Lý thuyết tỉ lệ thức

I. Các kiến thức cần nhớ

Ví dụ: $\dfrac{{28}}{{24}} = \dfrac{7}{6};$$\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{{2,1}}{7}$

Ví dụ: Ta có $\dfrac{3}{6} = \dfrac{9}{{18}} \Rightarrow 3.18 = 9.6\left( { = 54} \right)$

Vì $4.9 = 3.12(=36)$ nên ta có các tỉ lệ thức sau: $\dfrac{4}{3} = \dfrac{{12}}{9};\,\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{{12}};\dfrac{4}{{12}} = \dfrac{3}{9};\dfrac{{12}}{4} = \dfrac{9}{3}$ 

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước

Phương pháp:

Ta sử dụng: Nếu  $a.d = b.c$ thì

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$; $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$; $\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a};$ $\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}.$

Dạng 2: Tìm x, y

Phương pháp:

Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $a.d = b.c$

Trong một tỉ lệ thức ta có thể tìm một số hạng chưa biết khi biết ba số hạng còn lại.

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a = \dfrac{{bc}}{d};\,b = \dfrac{{ad}}{c};$$c = \dfrac{{ad}}{b};\,d = \dfrac{{bc}}{a}$ .

Ví dụ:  Tìm x biết $\dfrac{x}{2} = \dfrac{8}{6}$

Ta có: 

$\begin{array}{l} \dfrac{x}{2} = \dfrac{8}{6}\\ \Rightarrow x.6 = 8.2\\ \Rightarrow x = \dfrac{{16}}{6}\\ \Rightarrow x = \dfrac{8}{3} \end{array}$

Dạng 3: Chứng minh các tỉ lệ thức

Phương pháp:

Dựa vào các tính chất của tỉ lệ thức và biến đổi linh hoạt để chứng minh.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1. Chọn câu đúng. Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$  thì

A. $a = c$

B. $a.c = b.d$

C. $a.d = b.c$

D. $b = d$

Lời giải

Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $a.d = b.c$

Đáp án C

Câu 2. Chỉ ra đáp án sai: Từ tỉ lệ thức $\dfrac{5}{9} = \dfrac{{35}}{{63}}$ ta có tỉ lệ thức sau:

A. $\dfrac{5}{{35}} = \dfrac{9}{{63}}$

B. $\dfrac{{63}}{9} = \dfrac{{35}}{5}$

C. $\dfrac{{35}}{9} = \dfrac{{63}}{5}$      

D. $\dfrac{{63}}{{35}} = \dfrac{9}{5}$

Lời giải

Xét đáp án C: $35.5 \ne 63.9$ do đó $\dfrac{{35}}{9} \ne \dfrac{{63}}{5}$ nên C sai

Đáp án C

Câu 3. Các tỉ số nào sau đây lập thành một tỉ lệ thức?

A. $\dfrac{7}{{12}}$ và $\dfrac{5}{6}:\dfrac{4}{3}$

B. $\dfrac{6}{7}:\dfrac{{14}}{5}$ và $\dfrac{7}{3}:\dfrac{2}{9}$

C. $\dfrac{{15}}{{21}}$ và $- \dfrac{{125}}{{175}}$

D. $\dfrac{{ - 1}}{3}$  và $\dfrac{{ - 19}}{{57}}$      

Lời giải

Ta có :  $\dfrac{5}{6}:\dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{6}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{8} \ne \dfrac{7}{{12}}$ nên A sai.

$\dfrac{6}{7}:\dfrac{{14}}{5} = \dfrac{6}{7}.\dfrac{5}{{14}} = \dfrac{{15}}{{49}}$ và $\dfrac{7}{3}:\dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{3}.\dfrac{9}{2} = \dfrac{{21}}{2} \ne \dfrac{{15}}{{49}}$ nên B sai.

$\dfrac{{15}}{{21}} = \dfrac{5}{7} \ne  - \dfrac{{125}}{{175}}$ nên C sai.

Ta có $\dfrac{{ - 1}}{3} = \dfrac{{ - 19}}{{57}}$ vì $\left( { - 1} \right).{\rm{ }}57 = 3.\left( { - 19} \right) =  - 57$.

Do đó $\dfrac{{ - 1}}{3}$ và $\dfrac{{ - 19}}{{57}}$ lập thành tỉ lệ thức nên D đúng.

Đáp án D

Câu 4. Cho tỉ lệ thức $\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{{ - 4}}{5}$ thì:

A. $x =$$\dfrac{{ - 4}}{3}$  

B. $x = 4$

C. $x =  - 12$

D. $x =  - 10$

Lời giải

$\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{{ - 4}}{5}$

$x.5 = 15.(-4)$

$5x = -60$

$x = -60 : 5$

$x = -12$

Vậy x = -12.

Đáp án C

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn  $\dfrac{{16}}{x} = \dfrac{x}{{25}}$

A. $1$

B. $2$

C. $0$

D. $3$

Lời giải

$\dfrac{{16}}{x} = \dfrac{x}{{25}}$

x² = 16 . 25

x² = 400

$x = 20$ hoặc $x =  - 20$

Vậy $x = 20$ hoặc $x =  - 20$.

Đáp án B

Câu 6. Biết cứ xay 100kg thóc thì được 60kg gạo. Hỏi muốn có 3 tạ gạo thì phải xay bao nhiêu tạ thóc?

A. 180 kg

B. 5 tạ

C. 2 tạ

D. 600 kg

Lời giải

Gọi khối lượng thóc cần để xay được 3 tạ = 300 kg gạo là x (kg) (x > 0 )

Vì tỉ lệ thóc : gạo xay được là không đổi nên ta có:

$\dfrac{{100}}{{60}} = \dfrac{x}{{300}}$

$\begin{array}{l} 60x = 100.300\\ x = 500\end{array}$

Vậy cần 500 kg = 5 tạ thóc để xay được 3 tạ gạo

Đáp án B

Câu 7. Giá trị nào của $x$ thỏa mãn $\dfrac{{ - 3}}{{x - 2}} = \dfrac{7}{{6 - 3x}}$

A. x = 0

B. x = -1

C. $x = 2$

D. Không có giá trị nào của x thỏa mãn

Lời giải

Ta có: $\dfrac{{ - 3}}{{x - 2}} = \dfrac{7}{{6 - 3x}}$ (Điều kiện: $x - 2 \ne 0;6 - 3x \ne 0$ hay $x \ne 2$)

$\begin{array}{l} - 3.(6 - 3x) = 7.(x - 2)\\ - 18 + 9x = 7x – 14\\9x - 7x =  - 14 + 18\\  2x = 4\end{array}$

x = 2 ( Loại vì không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không tìm được x thỏa mãn điều kiện

Câu 8. Tìm số hữu tỉ x biết rằng $\dfrac{x}{{{y^2}}} = 2$ và $\dfrac{x}{y} = 16$ $\left( {y \ne 0} \right).$

A. $x = 16$

B. $x = 128$

C. $x = 8$

D. $x = 256$

Lời giải

Ta có $\dfrac{x}{{{y^2}}} = 2$ nên $\dfrac{x}{y}.\dfrac{1}{y} = 2$, mà $\dfrac{x}{y} = 16$. Do đó:

$16.\dfrac{1}{y} = 2$

$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{8}$

$y = 8$

Thay $y = 8$ vào $\dfrac{x}{y} = 16$ ta được: $\dfrac{x}{8} = 16$ nên $x = 16.8 = 128$.

Đáp án B