\(P(x) = 2 + 5{x^2} - 3{x^3} + 4{x^2} - 2x - {x^3} + 6{x^5}\)

\( = 6{x^5} + \left( { - 3{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {5{x^2} + 4{x^2}} \right) - 2x + 2\)

\( = 6{x^5} - 4{x^3} + 9{x^2} - 2x + 2\)

3. Hệ số, giá trị của một đa thức

Ví dụ: Các hệ số của đa thức \(6{x^5} - {x^4} + 5{x^2} - x + 2\) là: $6; - 1;5; - 1;2$

Hệ số tự do là: $2$

Hệ số cao nhất là: $6$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Sắp xếp các hạng tử của đa thức

Phương pháp:

+ Viết đa thức đã cho dưới dạng thu gọn

+ Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa tăng hay giảm của biến

Dạng 2: Xác định bậc của đa thức

Phương pháp:

+ Viết đa thức dưới dạng thu gọn

+ Trong dạng thu gọn, bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó

Dạng 3: Tìm các hệ số của một đa thức

Phương pháp:

+ Viết đa thức dưới dạng thu gọn

+ Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến

+ Từ đó, xác định được các hệ số từ lũy thừa \(0\)(hệ số tự do) đến lũy thừa cao nhất của biến (hệ số cao nhất)

Dạng 4: Tính giá trị của đa thức

Phương pháp:

+ Thay giá trị của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính