Đề thi minh hoạ vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2025Tải vềSau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây: Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm [40; 42). Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Tải về
Đề bài Câu 1: 1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây: Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm [40; 42). 2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3, …, 11, 12; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố M: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố M. Câu 2: Cho hai biểu thức: A=x−4√x và B=3√x−2+2√x+34−x với x>0,x≠4. 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=9. 2) Chứng minh B=√x+3x−4. 3) Xét biểu thức P=AB. Chứng minh P<P2. Câu 3: 1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản. 2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phầm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau). 3) Biết rằng phương trình bậc hai x2−3x+a=0 có một nghiệm là x=3−√52. Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên. Câu 4: 1) Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao 15cm, đường kính đáy là 5cm, lượng nước tinh khiết trong ly cao 10cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ dưới đây. a) Tính thể tích nước tinh khiết được chứa trong ly. b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly là không đáng kể) 2) Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC. a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn. b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh ∠MHO=∠MNA và ME⋅MH=BE⋅HC. c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng. Câu 5: Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật ABCD cùng loại, có chiều dài 10m và chiều rộng 6m; với M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC (hình 1) Mỗi lớp sử dụng tấm bạt nhựa trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân AMD và tam giác BMC, với độ dài cạnh đáy của tam giác cân này là x(m). (Tấm bạt chỉ sử dụng để dụng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm x để thể tích không gian trong lều là lớn nhất. ----- HẾT ----- Lời giải chi tiết HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM Câu 1 (TH): Cách giải: 1) - Quan sát biểu đồ tần số ghép nhóm, ta thấy tần số ghép nhóm của nhóm [40; 42) là 5. - Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40;42) là: f=540.100%=12,5% 2) Có 12 kết quả có thể của phép thử “Quay đĩa tròn một lần” là: 1, 2, 3, …, 11, 12. Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố M: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4” là: 4; 8; 12. Vậy xác suất của biến cố M là: 312=14. Câu 2 (VD): Cách giải: 1) Thay x=9 (TMĐK) vào biểu thức A, ta được: A=x−4√x=9−4√9=53 Vậy A=53 khi x=9 2) ĐKXĐ: x>0,x≠4 B=3√x−2+2√x+34−x B=3√x−2−2√x+3x−4 B=3(√x+2)(√x−2)(√x+2)−2√x+3(√x−2)(√x+2) B=3√x+6−2√x−3(√x−2)(√x+2) B=√x+3x−4 Vậy B=√x+3x−4 với x>0,x≠4 3) ĐKXĐ: x>0,x≠4 P=AB=x−4√x⋅√x+3x−4=√x+3√x Xét hiệu P−1=√x+3√x−1=√x+3−√x√x=3√x Ta có: P2−P=P(P−1) Vì x>0 nên √x>0 và √x+3>0 Khi đó √x+3√x>0 và 3√x>0 hay P>0 và P−1>0 Suy ra P(P−1)>0 hay P2−P>0 Vậy P<P2 với x>0,x≠4 Câu 3 (TH): Cách giải: 1) Gọi số tiền đầu tư cho mỗi khoản lần lượt là x,y(0<x,y<400). Tổng số tiền đầu tư là 400 triệu, nên ta có phương trình: x+y=400 (1) Số tiền lãi thu được sau 1 năm của hai khoản đầu tư là: 0,06x+0,08y=27 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: {x+y=4000,06x+0,08y=27 suy ra {x=250y=150(tm) Vậy số tiền đầu tư cho hai khoản lần lượt là 250 triệu đồng và 150 triệu đồng. 2) Gọi số sản phẩm cần làm trong một ngày theo kế hoạch là x(x<300;x∈N∗), số ngày hoàn thành theo kế hoạch là y(y>1). Theo kế hoạch, ta có xy=300. Thực tế mỗi ngày làm thêm 10 sản phẩm và hoàn thành công việc sớm 1 ngày nên ta có: (x+10)(y−1)=300 Ta có hệ phương trình: {xy=300$x+10)(y−1)=300 {xy=300−x+10y=10 Suy ra {x=50y=6(tm) Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 50 sản phẩm. 3) x2−3x+a=0 có nghiệm x=3−√52 nên ta thay x=3−√52 vào phương trình: (3−√52)2−3.(3−√52)+a=07−3√52−9−3√52+a=0a=1. Phương trình: x2−3x+1=0 Theo định lí Viète ta có: {x1+x2=3x1x2=1 Tổng bình phương 2 nghiệm x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=9−2=7. Câu 4 (VD): Cách giải: 1) a) Bán kính của ly nước là 5:2=2,5(cm) Thể tích nước tinh khiết chứa trong ly là: V=π.2,52.10=62,5π(cm3) Vậy thể tích nước tinh khiết được chứa trong ly là 62,5πcm3. b) Thể tích của 5 viên bi hình cầu là: V=π.2,52.(15−10)=31,25π(cm3) Thể tích của mỗi viên bi là: 31,25π:5=6,25π(cm3) Vậy thể tích của mỗi viên bi là 6,25πcm3. 2) a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn. Do AB⊥MN nên ΔMOB vuông tại O, cạnh huyền MB Suy ra M, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB Tương tự ΔMHB vuông tại H, cạnh huyền MB nên M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB Vậy O, M, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính MB (đpcm) b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh ∠MHO=∠MNA và ME⋅MH=BE⋅HC. Do O, M, B, H cùng thuộc đường tròn nên MOBH nội tiếp đường tròn Suy ra ∠MHO=∠MBO (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO) Mà ∠MNA=∠MBA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA của (O)) Suy ra ∠MHO=∠MNA (đpcm) Ta có ∠AMB=12sđAB=900 nên ∠BMC=900 Do ∠CMH+∠HMB=∠CMB=900 kết hợp với ∠HBM+∠HMB=1800−∠MHB=900 Nên ∠CMH=∠HBM Xét ΔMHC và ΔBHM có ∠CMH=∠HBM ∠CHM=∠BHM(=900) Suy ra ΔMHC∽ΔBHM(g.g) Suy ra HCHM=MHHB (1) Vì MO = OB nên tam giác MOB cân tại O suy ra ∠OMB=∠OBM (tính chất) Tứ giác MHBO nội tiếp đường tròn đường kính MB nên ta có: ∠MHO=∠MBO;∠OHB=∠OMB (các góc nội tiếp cùng chắn một cung) Khi đó ∠MHO=∠OHB Suy ra EH là phân giác của góc MHB Suy ra MEEB=MHHB (tính chất đường phân giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra HCHM=MEEB hay HC.EB=HM.ME (đpcm) c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng. Ta có ΔCHM vuông tại H nên C, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM Mà P thuộc đường tròn đường kính CM nên ∠MPC=900 hay MP⊥PC Tương tự P thuộc đường tròn (O), đường kính MN nên ∠MPN=900 hay MP⊥PN Suy ra C, P, N thẳng hàng (*) Xét ΔMHC và ΔBMC có ∠CHM=∠CMB=900 ∠BCM chung Nên ΔMHC∽ΔBMC(g.g) Suy ra HCMC=MHMB hay HCMH=MCMB Mà HCHM=MEEB suy ra MCMB=MEEB (3) Ta có ΔBMN có BO vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên ΔBMN cân tại B Suy ra BM=BN Thay vào (3) ta được MCBN=MEEB Xét ΔMEC và ΔBEN có MCBN=MEEB và ∠EMC=∠EBN(=900) Suy ra ΔMEC∽ΔBEN(c.g.c) Suy ra ∠MEC=∠BEN (hai góc tương tứng) Mà ∠MEC+∠CEB=1800 (hai góc kề bù) nên ∠BEN+∠CEB=1800 Chứng tỏ C, E, N thẳng hàng (**) Từ (*) và (**) suy ra C, P, E thẳng hàng (đpcm). Câu 5 (VD): Cách giải:
Thể tích không gian trong lều là: V=SAMD.AB=10SAMD. Để thể tích không gian trong lều là lớn nhất thì SAMD lớn nhất. Kẻ MH⊥AD(H∈AD) Ta có: AM=MD=62=3m. Do ΔAMD cân tại M có MH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của AD. Do đó AH=AD2=x2. Áp dụng định lý Phythagore cho tam giác MAH vuông tại H, ta có: MH2=AM2−AH2=32−(x2)2=36−x24 Suy ra: MH=√36−x22. Điều kiện 0<x<6 Ta có: SAMD=12AD.MH=14x√36−x2 Để SAMD lớn nhất thì (SAMD)2 lớn nhất. (SAMD)2=116x2(36−x2)≤116(x2+36−x22)2=814 (BĐT cô-si) Dấu bằng xảy ra khi x2=36−x2 hay x2=18 hay x=3√2 (Do x>0) Vậy với x=3√2 thì thể tích không gian trong lều đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
|