Giải bài 29 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(AC = a\), \(SA = \frac{a}{2}\). Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(CD\). Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên ta suy ra \(SA \bot CD\). Do \(AE \bot CD\) nên ta suy ra \(\left( {SAE} \right) \bot CD\), điều này dẫn tới \(SE \bot CD\).

Như vậy do \(SE \bot CD\), \(AE \bot CD\) nên góc \(\widehat {SEA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,CD,A} \right]\).

Tam giác \(ACD\) đều (\(AC = CD = AD = a\)) nên ta suy ra \(AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác \(SAE\) vuông tại \(A\), ta có \(\tan \widehat {SEA} = \frac{{SA}}{{AE}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\widehat {SEA} = {30^o}\).