Giải bài 65 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}}\);                                   

b) \(y = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}}\);                                                 

c) \(y = \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \)

Vậy \(x =  - 2\) và \({\rm{x}} = 2\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = 0\)

Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} =  - \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} =  - \frac{1}{4}\)

Vậy \(y =  - \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  - \infty \)

Vậy \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  + \infty \)

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{x\left( {1 - x} \right)}} =  - 3\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{1 - x}} =  - 4\)

Vậy đường thẳng \(y =  - 3{\rm{x}} - 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.