Lý thuyết rút gọn phân thức

1. Rút gọn phân thức đại số

Ví dụ: $\dfrac{{20{x^2} - 45}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{5\left( {4{x^2} - 9} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{5\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{5\left( {2x + 3} \right)}}{{2x - 3}}.$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Phương pháp:

Để rút dọn phân thức ta tiến hành các bước sau:

Bước 1:  Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

Bước 2:  Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).

Dạng 2: Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước của biến.

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn phân thức (nếu cần)

Bước 2: Thay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

Dạng 3: Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức đạt giá trị nguyên.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Ta biến đổi để đưa phân thức về dạng $m + \dfrac{n}{B}$  (nếu có thể).

Bước 3: Phân thức $\dfrac{A}{B}$ đạt giá trị nguyên khi $A \vdots B$ , từ đó tìm được $x.$

Bước 4: So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.

Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của phân thức.

Phương pháp:

Ta biến đổi phân thức để sử dụng được các kiến thức sau:

${\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m\,\,;$ $m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m$ với mọi $A,B$ . Dấu “=” xảy ra khi $A =  - B.$

${\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\,\,;$ $m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m$ với mọi $A,B$ . Dấu “=” xảy ra khi $A = B.$