Giải bài 101 trang 42 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}}\).
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3\).
c) Điểm \(M\) nằm trên đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} \ne 1\) thì tung độ là \({y_0} = - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}}\).
d) Tích khoảng cách từ điểm \(M\) bất kì nằm trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đó bằng 1.

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} =  - \infty \)

Vậy \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Vậy a) đúng.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} =  - 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}} =  - 3\)

Vậy \(y =  - 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. Vậy b) sai.

• Điểm \(M\) nằm trên đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} \ne 1\) thì tung độ là:

\({y_0} = \frac{{3{{\rm{x}}_0} - 2}}{{1 - {x_0}}} = \frac{{ - 3\left( {1 - {x_0}} \right) + 1}}{{1 - {x_0}}} =  - 3 + \frac{1}{{1 - {x_0}}} =  - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}}\).

Vậy c) đúng.

• Xét điểm \(M\left( {{x_0}; - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\).

Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận đứng bằng: \(\left| {{x_0} - 1} \right|\).

Khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận ngang bằng: \(\left| { - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}} - \left( { - 3} \right)} \right| = \left| { - \frac{1}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\).

Tích khoảng cách từ điểm \(M\) bất kì nằm trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng: \(\left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{1}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 1\).

Vậy d) đúng.

a) Đ.                                  

b) S.                                  

c) Đ.                                  

d) Đ.