Lý thuyết cực trị của hàm số

1. Định nghĩa 

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a ; b)\) và điểm \(x_0 \in (a ; b).\)

- Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho  \(f(x) < f(x_0), ∀x ∈ (x_0- h ; x_0+ h), x \neq x_0\)  thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực đại tại \(x_0.\)

- Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f(x) > f(x_0), ∀x ∈ (x_0- h ; x_0+ h), x \neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_0.\)

Giả sử \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 trong \(\left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)\left( {h > 0} \right)\).

a) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số.

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\), tìm các điểm tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) và kí hiệu \({x_1},...,{x_n}\) là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính \(f''\left( x \right)\) và \(f''\left( {{x_i}} \right)\).

- Bước 4: Dựa và dấu của \(f''\left( {{x_i}} \right)\) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm \({x_i}\) mà \(f''\left( {{x_i}} \right) > 0\) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm \({x_i}\) mà \(f''\left( {{x_i}} \right) < 0\) thì đó là điểm cực đại của hàm số.