Lý thuyết hai tam giác đồng dạng

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}};\widehat {A'} = \widehat A,\widehat {B'} = \widehat B,\widehat {C'} = \widehat C$

Kí hiệu: $\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $k = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}$ là tỉ số đồng dạng của $\Delta A'B'C'$ với $\Delta ABC$.

Nhận xét:

- $\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC$với tỉ số đồng dạng k thì $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$. Ta nói hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng với nhau.

- Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 1. Mọi tam giác đồng dạng với chính nó.

- $\Delta A''B''C'' \backsim \Delta A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng k và $\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng m thì $\Delta A''B''C'' \backsim \Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng k.m.

2. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$\Delta ABC,MN//BC(M \in AB;N \in AC) \Rightarrow \Delta AMN \backsim \Delta ABC$

Chú ý. Định lí trên vẫn đúng nếu thay bằng đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác.

$ED//BC \Rightarrow \Delta ADE \backsim \Delta ABC$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính độ dài cạnh, chu vi, tỉ số đồng dạng, số đo góc…

Phương pháp:

Ta sử dụng định nghĩa và định lý về hai tam giác đồng dạng. Sử dụng định lý Ta-lét và tính chất tỉ lệ thức để tính toán.

$\Delta ABC$ $\backsim$ $\Delta A'B'C'$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'},\,\widehat B = \widehat {B'},\widehat C = \widehat {C'}\\\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{CA}}{{C'A'}}\end{array} \right.$

Dạng 2: Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các yếu tố hình học (hai đường thẳng song song, …)

Phương pháp:

Ta sử dụng $\Delta ABC$ $\backsim$ $\Delta A'B'C'$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'},\,\widehat B = \widehat {B'},\widehat C = \widehat {C'}\\\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{CA}}{{C'A'}}\end{array} \right.$

Và định lý:  Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì  nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

III. Bài tập về tam giác đồng dạng

Câu 1: Cho tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A'B'C'$ . Hãy chọn  phát biểu sai:

A. $\widehat A = \widehat {C'}$.

B. $\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{A'C'}}{{AC}}$

C. $\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}}$

D. $\widehat B = \widehat {B'}$

Lời giải

$\Delta ABC$ $\backsim$ $\Delta A'B'C'$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'},\,\widehat B = \widehat {B'},\widehat C = \widehat {C'}\\\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{CA}}{{C'A'}}\end{array} \right.$

Nên A sai.

Đáp án A.

Câu 2: Hãy chọn câu đúng. Nếu tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $MNP$   theo tỉ số $k$ thì tam giác  $MNP$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số:

A. $\dfrac{1}{{{k^2}}}$.

B. $\dfrac{1}{{{k}}}$.

C. ${k^2}$.

D. $k$.

Lời giải

Vì $\Delta ABC\backsim\Delta MNP$ theo tỉ số $k$ nên $\dfrac{{AB}}{{MN}} = k \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{k}$ .

Nên $\Delta MNP\backsim\Delta ABC$ theo tỉ số $\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{1}{k}$ .

Đáp án B.

Câu 3: Hãy chọn câu sai.

A. Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.

B. Hai tam giác đều luôn đồng dạng với nhau.

C. Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có tất cả các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

D. Hai tam giác vuông luôn đồng dạng với nhau.

Lời giải

+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng  nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số $1$ .

+ Hai tam giác đều có các góc đều bằng $60^\circ$ và các cạnh tương ứng tỉ lệ nên chúng đồng dạng.

+ Hai tam giác vuông chưa chắc đồng dạng nên D sai.

Đáp án D.

Câu 4: Hãy chọn câu trả lời đúng. Nếu tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A'B'C'$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số chu vi của hai tam giác đó bằng

A. 1

B. $\dfrac{1}{k}$.

C. $k$.

D. ${k^2}$.

Lời giải

Vì tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A'B'C'$ theo tỉ số $k$  nên $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = k$ .

Ta có $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = \dfrac{{{P_{ABC}}}}{{{P_{A'B'C'}}}} = k$.

Vậy tỉ số chu vi của hai tam giác là $k$ .

Đáp án C.

Câu 5: Hãy chọn câu đúng. Hai ${\rm{\Delta }}ABC$ và ${\rm{\Delta }}DEF$ có $\widehat A = {80^0},\widehat B = {70^0},$$\widehat F = {30^0};\,BC = 6\,cm.$ Nếu ${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}DEF$ thì:

A. $\widehat D = {170^0};\,EF = 6\,cm$.

B. $\widehat E = {80^0};\,ED = 6\,cm$.

C. $\widehat D = {70^0}$.

D. $\widehat C = {30^0}$.

Lời giải

Vì tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $DEF$ nên

 $\widehat A = \widehat D = 80^\circ ;\,\widehat B = \widehat E = 70^\circ ;\,\\\widehat C = \widehat F = 30^\circ$ 

Vậy $\widehat C = {30^0}$ là đúng.

Đáp án D.

Câu 6: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 10cm, CD = 25cm, hai đường chéo cắt nhau tại O.

Chọn khẳng định đúng.

A. $\Delta AOB$$\backsim$$\Delta COD$ với tỉ số đồng dạng $k = 2$ .

B. $\dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{2}{3}$

C.  $\Delta AOB$$\backsim$$\Delta COD$ với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{2}{5}$.

D. $\Delta AOB$$\backsim$$\Delta COD$ với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{5}{2}$.

Lời giải

$AB{\rm{//}}CD$ nên $\Delta AOB$$\backsim$$\Delta COD.$ Tỉ số đồng dạng $\dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{{BO}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5}.$

Đáp án C.

Câu 7: Cho tam giác $ABC$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{1}{2}.$ Đường thẳng đi qua M và song song với $AC$ cắt $AB$ ở $D$ . Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $AB$ cắt $AC$ ở $E$ . Biết chu vi tam giác $ABC$ bằng $30\,cm$ . Chu vi của các tam giác $DBM$ và $EMC$ lần lượt là

A. $10\,cm;\,15\,cm$.

B. $12\,cm;\,16\,cm$.

C. $20\,cm;\,10\,cm$.

D. $10\,cm;\,20\,cm$.

Lời giải

Ta có $MD$ // $AC$ nên $\Delta DBM$$\backsim$$\Delta ABC$. Suy ra

$\dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{AC}} = \dfrac{{DB + BM + DM}}{{AB + BC + AC}}$

Do đó $\dfrac{1}{3} = \dfrac{{{P_{\Delta BDM}}}}{{{P_{\Delta ABC}}}}.$

Chu vi $\Delta DBM$ bằng $30 \cdot \dfrac{1}{3} = 10\,\left( {cm} \right).$

Ta có $ME$ // $AB$ nên $\Delta EMC$$\backsim$$\Delta ABC.$ Suy ra

$\dfrac{{EM}}{{AB}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{{EM + MC + EC}}{{AB + BC + AC}},$ do đó $\dfrac{2}{3} = \dfrac{{{P_{\Delta {\rm E}{\rm M}C}}}}{{{P_{\Delta ABC}}}}.$

Chu vi $\Delta EMC$ bằng $30 \cdot \dfrac{2}{3} = 20\,\left( {cm} \right).$

Vậy chu vi $\Delta DBM$ và chu vi $\Delta EMC$ lần lượt là $10\,cm;\,20\,cm$ .

Đáp án D.

Câu 8: Cho hình bình hành $ABCD$ . Trên đường chéo $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AC = 3AE$ . Qua $E$ vẽ đường thẳng song song với $CD$ , cắt $AD$ và $BC$ theo thứ tự ở $M$ và $N$ . Cho các khẳng định sau:

(I) $\Delta AME$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng $k{ _1} = \dfrac{1}{3}.$

(II) $\Delta CBA$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng bằng ${k_2} = 1$ .

(III) $\Delta CNE$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng ${k_3} = \dfrac{2}{3}.$

Chọn câu đúng.

A. (I) đúng, (II) và (III) sai.

B. (I) và (II) đúng, (III) sai.

C. Cả (I), (II), (III) đều đúng.

D. Cả (I), (II), (III) đều sai.

Lời giải

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $ME$ // $DC$ và $EN$ // $AB$.

+ $ME$ // $DC$ nên $\Delta AME$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng $\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}.$

+ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat B = \widehat D;\,AD = BC;\,AB = DC$$\Rightarrow$ $\Delta CBA = \Delta ADC$ nên

$\Delta CBA$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng bằng $1$ .

+ $EN$ // $AB$ nên $\Delta CNE$$\backsim$$\Delta CBA,$do đó $\Delta CNE$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng $\dfrac{{CE}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}.$

Vậy cả (I), (II), (III) đều đúng.

Đáp án C.