Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11

Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 3

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ACD')$ và $(BA'C')$ bằng

A

khoảng cách từ điểm $D'$ đến đường thẳng $A'C'$.
B

khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $D'$.
C

khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $A'C'$.
D

khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác $ACD'$ và $BA'C'$

Câu 2 :

Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^4}$ tại điểm $x = - 1$ là:

A

$ - 32$.
B

$30$.
C

$ - 64$.
D

$12$.

Câu 3 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Câu 4 :

Cho phương trình $2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong $\left( { - 2;1} \right)$
B

Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 2;0} \right)$
D

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Câu 5 :

Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình vuông cạnh $a$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Khoảng cách từ $M$ đến $SA$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A

$\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$
B

$2a\sqrt 5 $
C

$a\sqrt 2 $
D

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Câu 6 :

Cho hàm số $f\left( x \right) =$ $ \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A

$\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$
B

$\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)$
C

$\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)$
D

$R$

Câu 7 :

Cho $a,b,c$ là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A

Nếu $a \bot b$ và $b \bot c$ thì $a//c.$
B

Nếu $a$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $b//\left( \alpha \right)$ thì $a \bot b.$
C

Nếu $a//b$ và $b \bot c$ thì $c \bot a.$
D

Nếu $a \bot b$,$b \bot c$ và $a$ cắt $c$ thì $b$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {a,c} \right).$

Câu 8 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,\,\,BC,\,\,CD$ đôi một vuông góc với nhau và $AB = a$, $BC = b,\,\,\,CD = c$. Độ dài đoạn thẳng $AD$ bằng

A

$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$
B

$\sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} .$
C

$\sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} .$
D

$\sqrt { - \,{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$

Câu 9 :

Giá trị của $A = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}}$ bằng:

A

$ + \infty $
B

$ - \infty $
C

$ - \dfrac{2}{3}$
D

$1$

Câu 10 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A

Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
B

Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
C

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
D

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Câu 11 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = b$. Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Độ dài $SG$ là:

A

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
B

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
C

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
D

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.

Câu 12 :

Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}BC$ đôi một vuông góc và $SA = AB = BC = 1.$ Khoảng cách giữa hai điểm $S$ và $C$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

A

$\sqrt 2 .$
B

$\sqrt 3 .$
C

$2$
D

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Câu 13 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính góc $\varphi $ giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.

A

$\varphi = {90^0}.$
B

$\varphi = {60^0}.$
C

$\varphi = {45^0}.$
D

$\varphi = {30^0}.$

Câu 14 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, mặt bên $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

$\left( I \right):AI \bot SC$

$\left( {II} \right):\,\,\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$

$\left( {III} \right):\,\,AI \bot BC$

$\left( {IV} \right):\,\,\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Câu 15 :

Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A

Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai
B

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C

Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau
D

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Câu 16 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat {SAC} = \widehat {SAB}$. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC.$

A

${30^0}.$
B

${45^0}.$
C

${60^0}.$
D

${90^0}.$

Câu 17 :

Cho đường cong $\left( C \right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {-1;1} \right)$ là

A

$y = -2x + 1$.
B

$y = 2x + 1$.
C

$y = -2x-1$.
D

$y = 2x-1$.

Câu 18 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

A

$\left( { - \infty ;3} \right)$
B

$\left( {2;3} \right)$
C

$\left( { - 3;2} \right)$
D

$\left( { - 3; + \infty } \right)$

Câu 19 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cạnh $BC = a,\,\,AC = 2a\sqrt 2 $, góc $\widehat {ACB} = {45^0}$. Cạnh bên $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC).$

A

$\dfrac{{2a}}{3}.$
B

$2a.$
C

$\dfrac{{8a}}{3}.$
D

$\dfrac{{3a}}{4}.$

Câu 20 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a\sqrt 2 .$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích $S.$ Tính $S$ theo $a.$

A

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}.$
B

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
C

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{3}.$
D

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$

Câu 21 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} + 16\cos x - \cos 2x$. Tính giá trị của $f''\left( \pi \right).$

A

$f''\left( \pi \right) = 24.$
B

$f''\left( \pi \right) = 4.$
C

$f''\left( \pi \right) = - 16.$
D

$f''\left( \pi \right) = - 8.$

Câu 22 :

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
B

Nếu $a$ và $b$ song song (hoặc $a$ trùng với $b$) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ .
C

Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$.
D

Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì $a$ song song với $b$.

Câu 23 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}$ bằng?

A

$\dfrac{1}{2}.$
B

$\dfrac{9}{8}.$
C

$1.$
D

$\dfrac{3}{4}.$

Câu 24 :

Cho hai đường thẳng $a,b$ và $mp\left( P \right)$. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A

Nếu $a{\rm{//}}\left( P \right)$ và $b \bot a$ thì $b{\rm{//}}\left( P \right)$.
B

Nếu $a{\rm{//}}\left( P \right)$ và $b \bot \left( P \right)$ thì $a \bot b$.
C

Nếu $a{\rm{//}}\left( P \right)$ và $b \bot a$ thì $b \bot \left( P \right)$.
D

Nếu $a \bot \left( P \right)$ và $b \bot a$ thì $b{\rm{//}}\left( P \right)$.

Câu 25 :

Hàm số $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $ có đạo hàm cấp hai bằng:

A

$y'' = - \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
B

$y'' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
C

$y'' = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
D

$y'' = - \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Câu 26 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

$BM \bot AC.$
B

$\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right).$
C

$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).$
D

$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right).$

Câu 27 :

Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
B

Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
C

Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
D

Cả 3 đáp án trên đều sai

Câu 28 :

Kết quả của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {\dfrac{{2x + 1}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} $ là:

A

$\dfrac{2}{3}.$
B

$\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.$
C

$ + \infty .$
D

$ - \infty $.

Câu 29 :

Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ liên tục tại $x = 0.$

A

$a = 5b$
B

$a = 10b$
C

$a = b$
D

$a = 2b.$

Câu 30 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1$. Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi

A

$0 < x < 2$
B

$x < 1$
C

$x < 0$ hoặc $x > 1$
D

$x < 0$ hoặc $x > 2$

Câu 31 :

Cho hàm số $y = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}$. Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ là:

A

$f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}$
B

$f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}$
C

$f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}$.
D

$f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 + \sqrt x }}$.

Câu 32 :

Nếu $f''\left( x \right) = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$, thì $f(x)$ bằng:

A

$\dfrac{1}{{\cos x}}$
B

$ - \dfrac{1}{{\cos x}}$
C

$\cot x$
D

$\tan x$

Câu 33 :

Số tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {1; - 6} \right)$ của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ là:

A

$3$
B

$2$
C

$0$
D

$1$

Câu 34 :

Cho đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng $d:\,\,y = x + m$. Khi đường thẳng cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại hai điểm này song song với nhau thì $m$ sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?

A

$\left( { - 4; - 2} \right)$
B

$\left( { - 2;0} \right)$
C

$\left( {0;2} \right)$
D

$\left( {2;4} \right)$

Câu 35 :

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {DH} $?

A

$45^\circ $
B

$90^\circ $
C

$120^\circ $
D

$60^\circ $

Câu 36 :

Trong không gian cho tam giác $ABC$. Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A

$M$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
B

$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
C

$M$ là trực tâm tam giác $ABC$.
D

$M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Câu 37 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a$ và $AD = x.a$. Gọi $E$ là trung điểm của $SC$. Tìm $x$, biết khoảng cách từ điểm $E$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $h = \dfrac{a}{3}$.

A

$1.$
B

$\sqrt 2 .$
C

$2.$
D

$4.$

Câu 38 :

Cho hình chóp $S.ABC$ thỏa mãn $SA{\rm{ }} = {\rm{ }}SB{\rm{ }} = {\rm{ }}SC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $mp\left( {ABC} \right)$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A

$\left( SBH \right)\cap ~\left( SCH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
B

$\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
C

$AB \bot SH$.
D

$\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$.

Câu 39 :

Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\tan \alpha = \dfrac{1}{2}$. Gọi $\beta $ là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :

A

$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
B

$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C

$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D

$\beta = {60^0}$.

Câu 40 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều có đường cao $SH$ vuông góc với $mp(ABCD)$. Gọi $\alpha $ là góc giữa $BD$ và $mp(SAD)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A

$\alpha = {60^0}$.
B

$\alpha = {30^0}$.
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.
D

$\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.

Câu 41 :

Giá trị của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right)$ là:

A

$\dfrac{7}{2}.$
B

$ - \dfrac{1}{2}.$
C

$ + \infty .$
D

$ - \infty .$

Câu 42 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = AC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
B

$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
C

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
D

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$

Câu 43 :

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 4,{\rm{ }}AD = 3.$ Mặt phẳng $(ACD')$ tạo với mặt đáy một góc ${60^ \circ }.$ Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

A

$\dfrac{{6\sqrt 3 }}{5}$.
B

$\dfrac{{12\sqrt 3 }}{5}$.
C

$\dfrac{{4\sqrt 3 }}{5}$.
D

$\dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

Câu 44 :

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C là :

A
$\frac{a\sqrt{2}}{2}$
B
$\frac{a\sqrt{2}}{4}$
C
$a$
D
$a\sqrt{2}$

Câu 45 :

Cho $a, b$ là các số thực khác $0$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số sau liên tục tại $x = 0$: $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$

A

$a + b = 0$
B

$2a + b = 0$
C

$3a + 4b = 0$
D

$3a + 2b = 0$

Câu 46 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm $A\left( {1;1} \right)$ đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị $\left( C \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $d$?

A

$3\sqrt 3 $
B

$2\sqrt 2 $
C

$\sqrt 6 $
D

$\sqrt 3 $

Câu 47 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC = 2a,{\rm{ }}BC = a$. Đỉnh $S$ cách

đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$. Tính khoảng cách $d$ từ trung điểm $M$ của $SC$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

A

$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.$
B

$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
C

$d = a\sqrt 5 .$
D

$d = a.$

Câu 48 :

Tìm tất cả các giá trị của $a$ để $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + ax} \right)$ là $ + \infty .$

A

$a > \sqrt 2 $
B

$a < \sqrt 2 $
C

$a > 2$
D

$a < 2$

Câu 49 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $AB = SH = a.$ Tính cosin của góc $\alpha $ tọa bởi hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

A

$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
B

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$

Câu 50 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${30^0}.$ Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD.$

A

${S_{ABCD}} = {a^2}.$
B

${S_{ABCD}} = \sqrt 2 \,{a^2}.$
C

${S_{ABCD}} = \sqrt 3 \,{a^2}.$
D

${S_{ABCD}} = 2\,{a^2}.$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ACD')$ và $(BA'C')$ bằng

A

khoảng cách từ điểm $D'$ đến đường thẳng $A'C'$.
B

khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $D'$.
C

khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $A'C'$.
D

khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác $ACD'$ và $BA'C'$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Gọi $G,G'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ACD'$ và $BA'C'$.

- Chứng minh khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD'} \right)$ và $\left( {BA'C'} \right)$ chính là $GG'$ bằng cách chứng minh $GG' \bot \left( {ACD'} \right),GG' \bot \left( {BA'C'} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $G,G'$ là trọng tâm các tam giác $ACD',BA'C'$.

Khi đó $DG \bot \left( {ACD'} \right),B'G' \bot \left( {BA'C'} \right)$ vì các hình chóp $D.ACD'$ và $B'.BA'C'$ là hình chóp đều.

Ta có: $AC \bot \left( {BDD'B'} \right) \Rightarrow AC \bot DB'$

Lại có $CD' \bot \left( {ADC'B'} \right) \Rightarrow CD' \bot DB'$.

Do đó $DB' \bot \left( {ACD'} \right)$.

Tương tự $DB' \bot \left( {BA'C'} \right)$ nên $\left( {ACD'} \right)//\left( {BA'C'} \right)$ và $G,G' \in DB'$.

Do đó $GG'$ vuông góc cả hai mặt phẳng $\left( {ACD'} \right),\left( {BA'C'} \right)$.

Vậy khoảng cách giữa hai mặt đó là $GG'$.

Câu 2 :

Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^4}$ tại điểm $x = - 1$ là:

A

$ - 32$.
B

$30$.
C

$ - 64$.
D

$12$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp $\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u'$

Lời giải chi tiết :

Ta có : $y' = 4{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime } = 8x{\left( {{x^2} + 1} \right)^3}$.

Khi đó $y'\left( { - 1} \right) = 8.\left( { - 1} \right){\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1} \right]^3} = - 64$

Câu 3 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

B sai. Qua một đường thẳng chưa chắc đã có mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (vì nếu hai đường thẳng đã cho không vuông góc với nhau thì không có mặt phẳng nào hết)

D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 4 :

Cho phương trình $2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong $\left( { - 2;1} \right)$
B

Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 2;0} \right)$
D

Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một số ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ sao cho x₀ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: D = R. Hàm số $f\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^2} + x + 1$ liên tục trên R.

Ta có: $f\left( { - 1} \right) = - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$

Ta có $f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$

$ \Rightarrow $ Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong $\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow $ Đáp án A sai.

Câu 5 :

A

$\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$
B

$2a\sqrt 5 $
C

$a\sqrt 2 $
D

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chứng minh khoảng cách cần tìm là $MA$ và tính khoảng cách đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot MA$ hay $A$ là hình chiếu của $M$ trên $SA$.

Khi đó $d\left( {M,SA} \right) = MA = \sqrt {A{D^2} + D{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Câu 6 :

A

$\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$
B

$\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)$
C

$\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)$
D

$R$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0,$ sử dụng giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$ .

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Lời giải chi tiết :

$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\dfrac{1}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\cos x}} = 1.\dfrac{1}{1} = 1\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right\} \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)$

$ \Rightarrow $ hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0,$ do đó loại các đáp án B, C, D.

Câu 7 :

Cho $a,b,c$ là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A

Nếu $a \bot b$ và $b \bot c$ thì $a//c.$
B

Nếu $a$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $b//\left( \alpha \right)$ thì $a \bot b.$
C

Nếu $a//b$ và $b \bot c$ thì $c \bot a.$
D

Nếu $a \bot b$,$b \bot c$ và $a$ cắt $c$ thì $b$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {a,c} \right).$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Nếu $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b \bot c\end{array} \right.$ thì $a,c$ có thể cắt nhau, trùng nhau, song song nên đáp án A sai.

Câu 8 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,\,\,BC,\,\,CD$ đôi một vuông góc với nhau và $AB = a$, $BC = b,\,\,\,CD = c$. Độ dài đoạn thẳng $AD$ bằng

A

$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$
B

$\sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} .$
C

$\sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} .$
D

$\sqrt { - \,{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nhận xét các tam giác $ABD,BCD$ và tính độ dài $AD$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,AB \bot \left( {BCD} \right)\,\, \Rightarrow $ tam giác $ABD$ vuông tại $B.$

Lại có $BC \bot CD$ nên tam giác $BCD$ vuông tại $C.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}\\B{D^2} = B{C^2} + C{D^2}\end{array} \right. \Rightarrow A{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \Rightarrow AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$

Câu 9 :

Giá trị của $A = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}}$ bằng:

A

$ + \infty $
B

$ - \infty $
C

$ - \dfrac{2}{3}$
D

$1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khi tìm $\lim \dfrac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

Sử dụng giới hạn: $\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k \in \mathbb{N}^*$

Lời giải chi tiết :

$\lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{1}{n}}}{{\dfrac{1}{n} - 3}} = \dfrac{2}{{ - 3}} = - \dfrac{2}{3}$

Câu 10 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A

Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
B

Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
C

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
D

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $b$ đến mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.

Câu 11 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = b$. Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Độ dài $SG$ là:

A

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.
B

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
C

$\dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$.
D

$\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 3{a^2}} }}{3}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất hình chóp đều: Hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy là trọng tâm của tam giác đáy.

- Từ đó tính được độ dài $SG$ dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Theo bài ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, ta có $SG \bot (ABC),G \in AH$.

Mà $AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Tam giác $SAG$ vuông tại $G$ nên theo định lý Pi-ta-go ta có :

$SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{3}} = \dfrac{{\sqrt {9{b^2} - 3{a^2}} }}{3}$

Câu 12 :

A

$\sqrt 2 .$
B

$\sqrt 3 .$
C

$2$
D

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Chứng minh $SA \bot \left( {ABC} \right)$ rồi suy ra $SA \bot AC$

- Sử dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông $SAC$

Lời giải chi tiết :

Do $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot BC\end{array} \right.$ nên $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC$

Như vậy $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt 3 $

Câu 13 :

A

$\varphi = {90^0}.$
B

$\varphi = {60^0}.$
C

$\varphi = {45^0}.$
D

$\varphi = {30^0}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Gọi M’ là trung điểm $OC \Rightarrow MM'\parallel SO \Rightarrow MM' \bot \left( {ABCD} \right).$

Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có ${S_{\Delta \,M'BD}} = \cos \varphi .{S_{\Delta \,MBD}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{{{S_{\Delta \,M'BD}}}}{{{S_{\Delta \,MBD}}}} = \dfrac{{BD.M'O}}{{BD.MO}} = \dfrac{{M'O}}{{MO}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}OC}}{{\dfrac{1}{2}SA}}\\ = \dfrac{{\sqrt {B{C^2} - O{B^2}} }}{{SA}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = {45^0}.\end{array}$

Câu 14 :

$\left( I \right):AI \bot SC$

$\left( {II} \right):\,\,\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$

$\left( {III} \right):\,\,AI \bot BC$

$\left( {IV} \right):\,\,\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Tam giác $SAC$ đều có $I$ là trung điểm của $SC$ nên $AI \bot SC$.

$ \Rightarrow $ Mệnh đề (I) đúng.

Gọi $H$ là trung điểm $AC$ suy ra $SH \bot AC$. Mà $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ theo giao tuyến $AC$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ do đó $SH \bot BC$. Hơn nữa theo giả thiết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $BC \bot AC$.

Từ đó suy ra $BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI.$ Do đó mệnh đề (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có : $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\end{array}$

Vậy mệnh đề (II) đúng.

Câu 15 :

Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?

A

Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai
B

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C

Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau
D

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Đáp án B sai vì vẫn có thể xảy ra các trường hợp hai đường thẳng đó chéo nhau, cắt nhau, trùng nhau hoặc thậm chí là vuông góc.

Do đó đáp án D cũng sai.

Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Câu 16 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat {SAC} = \widehat {SAB}$. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC.$

A

${30^0}.$
B

${45^0}.$
C

${60^0}.$
D

${90^0}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tính tích vô hướng $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} $ rồi suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

Xét $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} $

$ = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right) - \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\cos \widehat {SAB}$

$ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SA.SB.\cos \widehat {ASB}.$ $\left( 1 \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA{\rm{ chung}}\\AB = AC\\\widehat {SAB} = \widehat {SAC}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}SC = SB\\\widehat {ASC} = \widehat {ASB}\end{array} \right.$. $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0$. Vậy $SA \bot BC$.

Câu 17 :

Cho đường cong $\left( C \right):y = {x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {-1;1} \right)$ là

A

$y = -2x + 1$.
B

$y = 2x + 1$.
C

$y = -2x-1$.
D

$y = 2x-1$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_o};{y_0}} \right)$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$

Lời giải chi tiết :

$y = {x^2} \Rightarrow y' = 2x$.

$y'\left( { - 1} \right) = - 2$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: $y = - 2\left( {x + 1} \right) + 1$$ \Leftrightarrow y = - 2x - 1$.

Câu 18 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$. Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng nào sau đây?

A

$\left( { - \infty ;3} \right)$
B

$\left( {2;3} \right)$
C

$\left( { - 3;2} \right)$
D

$\left( { - 3; + \infty } \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - 3; - 2} \right\} = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right)$ nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right);\,\,\left( { - 3; - 2} \right);\,\,\left( { - 2; + \infty } \right)$ . Vì $\left( {2;3} \right) \subset \left( { - 2; + \infty } \right) \Rightarrow $ Hàm số liên tục trên $\left( {2;3} \right)$.

Câu 19 :

A

$\dfrac{{2a}}{3}.$
B

$2a.$
C

$\dfrac{{8a}}{3}.$
D

$\dfrac{{3a}}{4}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Từ A kẻ AH vuông góc với $BC,\,\,H \in BC$ (1)

Ta có $SB$ vuông góc với $\left( {ABC} \right)$$ \Rightarrow SB \bot AH\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1), (2) suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH.$

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có $\sin \widehat {HCA} = \dfrac{{AH}}{{AC}}$.

$ \Rightarrow AH = \sin \widehat {HAC}.AC = \sin {45^0}.AC = 2a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 2a.$

Câu 20 :

A

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{12}}.$
B

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
C

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{3}.$
D

$S = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết :

Ta có AD vuông góc với SA và AB$ \Rightarrow AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SB.$

Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB

Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.

Vậy mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chính là mặt phẳng (AHD)

Mặt khác AD // mp(SBC) mà $AD \subset mp\,\,\left( {AHD} \right)$

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.

Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà $AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right)$$ \Rightarrow \,AD \bot AH.$

Suy ra tứ giác ADKH là hình thang vuông.

Tam giác SAB vuông $ \Rightarrow \,\,AH = \dfrac{{SA.AB}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.$ Và $S{A^2} = SH.HB\,\, \Rightarrow \,\,SH = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$

Ta có $HK$//$BC$$ \Rightarrow \,\,\dfrac{{HK}}{{BC}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}\,\, \Rightarrow \,\,HK = \dfrac{{SH.BC}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}.$

Do đó ${S_{ADKH}} = \dfrac{{AH}}{2}.\left( {HK + AD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\left( {\dfrac{{2a}}{3} + a} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{{5a}}{3} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$

Câu 21 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} + 16\cos x - \cos 2x$. Tính giá trị của $f''\left( \pi \right).$

A

$f''\left( \pi \right) = 24.$
B

$f''\left( \pi \right) = 4.$
C

$f''\left( \pi \right) = - 16.$
D

$f''\left( \pi \right) = - 8.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính $f''\left( x \right)$ rồi thay $x = \pi $ tính $f''\left( \pi \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $f'\left( x \right) = 4x - 16\sin x + 2\sin 2x$ $ \Rightarrow f''\left( x \right) = 4 - 16\cos x + 4\cos 2x$

$ \Rightarrow f''\left( \pi \right) = 24$.

Câu 22 :

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
B

Nếu $a$ và $b$ song song (hoặc $a$ trùng với $b$) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ .
C

Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$.
D

Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì $a$ song song với $b$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng các định nghĩa, tính chất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để xét tính đúng, sai cho từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A sai vì nếu trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì định nghĩa đó không còn đúng.

Đáp án C sai vì $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có thể trùng nhau.

Đáp án D sai vì $a,b$ có thể trùng nhau.

Câu 23 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}$ bằng?

A

$\dfrac{1}{2}.$
B

$\dfrac{9}{8}.$
C

$1.$
D

$\dfrac{3}{4}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Nhân liên hợp để khử dạng $\dfrac{0}{0}$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x - \sqrt {x + 2} )(x + \sqrt {x + 2} )(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{(\sqrt {4x + 1} - 3)(\sqrt {4x + 1} + 3)(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{({x^2} - x - 2)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{(4x + 1 - 9)(x + \sqrt {x + 2} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x + 1)(x - 2)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{4(x - 2)(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{(x + 1)(\sqrt {4x + 1} + 3)}}{{4(x + \sqrt {x + 2} )}} \\= \dfrac{{(2 + 1)(\sqrt {4.2 + 1} + 3)}}{{4(2 + \sqrt {2 + 2} )}} = \dfrac{9}{8}\end{array}$

Câu 24 :

Cho hai đường thẳng $a,b$ và $mp\left( P \right)$. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A

Nếu $a{\rm{//}}\left( P \right)$ và $b \bot a$ thì $b{\rm{//}}\left( P \right)$.
B

Nếu $a{\rm{//}}\left( P \right)$ và $b \bot \left( P \right)$ thì $a \bot b$.
C

Nếu $a{\rm{//}}\left( P \right)$ và $b \bot a$ thì $b \bot \left( P \right)$.
D

Nếu $a \bot \left( P \right)$ và $b \bot a$ thì $b{\rm{//}}\left( P \right)$.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Câu A sai vì $b$ có thể nằm trong $\left( P \right)$ .

Câu B đúng bởi $a//\left( P \right) \Rightarrow \exists a' \subset \left( P \right)$ sao cho $a//a',b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a'$. Khi đó $a \bot b$.

Câu C sai vì $b$ có thể nằm trong $\left( P \right)$.

Câu D sai vì $b$ có thể nằm trong $\left( P \right)$.

Câu 25 :

Hàm số $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $ có đạo hàm cấp hai bằng:

A

$y'' = - \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
B

$y'' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
C

$y'' = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
D

$y'' = - \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, đạo hàm của 1 thương. Lưu ý các hàm số hợp.

Lời giải chi tiết :

$y' = \sqrt {{x^2} + 1} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}$ $ = \dfrac{{{x^2} + 1 + {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

$y'' = \dfrac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}$ $ = \dfrac{{\dfrac{{4x\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}$ $ = \dfrac{{4{x^3} + 4x - 2{x^3} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$ $ = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$

Câu 26 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

$BM \bot AC.$
B

$\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right).$
C

$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right).$
D

$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right).$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Tam giác $ABC$ cân tại $B$ có $M$ là trung điểm $AC\,\, \Rightarrow \,\,BM \bot AC.$

$ \Rightarrow $ Đáp án A đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\\BM \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)$

$ \Rightarrow $ Đáp án B đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BA\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$

$ \Rightarrow $ Đáp án C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Câu 27 :

Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
B

Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
C

Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
D

Cả 3 đáp án trên đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.

- Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + 1}}{2} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{{\dfrac{5}{4} + 1}}{2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}$

Chứng minh bằng quy nạp: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$:

* Với $n = 1$: ${u_2} = \dfrac{{{u_1} + 1}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$ : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${u_k} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$

Ta có : ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$

Từ (*) ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) $ $= \dfrac{1}{{{2^n}}} - \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm và $\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow $$({u_n})$ là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $

Câu 28 :

Kết quả của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {\dfrac{{2x + 1}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} $ là:

A

$\dfrac{2}{3}.$
B

$\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.$
C

$ + \infty .$
D

$ - \infty $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đưa thừa số $x$ vào trong dấu căn, chia cả tử và mẫu của biểu thức trong căn cho lũy thừa bậc cao nhất của $x$.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {\dfrac{{2x + 1}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{{3{x^3} + {x^2} + 2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{2 + \dfrac{1}{x}}}{{3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{x^3}}}}}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.$

Câu 29 :

A

$a = 5b$
B

$a = 10b$
C

$a = b$
D

$a = 2b.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ và $f\left( 0\right)$

Bước 2: Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1} + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}$

Bước 2:

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b$

Câu 30 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1$. Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi

A

$0 < x < 2$
B

$x < 1$
C

$x < 0$ hoặc $x > 1$
D

$x < 0$ hoặc $x > 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính $f'\left( x \right)$ sau đó giải bất phương trình $f'\left( x \right) < 0$

Lời giải chi tiết :

Có: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x$

$f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$

Câu 31 :

Cho hàm số $y = {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^2}$. Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ là:

A

$f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}$
B

$f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}$
C

$f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}$.
D

$f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 + \sqrt x }}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}u'$

Lời giải chi tiết :

Ta có : $y' = 2\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right){\left( {\dfrac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)^\prime }$

$\begin{array}{l}
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt x + 2}}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right)\left( { - 1 + \frac{2}{{1 + \sqrt x }}} \right)'\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2\left( {1 + \sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{{ - 2.\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - 2\left( {\frac{{1 - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right).\frac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\\
= - \frac{{ - 2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^3}}}
\end{array}$

Câu 32 :

Nếu $f''\left( x \right) = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$, thì $f(x)$ bằng:

A

$\dfrac{1}{{\cos x}}$
B

$ - \dfrac{1}{{\cos x}}$
C

$\cot x$
D

$\tan x$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thử từng đáp án

Lời giải chi tiết :

Đáp án A:

$\begin{array}{l}y = \dfrac{1}{{\cos x}}\\y' = \dfrac{{ - \left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\\y'' = \dfrac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\cos }^3}x + 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^3}x}}\end{array}$.

Đáp án B:

$\begin{array}{l}y = - \dfrac{1}{{\cos x}}\\y' = \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^2}x}} = - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\\y'' = - \dfrac{{\cos x.{{\cos }^2}x - \sin x.2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{ - {{\cos }^3}x - 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = - \dfrac{{{{\cos }^2}x + 2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}\end{array}$

Đáp án C:

$\begin{array}{l}y = \cot x\\y' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = \dfrac{{2\sin x\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{{{\sin }^4}x}} = \dfrac{{2\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}\end{array}$

Đáp án D:

$\begin{array}{l}y = \tan x\\y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\y'' = \dfrac{{ - 2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\end{array}$

Câu 33 :

Số tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {1; - 6} \right)$ của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ là:

A

$3$
B

$2$
C

$0$
D

$1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ${x_0}\,\,\left( d \right)$

Cho $A \in \left( d \right)$, tìm ${x_0}$, có bao nhiêu nghiệm ${x_0}$ thì có bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua $A.$

Lời giải chi tiết :

$y' = 3{x^2} - 3$

$ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)$ là: $y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)$

$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow - 6 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\\ \Leftrightarrow - 6 = 3x_0^2 - 3x_0^3 - 3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow - 2x_0^3 + 3x_0^2 + 4 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\end{array}$

Vậy số tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {1; - 6} \right)$ của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ là $1$.

Câu 34 :

A

$\left( { - 4; - 2} \right)$
B

$\left( { - 2;0} \right)$
C

$\left( {0;2} \right)$
D

$\left( {2;4} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

Sử dụng định lí Vi-et suy ra tổng các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau $ \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có : $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m\left( {x \ne 2} \right) $ $\Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + mx - 2x - 2m $ $\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\left( * \right)$

Đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng $d:\,\,y = x + m$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác $ 2$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\4 + 2m - 6 - 2m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 13 > 0\\ - 3 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \mathbb{R}$

Giả sử phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt ${x_A};{x_B}\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)$, theo định lí Vi-et ta có : ${x_A} + {x_B} = 3 - m$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau $ \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)$

Ta có : $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

$\begin{array}{l}y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_A} - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_B} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_A} - 2 = 2 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 4\\ \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\end{array}$

Câu 35 :

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {DH} $?

A

$45^\circ $
B

$90^\circ $
C

$120^\circ $
D

$60^\circ $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot c$

Lời giải chi tiết :

$\left. \begin{array}{l}AB \bot AE\\AE\,{\rm{//}}\,DH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot DH $ $\Rightarrow \widehat {\left( {AB,DH} \right)} = 90^\circ $

Câu 36 :

Trong không gian cho tam giác $ABC$. Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A

$M$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
B

$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
C

$M$ là trực tâm tam giác $ABC$.
D

$M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa biểu thức $P$ về biểu thức có chứa véc tơ và sử dụng tính chất các điểm đặc biệt để tìm GTNN của $P$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow G$ cố định và $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 .$

$P = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}$

$ = 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$

$ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow M \equiv G.$

Vậy ${P_{\min }} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$

Câu 37 :

A

$1.$
B

$\sqrt 2 .$
C

$2.$
D

$4.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Ta có $E \in SC$, $EC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ES}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}$

Từ A kẻ $ AK \bot BD\left( {K \in BD} \right)$, kẻ $AH \bot SK\,\,\left( {H \in SK} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AK\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BD \bot AH\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right).$

$ \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2.d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2a}}{3}.$

Mà $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Rightarrow AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$, có đường cao $AK$.

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{AD{}^2}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}{x^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$

Câu 38 :

A

$\left( SBH \right)\cap ~\left( SCH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
B

$\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$.
C

$AB \bot SH$.
D

$\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng và xác định giao tuyến của các mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Do SH$\bot$ (ABC) nên $SH\bot HA, SH\bot HB, SH\bot HC$.

Xét các tam giác vuông SHA, SHB, SHC có:

SA=SB=SC

SH chung

Do đó $\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH$

Suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm BC hay H là trung điểm của BC.

Do đó $\left( SBH \right) \equiv \left( SCH \right)$ nên A sai.

Lại có $\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$ và $\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$ nên B và D đều đúng.

Vì $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB$ nên C đúng.

Câu 39 :

A

$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
B

$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C

$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D

$\beta = {60^0}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SB$ và $\left( {ABCD} \right)$, tính $SO$.

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ và tính tỉ số lượng giác của góc đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng đáy.

Do đó $\alpha = \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO}$ và $\beta = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}$.

Hình thoi $ABCD$ có $AC = 2a,\widehat {ADC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ADC$ đều $ \Rightarrow AD = 2a$

Tam giác $AOD$ vuông tại $O$ nên $OD = \sqrt {A{D^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \Rightarrow OB = a\sqrt 3 $.

Lại có $\tan \alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{OB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\tan \beta = \tan \widehat {SCO} = \dfrac{{SO}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 40 :

A

$\alpha = {60^0}$.
B

$\alpha = {30^0}$.
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.
D

$\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Gọi $I$ là trung điểm của $BD$ và chứng minh $BI \bot \left( {SAD} \right)$.

- Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (không vuông) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính gia trị lượng giác của góc đó dựa vào tính chất tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là trung điểm ${\rm{AS}} \Rightarrow {\rm{BI}} \bot {\rm{SA}}$

Ta có: $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AD$

Mà $AD \bot AB$ nên $AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot BI$

Suy ra $BI \bot (SAD) \Rightarrow \alpha = \widehat {IDB}$

Ta có: $BI = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2},BD = AB\sqrt 2 \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{BI}}{{BD}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}$

Câu 41 :

Giá trị của giới hạn $\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right)$ là:

A

$\dfrac{7}{2}.$
B

$ - \dfrac{1}{2}.$
C

$ + \infty .$
D

$ - \infty .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Khi $x \to + \infty \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} \sim \sqrt {{x^2}} - \sqrt {{x^2}} = 0$

Do đó ta cần nhân lượng liên hợp.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} - \sqrt {{x^2} + 4x} } \right) $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} + 3x} + \sqrt {{x^2} + 4x} }} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {1 + \dfrac{3}{x}} + \sqrt {1 + \dfrac{4}{x}} }} = - \dfrac{1}{2}.$

Câu 42 :

A

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
B

$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
C

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
D

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm $BC.$ Tam giác $ABC $ vuông tại $A$ nên $H$ trung điểm của $BC.$

Theo giả thiết, ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$

Qua $B$ kẻ $Bx$//$AC$. Khi đó $\widehat {\left( {SB;AC} \right)} = \widehat {\left( {SB;Bx} \right)}$

Kẻ $HE \bot Bx$ tại $E$, cắt $AC$ tại $M$

Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{array}{l}BE = AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\\HE = HM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}Bx \bot HE\\Bx \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow Bx \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow Bx \bot SE$

Tam giác vuông $SEB$ vuông tại $E,$ có $\cot \widehat {SBE} = \dfrac{{BE}}{{SE}} = \dfrac{{AM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{6{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$

Câu 43 :

A

$\dfrac{{6\sqrt 3 }}{5}$.
B

$\dfrac{{12\sqrt 3 }}{5}$.
C

$\dfrac{{4\sqrt 3 }}{5}$.
D

$\dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD'} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ theo dấu hiệu: góc giữa hai mặt là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm.

- Khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp chữ nhật chính là độ dài cạnh bên của hình hộp.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là hình chiếu của $D$ lên $AC$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\AC \bot DO\\AC \bot D'O\left( {AC \bot \left( {ODD'} \right) \supset OD'} \right)\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {D'AC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {D'OD} = {60^0}$

$AC = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$ ; $DO = \dfrac{{AD.DC}}{{AC}} = \dfrac{{12}}{5}$

Khoảng cách giữa hai mặt đáy là $DD' = DO.\tan {60^0} = \dfrac{{12\sqrt 3 }}{5}$

Câu 44 :

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C là :

A
$\frac{a\sqrt{2}}{2}$
B
$\frac{a\sqrt{2}}{4}$
C
$a$
D
$a\sqrt{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dụng đường vuông góc chung và tính toán, sử dụng kiến thức hình học đã biết.

Lời giải chi tiết :

Ta có : $\left\{ \begin{align} & AM\bot BC \\ & AM\bot BB' \\ \end{align} \right.\Rightarrow AM\bot \left( BCC'B' \right)$

Trong $\left( BCC'B' \right)$ kẻ $MH//BC'\,\,\left( H\in B'C \right)\Rightarrow MH\bot B'C$

$MH\subset \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AM\bot MH$

$\Rightarrow MH$ là đoạn vuông góc chung giữa AM và B’C $\Rightarrow d\left( AM;B'C \right)=MH$

Dễ thấy $MH = \frac{1}{2}BK = \frac{1}{4}B'C = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$ với $K$ là trung điểm của $B'C$.

$\Rightarrow d\left( AM;B'C \right)=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Câu 45 :

A

$a + b = 0$
B

$2a + b = 0$
C

$3a + 4b = 0$
D

$3a + 2b = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$.

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right)}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}.\dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}} + \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{abx}}{{\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}} + \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{b}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}} \right]\\ = 0 + \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3}\end{array}$

Để hàm số liên tục tại $x = 0 $ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = a + b \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{{2b}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3a + 4b = 0$

Câu 46 :

A

$3\sqrt 3 $
B

$2\sqrt 2 $
C

$\sqrt 6 $
D

$\sqrt 3 $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Viết phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.

Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $d$.

Tìm GTLN của khoảng cách $d$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là:

$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} = 0\left( \Delta \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }} \\= \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\left| {6{x_0} - 6} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} \\= \dfrac{{6\left| {{x_0} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} \\= 6\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \end{array}$

Đặt $t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {\dfrac{t}{{{t^2} + 9}}} $

Mà

$\begin{array}{l}
{t^2} + 9 \ge 2\sqrt {{t^2}.9} = 6t \Rightarrow \frac{t}{{{t^2} + 9}} \le \frac{t}{{6t}} = \frac{1}{6}\\
\Rightarrow 6.\sqrt {\frac{t}{{{t^2} + 9}}} \le 6.\sqrt {\frac{1}{6}} = \sqrt 6 \\
\Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt 6
\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi t=3

$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} - 1 = \sqrt 3 \\
{x_0} - 1 = - \sqrt 3
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = \sqrt 3 + 1\\
{x_0} = - \sqrt 3 + 1
\end{array} \right.$

Câu 47 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC = 2a,{\rm{ }}BC = a$. Đỉnh $S$ cách

đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$. Tính khoảng cách $d$ từ trung điểm $M$ của $SC$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

A

$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.$
B

$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
C

$d = a\sqrt 5 .$
D

$d = a.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là trung điểm $AC$, suy ra $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. (Do tam giác $ABC$ vuông tại $B$).

Do đỉnh $S$ cách đều các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Ta có

$\begin{array}{l}MC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{MS}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)\end{array}$.

Kẻ $CE \bot BD$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CE \bot BD\\CE \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = CE = \dfrac{{CB.CD}}{{\sqrt {C{B^2} + C{D^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Vậy $d\left( {M;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}CE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

Câu 48 :

Tìm tất cả các giá trị của $a$ để $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + ax} \right)$ là $ + \infty .$

A

$a > \sqrt 2 $
B

$a < \sqrt 2 $
C

$a > 2$
D

$a < 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính giới hạn hàm số theo $a$ và suy ra điều kiện.

Lời giải chi tiết :

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty $ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + ax} \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\left( { - \sqrt {2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + a} \right) = + \infty $

$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + a} \right) = a - \sqrt 2 < 0 \Leftrightarrow a < \sqrt 2 .$

Câu 49 :

A

$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
B

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot CH$ (1)

Tam giác ABC cân tại C nên $CH \bot AB$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $CH \bot \left( {SAB} \right)$

Gọi I là trung điểm $AC$ $\Rightarrow \,\,HI//BC\xrightarrow{BC\,\bot \,\,AC}HI\bot AC$ (3)

Mặt khác $AC \bot SH$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right)$) (4)

Từ (3) và (4), suy ra $AC \bot \left( {SHI} \right)$

Kẻ $HK \bot SI{\rm{ }}\,\left( {K \in SI} \right)$ (5)

Từ $AC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AC \bot HK$ (6)

Từ (5) và (6), suy ra $HK \bot \left( {SAC} \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot \left( {SAC} \right)\\HC \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right.$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $HK$ và $HC$

Ta có $HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot CK \Rightarrow \Delta CHK$ vuông tại $K.$

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ là $\widehat {CHK}$

Có $CH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$; $\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{a}{3}$

Do đó $\cos \widehat {CHK} = \dfrac{{HK}}{{CH}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{2}{3}.$

Câu 50 :

A

${S_{ABCD}} = {a^2}.$
B

${S_{ABCD}} = \sqrt 2 \,{a^2}.$
C

${S_{ABCD}} = \sqrt 3 \,{a^2}.$
D

${S_{ABCD}} = 2\,{a^2}.$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ đều $ \Rightarrow \,\,SH \bot AB.$

Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$$ \Rightarrow $$SH \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra $\widehat {(SD;\left( {ABCD} \right))} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH} = {30^0}$

Tam giác $SHD$ vuông tại $H,$ có $\tan \widehat {SDH} = \dfrac{{SH}}{{HD}} \Rightarrow HD = \dfrac{{3a}}{2}.$

Tam giác $AHD$ vuông tại $A,$ có $AD = \sqrt {H{D^2} - A{H^2}} = a\sqrt 2 .$

Vậy diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \sqrt 2 \,{a^2}.$

Bài liên quan