Đề thi minh hoạ vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2025

Tải về

Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây: Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm [40; 42).

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Đề bài

Câu 1: 

1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm [40; 42).

2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3, …, 11, 12; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố M: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố M.

Câu 2: Cho hai biểu thức: A=x4xB=3x2+2x+34x với x>0,x4.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=9.

2) Chứng minh B=x+3x4.

3) Xét biểu thức P=AB. Chứng minh P<P2.

Câu 3: 

1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.

2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phầm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

3) Biết rằng phương trình bậc hai x23x+a=0 có một nghiệm là x=352. Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.

Câu 4: 

1) Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao 15cm, đường kính đáy là 5cm,  lượng nước tinh khiết trong ly cao 10cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ dưới đây.

a) Tính thể tích nước tinh khiết được chứa trong ly.

b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly là không đáng kể)

2) Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC.

a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh MHO=MNAMEMH=BEHC.

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.

Câu 5: Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật ABCD cùng loại, có chiều dài 10m và chiều rộng 6m; với M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC (hình 1)

 

Mỗi lớp sử dụng tấm bạt nhựa trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân AMD và tam giác BMC, với độ dài cạnh đáy của tam giác cân này là x(m). (Tấm bạt chỉ sử dụng để dụng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm x để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

Câu 1 (TH):

Cách giải:

1) - Quan sát biểu đồ tần số ghép nhóm, ta thấy tần số ghép nhóm của nhóm [40; 42) là 5.

- Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40;42) là: f=540.100%=12,5%

2) Có 12 kết quả có thể của phép thử “Quay đĩa tròn một lần” là: 1, 2, 3, …, 11, 12.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố M: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4” là: 4; 8; 12.

Vậy xác suất của biến cố M là: 312=14.

Câu 2 (VD):

Cách giải:

1) Thay x=9 (TMĐK) vào biểu thức A, ta được:

A=x4x=949=53

Vậy A=53 khi x=9

2) ĐKXĐ: x>0,x4

B=3x2+2x+34x

B=3x22x+3x4

B=3(x+2)(x2)(x+2)2x+3(x2)(x+2)

B=3x+62x3(x2)(x+2)

B=x+3x4

Vậy B=x+3x4 với x>0,x4

3) ĐKXĐ: x>0,x4

P=AB=x4xx+3x4=x+3x

Xét hiệu P1=x+3x1=x+3xx=3x

Ta có: P2P=P(P1)

Vì x>0 nên x>0 và x+3>0

Khi đó x+3x>0 và 3x>0 hay P>0 và P1>0

Suy ra P(P1)>0 hay P2P>0

Vậy P<P2 với x>0,x4

Câu 3 (TH):

Cách giải:

1) Gọi số tiền đầu tư cho mỗi khoản lần lượt là x,y(0<x,y<400).

Tổng số tiền đầu tư là 400 triệu, nên ta có phương trình: x+y=400 (1)

Số tiền lãi thu được sau 1 năm của hai khoản đầu tư là: 0,06x+0,08y=27 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: {x+y=4000,06x+0,08y=27 suy ra {x=250y=150(tm)

Vậy số tiền đầu tư cho hai khoản lần lượt là 250 triệu đồng và 150 triệu đồng.

2) Gọi số sản phẩm cần làm trong một ngày theo kế hoạch là x(x<300;xN), số ngày hoàn thành theo kế hoạch là y(y>1).

Theo kế hoạch, ta có xy=300.

Thực tế mỗi ngày làm thêm 10 sản phẩm và hoàn thành công việc sớm 1 ngày nên ta có: (x+10)(y1)=300

Ta có hệ phương trình:

{xy=300$x+10)(y1)=300

{xy=300x+10y=10

Suy ra {x=50y=6(tm)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 50 sản phẩm.

3) x23x+a=0 có nghiệm x=352 nên ta thay x=352 vào phương trình:

(352)23.(352)+a=073529352+a=0a=1.

Phương trình: x23x+1=0

Theo định lí Viète ta có: {x1+x2=3x1x2=1

Tổng bình phương 2 nghiệm x21+x22=(x1+x2)22x1x2=92=7.

Câu 4 (VD):

Cách giải:

1)

a) Bán kính của ly nước là

5:2=2,5(cm)

Thể tích nước tinh khiết chứa trong ly là:

V=π.2,52.10=62,5π(cm3)

Vậy thể tích nước tinh khiết được chứa trong ly là 62,5πcm3.

b) Thể tích của 5 viên bi hình cầu là:

V=π.2,52.(1510)=31,25π(cm3)

Thể tích của mỗi viên bi là:

31,25π:5=6,25π(cm3)

Vậy thể tích của mỗi viên bi là 6,25πcm3.

2)

a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, B cùng thuộc một đường tròn.

Do ABMN nên ΔMOB vuông tại O, cạnh huyền MB

Suy ra M, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB

Tương tự ΔMHB vuông tại H, cạnh huyền MB nên M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính MB

Vậy O, M, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính MB (đpcm)

b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh MHO=MNAMEMH=BEHC.

Do O, M, B, H cùng thuộc đường tròn nên MOBH nội tiếp đường tròn

Suy ra MHO=MBO (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MO)

MNA=MBA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA của (O))

Suy ra MHO=MNA  (đpcm)

Ta có AMB=12sđAB=900 nên BMC=900

Do CMH+HMB=CMB=900 kết hợp với HBM+HMB=1800MHB=900

Nên CMH=HBM

Xét ΔMHCΔBHMCMH=HBM

                                           CHM=BHM(=900)

Suy ra ΔMHCΔBHM(g.g)

Suy ra HCHM=MHHB (1)

Vì MO = OB nên tam giác MOB cân tại O suy ra OMB=OBM (tính chất)

Tứ giác MHBO nội tiếp đường tròn đường kính MB nên ta có:

MHO=MBO;OHB=OMB (các góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Khi đó MHO=OHB

Suy ra EH là phân giác của góc MHB

Suy ra MEEB=MHHB (tính chất đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra HCHM=MEEB hay HC.EB=HM.ME  (đpcm)

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC. Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.

Ta có ΔCHM vuông tại H nên C, H, M cùng thuộc đường tròn đường kính CM

P thuộc đường tròn đường kính CM nên MPC=900 hay MPPC  

Tương tự P thuộc đường tròn (O), đường kính MN nên MPN=900 hay MPPN

Suy ra C, P, N thẳng hàng  (*)

Xét ΔMHCΔBMCCHM=CMB=900

                                          BCM chung

Nên ΔMHCΔBMC(g.g)

Suy ra HCMC=MHMB hay HCMH=MCMB

HCHM=MEEB suy ra MCMB=MEEB (3)

Ta có ΔBMN có BO vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên ΔBMN cân tại B

Suy ra BM=BN

Thay vào (3) ta được MCBN=MEEB

Xét ΔMECΔBENMCBN=MEEBEMC=EBN(=900)

Suy ra ΔMECΔBEN(c.g.c)

Suy ra MEC=BEN (hai góc tương tứng)

MEC+CEB=1800 (hai góc kề bù) nên BEN+CEB=1800

Chứng tỏ C, E, N thẳng hàng  (**)

Từ (*) và (**) suy ra C, P, E thẳng hàng (đpcm).

Câu 5 (VD):

Cách giải:

 

Thể tích không gian trong lều là: V=SAMD.AB=10SAMD.

Để thể tích không gian trong lều là lớn nhất thì SAMD lớn nhất.

Kẻ MHAD(HAD)

Ta có: AM=MD=62=3m.

Do ΔAMD cân tại M có MH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của AD. Do đó AH=AD2=x2.

Áp dụng định lý Phythagore cho tam giác MAH vuông tại H, ta có:

MH2=AM2AH2=32(x2)2=36x24

Suy ra: MH=36x22. Điều kiện 0<x<6

Ta có: SAMD=12AD.MH=14x36x2

Để SAMD lớn nhất thì (SAMD)2 lớn nhất.

(SAMD)2=116x2(36x2)116(x2+36x22)2=814 (BĐT cô-si)

Dấu bằng xảy ra khi x2=36x2 hay x2=18 hay x=32 (Do x>0)

Vậy với x=32 thì thể tích không gian trong lều đạt giá trị lớn nhất. 

Tải về

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close