Giải mục 2 trang 17, 18, 19, 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Hoạt động 2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 17 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Cho T là một phép thử và E là một biến cố liên quan tới phép thử T. Ta thực hiện phép thử T lặp lại n lần một cách độc lập. Ở mỗi lần thực hiện phép thử T, biến cố E có xác suất xuất hiện bằng p, tức là \(P\left( E \right) = p\), 0 < p < 1. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố E trong n lần thực hiện lặp lại phép thử T. Tính \(P\left( {X = k} \right)\) với k ∈ {0; 1; …; n}.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức Bernoulli

Lời giải chi tiết:

Biến cố \(\left\{ {X = k} \right\}\) là: “ Trong \(n\) lần thực hiện phép thử T, biến cố E xuất hiện đúng \(k\) lần”

Vậy \(P(X = k)\) là xác suất để trong \(n\) lần thực hiện phép thử T, biến cố E xuất hiện đúng \(k\) lần. Theo công thức Bernoulli ta có \(P(X = k) = C_n^k.{p^k}.{(1 - p)^{n - k}}\)

Câu hỏi

Trả lời câu hỏi trang 17 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Viết bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli.

Lời giải chi tiết:

Gọi X là biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli \( \Rightarrow X \sim Ber(p)\)

Các giá trị của X có thể nhận được thuộc tập {0; 1}. 

\(\begin{array}{l}P(X = 0) = C_1^0.{p^0}.{(1 - p)^{1 - 0}} = 1 - p\\P(X = 1) = C_1^1.{p^1}.{(1 - p)^{1 - 1}} = p\end{array}\)

Ta có bảng bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X:

Luyện tập 3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 18 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Khi tham gia một một trò chơi, người chơi gieo xúc xắc cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 5 lần. Mỗi lần gieo nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 4 thì người chơi được 10 điểm. Tính xác suất để người chơi nhận được ít nhất 30 điểm.

Phương pháp giải:

Áp dụng phân bố nhị thức để giải bài tập.

Lời giải chi tiết:

Phép thử T là: “Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất”.

Biến cố E: “Số chấm xuất hiện lớn hơn 4”. \( \Rightarrow P(E) = \frac{1}{3}\)

X là số lần xuất hiện biến cố E trong 5 lần thực hiện lặp lại phép thử T.

Khi đó \(X \sim B\left( {5;\frac{1}{3}} \right)\)

Người chơi nhận được ít nhất 30 điểm khi số lần xuất hiện số chấm lớn hơn 4 ít nhất 3 lần. Vậy người chơi nhận được ít nhất 30 điểm khi \(X \ge 3\).

\(\begin{array}{l}P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\\{\rm{                 = }}C_5^3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + C_5^4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^1} + C_5^5.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^5}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^0} \approx 0,21\end{array}\)

Vận dụng

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Áp dụng phân bố nhị thức và công thức tính kì vọng của biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Lời giải chi tiết:

Gọi X là số câu trả lời đúng của An. Khi đó \(X \sim B(10;0,25)\)

Số điểm trung bình là \(E\left( X \right)\).

Vậy trung bình An nhận được số điểm trung bình là:

\(E(X) = 10.0,25 = 2,5\) (Điểm)

b) An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi X ≥ 5.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

\(\begin{array}{l}P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + ... + P(X = 10)\\{\rm{                 = }}C_{10}^5.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^5}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^5} + C_{10}^6.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^6}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4} + ... + C_{10}^{10}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{10}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^0}{\rm{ = }}0,0781\end{array}\)