Lý thuyết đại cương về phương trình

I.Khái niệm phương trình

1. Phương trình một ẩn

+ Phương trình ẩn $x$ là mệnh đề chứa biến có dạng:

$f(x) = g(x)$     (1)

trong đó $f(x), g(x)$ là các biểu thức của $x$. Ta gọi $f(x)$ là vế trái, $g(x)$ là vế phải của phương trình (1).

+ Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của ẩn $x$ để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

+ Nếu có số $x_0$ thỏa mãn ĐKXĐ và $f(x_0)= g(x_0)$ là mệnh đề đúng thì ta nói $x_0$ là nghiệm đúng phương trình (1) hay $x_0$ là một nghiệm của phương trình (1).

Nếu phương trình không có nghiệm, ta nói phương trình vô nghiệm hoặc tập nghiêm là rỗng.

+ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

2. Phương trình nhiều ẩn

Chẳng hạn: 

$3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8$ (Phương trình hai ẩn $x$ và $y$)

$4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}$  (Phương trình ba ẩn $x, y$ và $z$)

3. Phương trình chứa tham số

Chẳng hạn: $(m + 1)x - 3 = 0$ (Phương trình ẩn $x$ chứa tham số $m$)

II. Phương trình tương đương và Phương trình hệ quả

1. Phương trình trương đương

Hai phương trình 

${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ (1)

${f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$ (2)

được gọi là tương đương, kí hiệu ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)⇔ {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$ nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.

Định lí:

a) Nếu $h(x)$ là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình $f(x) = g(x)$ thì 

$f(x) + h(x) = g(x) + h(x)$$⇔ f(x) = g(x)$.

b) Nếu $h(x)$ thỏa mãn ĐKXĐ và khác $0$ với mọi $x$ thỏa mãn ĐKXĐ thì 

$f(x).h(x) = g(x).h(x)  ⇔ f(x) = g(x)$

$\dfrac{f(x)}{h(x)}=\dfrac{g(x)}{h(x)}  ⇔ f(x) = g(x)$.

2. Phương trình hệ quả

Phương trình ${f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$ là phương trình hệ quả của phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$, kí hiệu 

${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ $\Rightarrow$${f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)$
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.

Ví dụ: $2x = 3 - x \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0$.

Loigiaihay.com