Giải bài 65 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{3{rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}}); b) (y = frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{rm{x}}^2} + 9}}); c) (y = frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}}).

Quảng cáo

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}}\);                                   

b) \(y = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}}\);                                                 

c) \(y = \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty \)

thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.

‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \)

Vậy \(x =  - 2\) và \({\rm{x}} = 2\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = 0\)

Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} =  - \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} =  - \frac{1}{4}\)

Vậy \(y =  - \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  - \infty \)

Vậy \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} =  + \infty \)

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{x\left( {1 - x} \right)}} =  - 3\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{1 - x}} =  - 4\)

Vậy đường thẳng \(y =  - 3{\rm{x}} - 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

 

  • Giải bài 66 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tốc độ đánh máy trung bình (S) (tính bằng từ trên phút) của một học viên sau (t) tuần học được cho bởi công thức: (Sleft( t right) = frac{{100{t^2}}}{{65 + {t^2}}}) với (t > 0). a) Xem (y = Sleft( t right) = frac{{100{t^2}}}{{65 + {t^2}}}) là một hàm số xác định trên khoảng (left( {0; + infty } right)), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. b) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó khi thời gian (t) càng lớn.

  • Giải bài 67 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tổng chi phí để sản xuất (x) sản phẩm của một xí nghiệp được tính theo công thức (T = 20x + 100{rm{ }}000) (nghìn đồng). a) Viết công thức tính chi phí trung bình (Cleft( x right)) của 1 sản phẩm khi sản xuất được (x) sản phẩm. b) Xem (y = Cleft( x right)) là một hàm số xác định trên khoảng (left( {0; + infty } right)), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. c) Xét tính đơn điệu của hàm số (y = Cleft( x right)) trên khoảng (left( {0; + infty } right)).

  • Giải bài 64 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = 5{rm{x}} - 2 + frac{1}{{x + 3}}); b) (y = - 7{rm{x}} + frac{{x - 1}}{{{x^2}}}); c) (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}}}}{{ - x + 2}}); d) (y = frac{{2{{rm{x}}^2} + 9{rm{x}}}}{{x + 1}});

  • Giải bài 63 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{x - 1}}{{2{rm{x}} + 3}}); b) (y = - 3 + frac{5}{{x - 4}}); c) (y = frac{{3{rm{x}} - 7}}{{{x^2}}}); d) (y = frac{{ - 2{{rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{rm{x}} + 1}}).

  • Giải bài 62 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số (y = frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}}). a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (x = - 1). b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (y = - 1). c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng (y = - x). d) Giao điểm (I) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là (Ileft( { - 1;1} right)).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close