Giải bài 2.21 trang 50 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 28 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 6.

Lời giải chi tiết

Giả sử có đồ thị G thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi x là số đỉnh bậc 3 của đồ thị.

Khi đó số đỉnh bậc 6 của đồ thì là \(12{\rm{ }}-{\rm{ }}x.\)

Tổng tất cả các bậc của đỉnh của đồ thị G là \(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {12{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}72{\rm{ }}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} = {\rm{ }}72{\rm{ }}-{\rm{ }}3x.\)

Mà đồ thị G có 28 cạnh nên tổng tất cả các bậc của đỉnh của đồ thị G bằng 28 . 2 = 56.

Do đó ta có phương trình \(72{\rm{ }}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} = {\rm{ }}56\), suy ra \(x{\rm{ }} = \;163 \notin \mathbb{Z},\)mà số đỉnh phải là số nguyên nên không tồn tại đồ thị thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 28 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 6.