Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12

Đề thi THPT QG chính thức - 2021 lần 1 - mã đề 103

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A
$y = - {x^3} - 2x + \dfrac{1}{2}$
B
$y = {x^3} - 2x + \dfrac{1}{2}$
C
$y = - {x^4} + 2{x^2} + \dfrac{1}{2}$
D
$y = {x^4} + 2{x^2} + \dfrac{1}{2}$

Câu 2 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 15$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

A
$ - 12$
B
$\dfrac{1}{5}$
C
$5$
D
$12$

Câu 3 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 7{a^2}$ và chiều cao $h = a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

A
$\dfrac{7}{6}{a^3}$
B
$\dfrac{7}{2}{a^3}$
C
$\dfrac{7}{3}{a^3}$
D
$7{a^3}$

Câu 4 : Nếu $\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 5$ và $\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = - 4$ thì $\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} $ bằng:

A
$ - 1$
B
$ - 9$
C
$1$
D

$9$

Câu 5 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 3;1;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;4; - 1} \right)$. Phương trình của $d$ là:

A
$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.$
B
$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 + t\end{array} \right.$
C
$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.$
D
$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$

Câu 6 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Diện tích $S$ của mặt cầu bán kính $R$ được tính theo công thức nào sau đây?

A
$S = \pi {R^2}$
B
$S = \dfrac{4}{3}\pi {R^2}$
C
$S = 4\pi {R^2}$
D
$S = 16\pi {R^2}$

Câu 7 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $x - 2y + 2z - 3 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A
$\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;2;2} \right)$
B
$\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right)$
C
$\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$
D

$\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2; - 2} \right)$

Câu 8 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;1; - 2} \right)$ và bán kính bằng $3$. Phương trình của $\left( S \right)$ là

A
${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$
B
${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$
C
${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3$
D
${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3$

Câu 9 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 1$. Khẳng đinh nào dưới đây đúng?

A
$\int {f\left( x \right)dx} = {x^3} + x + C$
B
$\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + C$
C
$\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + x + C$
D
$\int {f\left( x \right)dx} = 2x + C$

Câu 10 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$

Câu 11 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Tập xác định của hàm số $y = {6^x}$ là:

A
$\left[ {0; + \infty } \right)$
B
$\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
C
$\left( {0; + \infty } \right)$
D
$\mathbb{R}$

Câu 12 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Nếu $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 2$ thì $\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} $ bằng:

A
$6$
B
$2$
C
$18$
D
$3$

Câu 13 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A
${z_3} = 2 + 3i$
B
${z_4} = - 2 - 3i$
C
${z_1} = - 2 + 3i$
D

${z_2} = 2 - 3i$

Câu 14 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + 3$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + 3x + C$
B
$\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + C$
C
$\int {f\left( x \right)dx} = {e^{x - 3}} + C$
D

$\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} - 3x + C$

Câu 15 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\left( { - \infty ;2} \right)$
B
$\left( {0;2} \right)$
C
$\left( { - 2;2} \right)$
D
$\left( {2; + \infty } \right)$

Câu 16 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Đồ thị của hàm số $y = - {x^3} + 2{x^2} - 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A

$3$
B

$1$
C

$ - 1$
D

$0$

Câu 17 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, đạo hàm của hàm số $y = {x^{\frac{4}{3}}}$ là:

A
$y' = \dfrac{4}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}$
B
$y' = \dfrac{4}{3}{x^{\frac{1}{3}}}$
C
$y' = \dfrac{3}{7}{x^{\frac{7}{3}}}$
D
$y' = \dfrac{3}{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Câu 18 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${\log _a}\sqrt a $ bằng:

A
$2$
B
$ - 2$
C
$ - \dfrac{1}{2}$
D
$\dfrac{1}{2}$

Câu 19 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3;2; - 4} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OA} $ là:

A
$\left( {3; - 2; - 4} \right)$
B
$\left( { - 3; - 2;4} \right)$
C
$\left( {3;2; - 4} \right)$
D
$\left( {3;2;4} \right)$

Câu 20 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} > 3$ là:

A

$\left( {{{\log }_3}2; + \infty } \right)$
B

$\left( { - \infty ;{{\log }_2}3} \right)$
C

$\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)$
D

$\left( {{{\log }_2}3; + \infty } \right)$

Câu 21 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hai số phức $z = 1 + 2i$ và $w = 3 - 4i$. Số phức $z + w$ bằng:

A
$2 - 6i$
B
$4 + 2i$
C
$4 - 2i$
D
$ - 2 + 6i$

Câu 22 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:

A
$3$
B
$0$
C
$2$
D
$1$

Câu 23 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Thể tích của khối lập phương cạnh $3a$ bằng:

A
$27{a^3}$
B
$3{a^3}$
C
$9{a^3}$
D
${a^3}$

Câu 24 : Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ là đường thẳng có phương trình:

A
$x = 2$
B
$x = 1$
C
$x = - \dfrac{1}{2}$
D
$x = - 1$

Câu 25 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Phần thực của số phức $z = 3 - 2i$ bằng:

A
$2$
B
$ - 3$
C
$3$
D
$ - 2$

Câu 26 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Nghiệm của phương trình ${\log _3}\left( {2x} \right) = 2$ là:

A

$x = \dfrac{9}{2}$
B

$x = 9$
C

$x = 4$
D

$x = 8$

Câu 27 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Với $n$ là số nguyên dương bất kì, $n \ge 2$, công thức nào dưới đây đúng?

A
$A_n^2 = \dfrac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{n!}}$
B
$A_n^2 = \dfrac{{2!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$
C
$A_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$
D

$A_n^2 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$

Câu 28 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho khối trụ có bán kính đáy $r = 2$ và chiều cao $h = 3$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A
$12\pi $
B
$18\pi $
C
$6\pi $
D
$4\pi $

Câu 29 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;2; - 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x + y - 3z + 1 = 0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình là:

A
$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
B
$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 3}}$
C
$\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
D
$\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}$

Câu 30 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $CC'$ bằng:

A
${45^0}$
B
${30^0}$
C
${90^0}$
D
${60^0}$

Câu 31 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho số phức $z$ thỏa mãn $iz = 3 + 2i$. Số phức liên hợp của $z$ là:

A
$\overline z = 2 + 3i$
B
$\overline z = - 2 - 3i$
C
$\overline z = - 2 + 3i$
D
$\overline z = 2 - 3i$

Câu 32 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $C$, $AC = a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ bằng:

A
$\dfrac{1}{2}a$
B
$\sqrt 2 a$
C
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a$
D
$a$

Câu 33 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả bóng màu đỏ bằng:

A
$\dfrac{1}{5}$
B
$\dfrac{1}{6}$
C
$\dfrac{2}{5}$
D
$\dfrac{1}{{30}}$

Câu 34 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Với mọi $a,\,\,b$ thỏa mãn ${\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 7$, khẳng định nào dưới đây đúng?

A
${a^3} + b = 49$
B
${a^3}b = 128$
C
${a^3} + b = 128$
D
${a^3}b = 49$

Câu 35 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0;0;1} \right)$ và $B\left( {1;2;3} \right)$. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ có phương trình là:

A
$x + 2y + 2z - 11 = 0$
B
$x + 2y + 2z - 2 = 0$
C
$x + 2y + 4z - 4 = 0$
D
$x + 2y + 4z - 17 = 0$

Câu 36 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$, hàm số $y = {x^3} - 3x + 4$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A
$x = 1$
B
$x = 0$
C
$x = - 3$
D
$x = 2$

Câu 37 :

Nếu $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 6$ thì $\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} $ bằng:

A
$12$
B
$10$
C
$11$
D
$14$

Câu 38 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Biết hàm số $y = \dfrac{{x + a}}{{x - 1}}$ ($a$ là số thực cho trước, $a \ne - 1$) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$y' > 0,\,\,\forall x \ne 1$
B
$y' > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$
C
$y' < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$
D
$y' < 0\,\,\forall x \ne 1$

Câu 39 : Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 14} \right) - 4} \right] \le 0$?

A
$14$
B
$13$
C
Vô số
D
$15$

Câu 40 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2$. Giá trị của $F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)$ bằng:

A
$23$
B
$11$
C
$10$
D
$21$

Câu 41 :

Cho hàm số bậc bốn $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ là:

A
$4$
B
$10$
C
$12$
D
$8$

Câu 42 :

Xét các số phức $z,\,\,w$ thỏa mãn $\left| z \right| = 1$ và $\left| w \right| = 2$. Khi $\left| {z + i\overline w - 6 + 8i} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, $\left| {z - w} \right|$ bằng:

A
$3$
B
$\dfrac{{\sqrt {29} }}{5}$
C
$\sqrt 5 $
D
$\dfrac{{\sqrt {221} }}{5}$

Câu 43 : Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + 2y - z - 6 = 0$. Hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng có phương trình:

A
$\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
B
$\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
C
$\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 1}}{7}$
D
$\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{4} = \dfrac{{z + 1}}{7}$

Câu 44 : Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$ thỏa mãn ${27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{15x}}$

A
$17$
B
$16$
C
$18$
D
$15$

Câu 45 : Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, $BD = 2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${60^0}$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:

A
$\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}{a^3}$
B
$6\sqrt 3 {a^3}$
C
$\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}$
D
$2\sqrt 3 {a^3}$

Câu 46 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c$ với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số thực. Biết hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)$ có hai giá trị cực trị là $ - 5$ và $3$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}$ và $y = 1$ bằng:

A
$2\ln 3$
B
$\ln 2$
C
$\ln 15$
D
$3\ln 2$

Câu 47 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cắt hình nón $\left( \aleph \right)$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng ${30^0}$, ta được thiết diện là tam giác đều cạnh $4a$. Diện tích xung quanh của $\left( \aleph \right)$ bằng:

A
$4\sqrt 7 \pi {a^2}$
B
$8\sqrt 7 \pi {a^2}$
C
$8\sqrt {13} \pi {a^2}$
D
$4\sqrt {13} \pi {a^2}$

Câu 48 :

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${z_0}$ thỏa mãn $\left| {{z_0}} \right| = 8$?

A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
1

Câu 49 :

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; - 3;2} \right)$ và $B\left( { - 2;1; - 4} \right)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $MN = 4$. Giá trị lớn nhất của $\left| {AM - BN} \right|$ bằng:

A
$5\sqrt 2 $
B
$3\sqrt {13} $
C
$\sqrt {61} $
D
$\sqrt {85} $

Câu 50 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {x - 10} \right)\left( {{x^2} - 25} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right)$ có ít nhất 3 điểm cực trị?

A
$9$
B
$25$
C
$5$
D
$10$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A
$y = - {x^3} - 2x + \dfrac{1}{2}$
B
$y = {x^3} - 2x + \dfrac{1}{2}$
C
$y = - {x^4} + 2{x^2} + \dfrac{1}{2}$
D
$y = {x^4} + 2{x^2} + \dfrac{1}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào dáng điệu của đồ thị hàm số, nhận xét số giao điểm của đồ thị với trục hoành, số điểm cực trị, nét cuối của đồ thị để chọn hàm số phù hợp.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị là dạng của hàm số ba, nhánh cuối của đồ thị đi lên $ \Rightarrow $ hệ số của ${x^3}$ mang dấu dương.

Câu 2 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 15$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

A
$ - 12$
B
$\dfrac{1}{5}$
C
$5$
D
$12$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ là $q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${u_2} = {u_1}q \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{15}}{3} = 5$.

Câu 3 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 7{a^2}$ và chiều cao $h = a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

A
$\dfrac{7}{6}{a^3}$
B
$\dfrac{7}{2}{a^3}$
C
$\dfrac{7}{3}{a^3}$
D
$7{a^3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: ${V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}} \times h$.

Lời giải chi tiết :

${V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}} \times h = \dfrac{1}{3}B.h = \dfrac{1}{3}.7{a^2}.a = \dfrac{{7{a^3}}}{3}$.

A
$ - 1$
B
$ - 9$
C
$1$
D

$9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $.

Lời giải chi tiết :

$\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} $ $ = 5 - \left( { - 4} \right) = 9$.

Câu 5 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

A
$\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.$
B
$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 + t\end{array} \right.$
C
$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.$
D
$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 3;1;2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;4; - 1} \right)$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.$.

Câu 6 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Diện tích $S$ của mặt cầu bán kính $R$ được tính theo công thức nào sau đây?

A
$S = \pi {R^2}$
B
$S = \dfrac{4}{3}\pi {R^2}$
C
$S = 4\pi {R^2}$
D
$S = 16\pi {R^2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Diện tích $S$ của mặt cầu bán kính $R$ là $S = 4\pi {R^2}$.

Lời giải chi tiết :

Diện tích $S$ của mặt cầu bán kính $R$ là $S = 4\pi {R^2}$.

Câu 7 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$: $x - 2y + 2z - 3 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A
$\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;2;2} \right)$
B
$\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right)$
C
$\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$
D

$\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2; - 2} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Câu 8 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;1; - 2} \right)$ và bán kính bằng $3$. Phương trình của $\left( S \right)$ là

A
${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$
B
${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$
C
${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3$
D
${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R$ có phương trình $\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu tâm $I\left( {0;1; - 2} \right)$, bán kính $R = 3$ có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$.

Câu 9 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 1$. Khẳng đinh nào dưới đây đúng?

A
$\int {f\left( x \right)dx} = {x^3} + x + C$
B
$\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + C$
C
$\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + x + C$
D
$\int {f\left( x \right)dx} = 2x + C$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

Lời giải chi tiết :

$\int {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + x + C$.

Câu 10 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào bảng xét dấu xác định số điểm mà qua đó đạo hàm đổi dấu.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy đạo hàm đổi dấu khi đi qua các điểm có hoành độ là -3, -1, 1, 2 nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Câu 11 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Tập xác định của hàm số $y = {6^x}$ là:

A
$\left[ {0; + \infty } \right)$
B
$\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
C
$\left( {0; + \infty } \right)$
D
$\mathbb{R}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số mũ $y = {a^x}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định của hàm số $y = {6^x}$ là $\mathbb{R}$.

Câu 12 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Nếu $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 2$ thì $\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} $ bằng:

A
$6$
B
$2$
C
$18$
D
$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\left( {k \ne 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 3.2 = 6$.

Câu 13 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A
${z_3} = 2 + 3i$
B
${z_4} = - 2 - 3i$
C
${z_1} = - 2 + 3i$
D

${z_2} = 2 - 3i$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điểm $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = a + bi$.

Lời giải chi tiết :

Điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức ${z_1} = - 2 + 3i$.

Câu 14 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^x} + 3$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + 3x + C$
B
$\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} + C$
C
$\int {f\left( x \right)dx} = {e^{x - 3}} + C$
D

$\int {f\left( x \right)dx} = {e^x} - 3x + C$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$, $\int {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int {\left( {{e^x} + 3} \right)dx} = {e^x} + 3x + C$.

Câu 15 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\left( { - \infty ;2} \right)$
B
$\left( {0;2} \right)$
C
$\left( { - 2;2} \right)$
D
$\left( {2; + \infty } \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào đồ thị xác định khoảng ứng với đồ thị hàm số đi lên (giá trị tung độ tăng).

Lời giải chi tiết :

Nhìn trên đồ thị ta thấy khi $x$ tăng trong $\left( {0;2} \right)$ thì đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ đi lên $ \Rightarrow $ giá trị tung độ tăng $ \Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\left( {0;2} \right)$.

Câu 16 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Đồ thị của hàm số $y = - {x^3} + 2{x^2} - 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A

$3$
B

$1$
C

$ - 1$
D

$0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung thì giao điểm có hoành độ $x = 0$

Thay $x = 0$ vào $f(x)$ để tìm $y$.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 2{x^2} - 1$ cắt trục tung $ \Rightarrow x = 0$

Với $x = 0$ thay vào hàm số $ \Rightarrow y = - 1$.

Câu 17 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, đạo hàm của hàm số $y = {x^{\frac{4}{3}}}$ là:

A
$y' = \dfrac{4}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}$
B
$y' = \dfrac{4}{3}{x^{\frac{1}{3}}}$
C
$y' = \dfrac{3}{7}{x^{\frac{7}{3}}}$
D
$y' = \dfrac{3}{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\,\,\left( {x > 0} \right)$ $ \Rightarrow \left( {{x^{\frac{4}{3}}}} \right)' = \dfrac{4}{3}{x^{\frac{1}{3}}}$.

Câu 18 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho $a > 0$ và $a \ne 1$, khi đó ${\log _a}\sqrt a $ bằng:

A
$2$
B
$ - 2$
C
$ - \dfrac{1}{2}$
D
$\dfrac{1}{2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: ${\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\log _a}\sqrt a = {\log _a}\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = \dfrac{1}{2}{\log _a}a = \dfrac{1}{2}$.

Câu 19 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {3;2; - 4} \right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OA} $ là:

A
$\left( {3; - 2; - 4} \right)$
B
$\left( { - 3; - 2;4} \right)$
C
$\left( {3;2; - 4} \right)$
D
$\left( {3;2;4} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),\,\,B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Vì $A\left( {3;2; - 4} \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {3;2; - 4} \right)$.

Câu 20 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} > 3$ là:

A

$\left( {{{\log }_3}2; + \infty } \right)$
B

$\left( { - \infty ;{{\log }_2}3} \right)$
C

$\left( { - \infty ;{{\log }_3}2} \right)$
D

$\left( {{{\log }_2}3; + \infty } \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình mũ: ${a^x} > b \Leftrightarrow x > {\log _a}b$.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${2^x} > 3 \Leftrightarrow x > {\log _2}3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {{{\log }_2}3; + \infty } \right)$.

Câu 21 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hai số phức $z = 1 + 2i$ và $w = 3 - 4i$. Số phức $z + w$ bằng:

A
$2 - 6i$
B
$4 + 2i$
C
$4 - 2i$
D
$ - 2 + 6i$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng hai số phức.

Lời giải chi tiết :

$z + w = \left( {1 + 2i} \right) + \left( {3 - 4i} \right) = \left( {1 + 3} \right) + \left( {2 - 4} \right)i = 4 - 2i$.

Câu 22 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:

A
$3$
B
$0$
C
$2$
D
$1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào BBT xác định điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số liên tục và qua đó đạo hàm đổi dấu dấu từ dương sang âm, từ đó xác định giá trị cực đại của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, giá trị cực đại bằng $3$.

Câu 23 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Thể tích của khối lập phương cạnh $3a$ bằng:

A
$27{a^3}$
B
$3{a^3}$
C
$9{a^3}$
D
${a^3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thể tích khối lập phương cạnh $a$ là $V = {a^3}$.

Lời giải chi tiết :

${V_{lap\,\,phuong}} = {\left( {canh} \right)^3} = {\left( {3a} \right)^3} = 27{a^3}$.

Câu 24 : Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}$ là đường thẳng có phương trình:

A
$x = 2$
B
$x = 1$
C
$x = - \dfrac{1}{2}$
D
$x = - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad - bc \ne 0} \right)$ có TCĐ $x = - \dfrac{d}{c}$.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ có TCĐ $x = 2$.

Câu 25 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Phần thực của số phức $z = 3 - 2i$ bằng:

A
$2$
B
$ - 3$
C
$3$
D
$ - 2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Số phức $z = a + bi$ có phần thực bằng $a$.

Lời giải chi tiết :

Phần thực của số phức $z = 3 - 2i$ bằng $3$.

Câu 26 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Nghiệm của phương trình ${\log _3}\left( {2x} \right) = 2$ là:

A

$x = \dfrac{9}{2}$
B

$x = 9$
C

$x = 4$
D

$x = 8$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình logarit: ${\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}$.

Lời giải chi tiết :

${\log _3}\left( {2x} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{2}$.

Câu 27 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Với $n$ là số nguyên dương bất kì, $n \ge 2$, công thức nào dưới đây đúng?

A
$A_n^2 = \dfrac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{n!}}$
B
$A_n^2 = \dfrac{{2!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$
C
$A_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$
D

$A_n^2 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính chỉnh hợp $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \Rightarrow A_n^2 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\,\,\left( {n \ge 2} \right)$.

Câu 28 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho khối trụ có bán kính đáy $r = 2$ và chiều cao $h = 3$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A
$12\pi $
B
$18\pi $
C
$6\pi $
D
$4\pi $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thể tích khối trụ có bán kính đáy $r$, chiều cao $h$ là $V = \pi {r^2}h$

Lời giải chi tiết :

$V = \pi {r^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi $.

Câu 29 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

A
$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
B
$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 3}}$
C
$\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
D
$\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} $.

- Phương trình đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có một VTCP $\overrightarrow u \left( {A;B;C} \right)$ là:

$\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$

Lời giải chi tiết :

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm ta có: $d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right)$.

$ \Rightarrow $ Phương trình $d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 3}}$.

Câu 30 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $CC'$ bằng:

A
${45^0}$
B
${30^0}$
C
${90^0}$
D
${60^0}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng định lí: $\angle \left( {a;b} \right) = \angle \left( {a';b} \right)$ với $a'//a$.

- Sử dụng tính chất của tam giác vuông cân để tính góc.

Lời giải chi tiết :

+ Do $CC'//BB' \Rightarrow \angle \left( {A'B;CC'} \right) = \angle \left( {A'B;BB'} \right) = \angle A'BB'$.

+ Xét $\Delta A'BB'$ vuông tại $B$ có: $BB' = A'B'$.

$ \Rightarrow \Delta B'BC$ vuông cân tại $B \Rightarrow \angle A'BB' = {45^0}$.

Câu 31 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Cho số phức $z$ thỏa mãn $iz = 3 + 2i$. Số phức liên hợp của $z$ là:

A
$\overline z = 2 + 3i$
B
$\overline z = - 2 - 3i$
C
$\overline z = - 2 + 3i$
D
$\overline z = 2 - 3i$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Thực hiện phép chia số phức tìm số phức $z$.

- Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp là $\overline z = a - bi$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $iz = 3 + 2i \Rightarrow z = \dfrac{{3 + 2i}}{i} = 2 - 3i$

Vậy $z = 2 - 3i$ có số phức liên hợp là $\overline z = 2 + 3i$.

Câu 32 :

A
$\dfrac{1}{2}a$
B
$\sqrt 2 a$
C
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a$
D
$a$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Chứng minh $BC \bot \left( {SAC} \right)$.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết :

Nhận thấy $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)$.

$ \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = BC$.

Mà $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ $ \Rightarrow BC = AC = a$.

$ \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = a$.

Câu 33 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả bóng màu đỏ bằng:

A
$\dfrac{1}{5}$
B
$\dfrac{1}{6}$
C
$\dfrac{2}{5}$
D
$\dfrac{1}{{30}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “Lấy dược 3 quả màu xanh”, sử dụng tổ hợp tìm số phần tử luận lợi của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố A.

Lời giải chi tiết :

+ Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{10}^3$.

+ Gọi A là biến cố: “Lấy dược 3 quả màu đỏ”

$ \Rightarrow $ Số phần tử thuận lợi của A là : $n\left( A \right) = C_4^3$.

+ Xác suất: $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \dfrac{1}{{30}}$.

Câu 34 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Với mọi $a,\,\,b$ thỏa mãn ${\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 7$, khẳng định nào dưới đây đúng?

A
${a^3} + b = 49$
B
${a^3}b = 128$
C
${a^3} + b = 128$
D
${a^3}b = 49$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)$ $\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 7 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^3}b} \right) = 7$ $ \Leftrightarrow {a^3}b = {2^7} \Leftrightarrow {a^3}b = 128$.

Câu 35 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0;0;1} \right)$ và $B\left( {1;2;3} \right)$. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ có phương trình là:

A
$x + 2y + 2z - 11 = 0$
B
$x + 2y + 2z - 2 = 0$
C
$x + 2y + 4z - 4 = 0$
D
$x + 2y + 4z - 17 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình là

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;2} \right)$ là 1 VTPT của của mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$.

Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: $x + 2y + 2z - 2 = 0$.

Câu 36 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$, hàm số $y = {x^3} - 3x + 4$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A
$x = 1$
B
$x = 0$
C
$x = - 3$
D
$x = 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Khảo sát hàm số, lập BBT và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Khảo sát hàm số $y = {x^3} - 3x + 4$ trên $\left[ {0;3} \right]$.

+ $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = {\kern 1pt} \pm 1$.

+ BBT:

$ \Rightarrow $ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$.

Câu 37 :

Nếu $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 6$ thì $\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} $ bằng:

A
$12$
B
$10$
C
$11$
D
$14$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất tích phân: $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $, $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \,\,\left( {k \ne 0} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^2 {1dx} $ $ = 2.6 - \left. x \right|_0^2 = 12 - \left( {2 - 0} \right) = 10$.

Câu 38 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

Biết hàm số $y = \dfrac{{x + a}}{{x - 1}}$ ($a$ là số thực cho trước, $a \ne - 1$) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$y' > 0,\,\,\forall x \ne 1$
B
$y' > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$
C
$y' < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$
D
$y' < 0\,\,\forall x \ne 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào chiều biến thiên và tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết :

+ Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định $ \Rightarrow y' > 0$.

+ Do hàm số $y = \dfrac{{x + a}}{{x - 1}}$ không xác định tại $x = 1$ $ \Rightarrow y' > 0\,\,\forall x \ne 1$.

Câu 39 : Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 14} \right) - 4} \right] \le 0$?

A
$14$
B
$13$
C
Vô số
D
$15$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chia các TH và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

BPT: $\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 14} \right) - 4} \right] \le 0$.

Bài này ta chia 2 trường hợp để giải.

TH1:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \ge 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\0 < x + 14 \le {2^4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\ - 14 < x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 14 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

$ \Rightarrow $ Trường hợp này có 15 giá trị nguyên $x \in \left\{ { - 13; - 12; - 11;...;0;2} \right\}$.

TH2:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {2^x} \le 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \ge 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 14 \ge 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}$

$ \Rightarrow $ Trường hợp này có 1 nghiệm nguyên $x$ thuộc trường hợp 1.

Vậy có tất cả 15 nghiệm nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình.

Câu 40 :

A
$23$
B
$11$
C
$10$
D
$21$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số $F(x)$ liên tục tại $x=1$

Cách 1: Không đi tìm hàm $F\left( x \right)$.

Cách 2: Tìm hàm $F\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết :

Cách 1: Không đi tìm hàm $F\left( x \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + 3F\left( 0 \right)\end{array}$

(Hàm số $F\left( x \right)$ là hàm số thay đổi công thức tại $x = 1$, nhưng liên tục tại $x = 1$, nên việc ta khẳng định $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)$ là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21\end{array}$

Cách 2: Tìm hàm $F\left( x \right)$.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\\3{x^2} + 2\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.$.

+ Vì $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 2.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2$.

+ Theo giả thiết, $F\left( x \right)$ là hàm số tồn tại đạo hàm trên $\mathbb{R}$.

$ \Rightarrow F\left( x \right)$ tồn tại đạo hàm tại $x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.

$ \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 3 + {C_1} = 1 + 2 + {C_2}$ $ \Rightarrow {C_1} = - 1 + {C_2} = 1$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 2.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 3.2 + 1 = 11\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 1 + 2.11 = 21\end{array}$

Câu 41 :

A
$4$
B
$10$
C
$12$
D
$8$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Giải phương trình $f\left( x \right) = 0$ tìm $x$ (sử dụng phương pháp tương giao đồ thị hàm số), từ đó suy ra $f\left( x \right) = k$ nào đó.

- Tiếp tục sử dụng tương giao đồ thị hàm số giải các phương trình $f\left( x \right) = k$ và tính tổng số nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết :

+ Để giải phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0$ ta đi xét phương trình $f\left( x \right) = 0$.

Từ đồ thị $f\left( x \right)$ kẻ tương giao với đường thẳng $y = 0 \Rightarrow $ Phương trình $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\,voi\,\,a < - 1\\x = b\,\,voi\,\,b \in \left( { - 1;0} \right)\\x = c\,\,voi\,\,c \in \left( {0;1} \right)\\x = d\,\,voi\,\,d > 1\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow $ Phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {a < - 1} \right) \Rightarrow 0\,\,nghiem\\f\left( x \right) = b \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {b \in \left( { - 1;0} \right)} \right) \Rightarrow 4\,\,nghiem\\f\left( x \right) = c \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {c \in \left( {0;1} \right)} \right) \Rightarrow 4\,\,nghiem\\f\left( x \right) = d \to ke\,\,tuong\,\,giao\,\,\left( {d > 1} \right) \Rightarrow 2\,\,nghiem\end{array} \right.$

$ \Rightarrow $ Phương trình $f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1$ có 10 nghiệm phân biệt.

Câu 42 :

A
$3$
B
$\dfrac{{\sqrt {29} }}{5}$
C
$\sqrt 5 $
D
$\dfrac{{\sqrt {221} }}{5}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Dùng phương pháp hình học $ \to $ Kỹ năng dồn số phức.

* $P = \left| {z + i\,\overline w - 6 + 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 + 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|$.

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 + 8i\\v = - i\overline w \end{array} \right.$, $u$ có điểm biểu diễn là $A$, $v$ có điểm biểu diễn là $B$.

+) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $u$ và $v$.

+) Tìm $AB_\min$

Lời giải chi tiết :

Dùng phương pháp hình học $ \to $ Kỹ năng dồn số phức.

* $P = \left| {z + i\,\overline w - 6 + 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 + 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|$.

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 + 8i\\v = - i\overline w \end{array} \right.$, $u$ có điểm biểu diễn là $A$, $v$ có điểm biểu diễn là $B$.

$ \Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow $ Cần đạt Min.

* $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 + 8i} \right) + 6 - 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 - 8i} \right| = 1$.

$ \Rightarrow $ Tập hợp điểm $A$ biểu diễn số phức $u$ là đường tròn: $\left( {{C_1}} \right)$: $\left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 6;8} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.$.

* $\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\overline w } \right| = \left| { - i} \right|.2$ $ \Rightarrow \left| { - i\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2$.

$ \Rightarrow $ Tập hợp điểm $B$ biểu diễn số phức $v$ là đường tròn $\left( {{C_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;0} \right)\\{R_2} = 2\end{array} \right.$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}IA = {R_1} = 1\\OB = {R_2} = 2\\OI = 10\end{array} \right.$

$ \Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7$.

Min đạt được khi: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 27}}{5};\dfrac{{36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \dfrac{{27}}{5} + \dfrac{{36}}{5}i\\\overrightarrow {OB} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 6}}{5};\dfrac{8}{5}} \right) \Rightarrow v = - \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = u + 6 - 8i = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i\\ - i\overline w = v \Rightarrow \overline w = \dfrac{v}{{ - i}} = \dfrac{{ - \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i}}{{ - i}} = - \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i \Rightarrow w = - \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( { - \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {221} }}{5}$.

A
$\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
B
$\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
C
$\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 1}}{7}$
D
$\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{4} = \dfrac{{z + 1}}{7}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm giao điểm $I$ của $d$ và $\left( P \right)$.

- Gọi $d'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right) \Rightarrow I \in d'$.

- Lấy điểm $A$ bất kì thuộc $d$, viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

- Tìm giao điểm $H$ của $\Delta $ và $\left( P \right)$.

- Viết phương trình đường thẳng $d'$ đi qua $I,\,\,H$.

Lời giải chi tiết :

* Nhận thấy $I\left( {1;2; - 1} \right) \in d$ và cũng thuộc $\left( P \right)$.

$ \Rightarrow d \cap \left( P \right) = I\left( {1;2; - 1} \right)$.

Gọi $d'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right) \Rightarrow I \in d'$.

* Lấy $A\left( {2;3; - 3} \right) \in d$.

Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

$ \Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z = - 3 - t\end{array} \right.$.

Gọi $H = \Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta \Rightarrow H\left( {2 + t;\,\,3 + 2t;\,\, - 3 - t} \right)$.

Mà $H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {2 + t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) - \left( { - 3 - t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{5}{6}$.

$ \Rightarrow H\left( {\dfrac{7}{6};\dfrac{4}{3}; - \dfrac{{13}}{6}} \right)$.

* $d'$ là đường thẳng đi qua $I$ và $H$.

Ta có $\overrightarrow {IH} = \left( {\dfrac{1}{6}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{6}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = - 6\overrightarrow {IH} = \left( { - 1;4;7} \right)$.

$ \Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $d':\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{4} = \dfrac{{z + 1}}{7}$.

Câu 44 : Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$ thỏa mãn ${27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{15x}}$

A
$17$
B
$16$
C
$18$
D
$15$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Tìm điều kiện cho y.

+) Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1$

+) Tính $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ và $f\left( 5 \right)$

+) Xét $y = 0$ và $y \ne 0$

1) Ta Table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.$

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 16$ thì $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0$ và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi $y \ge 16$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết :

* pt $ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1$.

$ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}$, khi $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$ $ \Rightarrow y > - 3$ thì mới tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

$ \Rightarrow $ Ta chặn được $y > - 3$ => $y \ge - 2$.

* $pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0$.

Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 5 \right) = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.$.

Nhận thấy ngay $f\left( 5 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}$, chỉ bằng 0 tại $y = 0$.

+ Xét $y = 0 \Rightarrow $ thay vào phương trình ban đầu $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.$, loại vì không có nghiệm thuộc $\left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

+ Xét $y \ne 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}$.

1) Ta Table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.$

$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}$.

$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 5 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}$

$ \Rightarrow $ Có 17 giá trị của $y$ để tồn tại nghiệm $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 16$ thì $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0$ và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi $y \ge 16$ thì phương trình vô nghiệm.

$g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 15} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\end{array} \right.$

$ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {16} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left( x \right)$.

Ta có $h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

$ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{8}{3} > 0$.

$ \Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm với $x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)$.

Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của $y$.

A
$\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}{a^3}$
B
$6\sqrt 3 {a^3}$
C
$\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}$
D
$2\sqrt 3 {a^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi 2 đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tính chất hình vuông và tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính chiều cao $AA'$.

- Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết :

* Xác định $\angle \left( {\left( {A'BD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)$.

+ $\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot BD\\AO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'AO} \right) \bot BD$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'AO} \right) \cap \left( {A'BD} \right) = A'O\\\left( {A'AO} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AO\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {A'O;AO} \right) = \angle A'OA$.

$ \Rightarrow \angle A'OA = {60^0}$.

* Xét tam giác $A'OA$ vuông tại $A$ có $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD = a$.

$ \Rightarrow AA' = \tan {60^0}.AO = a\sqrt 3 $.

$ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = \dfrac{1}{2}AC.BD.AA'$ $ = \dfrac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2}.a\sqrt 3 = 2\sqrt 3 {a^3}$.

Câu 46 :

A
$2\ln 3$
B
$\ln 2$
C
$\ln 15$
D
$3\ln 2$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

* Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6 \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) - 6 = 0$.

(Chúng ta không cần lo điều kiện $g\left( x \right) + 6 \ne 0$, bởi lẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}$ khi tương giao với đường thẳng $y = 1$ phải tạo nên một miền kín, và khi số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6$ nhiều hơn 2 thì ta mới phải chú ý xem xét lấy cận từ đâu đến đâu, và liệu rằng có phải từ ${x_{\min }} \to {x_{\max }}$, chẳng may đồ thị tương giao bị gián đoạn trên đoạn $\left[ {{x_{\min }};{x_{\max }}} \right]$ mà vẫn tạo miền kín. Trên thực tế, bài toán này phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6$ chỉ có 2 nghiệm (vì là phương trình bậc hai), nên người giải toán không cần quan tâm đến việc gián đoạn hay không, vì việc tồn tại nghiệm hình và hàm số là thuộc phạm trù người ra đề).

Mà $g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)$ $ \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = - f'\left( x \right) - f''\left( x \right)$

$ \Rightarrow $ Phương trình hoành độ giao điểm trở thành:

$ - f'\left( x \right) - f''\left( x \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6 = 0$ (1)

Mặt khác: $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + f'''\left( x \right)$ và $f'''\left( x \right) = 6$ $ \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6$.

Từ phương trình (1) $ \Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0$.

Theo giả thiết $g\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị ${x_1},\,\,{x_2}$ sao cho $\left\{ \begin{array}{l}g\left( {{x_1}} \right) = - 5\\g\left( {{x_2}} \right) = 3\end{array} \right.$ $ \Rightarrow g'\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$.

Vậy phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\left( H \right)}} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} - 1} \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f\left( x \right) - g\left( x \right) - 6}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{ - f'\left( x \right) - f''\left( x \right) - 6}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{ - g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right| = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{d\left( {g\left( x \right) + 6} \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}} } \right| = \left| {\ln \left. {\left| {g\left( x \right) + 6} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 6} \right| - \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 6} \right|} \right| = \left| {\ln \left| {3 + 6} \right| - \ln \left| { - 5 + 6} \right|} \right| = \ln 9 - \ln 1 = 2\ln 3\end{array}\)

Câu 47 :

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 103

A
$4\sqrt 7 \pi {a^2}$
B
$8\sqrt 7 \pi {a^2}$
C
$8\sqrt {13} \pi {a^2}$
D
$4\sqrt {13} \pi {a^2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Dựa vào giả thiết thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng ${30^0}$ là tam giác đều cạnh $4a$ tìm độ dài đường sinh của hình nón.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh $l$ và bán kính đáy $R$ là ${S_{xq}} = \pi Rl$.

Lời giải chi tiết :

+ ${S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow $ Cần tìm $R,\,\,l$.

+ Thiết diện là $\Delta SMN$ đều cạnh $4a$ $ \Rightarrow l = SM = SN = 4a$.

+ $\angle \left( {\left( {SMN} \right);\left( {day} \right)} \right) = \angle SHO = {30^0}$.

Mà $SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {canh\,\,\Delta SMN} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.4a = 2a\sqrt 3 $.

$ \Rightarrow SO = SH.\sin \angle SHO = 2\sqrt 3 a.\sin {30^0} = \sqrt 3 a$.

$ \Rightarrow OM = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {4a} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}} = a\sqrt {13} $.

$ \Rightarrow R = OM = a\sqrt {13} $.

Vậy ${S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a\sqrt {13} .4a = 4\sqrt {13} \pi {a^2}$.

Câu 48 :

A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Dựa vào giả thiết $\left| {{z_0}} \right| = 8$ xét các TH:

TH1: ${z_0}$ là số thực, thay trực tiếp ${z_0}$ vào phương trình tìm $m$.

TH2: ${z_0}$ là số phức, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm phức.

Sử dụng: Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức ${z_0}$ chứa $i$ thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là $\overline {{z_0}} $ và định lí Vi-ét, từ đó tìm $m$.

Lời giải chi tiết :

Đặt ${z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0$ (*).

TH1: ${z_0}$ là nghiệm thực $ \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 8\\{z_0} = - 8\end{array} \right.$.

+ Nếu ${z_0} = 8$ thay vào (*)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {8^2} - 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 18 = 0\\ \Leftrightarrow m = 8 \pm \sqrt {46} \end{array}$

$ \Rightarrow $ Có 2 giá trị thỏa mãn $m = 8 \pm \sqrt {46} $ thì phương trình (*) có nghiệm ${z_0} = 8$ (tmycbt).

+ Nếu ${z_0} = - 8$ thay vào (*)

$\begin{array}{l} \Rightarrow 64 + 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 16m + 80 = 0\end{array}$

$ \Rightarrow $ Vô nghiệm.

TH2: ${z_0}$ là nghiệm có chứa $i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}$.

Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức ${z_0}$ chứa $i$ thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là $\overline {{z_0}} $.

Điều kiện $\left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = {8^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {8^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 64\,\,\left( 1 \right)$.

Vì ${z_0}$ và $\overline {{z_0}} $ là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: ${z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow {m^2} = 64 \Leftrightarrow m = \pm 8$.

So sánh điều kiện $m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 8$.

Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán ($m = 8 \pm \sqrt {46} $ và $m = - 8$).

Câu 49 :

A
$5\sqrt 2 $
B
$3\sqrt {13} $
C
$\sqrt {61} $
D
$\sqrt {85} $

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

* Ta thấy ${z_A}.{z_B} < 0$ $ \Rightarrow A,\,\,B$ nằm khác phía với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\left( {Oxy} \right)$ $ \Rightarrow A'\left( {1; - 3; - 2} \right)$.

Khi đó $P = \left| {AM - BN} \right| = \left| {A'M - BN} \right|\,\,\,\left( 1 \right)$.

Gọi ${A_1}$ là điểm sao cho $\overrightarrow {A'{A_1}} = \overrightarrow {MN} $.

Do $MN = 4$ $ \Rightarrow {A_1}$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $A'$ bán kính bằng 4.

Khi đó $A'{A_1}NM$ là hình bình hành $ \Rightarrow A'M = {A_1}N\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow P = \left| {{A_1}N - BN} \right| \le {A_1}B$.

$ \Rightarrow {P_{\max }} = {A_1}B$ khi ${A_1},\,\,B,\,\,N$ thẳng hàng $\left( {N = {A_1}B \cap \left( {Oxy} \right)} \right)$ và ${A_1}B$ lớn nhất khi ${A_1}$ ở vị trí $\left( C \right)$ như hình vẽ.

Khi đó ${P_{\max }} = {A_1}{B_{\max }} = \sqrt {B{I^2} + I{A_1}^2} $.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BI = 2\\I{A_1} = IA' + A'{A_1} - 5 + 4 = 9\end{array} \right.$ .

$ \Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {{2^2} + {9^2}} = \sqrt {85} $.

(Vị trí $M,\,\,N$ để ${P_{\max }}$ như hình vẽ).

Câu 50 :

A
$9$
B
$25$
C
$5$
D
$10$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Khảo sát hàm số $h\left( x \right) = \left| {{x^3} + 8x} \right|$

+) Xét $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

+) Biện luận số nghiệm của hai phương trình.

Lời giải chi tiết :

* BBT của hàm số $h\left( x \right) = \left| {{x^3} + 8x} \right|$:

* Xét $g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right)$ $ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 8x} \right|} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right)$ $ = \left( {h\left( x \right)} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right)$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

+) Từ BBT của $h\left( x \right)$ $ \Rightarrow h'\left( x \right) = 0$ chỉ chứa 1 nghiệm $x = 0$ là điểm cực trị của $h\left( x \right)$.

$ \Rightarrow $ Phương trình (1) $ \Leftrightarrow x = 0$ là nghiệm bội lẻ.

+) $f'\left( x \right) = \left( {x - 10} \right)\left( {{x^2} - 25} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 5\\x = 5\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow $ Phương trình (2) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 8x} \right| + m = 10\\\left| {{x^3} + 8x} \right| + m = - 5\\\left| {{x^3} + 8x} \right| + m = 5\end{array} \right.$

Để hàm số $g\left( x \right)$ có ít nhất 3 điểm cực trị $ \Leftrightarrow $ ít nhất 1 trong 3 đường thẳng $y = 10,\,\,y = 5,\,\,y = - 5$ phải cắt $\left| {{x^3} + 5x} \right| + m$ tại 2 điểm phân biệt (2 nghiệm bội lẻ khác 0).

$ \Leftrightarrow m < 10 \Rightarrow $ Có tất cả 9 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài liên quan