Bài 59 trang 126 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Trên \(AC\) lấy một điểm \(D\) và vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(DA\) cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng:

a) \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp

b) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)

c) \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\) 

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có :

\(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

\(\widehat {MDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \(MC\))

Hai điểm \(A\) và \(D\) cùng nhìn đoạn thẳng \(BC\) cố định dưới góc \(90^\circ \) nên \(A\) và \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Vậy \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(BC.\)

b) Vì \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) nên ta có:

 \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\)  (cùng chắn cung \(AD\)).

c) Trong đường tròn đường kính \(MC\) ta có:

 \(\widehat {MCS} = \widehat {MDS}\) (vì cùng chắn cung \(MS\))                 (1)

Xét đường tròn đường kính \(BC\) ta có:

  \(\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\) (vì cùng chắn cung \(BA\))                 (2)

Từ (1) và (2) ta có  \(\widehat {BCA} = \widehat {ACS}.\)

Vậy  tia \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB.\)

Loigiaihay.com