Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12

Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 3

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Hình chiếu của điểm $M\left( {2;2; - 1} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là:

A

$N\left( {0;2; - 1} \right)$
B

$N\left( {2;0;0} \right)$
C

$N\left( {0;2;0} \right)$
D

$N\left( {0;2;1} \right)$

Câu 2 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm

A

$N(1;2;0)$.
B

$M(0;0;3)$.
C

$P(1;0;0)$.
D
$Q(0;2;0)$.

Câu 3 :

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 1;0;2} \right),D\left( { - 2;1;1} \right),A'\left( {0;0;0} \right)$. Thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là:

A

$4$
B

$2$
C

$1$
D

$\dfrac{1}{6}$

Câu 4 :

Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:

A

$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
B

$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
C

$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
D

$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$

Câu 5 :

Điều kiện để hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ cùng phương là:

A

$\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0$
B

$\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow 0 $
C

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 $
D

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0$

Câu 6 :

Diện tích tam giác $ABC$ không được tính theo công thức nào sau đây:

A

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
B

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right]} \right|$
C

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right]} \right|$
D

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|$

Câu 7 :

Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?

A

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}$
B

$y = {2^x}$
C

$y = 3{x^3}$
D

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - x}}$

Câu 8 :

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành

A

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
B

$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
C

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
D

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 9 :

Cho véc tơ $\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)$ và một số thực $k \ne 0$. Tọa độ véc tơ $\dfrac{1}{k}.\overrightarrow u $ là:

A

$\left( {kx;ky;kz} \right)$
B

$\left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)$
C

$\left( {\dfrac{k}{x};\dfrac{k}{y};\dfrac{k}{z}} \right)$
D

$\left( {k - x;k - y;k - z} \right)$

Câu 10 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
B

$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
C

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
D

$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$

Câu 11 :

Cho hàm số $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

Hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định
B

Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục $Oy$
C

Hàm số đã cho có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$
D

Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoành.

Câu 12 :

Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức:

A

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} $
B

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} + {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} + {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} + {z_A}} \right)}^2}} $
C

$AB = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} + {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)^2}$
D

$AB = {\sqrt {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)} ^2}$

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)$; $\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai

A
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)$
B
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
C
$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 $
D
$\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương

Câu 14 :

Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với điểm $A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right)$ và $C\left( {4;2;2} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$. Độ dài đường trung bình $MN$ bằng:

A

$\dfrac{{21}}{4}$
B

$\dfrac{9}{2}$
C

$\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}$
D

$\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$

Câu 15 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x.$

A

$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\dfrac{\cos 2x}{2}+C.$
B
$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\,\cos 2x+C.$
C

$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=\dfrac{\cos 2x}{2}+C.$
D
$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=2\cos 2x+C.$

Câu 16 :

Cho ba điểm$M\left( 0;2;0 \right);N\left( 0;0;1 \right);A\left( 3;2;1 \right)$ . Lập phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$, biết điểm $P$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên trục Ox.

A
$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ .
B
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=0$ .
C
$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$ .
D
$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$ .

Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0$. Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:

A

$I (-1; 2; -3)$ và $R = \sqrt 5 $
B

$I (1; -2; 3)$ và $R = \sqrt 5 $
C

$I (1; -2; 3)$ và $R = 5$
D

$I (-1; 2; -3)$ và $R = 5$

Câu 18 :

Cho mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16$ và điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn $AM$ là lớn nhất.

A

$M(3;6;9)$
B

$M(1;2; - 9)$
C

$M(1;2;9)$
D

$M( - 1; - 2;1)$

Câu 19 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $M\left( {2; - 1;1} \right)$ và vectơ $\overrightarrow n = \left( {1;3;4} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n $

A

$2{\rm{x}} - y + z + 3 = 0$
B
$2{\rm{x}} - y + z - 3 = 0$
C
$x + 3y + 4{\rm{z}} + 3 = 0$
D
$x + 3y + 4{\rm{z}} - 3 = 0$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình mặt cầu.

A
$m\le 6$.
B
$m<6$.
C
$m>6$.
D
$m\ge 6$.

Câu 21 :

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ quay quanh $Oy\,\,?$

A

$V = 36\pi .$
B

$V = 24\pi .$
C

$V = 16\pi .$
D

$V = 64\pi .$

Câu 22 :

Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hành $ABCD$?

A

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$
B

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
C

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$
D

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$

Câu 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ

$\overrightarrow u = \left( {m; - 2;m + 1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;m - 2;1} \right)$.

Tất cả giá trị của $m$ có thể có để hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương là:

A

$m = - 1.$
B

$m = 0.$
C

$m = 1.$
D

$m = 2.$

Câu 24 :

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x$ là:

A

$\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C$
B

$\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{2}}+C$
C

$\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C$
D

${{x}^{2}}+C$

Câu 25 :

Diện tích tam giác $OBC$ biết $B\left( {1;0;2} \right),C\left( { - 2;0;0} \right)$ là:

A

$\sqrt 5 $
B

$4$
C

$2\sqrt 5 $
D

$2$

Câu 26 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right)$
B

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = - 7$
C

$\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right) = - 7$
D

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) < - 3$

Câu 27 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz - 27 = 0$ qua hai điểm $A\left( {3,2,1} \right),B\left( { - 3,5,2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$.

A

$S = - 2$
B

$S = 2$
C

$S = - 4$
D

$S = - 12$

Câu 28 :

Cho $f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} $. Nếu đặt $\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t$ thì:

A

$f\left( x \right)dx = - tdt$
B

$f\left( x \right)dx = 2tdt$
C

$f\left( x \right)dx = - 2{t^2}dt$
D

$f\left( x \right)dx = 2{t^2}dt$

Câu 29 :

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ là đường thẳng:

A

$x = 1$
B

$y = 0$
C

$y = 1$
D

$x = 0$

Câu 30 :

Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

A

$m < - \dfrac{1}{3}$
B

$m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
C

$m \leqslant - \dfrac{4}{3}$
D

$m \leqslant 0$

Câu 31 :

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$

A

$m = 1$
B

$m = \dfrac{1}{2}$
C

$m = 1;m = \dfrac{1}{2}$
D

$m = 3$

Câu 32 :

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$

A

$M = - 10$
B

$M = - 7$
C

$M = - 5$
D

$M = 1$

Câu 33 :

Hàm số $y = {2^{\ln x + {x^2}}}$ có đạo hàm là

A

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}$
B

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$
C

$\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$
D

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$

Câu 34 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$.

A

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$.
B

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$.
C

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\sqrt {4 - {x^2}} + C$.
D

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{2}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$.

Câu 35 :

Nếu $\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx} = K - 2e$ thì giá trị của $K$ là

A

$12,5$.
B

$9$.
C

$11$.
D

$10$.

Câu 36 :

Biết rằng $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a} $ với $a \in R$. Khi đó giá trị của $a$ bằng:

A

$a = 2$
B

$a = \dfrac{1}{2}$
C

$a = \sqrt 2 $
D

$a = 4$

Câu 37 :

Biết $\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức $T=a+b+c$ là

A
$T=10$.
B
$T=9$.
C
$T=8$.
D
$T=11$.

Câu 38 :

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1,x = 2$ (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$S = b - a.$
B

$S = b + a.$
C

$S = - b + a.$
D

$S = - b - a.$

Câu 39 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2; - 1)$ , $B(2;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :$M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị bé nhất.

A

$M(0;1;0)$
B

$M(0;2;1)$
C

$M(0;1;2)$
D

$M(0; - 1;1)$

Câu 40 :

Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:

A

$ - 10$
B

$0$
C

$7$
D

$ - 7$

Câu 41 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho sáu điểm $A\left( {1;2;3} \right)$, $B\left( {2; - 1;1} \right)$, $C\left( {3;3; - 3} \right)$, $A',\,\,B',\,\,C'$ thỏa mãn $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 $. Nếu $G'$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$ thì $G'$ có tọa độ là:

A

$\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)$
B

$\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
C

$\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
D

$\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$

Câu 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {2; - 1;3} \right)$, $B\left( {4;0;1} \right)$, $C\left( { - 10;5;3} \right)$. Độ dài đường phân giác trong góc $\widehat B$ của tam giác $ABC$ bằng:

A

$2\sqrt 3 $
B

$2\sqrt 5 $
C

$\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
D

$\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$

Câu 43 :

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 5$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song?

A

Không tồn tại cặp điểm nào
B

$1$
C

$2$
D

Vô số cặp điểm

Câu 44 :

Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x+y-3z+1=0;\,\,\left( Q \right):\,\,2x+3y+z-1=0$; $\left( R \right):\,\,x+2y+4z-2=0$. Xét mặt phẳng (T) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), có $\overrightarrow {{n_{\left( T \right)}}} = \left( {1;a;b} \right)$ và tạo với mặt phẳng (R) một góc $\alpha $. Biết $\cos \alpha =\dfrac{23}{\sqrt{679}}$ có phương trình:

A

$\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0$
B

$\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0$
C

$\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0$
D
$\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0$

Câu 45 :

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M\left( {2;1;5} \right)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC.$ Tính khoảng cách từ điểm $I\left( {1;2;3} \right)$ đến mặt phẳng $(P)$.

A
$\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}$
B
$\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}$
C
$\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}$
D
$\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}$

Câu 46 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,4, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0, - 2,1} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.$. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Đường kính mặt cầu $\left( S \right)$ là

A

$2\sqrt {19} .$
B

$2\sqrt {17} .$
C

$\sqrt {19} .$
D

$\sqrt {17} .$

Câu 47 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0$.

A

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0$
B

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0$
C

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0$
D

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0$

Câu 48 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?

A

$0$
B

$1$
C

$3$
D

$2$

Câu 49 :

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40$cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A
$\frac{800}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
B
$\frac{400}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
C
$\text{250c}{{\text{m}}^{2}}.$
D
$800\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$

Câu 50 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$

A

$3.$
B

$1.$
C

$4.$
D

$8.$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hình chiếu của điểm $M\left( {2;2; - 1} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là:

A

$N\left( {0;2; - 1} \right)$
B

$N\left( {2;0;0} \right)$
C

$N\left( {0;2;0} \right)$
D

$N\left( {0;2;1} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hình chiếu của $M\left( {x;y;z} \right)$ có hình chiếu trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có tọa độ $\left( {0;y;z} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Hình chiếu của điểm $M\left( {2;2; - 1} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là $N\left( {0;2; - 1} \right)$.

Câu 2 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm

A

$N(1;2;0)$.
B

$M(0;0;3)$.
C

$P(1;0;0)$.
D
$Q(0;2;0)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hình chiếu vuông góc của điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ trên mặt phẳng (Oxy) là điểm $M'({{x}_{0}};{{y}_{0}};0)$

Lời giải chi tiết :

Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm $N(1;2;0)$.

Câu 3 :

A

$4$
B

$2$
C

$1$
D

$\dfrac{1}{6}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;1;0} \right)$

Suy ra

$\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}1\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 3; - 4; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} = \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).0 = - 1\end{array}$

Khi đó: ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| { - 1} \right| = 1$

Câu 4 :

Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:

A

$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
B

$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
C

$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
D

$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $M = - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.

Câu 5 :

Điều kiện để hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ cùng phương là:

A

$\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0$
B

$\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow 0 $
C

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 $
D

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} $ cùng phương $\overrightarrow {{u_2}} $.

Câu 6 :

Diện tích tam giác $ABC$ không được tính theo công thức nào sau đây:

A

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
B

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right]} \right|$
C

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right]} \right|$
D

$\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác $ABC$: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$.

Lời giải chi tiết :

Dễ thấy các công thức ở mỗi đáp án A, B, C đều có thể dùng được để tính diện tích tam giác $ABC$, chỉ có công thức ở đáp án D sai nên chọn D.

Câu 7 :

Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?

A

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}$
B

$y = {2^x}$
C

$y = 3{x^3}$
D

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - x}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Lời giải chi tiết :

Dáng đồ thị là của hàm số $y = {a^x}$ với $a > 1$ nên loại A và C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;3} \right)$ nên chỉ có D thỏa mãn.

Câu 8 :

A

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
B

$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
C

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
D

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 9 :

Cho véc tơ $\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)$ và một số thực $k \ne 0$. Tọa độ véc tơ $\dfrac{1}{k}.\overrightarrow u $ là:

A

$\left( {kx;ky;kz} \right)$
B

$\left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)$
C

$\left( {\dfrac{k}{x};\dfrac{k}{y};\dfrac{k}{z}} \right)$
D

$\left( {k - x;k - y;k - z} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tích vô hướng của một số với một véc tơ: $k\overrightarrow u = \left( {kx;ky;kz} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{1}{k}\overrightarrow u = \left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)$.

Câu 10 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
B

$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
C

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
D

$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân ở các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

$\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)d(2x)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \\\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)d(x + 1)} = \int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 2} \\\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \end{array}$

Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.

Câu 11 :

Cho hàm số $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

Hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định
B

Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục $Oy$
C

Hàm số đã cho có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$
D

Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoành.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hàm số logarit như:

- Hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

- Khi $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên TXĐ.

- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục $Oy$.

Lời giải chi tiết :

- Hàm số $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x$ có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

- Vì $0 < \dfrac{\pi }{4} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên TXĐ

- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục $Oy$

- Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục hoành (vì $x > 0$)

Câu 12 :

Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức:

A

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} $
B

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} + {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} + {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} + {z_A}} \right)}^2}} $
C

$AB = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} + {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)^2}$
D

$AB = {\sqrt {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)} ^2}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} $

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)$; $\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai

A
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)$
B
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
C
$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 $
D
$\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét tính đúng, sai cho từng đáp án, dựa vào các công thức cộng véc tơ, độ dài véc tơ, các tính chất hai véc tơ cùng phương, hai véc tơ vuông góc.

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)$ nên A đúng.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0$ nên $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ hay B đúng.

$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 $ nên C đúng.

Vì $\dfrac{2}{1} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 4}}{1}$ nên $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ không cùng phương hay D sai.

Câu 14 :

A

$\dfrac{{21}}{4}$
B

$\dfrac{9}{2}$
C

$\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}$
D

$\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính độ dài đoạn thẳng $BC$ , sử dụng công thức đoạn thẳng $BC = \sqrt {{{\left( {{x_C} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_C} - {y_B}} \right)}^2} + {{\left( {{z_C} - {z_B}} \right)}^2}} $

- Tính độ dài đoạn thẳng $MN$, sử dụng tính chất đường trung bình $MN = \dfrac{1}{2}BC$

Lời giải chi tiết :

Có $\overrightarrow {BC} = (4; - 1;1)$. Suy ra $BC = 3\sqrt 2 $.

Theo tính chất đường trung bình có $MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Câu 15 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sin 2x.$

A

$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\dfrac{\cos 2x}{2}+C.$
B
$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\,\cos 2x+C.$
C

$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=\dfrac{\cos 2x}{2}+C.$
D
$\int{\sin 2x\,\text{d}x}=2\cos 2x+C.$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int{\sin 2x\,\text{d}x}$ $=-\dfrac{\cos 2x}{2}+C.$

Câu 16 :

A
$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ .
B
$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=0$ .
C
$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$ .
D
$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xác định hình chiếu của P lên trục Ox và áp dụng phương trình đoạn chắn để tìm mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Vì $P$ là hình chiếu của $A$ trên $Ox$ $ \Rightarrow \,\,P\left( {3;0;0} \right).$

Suy ra phương trình mặt phẳng là $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1.$

Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0$. Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:

A

$I (-1; 2; -3)$ và $R = \sqrt 5 $
B

$I (1; -2; 3)$ và $R = \sqrt 5 $
C

$I (1; -2; 3)$ và $R = 5$
D

$I (-1; 2; -3)$ và $R = 5$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( { - a; - b; - c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu đã cho có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - 9} = \sqrt 5 $.

Câu 18 :

A

$M(3;6;9)$
B

$M(1;2; - 9)$
C

$M(1;2;9)$
D

$M( - 1; - 2;1)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Quan sát điểm A có vị trí tương đối như thế nào với mặt cầu rồi tìm ra phương pháp thích hợp.
Trường hợp này nhận thấy điểm A thuộc mặt cầu

Nên AM lớn nhất khi AM là đường kính của khối cầu

Lời giải chi tiết :

Tâm $I\left( {1;2; - 5} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AI} = (0;0; - 4) = \overrightarrow {IM} = (a - 1;b - 2;b + 5) \Rightarrow M(1;2; - 9)$

Câu 19 :

A

$2{\rm{x}} - y + z + 3 = 0$
B
$2{\rm{x}} - y + z - 3 = 0$
C
$x + 3y + 4{\rm{z}} + 3 = 0$
D
$x + 3y + 4{\rm{z}} - 3 = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$ là $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n $ là

$1\left( {{\rm{x}} - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z - 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x + 3y + 4{\rm{z}} - 3 = 0$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình mặt cầu.

A
$m\le 6$.
B
$m<6$.
C
$m>6$.
D
$m\ge 6$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Điều kiện để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$là phương trình mặt cầu là ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0$.

Lời giải chi tiết :

Để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình mặt cầu thì ${{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow m<6$

Câu 21 :

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ quay quanh $Oy\,\,?$

A

$V = 36\pi .$
B

$V = 24\pi .$
C

$V = 16\pi .$
D

$V = 64\pi .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Rút hàm số đã cho theo biến y : $x = f\left( y \right)$, Vẽ hình và xác định các đường giới hạn.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số $x = f\left( y \right),x = g\left( y \right),y = a,y = b$ là $V = \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right|dy} $.

Lời giải chi tiết :

$\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 16\left( {1 - \dfrac{{{y^2}}}{9}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} $

Phương trình tung độ giao điểm của đồ thị $\left( E \right)$ với $Oy$ là $\dfrac{0}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - \,3\\y = 3\end{array} \right..$

Ta xét thể tích vật tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} $, đường thẳng $x = 0, y = 3, y = 0$ quanh trục $Ox$ là: $V = \left| {\dfrac{{16}}{9}\pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - {y^2}} \right)dy} } \right| = \left| {\dfrac{{16}}{9}\left. {\pi \left( {9y - \dfrac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3} \right| = 32\pi $.

Khi đó thể tích cần tìm là $2V = 64\pi $.

Câu 22 :

Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hành $ABCD$?

A

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$
B

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$
C

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$
D

${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình bình hành ${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|$

Hai công thức sau có được từ việc suy luận diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng hai lần diện tích tam giác $ABC$ hoặc tam giác $DCB$.

Chỉ có đáp án D là công thức sai.

Câu 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ

$\overrightarrow u = \left( {m; - 2;m + 1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;m - 2;1} \right)$.

Tất cả giá trị của $m$ có thể có để hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương là:

A

$m = - 1.$
B

$m = 0.$
C

$m = 1.$
D

$m = 2.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Điều kiện để hai véc tơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ cùng phương là tồn tại số thực $k$ sao cho $\overrightarrow u = k\overrightarrow v $.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương $ \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}:{\rm{ }}\overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\ - 2 = k\left( {m - 2} \right)\\m + 1 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\k = 1\end{array} \right..$

Câu 24 :

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x$ là:

A

$\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C$
B

$\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{2}}+C$
C

$\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C$
D

${{x}^{2}}+C$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản: $\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}dx}=\dfrac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C$

Lời giải chi tiết :

$\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{x}^{3}}+2x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{2}}+C$

Câu 25 :

Diện tích tam giác $OBC$ biết $B\left( {1;0;2} \right),C\left( { - 2;0;0} \right)$ là:

A

$\sqrt 5 $
B

$4$
C

$2\sqrt 5 $
D

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {OB} = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {OC} = \left( { - 2;0;0} \right)$

$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)$

Do đó ${S_{OBC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {0 + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 2$

Câu 26 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right)$
B

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = - 7$
C

$\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right) = - 7$
D

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) < - 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và tìm GTLN, GTNN của hàm số trên các đoạn ở từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3$ nên A sai.

+) $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 7$ nên B đúng.

+) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty $ nên không tồn tại $\mathop {\min}\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right)$ nên C sai.

+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3$ nên D sai.

Câu 27 :

A

$S = - 2$
B

$S = 2$
C

$S = - 4$
D

$S = - 12$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Thay các tọa độ $A,B$ vào phương trình của $\left( P \right)$.

- $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = 0$

- Giải hệ trên ta được $a,b,c$.

Lời giải chi tiết :

$A,B$ thuộc $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\end{array}} \right.$

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ nên ta có điều kiện $3a + b + c = 0$.

Giải hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\\{3a + b + c = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}&{}\\{b = 27}&{}\\{c = - 45}&{}\end{array}} \right.$

Suy ra $S = - 12$.

Câu 28 :

Cho $f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} $. Nếu đặt $\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t$ thì:

A

$f\left( x \right)dx = - tdt$
B

$f\left( x \right)dx = 2tdt$
C

$f\left( x \right)dx = - 2{t^2}dt$
D

$f\left( x \right)dx = 2{t^2}dt$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đổi biến $t = u\left( x \right) \Rightarrow f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx = f\left( t \right)dt$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t $

$\Rightarrow {t^2} = 1 - {\cos ^2}x \Rightarrow 2tdt = 2\cos x\sin xdx = \sin 2xdx \Rightarrow \sin 2xdx = 2tdt$

Suy ra $f\left( x \right)dx = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} dx = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} .\sin 2xdx = t.2tdt = 2{t^2}dt$

Câu 29 :

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ là đường thẳng:

A

$x = 1$
B

$y = 0$
C

$y = 1$
D

$x = 0$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 0$ (trục $Oy$)

Câu 30 :

Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

A

$m < - \dfrac{1}{3}$
B

$m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
C

$m \leqslant - \dfrac{4}{3}$
D

$m \leqslant 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên $D$:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in D$.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in D$.

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Chú ý: Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.

- Kết luận: Đánh giá $g(x)$ suy ra giá trị của $m$

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $ - 2 < x < 0$)

Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có:

$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$

Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$

Suy ra $g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ hay $ - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$

Khi đó $4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{3}$

Vậy $m \leqslant - \dfrac{1}{3}$

Câu 31 :

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$

A

$m = 1$
B

$m = \dfrac{1}{2}$
C

$m = 1;m = \dfrac{1}{2}$
D

$m = 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

- Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-et để thay $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\{x_1}{x_2} = P \hfill \\\end{gathered} \right.$ và tìm $m$.

Lời giải chi tiết :

$y' = {x^2} - 2mx + 2m - 4$

Để hàm số có cực đại cực tiểu $ \Leftrightarrow \Delta ' > 0,\forall m \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0,\forall m$

Khi đó phương trình $y'=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 4\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {(2m)^2} - 3.(2m - 4) - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Câu 32 :

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$

A

$M = - 10$
B

$M = - 7$
C

$M = - 5$
D

$M = 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \leqslant {x_1} < {x_2}< ... < {x_n} \leqslant b$.

- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$.

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:

+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.

+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.

Lời giải chi tiết :

$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M = - 5$

Câu 33 :

Hàm số $y = {2^{\ln x + {x^2}}}$ có đạo hàm là

A

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}$
B

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$
C

$\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$
D

$\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp: $\left( {{a^u}} \right)' = {\rm{ }}u'.{a^u}.lna$

Lời giải chi tiết :

Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$

Câu 34 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$.

A

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$.
B

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$.
C

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\sqrt {4 - {x^2}} + C$.
D

$\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{2}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đặt $t = \sqrt {4 - {x^2}} $

- Tính $dx$ theo $dt$ và tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow {x^2} = 4 - {t^2} \Rightarrow xdx = - tdt$.

Khi đó

$\int {\dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}d{\rm{x}}} = \int {\dfrac{{\left( {4 - {t^2}} \right)\left( { - tdt} \right)}}{t} = \int {\left( {{t^2} - 4} \right)dt = \dfrac{{{t^3}}}{3} - 4t + C} } $ $ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^3}}}{3} - 4\sqrt {4 - {x^2}} + C = - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$

Câu 35 :

Nếu $\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx} = K - 2e$ thì giá trị của $K$ là

A

$12,5$.
B

$9$.
C

$11$.
D

$10$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ $\int {{e^{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C$ và nguyên hàm hàm đa thức.

Lời giải chi tiết :

$K = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{-\frac{x}{2}}}} \right)dx} + 2e = \left. {\left( {4x + 2{e^{-\frac{x}{2}}}} \right)} \right|_{ - 2}^0 + 2e = 2 - \left( { - 8 + 2e} \right) + 2e = 10$

Câu 36 :

Biết rằng $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a} $ với $a \in R$. Khi đó giá trị của $a$ bằng:

A

$a = 2$
B

$a = \dfrac{1}{2}$
C

$a = \sqrt 2 $
D

$a = 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt ${x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{dt}}{t}} = \dfrac{1}{2}\left. {\ln \left| t \right|} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2}\left( {\ln 2 - \ln 1} \right) $

$= \dfrac{1}{2}\ln 2 = \ln \sqrt 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)$

Câu 37 :

Biết $\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức $T=a+b+c$ là

A
$T=10$.
B
$T=9$.
C
$T=8$.
D
$T=11$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đặt ${{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt$.

Đổi cận:

$\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 9\\
x = 4 \Rightarrow t = 25
\end{array}$

Khi đó, ta có: $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]$

$=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8$

Suy ra, $a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8$

Câu 38 :

A

$S = b - a.$
B

$S = b + a.$
C

$S = - b + a.$
D

$S = - b - a.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ là:$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $

- Công thức tổng 2 tích phân $\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} $

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình phẳng là S =$\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f(x)} \right|} dx$

Dựa vào hình vẽ ta có được: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {(0 - f(x))dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} = - \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^2 {f(x)dx} = b - a$

Câu 39 :

A

$M(0;1;0)$
B

$M(0;2;1)$
C

$M(0;1;2)$
D

$M(0; - 1;1)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm $A({a_1};{a_2};{a_3})$ và $B({b_1};{b_2};{b_3})$ta có: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} $

Lời giải chi tiết :

$M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, giả sử $M(0;m;n)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MB = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(m - 0)}^2} + {{(n - 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + {{(n - 1)}^2} + 4} \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {(m - 2)^2} + {(n + 1)^2} + {m^2} + {(n - 1)^2} + 4\\ = 2{m^2} - 4m + 2{n^2} + 10 = 2({m^2} - 2m + 1) + 2{n^2} + 8\\ = 2{(m - 1)^2} + 2{n^2} + 8 \ge 8\end{array}$

$ \Rightarrow \min \left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 0\end{array} \right.$.

Vậy $M(0;1;0)$

Câu 40 :

Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:

A

$ - 10$
B

$0$
C

$7$
D

$ - 7$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bốn điểm $A,B,C,D$ được gọi là đổng phẳng nếu và chỉ nếu $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ đồng phẳng $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0$

Lời giải chi tiết :

Có

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 1;0 - 2;2 - 5} \right) = \left( {0; - 2; - 3} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {4 - 1;7 - 2; - 1 - 5} \right) = \left( {3;5; - 6} \right)\\\overrightarrow {AD} = \left( {4 - 1;1 - 2;a - 5} \right) = \left( {3; - 1;a - 5} \right)\end{array} \right.\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {27; - 9;6} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \left( {27; - 9;6} \right).\left( {3; - 1;a - 5} \right) = 60 + 6a\end{array}$

$A,B,C,D$ đồng phẳng khi $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - 10$.

Câu 41 :

A

$\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)$
B

$\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
C

$\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
D

$\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhận xét trọng tâm của hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ rồi suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi $G'\left( {x;y;z} \right)$ là trọng tâm của tam giác $A'B'C'$.

Ta có $\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow 0 $$ \Leftrightarrow \overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 $.

Suy ra $G'$ cũng là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên có tọa độ $\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right).$

Câu 42 :

A

$2\sqrt 3 $
B

$2\sqrt 5 $
C

$\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
D

$\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi $D$ là điểm cần tìm.

- Tìm mối quan hệ giữa hai véc tơ $\overrightarrow {DC} $ và $\overrightarrow {DA} $ dựa vào tính chất đường phân giác.

- Dựa vào mối quan hệ trên tìm tọa độ điểm $D$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $D$ là chân phân giác trong của góc $\widehat B$, ta có $\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{3}{{15}} \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC} $

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$ ta có: $\overrightarrow {DA} = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow - 5\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DC} $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5\left( {2 - x} \right) = - 10 - x\\ - 5\left( { - 1 - y} \right) = 5 - y\\ - 5\left( {3 - z} \right) = 3 - z\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x = 0\\6y = 0\\6z = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.$

Suy ra $D\left( {0;0;3} \right)$. Vậy $BD = 2\sqrt 5 $.

Câu 43 :

A

Không tồn tại cặp điểm nào
B

$1$
C

$2$
D

Vô số cặp điểm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi hệ số góc của hai tiếp tuyến song song là $m$, khi đó số cặp điểm thỏa mãn chính là số cặp nghiệm của phương trình $y' = m$ với $m$ bất kì.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y' = 3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2$

Số cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có tiếp tuyến song song nhau

$ \Leftrightarrow $ số cặp nghiệm phương trình $3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2 = m$ với $m \in R$ thỏa mãn phương trình $3{x^2} - 6x + 2 = m$ có hai nghiệm phân biệt.Có vô số giá trị của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên có vô số cặp điểm.

Câu 44 :

A

$\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0$
B

$\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0$
C

$\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0$
D
$\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0$ hoặc $\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Viết phương trình $\left( \Delta \right)$ là giao tuyến của (P) và (Q)

+) ${{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng (T) $\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}.{{\overrightarrow{u}}_{\left( \Delta \right)}}=0$

+) Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc $\alpha $ có $\cos \alpha =\frac{23}{\sqrt{679}}$ nên $\left| \cos \left( {{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}} \right) \right|=\cos \alpha $

Lời giải chi tiết :

Giao tuyến của (P) và (Q) là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3z + 1 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 6z + 2 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow y + 7z - 3 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 10t\\y = 3 - 7t\\z = t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( \Delta \right) \\ \Rightarrow {\overrightarrow u _{\left( \Delta \right)}} = \left( {10; - 7;1} \right)\\\left( T \right) \supset \Delta \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}} \bot {\overrightarrow u _{\left( \Delta \right)}} \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}}.{\overrightarrow u _{\left( \Delta \right)}} = 0\end{array}$

${{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng (T) ta có: $10-7a+b=0\Rightarrow b=7a-10$.

Mặt phẳng (R) có ${{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left( 1;2;4 \right)$.

Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc $\alpha $ có $\cos \alpha =\frac{23}{\sqrt{679}}$ nên

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( R \right)}}} \right)} \right| = \cos \alpha = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Rightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4b}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4\left( {7a - 10} \right)}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {7a - 10} \right)}^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{30a - 39}}{{\sqrt {21} .\sqrt {50{a^2} - 140a + 101} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {30a - 39} \right)}^2}}}{{21\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)}} = \frac{{529}}{{679}}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 679\left( {900{a^2} - 2340a + 1521} \right) = 11109\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = \frac{{85}}{{53}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 17\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{85}}{{53}}\\b = \frac{{65}}{{53}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + {d_1} = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z + {d_2} = 0\end{array} \right.\end{array}$

Lấy $M\left( -4;3;0 \right)\in \left( \Delta \right)\Rightarrow M\in \left( T \right)$, thay vào ta có : $\left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + 7 = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z - 43 = 0\end{array} \right.$

Câu 45 :

A
$\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}$
B
$\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}$
C
$\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}$
D
$\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tứ diện vuông O.ABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là trực tâm của tam giác ABC thì OH vuông với với mặt phẳng (ABC)

Lời giải chi tiết :

Vì $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$$ \Rightarrow \,\,OM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \,\,{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {OM} = \left( {2;1;5} \right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $2\left( {x - 2} \right) + y - 1 + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 30 = 0.$

Khoảng cách từ điểm $I\left( {1;2;3} \right)$ đến mặt phẳng (P) là $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 15 - 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}.$

Câu 46 :

A

$2\sqrt {19} .$
B

$2\sqrt {17} .$
C

$\sqrt {19} .$
D

$\sqrt {17} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ tâm mặt cầu theo tham số của đường thẳng $d$.

- $\left( S \right)$ đi qua $A,B \Leftrightarrow IA = IB$, từ đó tìm được tọa độ $I$ và bán kính $IA$ suy ra đường kính $2IA$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ thuộc $d$, ta có $I\left( {1 + 2t,2 - t,1 + t} \right)$. Vì mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .

Từ giả thiết $IA = IB$ ta có $I{A^2} = I{B^2}$

$ \Leftrightarrow {(2t - 1)^2} + {(t + 2)^2} + {(2 + t)^2} = {(1 + 2t)^2} + {(4 - t)^2} + {t^2}$

$ \Leftrightarrow - 4t + 4t + 4 + 4t + 4 = 4t - 8t + 16$

$ \Leftrightarrow 8t = 8$

$ \Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $I\left( {3,1,2} \right)$ . Do đó $R = IA = \sqrt {9 + 9 + 1} = \sqrt {19} $

Do đó, đường kính mặt cầu là $2R = 2\sqrt {19} $

Câu 47 :

A

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0$
B

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0$
C

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0$
D

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét từng đáp án:

- Xác định tâm mặt cầu và thay vào mặt phẳng.

- Tính bán kính mặt cầu và kiểm tra khoảng cách từ tâm đến các điểm $A,B,C$ bằng bán kính.

Lời giải chi tiết :

- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án

+ A cho mặt cầu tâm ${I_A}(1, - 1,1)$ và ${R_A} = \sqrt {13} $

+ B cho mặt cầu tâm ${I_B}(2, - 1,3)$ và ${R_B} = 4$

+ C cho mặt cầu tâm ${I_C}( - 2,1, - 3)$ và ${R_C} = 2\sqrt 3 $

+ D cho mặt cầu tâm ${I_D}(1, - 1,1)$ và ${R_D} = \sqrt 5 $

- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ hay không. Loại được đáp án C.

- Ta thấy${I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)$, nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với ${R_A},{R_D}$ .

Có $IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} $ . Ta thấy $IM \ne {R_A} \ne {R_D}$. Loại A và D

Câu 48 :

A

$0$
B

$1$
C

$3$
D

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Nguyên hàm hai vế tìm f(x).

+) Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right){{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}dx} = \int\limits_{}^{} {x{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{}^{} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \int\limits_{}^{} {xd\left( {{e^x}} \right)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx} + C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - {e^x} + C\\ \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + C} \right)\\f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow {1^{2019}} = 2019C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{2019}}\\ \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e} \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} = 0\end{array}\)

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}}$ ta có

$f'\left( x \right) = 2019\left( {{e^x} + x{e^x} - {e^x}} \right) = 2019x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$f\left( 0 \right) = - 2018 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} < 0$

Lập BBT ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $ \Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 49 :

A
$\frac{800}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
B
$\frac{400}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
C
$\text{250c}{{\text{m}}^{2}}.$
D
$800\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của viên gạch hình vuông. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.

+) Tính diện tích của một cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Xác định các phương trình parabol tạo nên cánh hoa đó.

+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Với $A\left( 20;20 \right)$, xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.

Hai Parbol có phương lần lượt là: $y=a{{x}^{2}}\,\,\left( {{P}_{1}} \right)$ và $x=a{{y}^{2}}\,\,\left( {{P}_{2}} \right)$

Do Parabol $\left( {{P}_{1}} \right)$ qua điểm $A\left( 20;20 \right)\Rightarrow a=\frac{20}{{{20}^{2}}}=\frac{1}{20}\Rightarrow y=\frac{{{x}^{2}}}{20}$

Do Parabol $\left( {{P}_{2}} \right)$ qua điểm $A\left( 20;20 \right)\Rightarrow a=\frac{20}{{{20}^{2}}}=\frac{1}{20}\Rightarrow x=\frac{{{y}^{2}}}{20}\Leftrightarrow y=\sqrt{20x}$

Diện tích phân tô đậm ở góc phần tư thứ nhất là:

$S=\int\limits_{0}^{20}{\left( \sqrt{20x}-\frac{{{x}^{2}}}{20} \right)dx}=\left( \frac{2}{3}\sqrt{20{{x}^{3}}}-\frac{{{x}^{3}}}{60} \right)\left| \begin{align}& ^{20} \\ & _{0} \\ \end{align} \right.=\frac{400}{3}.$

Câu 50 :

A

$3.$
B

$1.$
C

$4.$
D

$8.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Gọi $A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng đoạn chắn.

+) Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) sau đó suy ra mối quan hệ giữa a, b, c.

Lời giải chi tiết :

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)$ là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b = - \,c\\a = - \,b = - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b = - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$

Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài liên quan