Giải mục 1 trang 24, 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Hoạt động 1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Trong bài toán mở đầu, gọi x và y lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

a) Kí hiệu F(x; y) là lợi nhuận của xí nghiệp khi sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg sản phẩm loại II. Viết biểu thức tính F(x; y) theo x và y.

b) Lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ràng buộc x và y thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

c) Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ để thấy rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình tìm được trong ý b là một miền tứ giác. Tìm toạ độ các đỉnh của miền tứ giác này.

d) Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của miền tứ giác tìm được trong ý b, từ đó dự đoán về mức lợi nhuận cao nhất.

Phương pháp giải:

Dựa trên dữ kiện đề bài và các kiến thức đã học về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lời giải chi tiết:

a) Lợi nhuận đem lại từ x kg sản phẩm loại I là 40x nghìn đồng.

Lợi nhuận đem lại từ y kg sản phẩm loại II là 30y nghìn đồng.

Khi đó, \(F\left( {x;y} \right) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).

b) Số kg nguyên liệu để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 2x + 4y (kg).

Số giờ làm để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 30x + 15y (giờ).

Vì xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu và tối đa 1 200 giờ làm việc nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1{\rm{ }}200\\x \ge 0,y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0,y \ge 0\end{array} \right.\)

c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình trong ý b là miền tứ giác OABC được tô màu trong hình vẽ dưới đây, trong đó đường thẳng d₁: x + 2y = 100 và đường thẳng d₂: 2x + y = 80.

A là giao điểm của đường thẳng d₁ với trục tung nên A(0; 50).

B là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d­₂ nên B(20; 40).

C là giao điểm của đường thẳng d₂ với trục hoành nên C(40; 0).

Vậy các đỉnh của miền nghiệm là: O(0; 0), A(0; 50), B(20; 40), C(40; 0).

d) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( {0;0} \right) = 40.0 + 30.0 = 0}\\{F\left( {0;50} \right) = 40.0 + 30.50 = 1{\rm{ }}500}\\{F\left( {20;40} \right) = 40.20 + 30.40 = 2{\rm{ }}000}\\{F\left( {40;0} \right) = {\rm{ }}40.40 + 30.0 = 1{\rm{ }}600}\end{array}\)

Dự đoán mức lợi nhuận cao nhất là 2 000 nghìn đồng, hay 2 triệu đồng.

Luyện tập 1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất X và 9 kg chất Y. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được 20 kg chất X và 0,6 kg chất Y. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất X và 1,5 kg chất Y. Cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II.

Phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu đặt ra ở trên?

a) Đặt ẩn và viết bài toán quy hoạch tuyến tính diễn tả yêu cầu của bài toán trên.

b) Biểu diễn tập các phương án chấp nhận được và tìm các phương án cực biên.

Phương pháp giải:

Giải tương tự ví dụ 1,2

Lời giải chi tiết:

a) Gọi x, y lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I và loại II cần dùng (x ≥ 0, y ≥ 0).

Do cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II nên x ≤ 10, y ≤ 9.

Số kg chất X chiết xuất được từ x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II là: 20x + 10y (kg).

Số kg chất Y chiết xuất được từ x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II là: 0,6x + 1,5y (kg).

Theo bài, cần chiết xuất ít nhất 140 kg chất X và 9 kg chất Y nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right.\)

Gọi F(x; y) là chi phí mua nguyen liệu, khi đó F(x; y) = 4x + 3y (triệu đồng).

Vậy ta có bài toán quy hoạch tuyến tính như sau:

F(x; y) = 4x + 3y → min

với các ràng buộc  \(\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y \ge 140\\0,6x + 1,5y \ge 9\\0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right.\)

b) Tập các phương án chấp nhận được là miền tứ giác ABCD được tô màu trong hình vẽ dưới đây:

Các đỉnh của miền nghiệm là: A(2,5; 9), B(10; 9), C(10; 2), D(5; 4).

Các đỉnh A,B,C, D là các phương án cực biên.