Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu.

A

$m > 6$
B

$m \ge 6$
C

$m \le 6$
D

$m < 6$

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

A

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
B

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$
C

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
D

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$

Câu 3 :

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành

A

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
B

$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
C

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
D

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 4 :

Chọn công thức đúng:

A

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $
B

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b + \int\limits_a^b {vdu} $
C

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_b^a - \int\limits_a^b {vdu} $
D

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_b^a {vdu} $

Câu 5 :

Tọa độ trọng tâm tam giác $AOB$ với $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;0} \right)$ là:

A

$\left( {1;1; - 1} \right)$
B

$\left( { - 1;1; - 1} \right)$
C

$\left( {1;1; - \dfrac{1}{3}} \right)$
D

$\left( {3;3; - 1} \right)$

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)$và $\overrightarrow{b}=(-1;0;4)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$.

A
$\overrightarrow{u}=(13;12;-24).$
B
$\overrightarrow{u}=(3;-12;16).$
C
$\overrightarrow{u}=(13;-12;24).$
D
$\overrightarrow{u}=(13;-12;-24).$

Câu 7 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2};dv = \cos xdx$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $
B

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi + 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $
C

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi + 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $
D

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $

Câu 8 :

Cho $\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\,\text{d}x}=2.$ Khi đó $I=\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\,\text{d}x}$ bằng

A
2
B
1
C
-1
D
4

Câu 9 :

Cho hai hàm số $f,\,\,g$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
B

$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
C

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
D

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $

Câu 10 :

Chọn công thức đúng:

A

$\int {udv} = uv + \int {vdu} $
B

$\int {udv} = uv - \int {vdu} $
C

$\int {udv} = \int {uv} - \int {vdu} $
D

$\int {udv} = \int {uvdv} - \int {vdu} $

Câu 11 :

Tích phân $\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}$ bằng

A

$\frac{61}{9}$
B

$4.$
C

$61.$
D

$\frac{61}{3}$.

Câu 12 :

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ là:

A

$\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$
B

$\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$
C

$\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{{{\left( {\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} } \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\left( {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \right).\left( {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \right)}}$

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,\left( \alpha \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1; - 3;3} \right)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $H\left( {2;0;1} \right)$ , bán kính $r = 2$ . Phương trình (S) là:

A

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18$
B

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4$
C

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 18$
D

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$

Câu 14 :

Thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=2$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( 0\le x\le 2 \right)$ là một nửa đường tròn đường kính $\sqrt{5}{{x}^{2}}$ bằng :

A

$2\pi $
B

$5\pi $
C

$4\pi $
D
$3\pi $

Câu 15 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C

$M \in \left( P \right)$
D

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Câu 16 :

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b\,\,\left( a<b \right)$ là:

A
$S=\int\limits_{b}^{a}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
B
$S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$
C
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
D
$S=\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}$

Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(1;2;3),\,\,B( - 3; - 4; - 5)$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A
$\left( {1;1;1} \right)$.
B
$\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$.
C

$\left( { - 2; - 2; - 2} \right)$.
D
$\left( {4;6;8} \right)$.

Câu 18 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x-y+3z-1=0,\,\,\left( Q \right):\,\,y=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ ?

A

$3x+y-2z-2=0$
B

$3x-2z=0$
C

$3x-2z-1=0$
D
$3x-y+2z-4=0$

Câu 19 :

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A

$y = \sin x + 1$
B

$y = \cos x$
C

$y = \cot x$
D

$y = - \cos x$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc $\left( P \right)$

A
$M\left( {2; - 1;1} \right)$
B
$N\left( {0;1; - 2} \right)$
C
$P\left( {1; - 2;0} \right)$
D
$Q\left( {1; - 3; - 4} \right)$

Câu 21 :

Cho hàm số $F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} $. Giá trị nhỏ nhất của $F\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ là:

A

$ - 1$
B

$2$
C

$ - \dfrac{{55}}{{32}}$
D

$ - 2$

Câu 22 :

Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} $ . Giả sử đặt $u = \sqrt {3\tan x + 1} $ thì ta được:

A

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} $
B

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} $
C

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} $
D

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} $

Câu 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;2;3 \right)$. Tìm tọa độ điểm ${{A}_{1}}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$.

A
${A_1}\left( {1;0;0} \right)$.
B
${A_1}\left( {0;2;3} \right)$.
C
${{A}_{1}}\left( 1;0;3 \right)$.
D
${{A}_{1}}\left( 1;2;0 \right)$.

Câu 24 :

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z + 11 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y + 2z + 2 = 0$ . Tính khoảng cách giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

A

$9$
B

$6$
C

$5$
D

$3$

Câu 25 :

Cho vật thể $V$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = - 2$, mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ cắt $V$ theo thiết diện $S\left( x \right) = 2{x^2}$. Thể tích của $V$ được tính bởi:

A

$V = \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} $
B

$V = \int\limits_0^{ - 2} {2{x^2}dx} $
C

$V = \int\limits_{ - 2}^0 {2{x^2}dx} $
D

$V = \pi \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} $

Câu 26 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20$.

A

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 5\sqrt 2 $
B

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $
C

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$
D

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $

Câu 27 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):y-2z+1=0.$ Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ ?

A
$\vec{n}=\left( 1;-\,2;1 \right).$
B
$\vec{n}=\left( 1;-\,2;0 \right).$
C
$\vec{n}=\left( 0;1;-\,2 \right).$
D
$\vec{n}=\left( 0;2;4 \right).$

Câu 28 :

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

A

$S = \int_{ - 2}^2 {f(x)dx} $
B

$S = \int_1^{ - 2} {f(x)dx} + \int_1^2 {f(x)dx} $
C

$S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx} + \int_1^2 {f(x)dx} $
D

$S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx} - \int_1^2 {f(x)dx} $

Câu 29 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vector $\vec a = \left( {2;3; - 5} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = \left( {0; - 3;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = \left( {1; - 2;3} \right)$. Tọa độ vector $\vec n = 3\vec a + 2\vec b - \vec c$ là:

A

$\vec n = \left( {5;1; - 10} \right)$
B

$\vec n = \left( {7;1; - 4} \right)$
C

$\vec n = \left( {5;5; - 10} \right)$
D

$\vec n = \left( {5; - 5; - 10} \right)$

Câu 30 :

Cho tứ diện $ABCD$, biết $A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1; - 1} \right),C\left( {0;0;1} \right)$ và $G\left( {2; - 1;0} \right)$ là trọng tâm tứ diện. Thể tích khối tứ diện đã cho là:

A

$6$
B

$18$
C

$4$
D

$36$

Câu 31 :

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=1$. Tìm $F(x).$

A
$F\left( x \right)=\tan x-1$
B
$F\left( x \right)=-\tan x$
C
$F\left( x \right)=\tan x+1$
D
$F\left( x \right)=-\tan x+1$

Câu 32 :

Cho $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}$ và $\int {f\left( x \right)dx = - 2\int {{{\left( {{t^2} - m} \right)}^2}dt} } $ với $t = \sqrt {1 - x} $ , giá trị của $m$ bằng ?

A

$m = 2$
B

$m = - 2$
C

$m = 1$
D

$m = - 1$

Câu 33 :

Nếu $\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} = 0\left( {0 < a < 2\pi } \right)$ thì giá trị của $a$ là:

A

$\dfrac{\pi }{4}$
B

$\dfrac{\pi }{2}$
C

$\dfrac{{3\pi }}{2}$
D

$\dfrac{\pi }{3}$

Câu 34 :

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:

A

$0$.
B

$\frac{{64}}{3}$.
C

$7$.
D

$12,5$.

Câu 35 :

Giả sử rằng $I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} = a\ln \dfrac{2}{3} + b$. Khi đó giá trị của $a + 2b$ là :

A

$30$
B

$40$
C

$50$
D

$60$

Câu 36 :

Kết quả tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx} $ có dạng $I = a\ln 2 + b$ với $a,b \in Q$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$2a + b = 1$
B

${a^2} + {b^2} = 4$
C

$a - b = 1$
D

$ab = \dfrac{1}{2}$

Câu 37 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?

A

$0$
B

$1$
C

$3$
D

$2$

Câu 38 :

Giả sử rằng $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} = m\ln \dfrac{3}{2}$. Tìm giá trị của m.

A

$m = 1$
B

$m = \dfrac{1}{2}$
C

$m = \dfrac{2}{3}$
D

$m = - \dfrac{2}{3}$

Câu 39 :

Biết rằng$\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c} $, trong đó $a, b, c$ là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:

A

$ - \dfrac{1}{{13}}$
B

$ - \dfrac{5}{{13}}$
C

$\dfrac{5}{{13}}$
D

$\dfrac{1}{{13}}$

Câu 40 :

Biết $\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức $T=a+b+c$ là

A
$T=10$.
B
$T=9$.
C
$T=8$.
D
$T=11$.

Câu 41 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72$ và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

A

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C

$mn = 4$
D

$mn = - 4$

Câu 42 :

Tính $F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} d{\rm{x}}$. Hãy chọn đáp án đúng.

A

$F\left( x \right) = \sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} + C$.
B

$F\left( x \right) = \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}} + C$.
C

$F\left( x \right) = \sqrt {6 + \cos 2{\rm{x}}} + C$.
D

$F\left( x \right) = - \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}} + C$.

Câu 43 :

Cho hàm số $y=f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x\,\,(C)$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) và trục hoành. Phát biểu nào sau đây đúng?

A
$S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx+}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}$.
B
$S=\int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}$
C
$S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx-}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}$.
D
$S=\left| \int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx} \right|$.

Câu 44 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}$ và $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh $Ox$ bằng :

A

$\dfrac{{81\pi }}{{35}}$
B

$\dfrac{{53\pi }}{6}$
C

$\dfrac{{81}}{{35}}$
D

$\dfrac{{21\pi }}{5}$

Câu 45 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$

A

$3.$
B

$1.$
C

$4.$
D

$8.$

Câu 46 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

A

$\left( P \right):\,\,6x-3y+5z=0$
B

$\left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0$
C

$\left( P \right):\,\,2x-y-3z=0$
D

$\left( P \right):\,\,2x-y+3z=0$

Câu 47 :

Trong không gian với hệ tọa độ , cho $A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)$ và mặt phẳng (P). Gọi $D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)$ thuộc $(\alpha ) : 3x+4y+5z+1=0$ sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức $S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

A

S=18.
B

S=32.
C

S=20.
D

S=26.

Câu 48 :

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M\left( {2;1;5} \right)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC.$ Tính khoảng cách từ điểm $I\left( {1;2;3} \right)$ đến mặt phẳng $(P)$.

A
$\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}$
B
$\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}$
C
$\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}$
D
$\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}$

Câu 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Câu 50 :

Cho tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}$, tổng $m + n$

A

bằng $12$.
B

bằng $10$.
C

bằng $8$.
D

bằng $6$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

$m > 6$
B

$m \ge 6$
C

$m \le 6$
D

$m < 6$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu nếu ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Lời giải chi tiết :

$\left( S \right)$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với $a = - 1,b = - 1,c = - 2$ và $d = m$.

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

A

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
B

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$
C

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
D

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính bán kính mặt cầu $R = IA$

- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát:

Phương trình mặt cầu qua $I\left( {a,b,c} \right)$ và bán kính $R$có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính $R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}} = \sqrt {53} $

Do đó ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$

Câu 3 :

A

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
B

$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
C

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
D

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 4 :

Chọn công thức đúng:

A

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $
B

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b + \int\limits_a^b {vdu} $
C

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_b^a - \int\limits_a^b {vdu} $
D

$\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_b^a {vdu} $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân từng phần $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $

Lời giải chi tiết :

Công thức tính tích phân từng phần $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $

Câu 5 :

Tọa độ trọng tâm tam giác $AOB$ với $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;0} \right)$ là:

A

$\left( {1;1; - 1} \right)$
B

$\left( { - 1;1; - 1} \right)$
C

$\left( {1;1; - \dfrac{1}{3}} \right)$
D

$\left( {3;3; - 1} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác $G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Do $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;0} \right),O\left( {0;0;0} \right)$ nên tọa độ trọng tâm tam giác là: $\left( {\dfrac{{1 + 2 + 0}}{3};\dfrac{{2 + 1 + 0}}{3};\dfrac{{ - 1 + 0 + 0}}{3}} \right) = \left( {1;1; - \dfrac{1}{3}} \right)$

Câu 6 :

A
$\overrightarrow{u}=(13;12;-24).$
B
$\overrightarrow{u}=(3;-12;16).$
C
$\overrightarrow{u}=(13;-12;24).$
D
$\overrightarrow{u}=(13;-12;-24).$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức $k\overrightarrow a \pm l\overrightarrow b = \left( {k{a_1} \pm l{b_1};k{a_2} \pm l{b_2};k{a_3} \pm l{b_3}} \right)$

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)$, $\overrightarrow{b}=(-1;0;4)$ $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 4.2-5.(-1);\,\,\,\,4.(-3)-5.0;\,\,\,4.(-1)-5.4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(13;-12;-24)$

Câu 7 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2};dv = \cos xdx$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $
B

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi + 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $
C

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi + 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $
D

$I = {x^2}\sin x|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x\sin xdx} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân từng phần như đề bài đã đưa ra và tính.

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.$

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} $ hoặc $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} $

Lời giải chi tiết :

$I = \int\limits_0^\pi {{x^2}\cos xdx} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \int {\cos xdx} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin x\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^\pi - 2\int\limits_0^\pi {x.\sin xdx} $

Câu 8 :

Cho $\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\,\text{d}x}=2.$ Khi đó $I=\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\,\text{d}x}$ bằng

A
2
B
1
C
-1
D
4

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đổi biến $t={{x}^{2}}+1$, tính $dx$, đổi cận và thay vào tính $I$.

Lời giải chi tiết :

$\text{Đặt} \, \, \, t={{x}^{2}}+1\Rightarrow \text{d}t=2x\,\text{d}x,\,\,\left\{ \begin{align} & x=1\to t=2 \\ & x=2\to t=5 \\ \end{align} \right. \\ \Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{5}{f\left( t \right)\,\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{I}{2}\Rightarrow I=4.$

Câu 9 :

Cho hai hàm số $f,\,\,g$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
B

$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
C

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
D

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án B: sai vì $x$ không phải hằng số nên không đưa được ra ngoài dấu tích phân.

Đáp án C: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án D: đúng theo tính chất tích phân.

Câu 10 :

Chọn công thức đúng:

A

$\int {udv} = uv + \int {vdu} $
B

$\int {udv} = uv - \int {vdu} $
C

$\int {udv} = \int {uv} - \int {vdu} $
D

$\int {udv} = \int {uvdv} - \int {vdu} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int {udv} = uv - \int {vdu} $

Lời giải chi tiết :

Công thức đúng là $\int {udv} = uv - \int {vdu} $.

Câu 11 :

Tích phân $\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}$ bằng

A

$\frac{61}{9}$
B

$4.$
C

$61.$
D

$\frac{61}{3}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}} + C$

Lời giải chi tiết :

$\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}$

Câu 12 :

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ là:

A

$\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$
B

$\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$
C

$\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{{{\left( {\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} } \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\left( {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \right).\left( {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \right)}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} $ là: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$

Câu 13 :

A

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18$
B

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4$
C

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 18$
D

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Xác định bán kính mặt cầu $(S)$.

+Phương trình mặt cầu: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Lời giải chi tiết :

Gọi $E $ là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có $IH = d\left( {I,(\alpha)} \right);\,R = IE;\,r=HE$

$IH = \sqrt {1 + {3^2} + {(-2)^2}} = \sqrt {14} $

Tam giác $IHE$ vuông tại $H$ nên $IE = \sqrt {I{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {14 + 4} = \sqrt {18} $

Suy ra phương trình mặt cầu $(S)$ là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18$.

Câu 14 :

A

$2\pi $
B

$5\pi $
C

$4\pi $
D
$3\pi $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích $V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết :

Diện tích nửa hình tròn đường kính $\sqrt{5}{{x}^{2}}$ là $S\left( x \right)=\frac{1}{2}.\pi {{\left( \frac{\sqrt{5}{{x}^{2}}}{2} \right)}^{2}}=\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}$.

Vậy $V=\int\limits_{0}^{2}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}dx}=\frac{5\pi }{8}\left. \frac{{{x}^{5}}}{5} \right|_{0}^{2}=4\pi $.

Câu 15 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C

$M \in \left( P \right)$
D

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính khoảng cách từ $M$ đến hai mặt phẳng trên, từ đó suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$ nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó $M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)$ nên C sai.

Câu 16 :

A
$S=\int\limits_{b}^{a}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
B
$S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$
C
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
D
$S=\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b\,\,\left( a<b \right)$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$.

Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(1;2;3),\,\,B( - 3; - 4; - 5)$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A
$\left( {1;1;1} \right)$.
B
$\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$.
C

$\left( { - 2; - 2; - 2} \right)$.
D
$\left( {4;6;8} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 - 3}}{2} = - 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 - 4}}{2} = - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 - 5}}{2} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1; - 1)$

Câu 18 :

A

$3x+y-2z-2=0$
B

$3x-2z=0$
C

$3x-2z-1=0$
D
$3x-y+2z-4=0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

${{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right]$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;3 \right);\,\,{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 0;1;0 \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right]=\left( -3;0;2 \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( R \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( R \right):\,\,-3\left( x-1 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2z-1=0$

Câu 19 :

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A

$y = \sin x + 1$
B

$y = \cos x$
C

$y = \cot x$
D

$y = - \cos x$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc $\left( P \right)$

A
$M\left( {2; - 1;1} \right)$
B
$N\left( {0;1; - 2} \right)$
C
$P\left( {1; - 2;0} \right)$
D
$Q\left( {1; - 3; - 4} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ nếu và chỉ nếu $a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d = 0$.

Lời giải chi tiết :

Dễ thấy $2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0$$ \Rightarrow $ điểm $Q$ thuộc $\left( P \right)$

Câu 21 :

Cho hàm số $F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} $. Giá trị nhỏ nhất của $F\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ là:

A

$ - 1$
B

$2$
C

$ - \dfrac{{55}}{{32}}$
D

$ - 2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} = \left. {\left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} + t} \right)} \right|_1^x = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \dfrac{3}{2}$

Hàm số $y = F\left( x \right)$ là hàm số bậc hai, hệ số $a > 0$ nên nó đạt GTNN tại $x = -1 \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Khi đó $F(-1)=\dfrac{1}{2}+(-1)-\dfrac{3}{2}=-2$

Câu 22 :

Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} $ . Giả sử đặt $u = \sqrt {3\tan x + 1} $ thì ta được:

A

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} $
B

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} $
C

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} $
D

$I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right) = \sqrt {3\tan x + 1} $.

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

Lời giải chi tiết :

$I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} $

Đặt $u = \sqrt {3\tan x + 1} \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{2udu}}{3}$$I = \int {\dfrac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)} } du$

Câu 23 :

A
${A_1}\left( {1;0;0} \right)$.
B
${A_1}\left( {0;2;3} \right)$.
C
${{A}_{1}}\left( 1;0;3 \right)$.
D
${{A}_{1}}\left( 1;2;0 \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tọa độ điểm hình chiếu trên mặt phẳng đặc biệt

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right):\;x = 0.$

Tọa độ điểm ${{A}_{1}}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là: ${A_1}\left( {0;2;3} \right)$.

Câu 24 :

A

$9$
B

$6$
C

$5$
D

$3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng này.

- Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.

- Bước 3: Kết luận: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Nhận xét $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng song song.

Chọn $A\left( { - 11,0,0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ . Ta có

$d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \dfrac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3$

Câu 25 :

A

$V = \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} $
B

$V = \int\limits_0^{ - 2} {2{x^2}dx} $
C

$V = \int\limits_{ - 2}^0 {2{x^2}dx} $
D

$V = \pi \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích vật thể biết thiết diện $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} $

Lời giải chi tiết :

Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {2{x^2}dx} $

Câu 26 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20$.

A

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 5\sqrt 2 $
B

$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $
C

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$
D

$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 2\sqrt 5 $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Mặt cầu có phương trình ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R $

Lời giải chi tiết :

Phương trình có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ với $a = 1,b = - 2,c = 4$ và $R = 2\sqrt 5 $

có tâm $I\left( {1; - 2;4} \right)$.

Câu 27 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):y-2z+1=0.$ Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ ?

A
$\vec{n}=\left( 1;-\,2;1 \right).$
B
$\vec{n}=\left( 1;-\,2;0 \right).$
C
$\vec{n}=\left( 0;1;-\,2 \right).$
D
$\vec{n}=\left( 0;2;4 \right).$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $ax+by+cz+d=0\,\,\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( a;b;c \right)$

Lời giải chi tiết :

Vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\vec{n}=\left( 0;1;-\,2 \right).$

Câu 28 :

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

A

$S = \int_{ - 2}^2 {f(x)dx} $
B

$S = \int_1^{ - 2} {f(x)dx} + \int_1^2 {f(x)dx} $
C

$S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx} + \int_1^2 {f(x)dx} $
D

$S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx} - \int_1^2 {f(x)dx} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|$

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $

Lời giải chi tiết :

Nhận thấy phần đồ thị chia làm 2 phần, chú ý đến cận của từng phần.

Phần 1 có cận từ $ - 2$ đến $1$ nhưng trong $\left( { - 1;2} \right)$, đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.

Phần 2 có cận từ 1 đến 2 và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Vậy $S = \int_{-2}^{ 1} ({-f(x))dx} + \int_1^2 {f(x)dx} = \int_1^{ - 2} {f(x)dx} + \int_1^2 {f(x)dx} $

Câu 29 :

A

$\vec n = \left( {5;1; - 10} \right)$
B

$\vec n = \left( {7;1; - 4} \right)$
C

$\vec n = \left( {5;5; - 10} \right)$
D

$\vec n = \left( {5; - 5; - 10} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức $k\overrightarrow a \pm l\overrightarrow b = \left( {k{a_1} \pm l{b_1};k{a_2} \pm l{b_2};k{a_3} \pm l{b_3}} \right)$

Lời giải chi tiết :

$\vec n = 3\left( {2;3; - 5} \right) + 2\left( {0; - 3;4} \right) - \left( {1; - 2;3} \right) = \left( {5;5; - 10} \right)$

Câu 30 :

A

$6$
B

$18$
C

$4$
D

$36$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ điểm $D$ dựa vào công thức trọng tâm.

- Tính thể tích khối tứ diện theo công thức $V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

Lời giải chi tiết :

$G$ là trọng tâm tứ diện nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4{x_G} - {x_A} - {x_B} - {x_C} = 4.2 - 1 - 0 - 0 = 7\\{y_D} = 4{y_G} - {y_A} - {y_B} - {y_C} = 4.\left( { - 1} \right) - 2 - 1 - 0 = - 7\\{z_D} = 4{z_G} - {z_A} - {z_B} - {z_C} = 4.0 - 0 - \left( { - 1} \right) - 1 = 0\end{array} \right.$ $ \Rightarrow D\left( {7; - 7;0} \right)$

Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 2;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {6; - 9;0} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;2;1} \right)$ $ \Rightarrow V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| { - 3.6 + 2.\left( { - 9} \right) + 1.0} \right| = 6$

Câu 31 :

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=1$. Tìm $F(x).$

A
$F\left( x \right)=\tan x-1$
B
$F\left( x \right)=-\tan x$
C
$F\left( x \right)=\tan x+1$
D
$F\left( x \right)=-\tan x+1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Tìm $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}$

+) Sử dụng giả thiết $F\left( 0 \right)=1$ tìm hằng số $C.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=-\tan x+C$

$F\left( 0 \right)=1\Leftrightarrow -\tan 0+C=1\Leftrightarrow C=1\Rightarrow F\left( x \right)=-\tan x+1$

Câu 32 :

A

$m = 2$
B

$m = - 2$
C

$m = 1$
D

$m = - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right) = \sqrt {1 - x} $.

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

Lời giải chi tiết :

$f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}$ và $t = \sqrt {1 - x} \Rightarrow 1 - x = {t^2} \Rightarrow x = 1 - {t^2} \Rightarrow dx = - 2tdt$

$ \Rightarrow \int {f\left( x \right)} dx = \int {\dfrac{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\int {{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}dt} = - 2\int {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}dt} } $

$\Rightarrow m = 1$

Câu 33 :

Nếu $\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} = 0\left( {0 < a < 2\pi } \right)$ thì giá trị của $a$ là:

A

$\dfrac{\pi }{4}$
B

$\dfrac{\pi }{2}$
C

$\dfrac{{3\pi }}{2}$
D

$\dfrac{\pi }{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nguyên hàm hàm lượng giác $\int {\sin xdx} = - \cos x + C;\int {\cos xdx} = \sin x + C$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx} = 0 \Leftrightarrow \left. {\sin x} \right|_0^a - \left. {\cos x} \right|_0^a = 0 \Leftrightarrow \sin a - \cos a + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\a - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow a = \dfrac{{3\pi }}{2}\left( {0 < a < 2\pi } \right)\end{array}$

Câu 34 :

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:

A

$0$.
B

$\frac{{64}}{3}$.
C

$7$.
D

$12,5$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phá dấu giá trị tuyệt đối trong từng khoảng rồi tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{c}\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {(x - 3)(x + 1)} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^3 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx} \\ = - \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_{ - 1}^3 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_3^5 = \dfrac{{64}}{3}.\end{array}$

Câu 35 :

Giả sử rằng $I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} = a\ln \dfrac{2}{3} + b$. Khi đó giá trị của $a + 2b$ là :

A

$30$
B

$40$
C

$50$
D

$60$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bậc tử lớn hơn bậc mẫu $ \Rightarrow $ Chia tử cho mẫu.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {3x + 11 + \dfrac{{21}}{{x - 2}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{3{x^2}}}{2} + 11x + 21\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 = 21\ln 2 + \dfrac{{19}}{2} - 21\ln 3 = 21\ln \dfrac{2}{3} + \dfrac{{19}}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 21\\b = \dfrac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 21 + 19 = 40\end{array}$

Câu 36 :

A

$2a + b = 1$
B

${a^2} + {b^2} = 4$
C

$a - b = 1$
D

$ab = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Cách 1: Đặt $t = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow dt = 2\ln x\dfrac{{dx}}{x} \Rightarrow \dfrac{{\ln xdx}}{x} = \dfrac{{dt}}{2}$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{dt}}{t}} = \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| t \right|} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2}\ln 2 = a\ln 2 + b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2a + b = 1$

Câu 37 :

A

$0$
B

$1$
C

$3$
D

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Nguyên hàm hai vế tìm f(x).

+) Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right){{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}dx} = \int\limits_{}^{} {x{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{}^{} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \int\limits_{}^{} {xd\left( {{e^x}} \right)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx} + C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - {e^x} + C\\ \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + C} \right)\\f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow {1^{2019}} = 2019C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{2019}}\\ \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e} \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} = 0\end{array}\)

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}}$ ta có

$f'\left( x \right) = 2019\left( {{e^x} + x{e^x} - {e^x}} \right) = 2019x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$f\left( 0 \right) = - 2018 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} < 0$

Lập BBT ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $ \Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 38 :

Giả sử rằng $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} = m\ln \dfrac{3}{2}$. Tìm giá trị của m.

A

$m = 1$
B

$m = \dfrac{1}{2}$
C

$m = \dfrac{2}{3}$
D

$m = - \dfrac{2}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đặt $\cos x = \tan a$

Lời giải chi tiết :

Đặt $\cos x = \tan a \Leftrightarrow - \sin xdx = \left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)da$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow a = \arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$, khi đó ta có: $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\dfrac{{ - \left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)da}}{{\tan a\left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)}}} = \int\limits_{\arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos ada}}{{\sin a}}} $

Đặt $u = \sin a \Leftrightarrow du = \cos ada$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow u = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\a = \arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow u = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$ , khi đó ta có:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\dfrac{{du}}{u}} = \left. {\ln u} \right|_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} = \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \ln \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{1}{2}\ln {\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow m = \dfrac{1}{2}\end{array}$

Câu 39 :

Biết rằng$\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c} $, trong đó $a, b, c$ là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:

A

$ - \dfrac{1}{{13}}$
B

$ - \dfrac{5}{{13}}$
C

$\dfrac{5}{{13}}$
D

$\dfrac{1}{{13}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đối với bài toán này ta có thể tính đạo hàm rồi đồng nhất hệ số tìm $a,b,c$.

Lời giải chi tiết :

Đặt$f\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$. Ta có

$f'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x $

$= \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x$

Để $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${e^{2x}}\cos 3x$, điều kiện là

$f'\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 1\\2b - 3a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{{13}}\\b = \dfrac{3}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{{13}}$

Câu 40 :

Biết $\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức $T=a+b+c$ là

A
$T=10$.
B
$T=9$.
C
$T=8$.
D
$T=11$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đặt ${{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt$.

Đổi cận:

$\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 9\\
x = 4 \Rightarrow t = 25
\end{array}$

Khi đó, ta có: $I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]$

$=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8$

Suy ra, $a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8$

Câu 41 :

A

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C

$mn = 4$
D

$mn = - 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ biết VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ và đi qua $A$.

- $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)$.

- Tìm GTLN của biểu thức $d\left( {B,\left( P \right)} \right)$ và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

Câu 42 :

Tính $F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} d{\rm{x}}$. Hãy chọn đáp án đúng.

A

$F\left( x \right) = \sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} + C$.
B

$F\left( x \right) = \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}} + C$.
C

$F\left( x \right) = \sqrt {6 + \cos 2{\rm{x}}} + C$.
D

$F\left( x \right) = - \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}} + C$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm rồi sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $4{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x + 3 = \frac{{4\left( {1 - \cos 2x} \right)}}{2} + \frac{{2\left( {1 + \cos 2x} \right)}}{2} + 3 = 6 - \cos 2x$

$\int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} d{\rm{x}} = \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} }}} d{\rm{x}}$

Đặt $u=6-\cos2x =>du=d(6-\cos2x)=2\sin2xdx$

=> $\sin2xdx=\dfrac{d(6-\cos2x)}{2}$

=>$ \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} }}} d{\rm{x}}$ ${\rm{ = }}\int {\dfrac{{d\left( {6 - \cos 2{\rm{x}}} \right)}}{{2\sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} }}} = \sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} + C$

Câu 43 :

Cho hàm số $y=f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x\,\,(C)$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) và trục hoành. Phát biểu nào sau đây đúng?

A
$S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx+}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}$.
B
$S=\int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}$
C
$S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx-}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}$.
D
$S=\left| \int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx} \right|$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),\,\,y=g(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a;\,\,x=b$ được tính theo công thức : $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|dx}$

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) và trục hoành là:

$S=\int\limits_{-1}^{4}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right|dx+}\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx-}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}$

Câu 44 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}$ và $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh $Ox$ bằng :

A

$\dfrac{{81\pi }}{{35}}$
B

$\dfrac{{53\pi }}{6}$
C

$\dfrac{{81}}{{35}}$
D

$\dfrac{{21\pi }}{5}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục $Ox$.

- Tính thể tích theo công thức $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$

$V=\pi {{\int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}}^{2}}d\text{x }=\pi \int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{9}{{x}^{6}}-\dfrac{2}{3}{{x}^{5}}+{{x}^{4}} \right)}dx$

$=\left. \pi \left( \dfrac{1}{63}{{x}^{7}}-\dfrac{1}{9}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{5}{{x}^{5}} \right) \right|_{0}^{3}=\dfrac{81}{35}\pi $

Câu 45 :

A

$3.$
B

$1.$
C

$4.$
D

$8.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Gọi $A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng đoạn chắn.

+) Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) sau đó suy ra mối quan hệ giữa a, b, c.

Lời giải chi tiết :

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)$ là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b = - \,c\\a = - \,b = - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b = - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$

Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 46 :

A

$\left( P \right):\,\,6x-3y+5z=0$
B

$\left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0$
C

$\left( P \right):\,\,2x-y-3z=0$
D

$\left( P \right):\,\,2x-y+3z=0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$\left( P \right)$ cách đều $B,C\Leftrightarrow d\left( B;\left( P \right) \right)=d\left( C;\left( P \right) \right)$

TH1: $BC//\left( P \right)$

TH2: $I\in \left( P \right)$, với I là trung điểm của $BC$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left( -1;-2;0 \right)$

$\left( P \right)$ cách đều $B,C\Leftrightarrow d\left( B;\left( P \right) \right)=d\left( C;\left( P \right) \right)$

TH1: $BC//\left( P \right)$

$\overrightarrow{BC}=\left( 0;4;-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{BC} \right]=\left( 6;-3;-4 \right)\Rightarrow \left( P \right)$ đi qua O và nhận $\overrightarrow{b}=\left( 6;-3;-4 \right)$ là 1 VTPT

$\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y-4z=0\Leftrightarrow \left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0$

TH2: $I\in \left( P \right)$, với I là trung điểm của $BC$.

$\begin{align}I\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OI} \right]=\frac{1}{2}\left( 6;-3;4 \right) \\~\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y+4z=0 \\\end{align}$

Do đó có hai mặt phẳng thỏa mãn là: $-6x+3y+4z=0$ và $6x-3y+4z=0$.

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.

Câu 47 :

A

S=18.
B

S=32.
C

S=20.
D

S=26.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Vì ${d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}$ nên AB cắt (P) tại điểm I $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.$

Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D thẳng hàng hay $D = IC \cap (\alpha )$

+ Nếu $I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right. $

Thay các tọa độ trên vào phương trình $(\alpha) $ ta được:

$3\left( {2 + 6t} \right) + 4t + 5\left( {1 - 2t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)$ ( thỏa mãn )

+ Nếu $I( - 1;2;0) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right. $

Thay các tọa độ trên vào phương trình $(\alpha) $ ta được:

$3\left( {2 + 3t} \right) + 4.(-2t) + 5\left( {1 +t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

$\Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)$ ( loại)

Vậy $D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26$

Câu 48 :

A
$\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}$
B
$\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}$
C
$\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}$
D
$\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tứ diện vuông O.ABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là trực tâm của tam giác ABC thì OH vuông với với mặt phẳng (ABC)

Lời giải chi tiết :

Vì $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$$ \Rightarrow \,\,OM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \,\,{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {OM} = \left( {2;1;5} \right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $2\left( {x - 2} \right) + y - 1 + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 30 = 0.$

Khoảng cách từ điểm $I\left( {1;2;3} \right)$ đến mặt phẳng (P) là $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 15 - 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}.$

Câu 49 :

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Câu 50 :

A

bằng $12$.
B

bằng $10$.
C

bằng $8$.
D

bằng $6$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

- Trong các tích phân có hàm logarit và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{3\cos x - \sin x}}{{3\sin x + \cos x}}\,\,dx\\v = - \cot x - 3 = - \dfrac{{3\sin x + \cos x}}{{\sin x}}\end{array} \right.$.

Khi đó $I = \left. {\left[ { - \left( {\cot x + 3} \right)\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)} \right]} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{3\cos x - \sin x}}{{\sin x}}\,\,dx} .$

$\begin{array}{l} = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {dx} + 3.\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} \\ = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {dx} + 3\left. {\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}\\ = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4} - 3.\ln \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ = 12ln\sqrt 2 - 3\ln 3 - \dfrac{\pi }{4} + 3\ln \sqrt 2 = 15.\ln \sqrt 2 - 3.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 15\\n = - 3\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 12.\end{array}$

Bài liên quan