Đề thi giữa kì 2 Toán 11 - Đề số 3

Đề bài

Câu 1 :

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a = 12,$ gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AD.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và hình chóp có diện tích bằng

A

$36\sqrt 2 .$
B

$40.$
C

$36\sqrt 3 .$
D

$36.$

Câu 2 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Câu 3 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = + \infty $
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty $
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty $
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty $

Câu 4 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy $ABC$ là tam giác cân ở $C$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

$CH \bot HK$
B

$AB \bot \left( {CHK} \right)$
C

$CH \bot AK$
D

$BC \bot \left( {SAC} \right)$

Câu 5 :

Trong không gian tập hợp các điểm $M$ cách đều hai điểm cố định $A$ và $B$ là

A

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.
B

Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
C

Mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$.
D

Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AB$.

Câu 6 :

Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ . Khi đó tổng 3 góc $(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) + (\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {D{D_1}} ) + (\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{A_1}B} )$ là:

A

$180^0$
B

$290^0$
C

$360^0$
D

$315^0$

Câu 7 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $L = - \dfrac{1}{2}$. Chọn kết luận đúng:

A

$\lim \left( {{u_n} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}$
B

$\lim \left( {{u_n} + \dfrac{1}{2}} \right) = 0$
C

$\lim \left( {{u_n} - \dfrac{1}{2}} \right) = 0$
D

$\lim \left( {{u_n} - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}$

Câu 8 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SC$ và $I$ là giao điểm của $HK$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

$BC \bot AH.$
B

$\left( {AHK} \right) \bot \left( {SBC} \right).$
C

$SC \bot AI.$
D

Tam giác $IAC$ đều

Câu 9 :

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta $ không nằm trong mp $\left( P \right)$, đường thẳng $\Delta $ được gọi là vuông góc với mp $\left( P \right)$ nếu:

A

vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp $\left( P \right).$
B

vuông góc với đường thẳng $a$ mà $a$ song song với mp $\left( P \right)$
C

vuông góc với đường thẳng $a$ nằm trong mp $\left( P \right).$
D

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp $\left( P \right).$

Câu 10 :

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..$ Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
B

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
C

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
D

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

Câu 11 :

Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }}$ là:

A

$ - \infty .$
B

$ + \infty .$
C

$ - \dfrac{{15}}{2}.$
D

Không xác định.

Câu 12 :

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $\alpha $ là góc giữa $AC'$ và mp $\left( {A'BCD'} \right).$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A

$\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0}.$
B

$\tan \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.$
C

$\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{45^0}.$
D

$\tan \alpha = \sqrt 2 .$

Câu 13 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}$ là:

A

$ - 1.$
B

$0$
C

$1$
D

$ + \infty .$

Câu 14 :

Trong không gian cho tam giác đều $SAB$ và hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi $H,$ $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
B

$\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
C

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Câu 15 :

Cho các dãy số ${u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1$ và ${v_n} = {n^2},n \ge 1$. Khi đó:

A

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 0$
B

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = + \infty $
C

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = - \infty $
D

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 1$

Câu 16 :

Chọn đáp án đúng: Với $c,k$ là các hằng số và $k$ nguyên dương thì:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c$
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = + \infty $
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty $

Câu 17 :

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB$, $BC$, $CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

Góc giữa $AC$ và $\left( {BCD} \right)$ là góc $ACB$.
B

Góc giữa $AD$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $ADB$.
C

Góc giữa $AC$ và $\left( {ABD} \right)$ là góc $CAB$.
D

Góc giữa $CD$ và $\left( {ABD} \right)$ là góc $CBD$.

Câu 18 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy lớn $AB$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $SA$ và $Q \ne A,$ $Q \ne S$; $M$ là điểm trên đoạn $AD$ và $M \ne A$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $QM$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho là:

A

tam giác.
B

hình thang cân.
C

hình thang vuông
D

hình bình hành

Câu 19 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$, $AB = 4{,^{}}CD = 6$. $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC = \dfrac{1}{2}BM$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ song song với $AB$ và $CD$. Diện tích thiết diện của $\left( P \right)$ với tứ diện là:

A

$5$
B

$6$
C

$\dfrac{{17}}{3}.$
D

$\dfrac{{16}}{3}.$

Câu 20 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, các cạnh $SA = SB = a,$ $SD = a\sqrt 2 $. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${90^0}.$ Độ dài đoạn thẳng $BD$

A

$2a.$
B

$2a\sqrt 3 .$
C

$a\sqrt 3 .$
D

$a\sqrt 2 .$

Câu 21 :

Cho hàm số $f\left( x \right) =$ $ \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng nào sau đây?

A

$\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$
B

$\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)$
C

$\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)$
D

$R$

Câu 22 :

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A

Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
B

Ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \ne \overrightarrow 0 $ cùng phương khi và chỉ khi $\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b ,\,$với $m,n$ là các số duy nhất
C

Ba vectơ đồng phẳng khi có $\overrightarrow d = m\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b + p\overrightarrow c \,$với $\overrightarrow d $ là vec tơ bất kỳ
D

Cả 3 mệnh đề trên đều sai

Câu 23 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - x}}{{x - 1}}$ là:

A

$ - \dfrac{3}{2}.$
B

$\dfrac{1}{2}.$
C

$ - \dfrac{1}{2}.$
D

$\dfrac{3}{2}.$

Câu 24 :

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Xét các mệnh đề sau :

I. Vì $OC \bot OA,OC \bot OB$ nên $OC \bot \left( {OAB} \right)$.

II. Do $AB \subset \left( {OAB} \right)$nên $AB \bot OC.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

III. Có $OH \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB \subset \left( {ABC} \right)$nên $AB \bot OH.{\rm{ }}\left( 2 \right)$

IV. Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right)$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A

$4$.
B

$3$.
C

$2$.
D

$1$.

Câu 25 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $SAB.$ Khẳng định nào dưới đây là sai ?

A

$SA \bot BC.$
B

$AH \bot BC.$
C

$AH \bot AC.$
D

$AH \bot SC.$

Câu 26 :

Biết rằng $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\a&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ (với $a$ là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị $a$ là đúng?

A

$a$ là một số nguyên
B

$a$ là một số vô tỉ
C

$a > 5.$
D

$a < 0.$

Câu 27 :

Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$, biết:${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A

${S_5} = - 512$
B

${u_5} = 256$
C

${u_5} = - 512$
D

$q = 4$

Câu 28 :

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
B

Nếu $a$ và $b$ song song (hoặc $a$ trùng với $b$) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ .
C

Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$.
D

Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì $a$ song song với $b$.

Câu 29 :

Giới hạn $\lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}$bằng?

A

$\dfrac{5}{2}.$
B

$\dfrac{{ - 5}}{2}.$
C

$1.$
D

$ - 1.$

Câu 30 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}$ bằng?

A

$4$
B

$6$
C

$-4$
D

$-6$

Câu 31 :

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A

Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ vuông góc với đường thẳng $c$ thì $a$ vuông góc với $c$
B

Cho ba đường thẳng $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ song song với $b$ hoặc $c$
C

Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ song song với đường thẳng $c$ thì $a$ vuông góc với $c$
D

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Một đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ thì $c$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( {a,{\rm{ }}b} \right)$.

Câu 32 :

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A

Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
B

Ba số $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ lập thành cấp số cộng.
C

Ba số ${a^2},{b^2},{c^2}$ lập thành cấp số cộng
D

Ba số $\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c $ lập thành cấp số cộng.

Câu 33 :

Tính tổng ${S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11$ (có $10$ chữ số $1$)

A

$\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}$
B

$\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}$
C

$\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}$
D

$\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}$

Câu 34 :

Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}$

A

$ + \infty $
B

$ - \infty $
C

$0$
D

$1$

Câu 35 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $AD = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A$ vuông góc với $SC$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.

A

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{7}.$
B

${S_{AMIN}} = \dfrac{{12{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
C

${S_{AMIN}} = \dfrac{{6{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
D

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$

Câu 36 :

Giá trị của $C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}$ bằng:

A

$ + \infty $
B

$ - \infty $
C

$0$
D

$1$

Câu 37 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} $ bằng?

A

$ - \sqrt {\dfrac{3}{2}.} $
B

$\sqrt {\dfrac{3}{2}} .$
C

$\dfrac{3}{2}.$
D

$ - \dfrac{3}{2}.$

Câu 38 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)$ bằng?

A

$-1$
B

$0$
C

$\dfrac{1}{2}.$
D

$1$

Câu 39 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $AB = SH = a.$ Tính cosin của góc $\alpha $ tọa bởi hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

A

$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
B

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$

Câu 40 :

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( { - 10;10} \right)$ để phương trình ${x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3 = 0$ có ba nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}$?

A

$19$
B

$18$
C

$4$
D

$3$

Câu 41 :

Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ liên tục tại $x = 0.$

A

$a = 5b$
B

$a = 10b$
C

$a = b$
D

$a = 2b.$

Câu 42 :

Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi
$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2},\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.$
Đặt ${v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_{_i}^2}}}, $ khẳng định nào sau đây đúng?

A

Không tồn tại giới hạn của ${v_n}$.
B

${v_n}$ có giới hạn hữu hạn là $\infty $.
C

${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 0.$
D

${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 6.$

Câu 43 :

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {EG} $?

A

${90^0}.$
B

${60^0}.$
C

${45^0}.$
D

${120^0}.$

Câu 44 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SBC.$ $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( {ABC} \right).$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?

A

$H$ là trung điểm của cạnh $AB.$
B

$H$ là trung điểm của cạnh $BC.$
C

$H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
D

$H$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Câu 45 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $SC = a\sqrt 2 $. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$. Khẳng định nào sau đây là sai?.

A

$SH \bot \left( {ABCD} \right)$
B

$SH \bot HC$
C

$AC \bot SK$
D

$HC \bot HD$

Câu 46 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết tam giác $SBC$ là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right).$

A

${60^0}$
B

${75^0}$
C

${45^0}$
D

${30^0}$

Câu 47 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ đỉnh $S,$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$ và $SC.$ Tính theo $a$ diện tích tam giác $AMN,$ biết rằng mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$

A

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}.$
B

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{8}.$
C

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{12}}.$
D

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}.$

Câu 48 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = AC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
B

$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
C

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
D

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$

Câu 49 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,\,\,\,AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $BC$ tạo với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ góc ${30^0}.$ Tính diện tích tam giác $ABC.$

A

${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
B

${S_{\Delta \,ABC}} = {a^2}\sqrt 2 .$
C

${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
D

${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.$

Câu 50 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right)$ bằng:

A

$0$
B

$\dfrac{{n + 1}}{2}$
C

$n$
D

$1$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

$36\sqrt 2 .$
B

$40.$
C

$36\sqrt 3 .$
D

$36.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, cụ thể là tính diện tích

Lời giải chi tiết :

Gọi $E $ là trung điểm của $AD$ ta có $BE \bot AD,CE \bot AD \Rightarrow AD \bot \left( {BCE} \right) \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {BCD} \right)$

Thiết diện là tam giác $BCE.$

Gọi $F$ là trung điểm của $BC.$

Ta có $BE = CE = \dfrac{{12\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 ;$ $EF = \sqrt {B{E^2} - B{F^2}} = 6\sqrt 2 $

Diện tích thiết diện là $S = \dfrac{1}{2}EF.BC = \dfrac{1}{2}.6\sqrt 2 .12 = 36\sqrt 2 $

Câu 2 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B

Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D

Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

B sai. Qua một đường thẳng chưa chắc đã có mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (vì nếu hai đường thẳng đã cho không vuông góc với nhau thì không có mặt phẳng nào hết)

D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 3 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = + \infty $
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty $
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty $
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty $

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - f\left( x \right)} \right] = - \infty $

Câu 4 :

A

$CH \bot HK$
B

$AB \bot \left( {CHK} \right)$
C

$CH \bot AK$
D

$BC \bot \left( {SAC} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Do $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $CH \bot AB$.

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH$.

Do đó $CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot HK,CH \bot AK$ hay A, C đúng.

Ngoài ra $HK//SA,SA \bot AB \Rightarrow HK \bot AB$, mà $AB \bot CH$ $ \Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)$ hay B đúng.

D sai vì $BC$ không vuông góc với $AC$ nên không có $BC \bot \left( {SAC} \right)$.

Câu 5 :

Trong không gian tập hợp các điểm $M$ cách đều hai điểm cố định $A$ và $B$ là

A

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.
B

Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
C

Mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$.
D

Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AB$.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Câu 6 :

A

$180^0$
B

$290^0$
C

$360^0$
D

$315^0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào mối quan hệ các véc tơ bằng nhau, tìm góc giữa các véc tơ và tính tổng.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}(\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) = {90^0}\\(\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {D{D_1}} ) = (\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) = {135^0}\\(\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{A_1}B} ) = (\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{D_1}C} ) = {90^0}\end{array}$

$ \Rightarrow (\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}} ) + (\overrightarrow {{C_1}B} ,\overrightarrow {D{D_1}} ) + (\overrightarrow {D{C_1}} ,\overrightarrow {{A_1}B} ) $ $= {90^0} + {135^0} + {90^0} = {315^0}$

Câu 7 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn $L = - \dfrac{1}{2}$. Chọn kết luận đúng:

A

$\lim \left( {{u_n} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}$
B

$\lim \left( {{u_n} + \dfrac{1}{2}} \right) = 0$
C

$\lim \left( {{u_n} - \dfrac{1}{2}} \right) = 0$
D

$\lim \left( {{u_n} - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực $L$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

Vì $\lim {u_n} = - \dfrac{1}{2}$ nên $\lim \left( {{u_n} + \dfrac{1}{2}} \right) = 0$.

Câu 8 :

A

$BC \bot AH.$
B

$\left( {AHK} \right) \bot \left( {SBC} \right).$
C

$SC \bot AI.$
D

Tam giác $IAC$ đều

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$. Do đó A đúng.

Lại có $AH \bot SB$. Từ đó suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC$. $\left( 1 \right)$

Lại có theo giả thiết $SC \bot AK$. $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {AHK} \right)$. Do đó B đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot \left( {AHK} \right)\\AI \subset \left( {AHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot AI$. Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Câu 9 :

Trong không gian cho đường thẳng $\Delta $ không nằm trong mp $\left( P \right)$, đường thẳng $\Delta $ được gọi là vuông góc với mp $\left( P \right)$ nếu:

A

vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp $\left( P \right).$
B

vuông góc với đường thẳng $a$ mà $a$ song song với mp $\left( P \right)$
C

vuông góc với đường thẳng $a$ nằm trong mp $\left( P \right).$
D

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp $\left( P \right).$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $\Delta $ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu $\Delta $ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng $\left( P \right)$.(ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).

Câu 10 :

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..$ Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
B

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
C

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
D

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm hai số khi biết tổng $S$ và tích $P$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$

Lời giải chi tiết :

$\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

TH1 : $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

TH2 : $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.

Câu 11 :

Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }}$ là:

A

$ - \infty .$
B

$ + \infty .$
C

$ - \dfrac{{15}}{2}.$
D

Không xác định.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của một thương $\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L > 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0;g\left( x \right) > 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = + \infty \end{array}$

Quy tắc này vẫn đúng với giới hạn một bên, tức là $x \to x_0^+$

Lời giải chi tiết :

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = 0\\\sqrt {x - 2} > 0,\forall x > 2\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }} = + \infty $

Câu 12 :

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $\alpha $ là góc giữa $AC'$ và mp $\left( {A'BCD'} \right).$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A

$\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0}.$
B

$\tan \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.$
C

$\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}{45^0}.$
D

$\tan \alpha = \sqrt 2 .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm giao điểm $I$ của $AC'$ với $\left( {A'BCD'} \right)$.

- Tìm hình chiếu $H$ của $C'$ trên $\left( {A'BCD'} \right)$ bằng cách tìm một đường thẳng qua $C'$ mà vuông góc với $\left( {A'BCD'} \right)$.

- Góc cần tìm là góc giữa $C'I$ và hình chiếu $HI$ của nó trên mặt phẳng $\left( {A'BCD'} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $\left\{ \begin{array}{l}A'C \cap AC' = I\\C'D \cap CD' = H\end{array} \right.$

mà $\left\{ \begin{array}{l}C'D \bot CD'\\C'D \bot A'D'\end{array} \right. \Rightarrow C'D \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow IH$ là hình chiếu vuông góc của $IC'$ lên $\left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow \widehat {C'IH}$là góc giữa $IC'$ và $\left( {A'BCD'} \right)$ và cũng là góc giữa $AC'$ và $\left( {A'BCD'} \right).$ Mà $\tan \widehat {C'IH} = \dfrac{{C'H}}{{IH}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.2 = \sqrt 2 .$

Câu 13 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}$ là:

A

$ - 1.$
B

$0$
C

$1$
D

$ + \infty .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhân liên hợp khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ và tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{(x - 1)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {4x + 4} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x + 4}} + 4} \right)}}{{\left( {4x + 4 - 8} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {4x + 4} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x + 4}} + 4} \right)}}{{4\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \dfrac{{12}}{{12}} = 1.$

Câu 14 :

A

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
B

$\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
C

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với AB và CD.

Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ có $SH \bot AB \Rightarrow SH \bot d.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK \Rightarrow d \bot SK.$

Từ đó suy ra

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot d\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SH;SK} \right)} = \widehat {HSK}.$

Trong tam giác vuông $SHK$, có $\tan \widehat {HSK} = \dfrac{{HK}}{{SH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$

Câu 15 :

Cho các dãy số ${u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1$ và ${v_n} = {n^2},n \ge 1$. Khi đó:

A

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 0$
B

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = + \infty $
C

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = - \infty $
D

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 1$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim \left( {\dfrac{1}{n}.{n^2}} \right) = \lim n = + \infty $.

Câu 16 :

Chọn đáp án đúng: Với $c,k$ là các hằng số và $k$ nguyên dương thì:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c$
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = + \infty $
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty $

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0$ nên đáp án A đúng.

Câu 17 :

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB$, $BC$, $CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

Góc giữa $AC$ và $\left( {BCD} \right)$ là góc $ACB$.
B

Góc giữa $AD$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc $ADB$.
C

Góc giữa $AC$ và $\left( {ABD} \right)$ là góc $CAB$.
D

Góc giữa $CD$ và $\left( {ABD} \right)$ là góc $CBD$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm hình chiếu của $A,C$ lên mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ rồi suy ra góc cần tìm.

- Góc (không vuông) giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)$.

Do đó $\left( {AC,\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AC,BC} \right) = \widehat {ACB}$.

Câu 18 :

A

tam giác.
B

hình thang cân.
C

hình thang vuông
D

hình bình hành

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)$. Mà $\left( \alpha \right) \bot \left( {SAD} \right)$ suy ra $AB\parallel \left( \alpha \right)$.

Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $N$.

Qua $Q$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $SB$ tại $P$.

Khi đó thiết diện là hình thang $MNPQ$ (do $MN\parallel PQ$).

Vì $AB \bot \left( {SAD} \right)$ suy ra $MN \bot \left( {SAD} \right)$ nên $MN \bot MQ$.

Do đó thiết diện $MNPQ$ là hình thang vuông tại Q và $M$.

Câu 19 :

A

$5$
B

$6$
C

$\dfrac{{17}}{3}.$
D

$\dfrac{{16}}{3}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Xác định thiết diện.

- Nhận xét tính chất thiết diện và tính diện tích.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}AB\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\end{array} \right. \Rightarrow MN{\rm{//}}AB.$

Tương tự ta có $MQ{\rm{//}}CD,\,\,NP{\rm{//}}CD,\,\,QP{\rm{//}}AB$. Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành

Ta có $\left( {\widehat {AB;CD}} \right) = \left( {\widehat {MN;MQ}} \right) = \widehat {NMQ} = {90^0}$$ \Rightarrow $ tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Lại có $\Delta CMN\backsim \Delta CBA\Rightarrow \dfrac{CM}{CB}=\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MN=\dfrac{4}{3};$

$\Delta ANP\backsim \Delta ACD\Rightarrow \dfrac{AN}{AC}=\dfrac{NP}{CD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow MP=4.$

Vậy ${S_{MNPQ}} = MN.NP = \dfrac{{16}}{3}.$

Câu 20 :

A

$2a.$
B

$2a\sqrt 3 .$
C

$a\sqrt 3 .$
D

$a\sqrt 2 .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là tâm của hình thoi $ABCD$.

Và $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BD$.

$\widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = {90^0} \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AC\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AC \bot SI$.

Mà $I$ là trung điểm của $AC \Rightarrow \Delta SAC$ cân tại S $ \Rightarrow SA = SB = SC=BC=a$.

$\Delta SAC = \Delta BAC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BI = SI = \dfrac{1}{2}BD \Rightarrow \Delta SBD$ vuông tại S

$ \Rightarrow B{D^2} = S{B^2} + S{D^2} = {a^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 3{a^2} \Rightarrow BD = a\sqrt 3 $.

Câu 21 :

A

$\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$
B

$\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)$
C

$\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)$
D

$R$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0,$ sử dụng giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$ .

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Lời giải chi tiết :

$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\dfrac{1}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\cos x}} = 1.\dfrac{1}{1} = 1\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right\} \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)$

$ \Rightarrow $ hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0,$ do đó loại các đáp án B, C, D.

Câu 22 :

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A

Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
B

Ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \ne \overrightarrow 0 $ cùng phương khi và chỉ khi $\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b ,\,$với $m,n$ là các số duy nhất
C

Ba vectơ đồng phẳng khi có $\overrightarrow d = m\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b + p\overrightarrow c \,$với $\overrightarrow d $ là vec tơ bất kỳ
D

Cả 3 mệnh đề trên đều sai

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Phương án A: sai vì chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó

Phương án B: sai vì ba véc tơ cùng phương $ \Leftrightarrow \overrightarrow a = k.\overrightarrow b = l.\overrightarrow c $

Phương án C sai vì điều kiện cần và đủ để ba véc tơ đồng $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đồng phẳng là có các số $m,n$ sao cho $\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b $ (với $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ không cùng phương).

Vậy chọn D

Câu 23 :

Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - x}}{{x - 1}}$ là:

A

$ - \dfrac{3}{2}.$
B

$\dfrac{1}{2}.$
C

$ - \dfrac{1}{2}.$
D

$\dfrac{3}{2}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay giá trị $x = - 1$ vào hàm số cần lấy giới hạn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\sqrt {3{x^2} + 1} - x}}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt {3 + 1} + 1}}{{ - 1 - 1}} = - \dfrac{3}{2}$

Câu 24 :

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Xét các mệnh đề sau :

I. Vì $OC \bot OA,OC \bot OB$ nên $OC \bot \left( {OAB} \right)$.

II. Do $AB \subset \left( {OAB} \right)$nên $AB \bot OC.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

III. Có $OH \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB \subset \left( {ABC} \right)$nên $AB \bot OH.{\rm{ }}\left( 2 \right)$

IV. Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right) \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right)$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A

$4$.
B

$3$.
C

$2$.
D

$1$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng để xét tính đúng, sai cho từng mệnh đề.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\\OA \cap OB = O\\OA,OB \subset \left( {OAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)$.

Vậy $I$ đúng.

$\left\{ \begin{array}{l}OC \bot \left( {OAB} \right)\\AB \subset \left( {OAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot OC$.

Vậy $II$ đúng.

$\left\{ \begin{array}{l}OH \bot \left( {ABC} \right)\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot OH$.

Vậy $III$ đúng.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot OC}\\{AB \bot OH}\\\begin{array}{l}OC \cap OH = O\\OC,OH \subset \left( {OCH} \right)\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OCH} \right)$.

Vậy $IV$ đúng.

Câu 25 :

A

$SA \bot BC.$
B

$AH \bot BC.$
C

$AH \bot AC.$
D

$AH \bot SC.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng và ngược lại.

Lời giải chi tiết :

Theo bài ra, ta có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ mà $BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC.$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B,$ có $AB \bot BC$$ \Rightarrow $$BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH.$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC.$

Nếu $AH \bot AC$ mà $SA \bot AC$ suy ra $AC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow AC \bot AB$ (vô lý).

Câu 26 :

A

$a$ là một số nguyên
B

$a$ là một số vô tỉ
C

$a > 5.$
D

$a < 0.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$

Lời giải chi tiết :

Hàm số xác định và liên tục trên $\left[ {0;1} \right)$. Khi đó $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).{\rm{ }}\left( * \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = a\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)} \right] = 4\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow a = 4$

Câu 27 :

Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$, biết:${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A

${S_5} = - 512$
B

${u_5} = 256$
C

${u_5} = - 512$
D

$q = 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính công bội $q$ của cấp số nhân dựa vào công thức $q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$.

- Tính số hạng ${u_n}$ của cấp số nhân dựa vào công thức ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

- Tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân dựa vào công thức ${S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$

Do đó ${u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{\left( { - 4} \right)^4} = - 512$.

Và ${S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} = - 410$

Câu 28 :

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho
B

Nếu $a$ và $b$ song song (hoặc $a$ trùng với $b$) thì góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ .
C

Nếu góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ thì mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$.
D

Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì $a$ song song với $b$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng các định nghĩa, tính chất của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để xét tính đúng, sai cho từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A sai vì nếu trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì định nghĩa đó không còn đúng.

Đáp án C sai vì $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có thể trùng nhau.

Đáp án D sai vì $a,b$ có thể trùng nhau.

Câu 29 :

Giới hạn $\lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}}$bằng?

A

$\dfrac{5}{2}.$
B

$\dfrac{{ - 5}}{2}.$
C

$1.$
D

$ - 1.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Nhân liên hợp,

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^2}$.

Lời giải chi tiết :

Cách 1:

$\begin{array}{l}\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} \\= \lim \frac{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } ).( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} })}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} }).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{({n^2} - 3n - 5) - (9{n^2} + 3)}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } ).(2n - 1)}} \\= \lim \frac{{ - 8{n^2} - 3n - 8}}{{( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } ).(2n - 1)}}\\ = \lim \frac{{ - 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}}{{( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} })( {2 - \frac{1}{n}} )}} = \frac{{ - 8}}{{4.2}} = - 1.\end{array}$

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho $n.$

$\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} - \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \lim \frac{{1 - 3}}{2} = - 1$

Câu 30 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}$ bằng?

A

$4$
B

$6$
C

$-4$
D

$-6$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Rút gọn phân thức.

- Khử dạng $\dfrac{0}{0}$.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{{x^3} + 2{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{(x + 1)(x + 5)}}{{(x + 1)({x^2} + x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{{ - 1 + 5}}{{{{( - 1)}^2} + ( - 1) - 1}} = - 4$

Câu 31 :

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A

Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ vuông góc với đường thẳng $c$ thì $a$ vuông góc với $c$
B

Cho ba đường thẳng $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ song song với $b$ hoặc $c$
C

Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ và đường thẳng $b$ song song với đường thẳng $c$ thì $a$ vuông góc với $c$
D

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Một đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ thì $c$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( {a,{\rm{ }}b} \right)$.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot c$ nên đáp án C đúng.

Câu 32 :

A

Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
B

Ba số $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ lập thành cấp số cộng.
C

Ba số ${a^2},{b^2},{c^2}$ lập thành cấp số cộng
D

Ba số $\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c $ lập thành cấp số cộng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của CSC: ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} + \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {ac} + \sqrt {bc} + a + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + c + \sqrt {ab} + \sqrt {ac} = 2\sqrt {ab} + 2b + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} \\ \Leftrightarrow a + c = 2b\end{array}$

Khi đó $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.

Câu 33 :

Tính tổng ${S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11$ (có $10$ chữ số $1$)

A

$\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}$
B

$\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}$
C

$\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}$
D

$\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Biến đổi các số hạng của tổng thành dạng $\dfrac{{{{10}^n} - 1}}{9}$.

- Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân để tính tổng đã cho.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^3} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9} = \dfrac{1}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^{10}}} \right) - \dfrac{{10}}{9}\\ = \dfrac{1}{9}\left( {10.\dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9}} \right) - \dfrac{{10}}{9} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 10 - 90}}{{81}} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}$

Câu 34 :

Tính giới hạn của dãy số ${u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}$

A

$ + \infty $
B

$ - \infty $
C

$0$
D

$1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k \in \mathbb{N}*$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} $ $=\dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}}$ $ = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}$ $ = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {k + 1 - k} \right)}}$ $ = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt k .\sqrt {k + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}$

$ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} $ $= \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}$

Suy ra ${u_n} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1$ do $\lim \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0$

Câu 35 :

A

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{7}.$
B

${S_{AMIN}} = \dfrac{{12{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
C

${S_{AMIN}} = \dfrac{{6{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
D

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết :

Trong tam giác $SAC, $ kẻ $AI \bot SC$ $\left( {\,I \in SC} \right)$

Trong $mp(SBC),$ kẻ ${d_1}$ đi qua $I$ vuông góc với $SC$ cắt $SB $ tại $M.$

Trong $mp(SCD),$ kẻ ${d_2}$ đi qua $I$ vuông góc với $SC$ cắt $SD$ tại $N.$

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mp $\left( \alpha \right)$ là tứ giác $AMIN.$

Ta có $SC \bot \left( \alpha \right) \Rightarrow SC \bot AM$. (1)

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot MI$. Chứng minh tương tự, ta được $AN \bot NI$.

Do đó ${S_{AMIN}} = {S_{\Delta AMI}} + {S_{\Delta ANI}} $ $= \dfrac{1}{2}AM.MI + \dfrac{1}{2}AN.NI$.

Vì $AM, AI, AN $ là các đường cao của các tam giác vuông $SAB, SAC, SAD $ nên

$AM = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$; $AI = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = a\sqrt 2 $; $AN = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}$

Suy ra $MI = \sqrt {A{I^2} - A{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}$ và $NI = \sqrt {A{I^2} - A{N^2}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{7}$

Vậy ${S_{AMIN}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{{a\sqrt {30} }}{5} + \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}.\dfrac{{a\sqrt {14} }}{7}} \right) = \dfrac{{12{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}$

Câu 36 :

Giá trị của $C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}$ bằng:

A

$ + \infty $
B

$ - \infty $
C

$0$
D

$1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khi tìm $\lim \dfrac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

$\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k \in \mathbb{N}*$

Chú ý: $\left[ \begin{array}{l}\lim \dfrac{0}{a} = 0\\\lim \dfrac{a}{0} = \infty \end{array} \right.$ (a là số bất kì, $a \in R$)

Lời giải chi tiết :

Chia cả tử và mẫu cho ${n^2}$ ta có được : $C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \dfrac{3}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} + \dfrac{1}{n}}} = 0$.

Câu 37 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} $ bằng?

A

$ - \sqrt {\dfrac{3}{2}.} $
B

$\sqrt {\dfrac{3}{2}} .$
C

$\dfrac{3}{2}.$
D

$ - \dfrac{3}{2}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đưa $x$ vào trong căn: $x = - \sqrt {{x^2}} \,\,\,\,khi\,\,x \to - \infty $

- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.

- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}\left( {3x + 2} \right)}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{3{x^3} + 2{x^2}}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^3}}}}}} } \right) = - \sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array}$

Câu 38 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)$ bằng?

A

$-1$
B

$0$
C

$\dfrac{1}{2}.$
D

$1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $

- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.

- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right) \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1 - {{(x - 1)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}}\\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x + 1}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x}}{x}}}{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} - \dfrac{x}{x} + \dfrac{1}{x}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{2}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - 1 + \dfrac{1}{x}}}\\ = \dfrac{2}{{ - 1 - 1 + 0}} = - 1\end{array}$

Câu 39 :

A

$\cos \alpha = \dfrac{1}{3}.$
B

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}.$
C

$\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.$
D

$\cos \alpha = \dfrac{2}{3}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot CH$ (1)

Tam giác ABC cân tại C nên $CH \bot AB$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $CH \bot \left( {SAB} \right)$

Gọi I là trung điểm $AC$ $\Rightarrow \,\,HI//BC\xrightarrow{BC\,\bot \,\,AC}HI\bot AC$ (3)

Mặt khác $AC \bot SH$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right)$) (4)

Từ (3) và (4), suy ra $AC \bot \left( {SHI} \right)$

Kẻ $HK \bot SI{\rm{ }}\,\left( {K \in SI} \right)$ (5)

Từ $AC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AC \bot HK$ (6)

Từ (5) và (6), suy ra $HK \bot \left( {SAC} \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot \left( {SAC} \right)\\HC \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right.$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $HK$ và $HC$

Ta có $HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot CK \Rightarrow \Delta CHK$ vuông tại $K.$

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$ là $\widehat {CHK}$

Có $CH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$; $\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{a}{3}$

Do đó $\cos \widehat {CHK} = \dfrac{{HK}}{{CH}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{2}{3}.$

Câu 40 :

A

$19$
B

$18$
C

$4$
D

$3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng phương pháp điều kiện cần tìm điều kiện của $m$.

- Thay điều kiện dó vào phương trình và kiểm tra lại điều kiện.

Lời giải chi tiết :

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}$ sao cho ${x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}$. Khi đó $f\left( x \right) = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)$.

Ta có $f\left( { - 1} \right) = \left( { - 1 - {x_1}} \right)\left( { - 1 - {x_2}} \right)\left( { - 1 - {x_3}} \right) > 0$ (do ${x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}$).

Mà $f\left( { - 1} \right) = - m - 5$ nên suy ra $ - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5.$

Thử lại: Với $m < - 5$, ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty $ nên tồn tại $a < - 1$ sao cho $f\left( a \right) < 0$. $\left( 1 \right)$

Do $m < - 5$ nên $f\left( { - 1} \right) = - m - 5 > 0$. $\left( 2 \right)$

$f\left( 0 \right) = m - 3 < 0$. $\left( 3 \right)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty $ nên tồn tại $b > 0$ sao cho $f\left( b \right) > 0$. $\left( 4 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$; Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 1;0} \right)$; Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$, suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$

Vậy khi $m < - 5$ thỏa mãn $m \in \mathbb{Z},m \in \left( { - 10;10} \right)$ $ \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6} \right\}.$

Câu 41 :

A

$a = 5b$
B

$a = 10b$
C

$a = b$
D

$a = 2b.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ và $f\left( 0\right)$

Bước 2: Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1} + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}$

Bước 2:

Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b$

Câu 42 :

A

Không tồn tại giới hạn của ${v_n}$.
B

${v_n}$ có giới hạn hữu hạn là $\infty $.
C

${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 0.$
D

${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 6.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Biến đổi, rút gọn biểu thức ${v_n}$ rồi tính giới hạn.

Lời giải chi tiết :

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2} - {u_n} $

$= \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} - {u_n}}}{2} > \dfrac{{\sqrt {u_n^2} - {u_n}}}{2} = 0 $

$\Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng.
Giả sử $\lim {u_n} = a$ thì $a > 0$ và $a = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 4a} + a}}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt {{a^2} + 4a} $ $ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + 4a \Rightarrow a = 0$ (vô lý).
Suy ra $\lim {u_n} = + \infty $
$\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{\sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} + {u_{n - 1}}}}{2} \\ \Leftrightarrow 2{u_n} - {u_{n - 1}} = \sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} \\ \Leftrightarrow 4u_n^2 - 4{u_n}{u_{n - 1}} + u_{n - 1}^2 = u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}} \\ \Leftrightarrow u_n^2 = \left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}\end{array}$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{u_n^2}} = \frac{1}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{{\left( {{u_n} + 1} \right) - {u_n}}}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}}\\
= \frac{{{u_n} + 1}}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} - \frac{{{u_n}}}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{{{u_n}}}{{u_n^2}}\\
= \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{u_n^2}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}
\end{array}$
Do đó:
${v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_i^2}}} = \dfrac{1}{{u_1^2}} + \left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_3}}}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \dfrac{1}{{{u_n}}}} \right) = \dfrac{1}{{u_1^2}} + \dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_n}}} = 6 - \dfrac{1}{{{u_n}}} $ $\Rightarrow \lim {v_n} = \lim \left( {6 - \dfrac{1}{{{u_n}}}} \right) = 6 - 0 = 6.$

Câu 43 :

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {EG} $?

A

${90^0}.$
B

${60^0}.$
C

${45^0}.$
D

${120^0}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựng hình, sử dụng mối quan hệ song song giũa các đường thẳng rồi tính góc giữa hai véc tơ.

Lời giải chi tiết :

Vì $\cos \left( {AB,CD} \right) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{4}AB.CD} \right|}}{{AB.CD}} = \dfrac{1}{4}$ ($AEGC$ là hình chữ nhật) nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^0}$ ($ABCD$ là hình vuông).

Câu 44 :

A

$H$ là trung điểm của cạnh $AB.$
B

$H$ là trung điểm của cạnh $BC.$
C

$H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
D

$H$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các kiến thức hình học đã biết và định nghãi, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để nhận xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Ta có $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $AB \bot BC$ suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$

$ \Rightarrow \,\,\,BC \bot SB\,\,\, \Rightarrow $ tam giác $SBC$ vuông tại $B\,\, \Rightarrow $$O$là trung điểm của $SC.$

Theo bài ra, ta có $OH \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,OH$//$SA \Rightarrow \,\,H$ là trung điểm của $AC.$

Mà tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Câu 45 :

A

$SH \bot \left( {ABCD} \right)$
B

$SH \bot HC$
C

$AC \bot SK$
D

$HC \bot HD$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh $\Delta SHC$ vuông tại $H$, từ đó suy ra tính đúng, sai cho các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Vì $H$ là trung điểm của $AB$ và tam giác $SAB$ đều nên $SH \bot AB$

Lại có $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},SC = a\sqrt 2 ,$ $HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Do đó $H{C^2} + H{S^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{4} = 2{a^2} = S{C^2}$

$ \Rightarrow \Delta HSC$ vuông tại $H \Rightarrow SH \bot HC$ nên B đúng.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}SH \bot HC\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$ nên A đúng.

b) Ta có $AC \bot HK$ và $AC \bot SH \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right)$

$ \Rightarrow AC \bot SK$ nên C đúng.

Câu 46 :

A

${60^0}$
B

${75^0}$
C

${45^0}$
D

${30^0}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABC} \right)$.

- Tính góc tìm được bởi tính chất các tam giác đã học.

Lời giải chi tiết :

Do H là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$

Vậy $AH$ là hình chiếu của $SA$ lên mp $\left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA;HA} \right) = \widehat {SAH}$ (do $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH$ hay $\widehat {SAH} <90^0$)

Mà: $\Delta ABC = \Delta SBC \Rightarrow SH = AH$

Vậy tam giác $SAH$ vuông cân tại $H$ $ \Rightarrow \widehat {SAH} = {45^0}$

Câu 47 :

A

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}.$
B

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{8}.$
C

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{12}}.$
D

${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}.$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Gọi $K$ là trung điểm của $BC$ và $I = SK \cap MN$

Từ giả thiết $ \Rightarrow \,\,MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2},$ $MN\parallel BC$$ \Rightarrow \,\,I$ là trung điểm của $SK$ và $BC.$

Ta có $\Delta \,SAB = \Delta \,SAC$$ \Rightarrow $ Hai trung tuyến tương ứng $AM = AN.$

$ \Rightarrow \,\,\Delta \,AMN$ cân tại $A$$ \Rightarrow \,\,AI \bot MN.$ Mà $\left( {SBC} \right) \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$

$ \Rightarrow \,\,AI \bot SK.$

Suy ra tam giác $SAK$ cân tại $A\,\, \Rightarrow \,\,SA = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Khi đó $S{K^2} = S{B^2} - B{K^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow AI = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{{SK}}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.$

Vậy diện tích tam giác $AMN$ là ${S_{\Delta \,AMN}} = \dfrac{1}{2}MN.AI = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}.$

Câu 48 :

A

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
B

$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
C

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
D

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm $BC.$ Tam giác $ABC $ vuông tại $A$ nên $H$ trung điểm của $BC.$

Theo giả thiết, ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$

Qua $B$ kẻ $Bx$//$AC$. Khi đó $\widehat {\left( {SB;AC} \right)} = \widehat {\left( {SB;Bx} \right)}$

Kẻ $HE \bot Bx$ tại $E$, cắt $AC$ tại $M$

Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{array}{l}BE = AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\\HE = HM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}Bx \bot HE\\Bx \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow Bx \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow Bx \bot SE$

Tam giác vuông $SEB$ vuông tại $E,$ có $\cot \widehat {SBE} = \dfrac{{BE}}{{SE}} = \dfrac{{AM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{6{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$

Câu 49 :

A

${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
B

${S_{\Delta \,ABC}} = {a^2}\sqrt 2 .$
C

${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
D

${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{6}.$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ đều $ \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\SI \bot AB\end{array} \right.$

Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$$ \Rightarrow $$SI \bot \left( {ABC} \right)$; $\left\{ \begin{array}{l}SI \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right).$

Kẻ $BK$ vuông góc với $SA$ tại $K,$ vì $AC \bot \left( {SAB} \right)$ nên $AC \bot BK \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)$ và $BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Do đó, góc giữa $BC$ và $mp\,\,\left( {SAC} \right)$ là $\widehat {BCK}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {BCK} = {30^0}.$

Khi đó $BC = \dfrac{{BK}}{{\sin \widehat {BCK}}} = a\sqrt 3 \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 .$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta \,ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$

Câu 50 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right)$ bằng:

A

$0$
B

$\dfrac{{n + 1}}{2}$
C

$n$
D

$1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đặt $x = \dfrac{1}{y}$, khi $x \to + \infty :\,\,\,y \to 0$ .

- Nhân liên hợp, tính $\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y}$.

Lời giải chi tiết :

Đặt $x = \dfrac{1}{y}$, khi $x \to + \infty :\,\,\,y \to 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{(x + 1)(x + 2)...(x + n)}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left( {\sqrt[n]{{\left( {\dfrac{1}{y} + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{y} + 2} \right)...\left( {\dfrac{1}{y} + n} \right)}} - \dfrac{1}{y}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y}$

$\begin{array}{l}\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1\\ = \sqrt[n]{{1 + y}} - \sqrt[n]{{1 + y}} + \sqrt[n]{{\left( {1 + y} \right)\left( {1 + 2y} \right)}} - \sqrt[n]{{\left( {1 + y} \right)\left( {1 + 2y} \right)}} + ... + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}\\\,\,\,\,\, - \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}} + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1\\ = \left( {\sqrt[n]{{1 + y}} - 1} \right) + \sqrt[n]{{1 + y}}\left( {\sqrt[n]{{1 + 2y}} - 1} \right) + ... + \sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}\left( {\sqrt[n]{{1 + ny}} - 1} \right)\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + y}} - 1} \right)}}{y}} \right] + \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{1 + y}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + 2y}} - 1} \right)}}{y}} \right] + ... + \\\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (n - 1)y)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ny}} - 1} \right)}}{y}} \right]\end{array}$

Tổng quát:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}.\dfrac{{\sqrt[n]{{1 + ky}} - 1}}{y}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ {\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right]}}{{y\left[ {{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right]}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{(1 + ky - 1).\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}}}{{y{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{k.\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + (k - 1)y)}}}}{{{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\sqrt[n]{{1 + ky}}} \right)}^{n - 2}} + ... + 1}} = \dfrac{k}{n}\end{array}$

Khi đó:

$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{(1 + y)(1 + 2y)...(1 + ny)}} - 1}}{y} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n} + ... + \dfrac{n}{n} = \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{n} = \dfrac{{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}}}{n} = \dfrac{{n + 1}}{2}$

Bài liên quan