Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 1

Đề bài

Câu 1 :

Cho tứ diện $ABCD$ và $G$ là trọng tâm tứ diện. Chọn kết luận đúng:

A

${x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} = 4{x_G}$
B

${x_A} + {x_B} = {x_C} + {x_D} = 2{x_G}$
C

${y_A} - {y_B} - {y_C} - {y_D} = 4{y_G}$
D

$4\left( {{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}} \right) = {z_G}$

Câu 2 :

Cho $\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là cặp VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A

$\left( {1;2;0} \right)$
B

$\left( {2;11; - 7} \right)$
C

$\left( {4; - 22; - 14} \right)$
D

$\left( {2;2; - 4} \right)$

Câu 3 :

Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?

A

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}$
B

$y = {2^x}$
C

$y = 3{x^3}$
D

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - x}}$

Câu 4 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ trùng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$
B

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ trùng với đồ thị hàm số $y = {2^{ - x}}$.
C

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ qua trục hoành
D

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ qua trục tung.

Câu 5 :

Thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=2$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( 0\le x\le 2 \right)$ là một nửa đường tròn đường kính $\sqrt{5}{{x}^{2}}$ bằng :

A

$2\pi $
B

$5\pi $
C

$4\pi $
D
$3\pi $

Câu 6 :

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $a$. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $\dfrac{a}{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ.

A

$\pi {a^3}\sqrt 3 $
B

$\pi {a^3}$
C

$\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}$
D

$3\pi {a^3}$

Câu 7 :

Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là $D,M,C$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$D - C + M = 2$
B

$D + C - M = 2$
C

$D + C + M = 2$
D

$D - C + M = 0$

Câu 8 :

Thể tích của vật tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm $y=\tan x$, trục $Ox$, đường thẳng $x=0$, đường thẳng $x=\frac{\pi }{3}$ quanh trục $Ox$ là

A

$V=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$.
B

$V=\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}$.
C

$V=\pi \sqrt{3}+\frac{{{\pi }^{2}}}{3}$.
D
$V=\pi \sqrt{3}-\frac{{{\pi }^{2}}}{3}$

Câu 9 :

Độ dài đoạn thẳng $AB$ với $A\left( {2;1;0} \right),B\left( {4; - 1;1} \right)$ là một số:

A

nguyên âm
B

vô tỉ
C

nguyên dương
D

bằng $0$

Câu 10 :

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$

A

$m = 1$
B

$m = 2$
C

$m = 3$
D

$m = 4$

Câu 11 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}$. Khi đó, nếu đặt $x = \tan t$ thì:

A

$f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt$
B

$f\left( x \right)dx = dt$
C

$f\left( x \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dt$
D

$f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt$

Câu 12 :

Cho số dương $a$ thỏa mãn điều kiện hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol $y=a{{x}^{2}}-2$ và $y=4-2a{{x}^{2}}$ có diện tích bằng $16$. Giá trị của $a$ bằng

A

$1$
B
$\frac{1}{2}.$
C
$\frac{1}{4}.$
D

$2$

Câu 13 :

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $AB = 2a,AC = a,AA' = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2},\widehat {BAC} = {120^0}$. Hình chiếu vuông góc của $C’$ lên $(ABC)$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ theo $a$?

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
B

$\dfrac{{3{a^3}}}{4}$
C

$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
D

${a^3}\sqrt 3 $

Câu 14 :

Hình trụ có bán kính $r = 5cm$ và chiều cao $h = 3cm$ có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?

A

$251,3c{m^2}$
B

$141,3c{m^2}$
C

$172,8c{m^2}$
D

$125,7c{m^2}$

Câu 15 :

Đẳng thức $\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$ xảy ra khi:

A

$x < 0$
B

$x > 0$
C

$x \ge 0$
D

$x \in R$

Câu 16 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$

A

$y = \sin x - 3x$
B

$y = \cos x + 2x$
C

$y = {x^3}$
D

$y = {x^5}$

Câu 17 :

Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Thể tích của khối lập phương cạnh $2a$ bằng:

A

${a^3}$
B

$2{a^3}$
C

$8{a^3}$
D

$4{a^3}$

Câu 18 :

Chọn kết luận sai:

A

$\int\limits_0^1 {{x^3}dx} \ge 0$
B

$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} > \dfrac{\pi }{2}$
C

$\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \ge 0$
D

$\int\limits_1^2 {\left( {x - \sin x} \right)dx} \ge 0$

Câu 19 :

Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:

A

$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
B

$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
C

$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
D

$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$

Câu 20 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\forall b \in \left[ {a;c} \right]$
B

Nếu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0$ thì $f\left( x \right) \ge 0$ trên $\left[ {a;b} \right]$
C

$\int {xdx} = 1 + C$
D

Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì $\sqrt {F\left( x \right)} $ là nguyên hàm của $\sqrt {f\left( x \right)} $.

Câu 21 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.$
B

$\int{0\,\text{d}x}=C.$
C

$\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.$
D

$\int{\text{dx}}=x+C.$

Câu 22 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 - x} \right)}}{x} = 1$
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln x}}{x} = 1$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}} = 1$

Câu 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j $. Tọa độ của điểm $M$ là:

A
$M\left( {2;0;1} \right)$
B
$M\left( {2;1;0} \right)$
C
$M\left( {0;2;1} \right)$
D
$M\left( {1;2;0} \right)$

Câu 24 :

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\cos 2x$ là :

A

$\dfrac{{x\sin 2x}}{2} - \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C$
B

$x\sin 2x - \dfrac{{\cos 2x}}{2} + C$
C

$x\sin 2x + \dfrac{{\cos 2x}}{2} + C$
D

$\dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C$

Câu 25 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx} $. Đặt $u = 8 + \cos x$ thì kết quả nào sau đây là đúng?

A

$I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} $
B

$I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u du} $
C

$I = \int\limits_9^8 {\sqrt u du} $
D

$I = \int\limits_8^9 {\sqrt u du} $

Câu 26 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
B

Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
C

Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
D

Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu

Câu 27 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:

A

$f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
B

$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
C

$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$
D

$f\left( {{x_2}} \right) \ge f\left( {{x_1}} \right)$

Câu 28 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và mặt bên hợp với đáy một góc ${60^0}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{{24}}$

Câu 29 :

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác $2$?

A

$\int\limits_1^{{e^2}} {\ln xdx} $.
B

$\int\limits_0^1 {2dx} $.
C

$\int\limits_0^\pi {\sin xdx} $.
D

$\int\limits_0^2 {xdx} $.

Câu 30 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{2{x^2} - 3{x} + m}}{{x - m}}$ . Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giá trị của tham số $m$ là:

A

$m = 0$
B

$m = 0;m = 1$
C

$m = 1$
D

Không tồn tại $m$

Câu 31 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định liên tục trên R có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$
B

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $x = - 1$
C

Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - 2$
D

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( {1;\, - 2} \right)$

Câu 32 :

Một người vay ngân hàng một số tiền với lãi suất mỗi tháng là $1,12\% $. Biết cuối mỗi tháng người đó phải trả cho ngân hàng $3.000.000$ đồng và trả trong $1$ năm thì hết nợ. Số tiền người đó vay là:

A

$33510627$ đồng
B

$50341123$ đồng
C

$30453210$ đồng
D

$29340240$ đồng

Câu 33 :

Cho $I = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^{2x}}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}} = a{t^3} + bt + C$ với $t = \sqrt {{e^x} - 1} $. Giá trị biểu thức $A = {a^2} + {b^2}$ bằng:

A

$\dfrac{{52}}{9}$
B

$\dfrac{{40}}{9}$
C

$\dfrac{{47}}{9}$
D

$\dfrac{{46}}{9}$

Câu 34 :

Nguyên hàm của hàm số $f(x) ={\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} $ là:

A

$I = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$
B

$I = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \dfrac{1}{2}\sin 2x + C$
C

$I = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$
D

$I = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$

Câu 35 :

Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} $

A

$I = - \dfrac{1}{4}{\pi ^4}$
B

$I = - {\pi ^4}$
C

$I = 0 $
D

$I = - \dfrac{1}{4}$

Câu 36 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = 1$ và $f\left( 1 \right) - 2f\left( 0 \right) = 2.$

Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} .$

A

$I = 0.$
B

$I = 3.$
C

$I = - \,1.$
D

$I = 1.$

Câu 37 :

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4$ là:

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$0$

Câu 38 :

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ và cắt trục hoành tại điểm $x=c\,\,\left( a<c<b \right)$ (như hình vẽ bên) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a;x=b$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A
$S=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$
B
$S=-\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$
C
$S=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$
D
$S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$

Câu 39 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $a\sqrt 3 $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
B

$4{a^3}\sqrt 3 $
C

${a^3}\sqrt 3 $
D

$\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Câu 40 :

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau, $AB = 6a,AC = 7a,AD = 4a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$. Thể tích $V$ của tứ diện $AMNP$ là:

A

$V = \dfrac{{7{a^3}}}{2}$
B

$V = 14{a^3}$
C

$V = \dfrac{{28{a^3}}}{3}$
D

$V = 7{a^3}$

Câu 41 :

Cho hình nón có các kích thước $r = 1;h = 2$ với $r,h$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:

A

$3\pi $
B

$1 + \sqrt 5 \pi $
C

$\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\pi $
D

$\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi $

Câu 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,{\rm{ }}\left| {\overrightarrow b } \right| = 5$ và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^0}$. Độ dài của vectơ $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ bằng:

A

$10$.
B

$5$.
C

$8$.
D

$5\sqrt 3 $.

Câu 43 :

Cho hai điểm $M\left( {1; - 2; - 4} \right),M'\left( {5; - 4;2} \right)$. Biết $M'$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó, phương trình $\left( P \right)$ là:

A

$2x - y + 3z + 20 = 0$
B

$2x - y + 3z + 12 = 0$
C

$2x - y + 3z - 20 = 0$
D

$2y + y - 3z + 20 = 0$

Câu 44 :

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {3;4;1} \right)$ và giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( Q \right):19x - 6y - 4z + 27 = 0$ và $\left( R \right):42x - 8y + 3z + 11 = 0$ là:

A

$3x + 2y + 6z - 23 = 0$
B

$3x - 2y + 6z - 23 = 0$
C

$3x + 2y + 6z + 23 = 0$
D

$3x + 2y + 6z - 12 = 0$

Câu 45 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right)$ và $\vec c = \left( {0;m - 2;2} \right)$. Giá trị $m$ bằng bao nhiêu để ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng

A

$m = \dfrac{3}{5}$
B

$m = \dfrac{2}{5}$
C

$m = \dfrac{3}{4}$
D

$m = \dfrac{2}{3}$

Câu 46 :

Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $ có tọa độ là

A

$\left( {0; - 9;9} \right)$
B

$\left( {0; - 4;4} \right)$
C

$\left( {0;4; - 4} \right)$
D

$\left( {0;9; - 9} \right)$

Câu 47 :

Cho hai hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{{m^2} - 8 - x}}$ và $y = \dfrac{{5 - 2x}}{{x + 4}}$. Tập hợp các giá trị của tham số $m$ để hai đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau là:

A

$\left\{ { - 2;2} \right\}$
B

$\left\{ { - 1;2} \right\}$
C

$\left\{ {0;0} \right\}$
D

$\left\{ {2;3} \right\}$

Câu 48 :

Tìm thể tích $V$ của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$ khi quay quanh trục $Ox.$

A
$V=24{{\pi }^{2}}.$
B
$V=24\pi .$
C
$V=16\pi .$
D
$V=36{{\pi }^{2}}.$

Câu 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(1;2;3)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng $(P)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C . Tính thể tích khối chóp O.ABC.

A

$\dfrac{{1372}}{9}.$
B

$\dfrac{{686}}{9}.$
C

$\dfrac{{524}}{3}.$
D

$\dfrac{{343}}{9}.$

Câu 50 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},\ \ y=0,\ x=0,\ x=1$ xung quanh trục $Ox$ là:

A
$V=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
B
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx.}$
C
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
D
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx.}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tứ diện $ABCD$ và $G$ là trọng tâm tứ diện. Chọn kết luận đúng:

A

${x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} = 4{x_G}$
B

${x_A} + {x_B} = {x_C} + {x_D} = 2{x_G}$
C

${y_A} - {y_B} - {y_C} - {y_D} = 4{y_G}$
D

$4\left( {{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}} \right) = {z_G}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tọa độ trọng tâm tứ diện $ABCD$ là $G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Do $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} = 4{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} = 4{y_G}\\{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} = 4{z_G}\end{array} \right.$

Câu 2 :

A

$\left( {1;2;0} \right)$
B

$\left( {2;11; - 7} \right)$
C

$\left( {4; - 22; - 14} \right)$
D

$\left( {2;2; - 4} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ là cặp VTCP của $\left( P \right)$ thì $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ là một VTPT của $\left( P \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)$

Do đó $\overrightarrow n = \left( {4;22; - 14} \right)$ là một VTPT của $\left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{2}\overrightarrow n = \left( {2;11; - 7} \right)$ cũng là một VTPT của $\left( P \right)$.

Câu 3 :

Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?

A

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}$
B

$y = {2^x}$
C

$y = 3{x^3}$
D

$y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - x}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Lời giải chi tiết :

Dáng đồ thị là của hàm số $y = {a^x}$ với $a > 1$ nên loại A và C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;3} \right)$ nên chỉ có D thỏa mãn.

Câu 4 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ trùng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$
B

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ trùng với đồ thị hàm số $y = {2^{ - x}}$.
C

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ qua trục hoành
D

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ qua trục tung.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi các hàm số mũ và nhận xét đồ thị của chúng

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}$ nên hai hàm số $y = {2^x}$ và $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}$ là một. Do đó chúng có chung đồ thị.

Câu 5 :

A

$2\pi $
B

$5\pi $
C

$4\pi $
D
$3\pi $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích $V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết :

Diện tích nửa hình tròn đường kính $\sqrt{5}{{x}^{2}}$ là $S\left( x \right)=\frac{1}{2}.\pi {{\left( \frac{\sqrt{5}{{x}^{2}}}{2} \right)}^{2}}=\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}$.

Vậy $V=\int\limits_{0}^{2}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}dx}=\frac{5\pi }{8}\left. \frac{{{x}^{5}}}{5} \right|_{0}^{2}=4\pi $.

Câu 6 :

A

$\pi {a^3}\sqrt 3 $
B

$\pi {a^3}$
C

$\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}$
D

$3\pi {a^3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính chiều cao hình trụ dựa vào định lý Pi-ta-go.

- Tính thể tích khối trụ dựa vào công thức $V = \pi {R^2}h$

Lời giải chi tiết :

Gọi $\left( O \right)$ là một đường tròn đáy của hình trụ

Mặt phẳng đã cho cắt $\left( O \right)$ tại $A$ và $B$, gọi $H$ là trung điểm $AB$.

Vì thiết diện thu được là hình vuông nên chiều cao hình trụ bằng

$h = AB = 2AH = 2\sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = a\sqrt 3 $

Thể tích khối trụ là

$V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.a\sqrt 3 = \pi {a^3}\sqrt 3 $

Câu 7 :

Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là $D,M,C$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$D - C + M = 2$
B

$D + C - M = 2$
C

$D + C + M = 2$
D

$D - C + M = 0$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Khối đa diện lồi có $D$ đỉnh, $M$ mặt và $N$ cạnh thì $D - C + M = 2$.

Câu 8 :

A

$V=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$.
B

$V=\sqrt{3}+\frac{\pi }{3}$.
C

$V=\pi \sqrt{3}+\frac{{{\pi }^{2}}}{3}$.
D
$V=\pi \sqrt{3}-\frac{{{\pi }^{2}}}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),\,\,y=0,\,\,\,x=a,\,\,x=b$ quanh $Ox$ là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}$

Lời giải chi tiết :

Thể tích của vật tròn xoay là

$V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{{{\tan }^{2}}x\text{d}x}$$=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)\text{d}x}$$=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}$$=\pi \left( \tan \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3} \right)$$=\pi \sqrt{3}-\frac{{{\pi }^{2}}}{3}$.

Câu 9 :

Độ dài đoạn thẳng $AB$ với $A\left( {2;1;0} \right),B\left( {4; - 1;1} \right)$ là một số:

A

nguyên âm
B

vô tỉ
C

nguyên dương
D

bằng $0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng biết hai đầu mút $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} $

$= \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 9 = 3$

Do đó độ dài đoạn thẳng là một số nguyên dương.

Câu 10 :

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$

A

$m = 1$
B

$m = 2$
C

$m = 3$
D

$m = 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính $y',y''$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số:

+ $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

+ $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết :

TXĐ $D = \mathbb{R}$

$y' = - {x^2} + \dfrac{2}{3}mx \Rightarrow y'' = - 2x + \dfrac{2}{3}m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 2$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y'(2) = 0 \hfill \\ y''\left( 2 \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - {2^2} + \dfrac{2}{3}m.2 = 0 \hfill \\ - 2.2 + \dfrac{2}{3}m. < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 + \dfrac{4}{3}m = 0 \hfill \\- 4 + \dfrac{2}{3}m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\m < 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 3$

Câu 11 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}$. Khi đó, nếu đặt $x = \tan t$ thì:

A

$f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt$
B

$f\left( x \right)dx = dt$
C

$f\left( x \right)dx = \left( {1 + {t^2}} \right)dt$
D

$f\left( x \right)dx = \left( {1 + {{\cot }^2}t} \right)dt$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức đổi biến $f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $x = \tan t \Rightarrow dx=\dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}} dt = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt$.

Do đó $f\left( x \right)dx = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx = \dfrac{1}{{{{\tan }^2}t + 1}}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt = dt$

Câu 12 :

A

$1$
B
$\frac{1}{2}.$
C
$\frac{1}{4}.$
D

$2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f\left( x \right),\,\,y=g\left( x \right)$$\Rightarrow \,\,S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\,\text{d}x}$

Lời giải chi tiết :

Hoành độ giao điểm của $\left( {{P}_{1}} \right),\,\,\left( {{P}_{2}} \right)$ là nghiệm phương trình: $a{{x}^{2}}-2=4-2a{{x}^{2}}\Leftrightarrow a{{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \,\sqrt{\frac{2}{a}}$

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tính là $S=\int\limits_{-\,\sqrt{\frac{2}{a}}}^{\sqrt{\frac{2}{a}}}{\left| a{{x}^{2}}-2-4+2a{{x}^{2}} \right|\,\text{d}x}=3\int\limits_{-\,\sqrt{\frac{2}{a}}}^{\sqrt{\frac{2}{a}}}{\left| a{{x}^{2}}-2 \right|\,\text{d}x}.$

$=3\int\limits_{-\,\sqrt{\frac{2}{a}}}^{\sqrt{\frac{2}{a}}}{\left( 2-a{{x}^{2}} \right)\,\text{d}x}=3\left. \left( 2x-\frac{a{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{-\,t}^{t}=12t-2a{{t}^{3}}$ với $t=\sqrt{\frac{2}{a}}$$\Rightarrow $$12\sqrt{\frac{2}{a}}-4\sqrt{\frac{2}{a}}=16\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}.$

Câu 13 :

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
B

$\dfrac{{3{a^3}}}{4}$
C

$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
D

${a^3}\sqrt 3 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tính diện tích đáy ${S_{ABC}}$.

- Tính độ dài đường cao.

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức $V = Sh$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác $ABC$ có: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos 120} $

$= \sqrt {4{a^2} + {a^2} - 2.2a.a.\dfrac{{ - 1}}{2}} = a\sqrt 7 \Rightarrow CH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}$

$C'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow C'H \bot CH \Rightarrow \Delta CC'H$ vuông tại $H$

$ \Rightarrow C'H = \sqrt {CC{'^2} - C{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{10{a^2}}}{4} - \dfrac{{7{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin 120 = \dfrac{1}{2}.2a.a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = C'H.{S_{ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^3}}}{4}$

Câu 14 :

Hình trụ có bán kính $r = 5cm$ và chiều cao $h = 3cm$ có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?

A

$251,3c{m^2}$
B

$141,3c{m^2}$
C

$172,8c{m^2}$
D

$125,7c{m^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.3 + 2\pi {.5^2} \approx 251,3c{m^2}$

Câu 15 :

Đẳng thức $\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$ xảy ra khi:

A

$x < 0$
B

$x > 0$
C

$x \ge 0$
D

$x \in R$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện để đẳng thức $\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}$ xảy ra là $x > 0$.

Lời giải chi tiết :

Vì $\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}$ nếu $x > 0$ nên $\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$ chỉ đúng nếu $x > 0$.

Câu 16 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$

A

$y = \sin x - 3x$
B

$y = \cos x + 2x$
C

$y = {x^3}$
D

$y = {x^5}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Xét các hàm số theo từng đáp án.

+) Hàm số nào có $y' \ge 0$ với mọi $x \in R$ thì hàm số đó đồng biến trên R.

Lời giải chi tiết :

+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$

Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R$

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$

+) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

Câu 17 :

Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Thể tích của khối lập phương cạnh $2a$ bằng:

A

${a^3}$
B

$2{a^3}$
C

$8{a^3}$
D

$4{a^3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối lập phương cạnh $a:V = {a^3}$.

Lời giải chi tiết :

Thể tích khối lập phương cạnh $2a$ là: $V = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}$

Câu 18 :

Chọn kết luận sai:

A

$\int\limits_0^1 {{x^3}dx} \ge 0$
B

$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} > \dfrac{\pi }{2}$
C

$\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \ge 0$
D

$\int\limits_1^2 {\left( {x - \sin x} \right)dx} \ge 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng các tính chất:

- Nếu $f\left( x \right) \ge 0$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0$

- Nếu $f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $.

Lời giải chi tiết :

Ta có nhận xét nhanh:

Đáp án A: Vì ${x^3} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$ nên $\int\limits_0^1 {{x^3}dx} \ge 0$ hay A đúng.

Đáp án B: Vì $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1 < \dfrac{\pi }{2}$ nên B sai.

Đáp án C: Vì ${x^2} \ge 0,\forall x$ nên $\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx} \ge 0$ nên C đúng.

Đáp án D: Vì $x \ge \sin x$ với mọi $x \in \left[ {1;2} \right]$ nên $\int\limits_1^2 {xdx} \ge \int\limits_1^2 {\sin xdx} \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left( {x - \sin x} \right)dx} \ge 0$ hay D đúng.

Câu 19 :

Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:

A

$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
B

$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
C

$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
D

$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $M = - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.

Câu 20 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\forall b \in \left[ {a;c} \right]$
B

Nếu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0$ thì $f\left( x \right) \ge 0$ trên $\left[ {a;b} \right]$
C

$\int {xdx} = 1 + C$
D

Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì $\sqrt {F\left( x \right)} $ là nguyên hàm của $\sqrt {f\left( x \right)} $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng các tính chất của tích phân và nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\forall b\in \left[ {a;c} \right]$ đúng nên A đúng.

Nếu $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0$ thì $f\left( x \right)$ chưa chắc không âm trên $\left[ {a;b} \right]$ nên B sai.

$\int {xdx} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C$ nên C sai.

Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì $\sqrt {F\left( x \right)} $ không phải là nguyên hàm của $\sqrt {f\left( x \right)} $ nên D sai.

Câu 21 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.$
B

$\int{0\,\text{d}x}=C.$
C

$\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.$
D

$\int{\text{dx}}=x+C.$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\ne \ln x+C.$

Câu 22 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$
B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 - x} \right)}}{x} = 1$
C

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln x}}{x} = 1$
D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}} = 1$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Giới hạn cần nhớ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$

Câu 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j $. Tọa độ của điểm $M$ là:

A
$M\left( {2;0;1} \right)$
B
$M\left( {2;1;0} \right)$
C
$M\left( {0;2;1} \right)$
D
$M\left( {1;2;0} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$\overrightarrow {OM} = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k $, với$\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right);\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ là các vector đơn vị thì $M(a;b;c)$

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j + 0\overrightarrow k $ suy ra $M \left( {2;1;0} \right)$

Câu 24 :

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\cos 2x$ là :

A

$\dfrac{{x\sin 2x}}{2} - \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C$
B

$x\sin 2x - \dfrac{{\cos 2x}}{2} + C$
C

$x\sin 2x + \dfrac{{\cos 2x}}{2} + C$
D

$\dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, ưu tiên đặt u = x.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = x}\\{dv = \cos 2xdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = dx}\\{v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{{x\sin 2x}}{2} - \dfrac{1}{2}\int {\sin 2xdx} + C = \dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C$

Câu 25 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx} $. Đặt $u = 8 + \cos x$ thì kết quả nào sau đây là đúng?

A

$I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} $
B

$I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u du} $
C

$I = \int\limits_9^8 {\sqrt u du} $
D

$I = \int\limits_8^9 {\sqrt u du} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $u = 8 + \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx \Rightarrow \sin xdx = - du$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 9\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 8\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I = - \int\limits_9^8 {\sqrt u du} = \int\limits_8^9 {\sqrt u du} $

Câu 26 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
B

Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
C

Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
D

Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$ thì $OM = R$.

Điểm $M$ thuộc khối cầu tâm $O$ bán kính $R$ thì $OM \le R$.

Do đó điểm thuộc mặt cầu sẽ thuộc khối cầu.

Câu 27 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:

A

$f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
B

$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
C

$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$
D

$f\left( {{x_2}} \right) \ge f\left( {{x_1}} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y$ = $f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ nên:

Với mọi ${x_1},{x_2}$ $\in$ $D$ mà ${x_1} > {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right)$ > $f\left( {{x_2}} \right)$.

Câu 28 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và mặt bên hợp với đáy một góc ${60^0}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{{24}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy: là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến.

Bước 2: Tính chiều cao $SG$

Bước 3: Tính diện tích đáy ${S_{ABC}}$.

Bước 4: Tính thể tích theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Vì chóp $S.ABC$ đều nên $SG \bot \left( {ABC} \right)$

Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ ta có: $AD \bot BC$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}BC \bot AD\\BC \bot SG\,\,\left( {SG \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD$

$\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SD \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AD \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;AD} \right)} = \widehat {SDA} = {60^0}$

Bước 2:

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow DG = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$

$SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot AD \Rightarrow \Delta SGD$ vuông tại $G$

$ \Rightarrow SG = GD.\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}$

Bước 3:

Tam giác $ABC$ đều $ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Bước 4:

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$.

Câu 29 :

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác $2$?

A

$\int\limits_1^{{e^2}} {\ln xdx} $.
B

$\int\limits_0^1 {2dx} $.
C

$\int\limits_0^\pi {\sin xdx} $.
D

$\int\limits_0^2 {xdx} $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính tích phân từng đáp án và dùng phương pháp loại trừ, sử dụng công thức nguyên hàm số cơ bản:

$\int {dx = x + C} $, $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $, $\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $ và công thức tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Lời giải chi tiết :

+) $\int\limits_0^1 {2dx} = \left. {2x} \right|_0^1 = 2$,

+) $\int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2 = 2$

+) $\int\limits_0^\pi {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^\pi = 2$

Do đó ta dự đoán chỉ có đáp án A là kết quả khác $2$.

Câu 30 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{2{x^2} - 3{x} + m}}{{x - m}}$ . Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giá trị của tham số $m$ là:

A

$m = 0$
B

$m = 0;m = 1$
C

$m = 1$
D

Không tồn tại $m$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ không có tiệm cận đứng nếu mọi nghiệm của $g\left( x \right)$ (nếu có) đều là nghiệm của $f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết :

Cách 1: Thử đáp án

Với $m = 0$ ta có $x = 0$ là nghiệm của đa thức $2{x^2} - 3{\text{x}}$ trên tử

$ \Rightarrow y = 2{\text{x}} - 3\left( {x \ne 0} \right)$ không có tiệm cận đứng.

Với $m = 1$ ta có $x = 1$ là nghiệm của đa thức $2{x^2} - 3{\text{x + 1}}$ trên tử

$ \Rightarrow y = 2{\text{x}} - 1\left( {x \ne 1} \right)$ không có tiệm cận đứng.

Cách 2: Chia đa thức

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số

$ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = 1$

Câu 31 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định liên tục trên R có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $2$
B

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $x = - 1$
C

Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - 2$
D

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left( {1;\, - 2} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Hàm số không có GTLN nên A sai.

- $\left( { - 1;2} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên D sai, $x = - 1$ là điểm cực đại của hàm số nhưng không phải là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên B sai.

- Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - 2$ nên C đúng.

Câu 32 :

A

$33510627$ đồng
B

$50341123$ đồng
C

$30453210$ đồng
D

$29340240$ đồng

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cho bài toán trả góp $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$.

Lời giải chi tiết :

Từ công thức $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$, ta suy ra $T = \dfrac{{A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]}}{{r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}} = \dfrac{{3.000.000.\left[ {{{\left( {1 + 1,12\% } \right)}^{12}} - 1} \right]}}{{1,12\% .{{\left( {1 + 1,12\% } \right)}^{12}}}} = 33510627$ đồng.

Câu 33 :

Cho $I = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^{2x}}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}} = a{t^3} + bt + C$ với $t = \sqrt {{e^x} - 1} $. Giá trị biểu thức $A = {a^2} + {b^2}$ bằng:

A

$\dfrac{{52}}{9}$
B

$\dfrac{{40}}{9}$
C

$\dfrac{{47}}{9}$
D

$\dfrac{{46}}{9}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đặt $t = \sqrt {{e^x} - 1} $

- Tính $dx$ theo $dt$ và thay vào tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {t^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2tdt = {e^x}dx\\{e^x} = {t^2} + 1\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^x}.{e^x}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}} = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{\left( {{t^2} + 1} \right).2tdt}}{t}} $ $ = 2\int\limits_{}^{} {\left( {{t^2} + 1} \right)dt} = 2\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} + t} \right) + C$ $ \Rightarrow a = \dfrac{2}{3};b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \dfrac{{40}}{9}$

Câu 34 :

Nguyên hàm của hàm số $f(x) ={\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} $ là:

A

$I = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$
B

$I = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \dfrac{1}{2}\sin 2x + C$
C

$I = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$
D

$I = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) + \dfrac{1}{4}\sin 2x + C$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dùng công thức nhân đôi $\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)$.

Bằng cách đặt ẩn phụ $t = \sin x + \cos x$ ta đưa nguyên hàm ban đầu về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Lưu ý khi trong nguyên hàm có hàm $\ln x$ và hàm đa thức ta ưu tiên đặt $u =\ln x $.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Rightarrow I = \int {\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \end{array}$

Đặt $t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx$ , khi đó ta có:$I = \int {t\ln tdt} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{t}dt\\v = \dfrac{{{t^2}}}{2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \dfrac{1}{2}{t^2}\ln t - \dfrac{1}{2}\int {tdt} + C = \dfrac{1}{2}{t^2}\ln t - \dfrac{{{t^2}}}{4} + {C_1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - \dfrac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{4} + {C_1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + \sin 2x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - \dfrac{{1 + \sin 2x}}{4} + {C_1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} - \dfrac{1}{4} + {C_1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C.\end{array}$

Câu 35 :

Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} $

A

$I = - \dfrac{1}{4}{\pi ^4}$
B

$I = - {\pi ^4}$
C

$I = 0 $
D

$I = - \dfrac{1}{4}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \pi \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt} = \left. {\dfrac{{{t^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$

Câu 36 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = 1$ và $f\left( 1 \right) - 2f\left( 0 \right) = 2.$

Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} .$

A

$I = 0.$
B

$I = 3.$
C

$I = - \,1.$
D

$I = 1.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân $f'\left( x \right)dx$ thì ta đặt $dv = f'\left( x \right)dx$.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{x + 1}}\\{\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = - \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.,$ khi đó $\int\limits_0^1 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{x + 1}}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} $

Suy ra $1 = \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{x + 1}}} \right|_0^1 + I \Leftrightarrow I = 1 - \left[ {\dfrac{{f\left( 1 \right)}}{2} - f\left( 0 \right)} \right] = 1 - \dfrac{1}{2}\left[ {f\left( 1 \right) - 2f\left( 0 \right)} \right] = 1 - \dfrac{1}{2}.2 = 0.$

Câu 37 :

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4$ là:

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá vế trái, suy ra phương trình vô nghiệm

Lời giải chi tiết :

Điều kiện : $x \ne 0$

Với $x < 0$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{{4x}} < 0\\\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x} < 0\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} < 1\\{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 1\end{array} \right. $ $\Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 2$

⇒ Phương trình không có nghiệm $x < 0$

Với $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được.

$\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{1}{{4x}}} = 1\\\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{4}.\dfrac{1}{x}} = 1\end{array} \right. $ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \ge 2\\{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 2\end{array} \right. $ $\Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 4$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{4x}}\\\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{x}\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} = 1\\
{x^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = \frac{1}{4}\\
{x^2} = 4
\end{array} \right.$(không xảy ra)

Vậy ${2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} > 4$ nên phương trình vô nghiệm

Câu 38 :

A
$S=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}-\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$
B
$S=-\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$
C
$S=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$
D
$S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết :

$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=\int\limits_{a}^{c}{\left| f\left( x \right) \right|dx}+\int\limits_{c}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}=-\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$

Câu 39 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng $a\sqrt 3 $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
B

$4{a^3}\sqrt 3 $
C

${a^3}\sqrt 3 $
D

$\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng $CD$ và $SA$ chéo nhau bằng cách tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia và tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song (chính là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng).

- Tính diện tích đáy ${S_{ABCD}}$ và chiều cao $SO$, từ đó tính được thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O = AC \cap BD$. Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$

Ta có:

$\begin{array}{l}AB//CD \Rightarrow SA \subset \left( {SAB} \right)//CD\\ \Rightarrow d\left( {CD;SA} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}OF \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOF} \right)$

Trong $\left( {SOF} \right)$ kẻ $OH \bot SF\,\,\left( 1 \right)$

Vì $AB \bot \left( {SOF} \right) \Rightarrow AB \bot OH\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác vuông SOF có: $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{F^2}}}$

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{F^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow SO = a\sqrt 3 $

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Câu 40 :

A

$V = \dfrac{{7{a^3}}}{2}$
B

$V = 14{a^3}$
C

$V = \dfrac{{28{a^3}}}{3}$
D

$V = 7{a^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tính thể tích các khối chóp ${{V_{DAPN}}}$, ${{V_{BAPM}}}$, ${V_{CAMN}}$ và $ V_{ABCD}$ rồi tính ${V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} $ $- {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$ABCD$ là tứ diện vuông tại $A$ nên ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}.6a.7a.4a = 28{a^3}$.

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:

$\dfrac{{{V_{DAPN}}}}{{{V_{DABC}}}} = \dfrac{{DA}}{{DA}}.\dfrac{{DP}}{{DB}}.\dfrac{{DN}}{{DC}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{DAPN}} = \dfrac{1}{4}{V_{DABC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

$\dfrac{{{V_{BAPM}}}}{{{V_{BADC}}}} = \dfrac{{BA}}{{BA}}.\dfrac{{BP}}{{BD}}.\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{BAPM}} = \dfrac{1}{4}{V_{BADC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

$\dfrac{{{V_{CAMN}}}}{{{V_{CABD}}}} = \dfrac{{CA}}{{CA}}.\dfrac{{CM}}{{CB}}.\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{CAMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{CABD}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

Do đó ${V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} - {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}} = 28{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} = 7{a^3}$

Câu 41 :

Cho hình nón có các kích thước $r = 1;h = 2$ với $r,h$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:

A

$3\pi $
B

$1 + \sqrt 5 \pi $
C

$\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\pi $
D

$\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính độ dài đường sinh hình nón sử dụng công thức ${l^2} = {r^2} + {h^2}$.

- Tính diện tích toàn phần sử dụng công thức ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 $

Do đó ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.\sqrt 5 + \pi {.1^2} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\pi $

Câu 42 :

A

$10$.
B

$5$.
C

$8$.
D

$5\sqrt 3 $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức $\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$, ta được $\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right| = 2.5.\sin {30^0} = 5.$

Câu 43 :

A

$2x - y + 3z + 20 = 0$
B

$2x - y + 3z + 12 = 0$
C

$2x - y + 3z - 20 = 0$
D

$2y + y - 3z + 20 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$ làm VTPT là:

$a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {MM'} = \left( {4; - 2;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1;3} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M'$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm VTPT nên có phương trình:

$2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 4} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 20 = 0$

Câu 44 :

A

$3x + 2y + 6z - 23 = 0$
B

$3x - 2y + 6z - 23 = 0$
C

$3x + 2y + 6z + 23 = 0$
D

$3x + 2y + 6z - 12 = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết chùm mặt phẳng:

Giả sử $\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d$ trong đó: $\left( P \right):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0~;\left( Q \right):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$

Khi đó, mọi mặt phẳng chứa $d$ đều có phương trình dạng: $m\left( {{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1}} \right) + n\left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0$ với ${m^2} + {n^2} > 0$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua giao tuyến của $\left( Q \right),\left( R \right)$ nên có phương trình dạng $m\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) + n\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0$ với ${m^2} + {n^2} > 0.$

Do $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {3;4;1} \right)$ nên $56m + 108n = 0 \Rightarrow \dfrac{m}{n} = - \dfrac{{27}}{{14}}.$

Chọn $m = 27,n = - 14$ thì:

$\begin{array}{l}\left( P \right):27.\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) - 14.\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 75x - 50y - 150z + 575 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0\end{array}$

Câu 45 :

A

$m = \dfrac{3}{5}$
B

$m = \dfrac{2}{5}$
C

$m = \dfrac{3}{4}$
D

$m = \dfrac{2}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Điều kiện để ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} $ đồng phẳng là $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{m + 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&m\\{m + 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {m - 4;2m + 1;2 - {m^2} - m} \right)$

$\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m)$

$\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng khi

$\begin{array}{l}\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m) = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + m - 2 + 4 - 2{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow - 5m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\end{array}$

Câu 46 :

A

$\left( {0; - 9;9} \right)$
B

$\left( {0; - 4;4} \right)$
C

$\left( {0;4; - 4} \right)$
D

$\left( {0;9; - 9} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, tìm $\overrightarrow {AM} $ qua $\overrightarrow {AG} $.

- Biểu diễn tổng hai véc tơ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $ qua $\overrightarrow {AM} $ suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} $.

Do tính chất trọng tâm có $\overrightarrow {AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG} $. Suy ra$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} $.

Mà $\overrightarrow {AG} = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)$. Suy ra $3\overrightarrow {AG} = (0; - 9;9)$.

Câu 47 :

A

$\left\{ { - 2;2} \right\}$
B

$\left\{ { - 1;2} \right\}$
C

$\left\{ {0;0} \right\}$
D

$\left\{ {2;3} \right\}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số đã cho.

- Điều kiện để hai tiệm cận đứng trùng nhau là chúng có cùng phương trình.

Lời giải chi tiết :

Xét đồ thị hàm số $y = \dfrac{{5 - 2x}}{{x + 4}}$ có TCĐ là $x = - 4$.

Suy ra hai đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng trùng nhau $ \Leftrightarrow x = - 4$ là TCĐ của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{{m^2} - 8 - x}}$.

Ta thấy $x = - 4$ không là nghiệm của tử số $ \Rightarrow x = - 4$ là TCĐ của đồ thị hàm số$ \Leftrightarrow {m^2} - 8 = - 4 \Leftrightarrow {m^2} - 8 + 4 = 0$$ \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$.

Câu 48 :

Tìm thể tích $V$ của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4$ khi quay quanh trục $Ox.$

A
$V=24{{\pi }^{2}}.$
B
$V=24\pi .$
C
$V=16\pi .$
D
$V=36{{\pi }^{2}}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay được quay quanh trục hoành của các đồ thị hàm số : $y=f\left( x \right);\ x=a;\ x=b\ \ \left( a<b \right)$ là : $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[\begin{align} & y=f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\ & y=g\left( x \right)=-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\\end{align} \right.$

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}-\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{g}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}$

$\begin{align} & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \right)}^{2}}-{{\left( 3-\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \,\int\limits_{-\,2}^{2}{12\sqrt{4-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}=24{{\pi }^{2}}. \\\end{align}$

Vậy thể tích cần tính là $V=24{{\pi }^{2}}.$

Câu 49 :

A

$\dfrac{{1372}}{9}.$
B

$\dfrac{{686}}{9}.$
C

$\dfrac{{524}}{3}.$
D

$\dfrac{{343}}{9}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le OM$, để mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cách O một khoảng lớn nhất thì (P) đi qua M và $\left( P \right) \bot OM$

Viết phương trình mặt phẳng (P), tìm tọa độ các điểm A, B, C và sử dụng công thức ${V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC$

Lời giải chi tiết :

Ta có: .$d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le OM$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow OM \bot \left( P \right) \Rightarrow \left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {OM} = \left( {1;2;3} \right)$ là 1 VTPT. Do đó phương trình mặt phẳng (P) là: $1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0\left( P \right):x + 2y + 3z - 14 = 0$

$ \Rightarrow A\left( {14;0;0} \right);B\left( {0;7;0} \right);C\left( {0;0;\dfrac{{14}}{3}} \right) \Rightarrow {V_{O.ABC}} = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC = \dfrac{{686}}{9}.$

Câu 50 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},\ \ y=0,\ x=0,\ x=1$ xung quanh trục $Ox$ là:

A
$V=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
B
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx.}$
C
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
D
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx.}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),\ \ y=g\left( x \right),\ x=a,\ x=b$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức:

$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx.}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức ta có thể tích khối tròn xoay bài cho là: $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{2}}dx=}\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$

Bài liên quan