Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 4

Đề bài

Câu 1 :

Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A

    Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

  • B

    Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

  • C

    Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

  • D

    Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

Câu 2 :

Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?

  • A

    \(m = 1\)

  • B

    Không có m

  • C

    \(m = 0\)

  • D

    Với mọi m

Câu 3 :

Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:

  • A

    \(6\)

  • B

    \(7\)

  • C

    \(13\)

  • D

    \(42\)

Câu 4 :

Hàm số \(y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\) xác định trên:

  • A

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)      

  • B

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • C

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • D

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Câu 5 :

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:

  • A

    \({P_n} = n!\)

  • B

    \({P_n} = n\)

  • C

    \({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)

  • D

    \({P_n} = {n^2}\) 

Câu 6 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A

    Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó

  • B

    Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó

  • C

    Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

  • D

    Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.

Câu 7 :

Điểm nào là ảnh của \(M\left( {3; - 1} \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\) 

  • A

    \(\left( {2;1} \right)\) 

  • B

    \(\left( { - 1;5} \right)\) 

  • C

    \(\left( { - 1;3} \right)\) 

  • D

    \(\left( {5; - 4} \right)\) 

Câu 8 :

Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(M'\) là ảnh của điểm \(M\) nằm ngoài \(d\) qua phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$. Chọn mệnh đề đúng:

  • A

    \(MM' \bot d\) tại \(M'\)

  • B

    \(MM' \bot d\) tại \(M\) 

  • C

    \(MM'//d\) 

  • D

    \(MM' \equiv d\)

Câu 9 :

Chọn mệnh đề đúng:

  • A

    \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • C

    \(\cos x \ne  - 1 \Leftrightarrow x \ne  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)    

  • D

    \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Câu 10 :

Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)

  • A

    $20$

  • B

    $30$

  • C

    $ - 10$            

  • D

    $34$ 

Câu 11 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu phép đối xứng tâm biến điểm \(A\left( {5;2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 3;4} \right)\) thì nó biến điểm \(B\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm :

  • A

    \(B'\left( {1;7} \right)\) 

  • B

    \(B'\left( {1;6} \right)\) 

  • C

    \(B'\left( {2;5} \right)\) 

  • D

    \(B'\left( {1; - 5} \right)\) 

Câu 12 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự \(V\) tỉ số \(k = 2\) biến điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 5;1} \right).\) Hỏi phép vị tự \(V\) biến điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thành điểm có tọa độ nào sau đây?

  • A

    \(\left( {0;2} \right).\)

  • B

    \(\left( {12; - 5} \right).\)

  • C

    \(\left( { - 7;7} \right).\)

  • D

    \(\left( {11;6} \right).\)

Câu 13 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

  • A
    BC
  • B
    AB
  • C
    DC
  • D
    CA
Câu 14 :

Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:

  • A

    $A'\left( { - 2;7} \right)$ 

  • B

    \(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\) 

  • C

    \(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\) 

  • D

    \(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\) 

Câu 15 :

Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$  bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\)  vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\)  bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?

  • A

    $11$   

  • B

    $36$

  • C

    $25$

  • D

    $18$

Câu 16 :

Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

  • A
    \(1\).
  • B
    \(25\).
  • C
    \(5\).
  • D
    \(120\).
Câu 17 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\). Phép đối xứng trục \(Ox\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có phương trình là:

  • A

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)

  • B

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)

  • C

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)

  • D

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)

Câu 18 :

Gọi $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua một phép biến hình. Có tất cả bao nhiêu điểm $M'$?

  • A

    \(0\) 

  • B

    \(1\) 

  • C

    \(2\) 

  • D

    \(4\) 

Câu 19 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:

  • A

    \(M'\left( { - 1; - 1} \right)\) 

  • B

    \(M'\left( {1;1} \right)\) 

  • C

    \(M'\left( { - 1;1} \right)\) 

  • D

    \(M'\left( {1;0} \right)\) 

Câu 20 :

Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).

  • A

    \({T_0} = 2\pi \)

  • B

    \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)

  • C

    \({T_0} = \pi \)

  • D

    \({T_0} = 4\pi \) 

Câu 21 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:

  • A

    $\left( {5; - 3} \right)$

  • B

    $\left( {3;5} \right)$

  • C

    $\left( { - 3;5} \right)$

  • D

    \(\left( {3; - 5} \right)\) 

Câu 22 :

Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?

  • A

    Hình thoi

  • B

    Hình vuông

  • C

    Hình elip

  • D

    hình tròn.

Câu 23 :

Số (5! – P4) bằng: 

  • A
    5
  • B
    12
  • C
    24
  • D
    96
Câu 24 :

Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $2$. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,\,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$. Diện tích $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ là:

  • A

    $5\sqrt 2 $

  • B

    $9\sqrt 3 $

  • C

    $9\sqrt 2 $

  • D

    $5\sqrt 3 $

Câu 25 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm \(M\left( { - 2;4} \right)\). Phép vị tự tâm $O$ tỉ số \(k =  - 2\) biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?

  • A

    \(\left( { - 3;4} \right)\) 

  • B

    \(\left( { - 4; - 8} \right)\) 

  • C

    \(\left( {4; - 8} \right)\) 

  • D

    \(\left( {4;8} \right)\)  

Câu 26 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng \(a:\,\,2x + y + 5 = 0\) và \(b:\,\,x - 2y - 3 = 0\). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:

  • A

    \({45^0}\) 

  • B

    \({90^0}\) 

  • C

    \({120^0}\) 

  • D

    \({60^0}\) 

Câu 27 :

Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:

  • A

    \(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • C

    \(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • D

    \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Câu 28 :

Nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\) là:

  • A

    \(x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

  • C

    \(x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)  

  • D

    \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right.\)

Câu 29 :

Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:

  • A

    \({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\)  cách

  • B

    \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách

  • C

    \(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách

  • D

    \({n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}\) cách

Câu 30 :

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A

    Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép dời hình.

  • B

    Phép đồng dạng tỉ số \(k =  - 1\) là phép đối xứng tâm.

  • C

    Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép tịnh tiến

  • D

    Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép vị tự tỉ số \(k = 1\)

Câu 31 :

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)

  • A

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1\)

  • B

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0\)

  • C

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 \)

  • D

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3\) 

Câu 32 :

Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\). Biết \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) là một nghiệm của phương trình. Tính \(m\).

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{3}{2}\\m = 0\end{array} \right.\)
  • C
    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{4}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
  • D
    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Câu 33 :

Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

  • A

    \(\left| a \right| \ge 1\)

  • B

    \(\left| a \right| > 1\)   

  • C

    \(\left| a \right| = 1\)

  • D

    \(\left| a \right| \ne 1\)

Câu 34 :

Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?

  • A

    $360$

  • B

    $343$

  • C

    $523$

  • D

    $347$

Câu 35 :

Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.

  • A

    $36$

  • B

    $60$

  • C

    $72$

  • D

    $120$

Câu 36 :

Cho \(C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2\). Khi đó tổng $x + y$ bằng:

  • A

    $3$     

  • B

    $ - 8$

  • C

    $11$

  • D

    $ - 3$

Câu 37 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - x + 1$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {2;3} \right)$, parabol $\left( P \right)$ biến thành parabol $\left( Q \right)$ có phương trình là:

  • A

    \(y = {x^2} - 7x + 14\) 

  • B

    \(y = {x^2} + 3x + 2\) 

  • C

    \(y = {x^2} + 5x + 6\) 

  • D

    \(y = {x^2} - 9x + 5\) 

Câu 38 :

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Nhận định nào sau đây là đúng?

  • A

    Không có phép đối xứng trục nào biến $a$ thành $b$ 

  • B

    Có duy nhất một phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ 

  • C

    Có đúng hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ 

  • D

    Có vô số phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ .

Câu 39 :

Cho hai khẳng định sau:

(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.

(II) Cho phép đối xứng tâm ${D_O}$ và đường thẳng $d$ không đi qua $O$. Có thể dựng $d'$  là ảnh của $d$ qua ${D_O}$ mà chỉ sử dụng compa một lần và thước hai lần.

Chọn kết luận đúng:

  • A

    (I) đúng, (II) sai

  • B

    (I) sai, (II) đúng

  • C

    Cả hai đều đúng

  • D

    Cả hai đều sai

Câu 40 :

Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó

  • A

    Không có phép nào

  • B

    Có một phép duy nhất

  • C

    Chỉ có hai phép

  • D

    Có vô số phép.

Câu 41 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng \(d:\,\,x - y + 4 = 0\). Hỏi trong $4$ đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành $d$ qua phép quay tâm \(I\left( {0;3} \right)\) góc quay \(\pi \) ?

  • A

    \(2x + y - 4 = 0\) 

  • B

    \(2x + 2y - 3 = 0\) 

  • C

    \(x - y + 2 = 0\) 

  • D

    \(2x - 2y + 1 = 0\) 

Câu 42 :

Khẳng định nào sai ?

  • A

    Phép tịnh tiến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó

  • B

    Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó

  • C

    Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.

  • D

    Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Câu 43 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có phương trình \(x - 2y + 1 = 0\) và \(x - 2y + 4 = 0\), điểm \(I\left( {2;1} \right)\). Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng \({\Delta _1}\) thành \({\Delta _2}\) khi đó giá trị của $k$ là :

  • A

    $1$ 

  • B

    $2$ 

  • C

    $3$ 

  • D

    $4$ 

Câu 44 :

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:2x - y = 0\). Phương trình đường thẳng qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\) và phép đối xứng trục \(Oy\) là đường thẳng nào sau đây?

  • A

    \( -2x - y = 0\).

  • B

    \(2x - y = 0\).

  • C

    \(4x - y = 0\).

  • D

    \(2x + y - 2 = 0\)

Câu 45 :

Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$  học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:

  • A

    \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)

  • B

    \(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)

  • C

    \(T = n{2^{n - 1}}\)

  • D

    \(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)

Câu 46 :

Nghiệm của phương trình \(\tan 4x.\cot 2x = 1\) là:

  • A

    \(k\pi ,k \in Z\)

  • B

    \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)

  • C

    \(\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)  

  • D

    Vô nghiệm

Câu 47 :

Giải phương trình \(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\).

  • A
    \(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • C
    \(x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu 48 :

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB} $ là tập nào sau đây?

  • A

    Tập \(\emptyset \) 

  • B

    Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\) 

  • C

    Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(R\) 

  • D

    Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) với \(\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {AB} \) 

Câu 49 :

Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?

  • A

    $A = 0$

  • B

    $A = 1$

  • C

    $A = 3$

  • D

    $A =  - 1$

Câu 50 :

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Phép vị tự tâm $G$ biến $H$ thành $O$ có tỉ số là :

  • A

    $2$ 

  • B

    \(\dfrac{1}{2}\) 

  • C

    \( - \dfrac{1}{2}\)       

  • D

    \( - \dfrac{2}{3}\) 

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A

    Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

  • B

    Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

  • C

    Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

  • D

    Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Lời giải chi tiết :

Lấy điểm \(A,B\) bất kì thuộc hai đường thẳng \(a,b\) thì phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(b\).

Vì các điểm \(A,B\) là lấy bất kì nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn bài toán.

Câu 2 :

Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?

  • A

    \(m = 1\)

  • B

    Không có m

  • C

    \(m = 0\)

  • D

    Với mọi m

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Điều kiện để phương trình \(a\cos x + b\sin x = c\) có nghiệm là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) 

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b =  - m\\c = 1\end{array} \right.\)

Để phương trình có nghiệm thì \({a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 3 + {m^2} \ge 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge  - 2\) (luôn đúng với \(\forall m\) )

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Câu 3 :

Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:

  • A

    \(6\)

  • B

    \(7\)

  • C

    \(13\)

  • D

    \(42\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(C_n^k\).

Lời giải chi tiết :

Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là \(C_7^6 = 7\).

Câu 4 :

Hàm số \(y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\) xác định trên:

  • A

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)      

  • B

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • C

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • D

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).

Sử dụng công thức $\cos a \ne 1 \Leftrightarrow a \ne k2\pi$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(\cos 3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k2\pi }}{3}\)

Câu 5 :

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:

  • A

    \({P_n} = n!\)

  • B

    \({P_n} = n\)

  • C

    \({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)

  • D

    \({P_n} = {n^2}\) 

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)

Câu 6 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A

    Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó

  • B

    Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó

  • C

    Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

  • D

    Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết :

Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.

Câu 7 :

Điểm nào là ảnh của \(M\left( {3; - 1} \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\) 

  • A

    \(\left( {2;1} \right)\) 

  • B

    \(\left( { - 1;5} \right)\) 

  • C

    \(\left( { - 1;3} \right)\) 

  • D

    \(\left( {5; - 4} \right)\) 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Gọi $M'$  là điểm đối xứng với $M$ qua tâm \(I \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M'$  là điểm đối xứng với $M$ qua tâm \(I \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$ .

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_I} - {x_M} =  - 1\\{y_{M'}} = 2{y_I} - {y_M} = 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 1;5} \right)\)

Câu 8 :

Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(M'\) là ảnh của điểm \(M\) nằm ngoài \(d\) qua phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$. Chọn mệnh đề đúng:

  • A

    \(MM' \bot d\) tại \(M'\)

  • B

    \(MM' \bot d\) tại \(M\) 

  • C

    \(MM'//d\) 

  • D

    \(MM' \equiv d\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng \(d\). Với mỗi điểm \(M\), xác định điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên \(d\). Phép biến hình này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết :

Từ định nghĩa phép chiếu vuông góc ta thấy \(MM'\) vuông góc với \(d\) tại \(M'\) (vì \(M'\) là hình chiếu của \(M\) trên \(d\) nên \(M' \in d\)).

Câu 9 :

Chọn mệnh đề đúng:

  • A

    \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • C

    \(\cos x \ne  - 1 \Leftrightarrow x \ne  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)    

  • D

    \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có:

+) \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A sai.

+) \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, D sai.

+) \(\cos x \ne  - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên C sai.

Câu 10 :

Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)

  • A

    $20$

  • B

    $30$

  • C

    $ - 10$            

  • D

    $34$ 

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) để tìm x, sau đó thay vào tính giá trị biểu thức

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)!}}{{2!\left( {x + 2} \right)!}} = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{2} = 162\\ \Leftrightarrow 24x + {x^2} + 7x + 12 = 324\\ \Leftrightarrow {x^2} + 31x - 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 39\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow A_{x - 1}^2 - C_x^1 = A_7^2 - C_8^1 = 34\)

Câu 11 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu phép đối xứng tâm biến điểm \(A\left( {5;2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 3;4} \right)\) thì nó biến điểm \(B\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm :

  • A

    \(B'\left( {1;7} \right)\) 

  • B

    \(B'\left( {1;6} \right)\) 

  • C

    \(B'\left( {2;5} \right)\) 

  • D

    \(B'\left( {1; - 5} \right)\) 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

\({D_I}\left( M \right) = M' \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$

Lời giải chi tiết :

\({D_I}\left( A \right) = A' \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA' \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\)

\({D_I}\left( B \right) = B' \Rightarrow I\) là trung điểm của \(BB' \Rightarrow B'\left( {1;7} \right)\)

Câu 12 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự \(V\) tỉ số \(k = 2\) biến điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 5;1} \right).\) Hỏi phép vị tự \(V\) biến điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thành điểm có tọa độ nào sau đây?

  • A

    \(\left( {0;2} \right).\)

  • B

    \(\left( {12; - 5} \right).\)

  • C

    \(\left( { - 7;7} \right).\)

  • D

    \(\left( {11;6} \right).\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của phép vị tự \({V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A',{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( B \right) = B'\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'B'}  = k\overrightarrow {AB} \)

Lời giải chi tiết :

Gọi \(B'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của \(B\) qua phép vị tự \(V.\)

Suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {x + 5;y - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right).\)

Theo giả thiết, ta có \(\overrightarrow {A'B'}  = 2\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 5 = 2.\left( { - 1} \right)\\y - 1 = 2.3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y = 7\end{array} \right.\).

Câu 13 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

  • A
    BC
  • B
    AB
  • C
    DC
  • D
    CA

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: \({T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = B \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \).

Mà ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA} \).

Do đó

\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}\)

Vậy \({T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB\)

Câu 14 :

Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:

  • A

    $A'\left( { - 2;7} \right)$ 

  • B

    \(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\) 

  • C

    \(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\) 

  • D

    \(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\) 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua $A$ và vuông góc với $d.$

- Tìm giao điểm $H$ của $d$ và $d’.$ Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’.$

Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Gọi \(A'\) là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d.$ Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A $ và vuông góc với $d,$ khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x + 2y + c = 0.$

Vì \(A \in d'\) nên \(4 + 2\left( { - 3} \right) + c = 0 \Rightarrow c = 2\). Khi đó \(\left( {d'} \right):x + 2y + 2 = 0\)

Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow H\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \) $H $ là trung điểm của $AA’.$ Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) - 4 =  - \dfrac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + 3 = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)

Câu 15 :

Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$  bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\)  vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\)  bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?

  • A

    $11$   

  • B

    $36$

  • C

    $25$

  • D

    $18$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Chọn $1$  vở kịch có $2$  cách

Chọn $1$ điệu múa có $3$  cách.

Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: \(2.3.6 = 36\) cách

Câu 16 :

Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?

  • A
    \(1\).
  • B
    \(25\).
  • C
    \(5\).
  • D
    \(120\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số cách sắp xếp \(n\) bạn vào \(n\) vị trí khác nhau là \({P_n} = n!\)

Lời giải chi tiết :

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.

Vậy số cách xếp là \({P_5} = 5! = 120\) (cách).

Câu 17 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\). Phép đối xứng trục \(Ox\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có phương trình là:

  • A

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)

  • B

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)

  • C

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)

  • D

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tìm tâm và bán kính đường tròn đã cho.

- Xác định ảnh của tâm đường tròn qua phép đối xứng.

- Viết phương trình đường tròn ảnh và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)

Ta có \(I\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow I'\left( {1;2} \right)\) đối xứng với \(I\) qua \(Ox\) và \(R = 2 \Rightarrow R' = R = 2.\)

Do đó \(\left( {C'} \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)

Câu 18 :

Gọi $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua một phép biến hình. Có tất cả bao nhiêu điểm $M'$?

  • A

    \(0\) 

  • B

    \(1\) 

  • C

    \(2\) 

  • D

    \(4\) 

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm \(M\) thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất \(M'\) thuộc mặt phẳng ấy

Câu 19 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:

  • A

    \(M'\left( { - 1; - 1} \right)\) 

  • B

    \(M'\left( {1;1} \right)\) 

  • C

    \(M'\left( { - 1;1} \right)\) 

  • D

    \(M'\left( {1;0} \right)\) 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định góc quay.

Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \(\alpha :\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha \end{array} \right.\) 

Lời giải chi tiết :

Phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\) là phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\)

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} + 1.\sin {90^0}\\y' = 1.\sin {90^0} - 1.\cos {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1;1} \right)\)

Câu 20 :

Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).

  • A

    \({T_0} = 2\pi \)

  • B

    \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)

  • C

    \({T_0} = \pi \)

  • D

    \({T_0} = 4\pi \) 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).

Lời giải chi tiết :

Chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = \tan 2x\) là \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)

Câu 21 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:

  • A

    $\left( {5; - 3} \right)$

  • B

    $\left( {3;5} \right)$

  • C

    $\left( { - 3;5} \right)$

  • D

    \(\left( {3; - 5} \right)\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( { - 3;5} \right)\)

Câu 22 :

Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?

  • A

    Hình thoi

  • B

    Hình vuông

  • C

    Hình elip

  • D

    hình tròn.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Liệt kê các trục đối xứng của từng hình.

Lời giải chi tiết :

Hình thoi có $2$ trục đối xứng (hai đường chéo).

Hình vuông có $4$ trục đối xứng (hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối).

Elip có $2$ trục đối xứng (hai trục của Elip)

Hình tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm (đường kính).

Câu 23 :

Số (5! – P4) bằng: 

  • A
    5
  • B
    12
  • C
    24
  • D
    96

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

\(5! - {P_4} = 5! - 4! = 96\).

Câu 24 :

Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $2$. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,\,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$. Diện tích $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ là:

  • A

    $5\sqrt 2 $

  • B

    $9\sqrt 3 $

  • C

    $9\sqrt 2 $

  • D

    $5\sqrt 3 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất phép tịnh tiến, phép quay biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Sử dụng tính chất phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các cạnh nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ thì \({A_1}{B_1} = 3AB = 6\)

Tam giác đều $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bằng $6 \Rightarrow {S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 $.

Câu 25 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm \(M\left( { - 2;4} \right)\). Phép vị tự tâm $O$ tỉ số \(k =  - 2\) biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?

  • A

    \(\left( { - 3;4} \right)\) 

  • B

    \(\left( { - 4; - 8} \right)\) 

  • C

    \(\left( {4; - 8} \right)\) 

  • D

    \(\left( {4;8} \right)\)  

Đáp án : C

Phương pháp giải :

\({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \)

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm $M$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số \(k =  - 2\).

\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  =  - 2\overrightarrow {OM}  \Leftrightarrow \left( {x';y'} \right) =  - 2\left( { - 2;4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4\\y' =  - 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 8} \right)\)

Câu 26 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng \(a:\,\,2x + y + 5 = 0\) và \(b:\,\,x - 2y - 3 = 0\). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:

  • A

    \({45^0}\) 

  • B

    \({90^0}\) 

  • C

    \({120^0}\) 

  • D

    \({60^0}\) 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({\overrightarrow n _a} = \left( {2;1} \right),{\overrightarrow n _b} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _a}.{\overrightarrow n _b} = 0 \Rightarrow a \bot b\)

Do đó tồn tại phép quay góc \({90^0}\) biến đường thẳng này thành đường thẳng kia

Câu 27 :

Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:

  • A

    \(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • C

    \(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • D

    \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi  \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Câu 28 :

Nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\) là:

  • A

    \(x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

  • C

    \(x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)  

  • D

    \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để biến đổi phương trình thành phương trình bậc hai đối với \(\cos 2x\).

Các công thức:

\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

${\cos ^2}x =\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} $

Bước 2: Đặt \(t = \cos 2x\left( { - 1 \le t \le t} \right)\), giải phương trình ẩn \(t\) rồi giải phương trình tìm \(x\).

$\cos x= \cos a \Leftrightarrow x=\pm a+ k2\pi$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

\(\begin{array}{l}4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\\  \Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 8.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 4\left( {1 + \cos 2x} \right) - 9 = 0\\\Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 4 + 4\cos 2x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4 - 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 5 = 0 \\\Leftrightarrow  - 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 1 = 0\end{array}\)

Bước 2:

Đặt \(\cos 2x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) khi đó phương trình có dạng 

\( - 4{t^2} + 4t - 1 = 0 \)\( \Leftrightarrow - \left( {4{t^2} - 4t + 1} \right) = 0\)\(\Leftrightarrow  - {\left( {2t - 1} \right)^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x =\cos \dfrac{\pi }{3} \\\Leftrightarrow 2x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Câu 29 :

Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:

  • A

    \({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\)  cách

  • B

    \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách

  • C

    \(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách

  • D

    \({n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}\) cách

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Số cách thực hiện công việc \(A\) là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách.

Câu 30 :

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A

    Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép dời hình.

  • B

    Phép đồng dạng tỉ số \(k =  - 1\) là phép đối xứng tâm.

  • C

    Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép tịnh tiến

  • D

    Phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\) là phép vị tự tỉ số \(k = 1\)

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Khi \(k = 1\) phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên là phép dời hình.

Câu 31 :

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)

  • A

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1\)

  • B

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0\)

  • C

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 \)

  • D

    \(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3\) 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng \( - 1 \le \sin x \le 1\)  để đánh giá biểu thức \(\sqrt {2\sin x + 3} \), từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Do \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2 \)\(\Rightarrow -2+3 \le2\sin x + 3 \le 2+3 \)\(\Rightarrow1 \le \sqrt {2\sin x + 3}  \le \sqrt 5 \).

Dấu “=” xảy ra khi lần lượt \(\sin x =  - 1\) và $\sin x = 1$

Câu 32 :

Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\). Biết \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) là một nghiệm của phương trình. Tính \(m\).

  • A
    \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
  • B
    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{3}{2}\\m = 0\end{array} \right.\)
  • C
    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{4}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
  • D
    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) sau đó giải phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết :

Thay \(x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}\) vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2.\dfrac{{11\pi }}{{60}} - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{6} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow 6{m^2} + m = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 33 :

Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

  • A

    \(\left| a \right| \ge 1\)

  • B

    \(\left| a \right| > 1\)   

  • C

    \(\left| a \right| = 1\)

  • D

    \(\left| a \right| \ne 1\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đối với chỉ một hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

$\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array}$

Vì  \(\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 1\)

Câu 34 :

Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?

  • A

    $360$

  • B

    $343$

  • C

    $523$

  • D

    $347$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân với chú ý có bốn công đoạn để lập được số thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết :

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)\), \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\)

Vì  \(\overline {abcd} \) là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \)

\(\Rightarrow \) Có $3$ cách chọn $d.$

Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$

$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$

$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$

Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)

Câu 35 :

Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.

  • A

    $36$

  • B

    $60$

  • C

    $72$

  • D

    $120$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa về bài toán lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$.

Sử dụng công thức chỉnh hợp cho bài toán này.

Lời giải chi tiết :

Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.

Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có \(A_5^4 = 120\) số.

Câu 36 :

Cho \(C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2\). Khi đó tổng $x + y$ bằng:

  • A

    $3$     

  • B

    $ - 8$

  • C

    $11$

  • D

    $ - 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

Và áp dụng công thức của tỉ lệ thức: $a:b:c = x:y:z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{y}\\\dfrac{a}{c} = \dfrac{x}{z}\\\dfrac{b}{c} = \dfrac{y}{z}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge y \ge 0\\x \ge y + 1 \ge 0\\x \ge y - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 1\\x \ge y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 1\\x \ge 2\end{array} \right.\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)

\(\begin{array}{l}C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{C_{x + 1}^y}}{{C_x^{y + 1}}} = \dfrac{6}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{C_{x + 1}^y}}{{C_x^{y - 1}}} = \dfrac{6}{2} = 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}}}{{\dfrac{{x!}}{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}.\dfrac{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}{{x!}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = \dfrac{6}{5}\,\,\,\left( 3 \right)\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}}}{{\dfrac{{x!}}{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}\dfrac{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}{{x!}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y - 1\end{array}\)

Thay vào (3) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{3y\left( {y + 1} \right)}}{{\left( {2y - 1} \right)2y}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{y + 1}}{{4y - 2}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow 5y + 5 = 8y - 4\\ \Leftrightarrow 3y = 9 \Leftrightarrow y = 3\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow x = 8\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow x + y = 11\end{array}\)

Câu 37 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - x + 1$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {2;3} \right)$, parabol $\left( P \right)$ biến thành parabol $\left( Q \right)$ có phương trình là:

  • A

    \(y = {x^2} - 7x + 14\) 

  • B

    \(y = {x^2} + 3x + 2\) 

  • C

    \(y = {x^2} + 5x + 6\) 

  • D

    \(y = {x^2} - 9x + 5\) 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến: Hợp hai phép tịnh tiến thì được phép tịnh tiến.

- Xác định véc tơ tịnh tiến \(\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v \).

- Sử dụng công thức biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình parabol \(\left( Q \right)\).

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta suy ra, $\left( Q \right)$ là ảnh của $\left( P \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v $.

Ta có: $\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {3;1} \right)$.

Do đó phương trình của $\left( Q \right)$ là: $y - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) + 1 \Leftrightarrow y = {x^2} - 7x + 14$.

Câu 38 :

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Nhận định nào sau đây là đúng?

  • A

    Không có phép đối xứng trục nào biến $a$ thành $b$ 

  • B

    Có duy nhất một phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ 

  • C

    Có đúng hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ 

  • D

    Có vô số phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Kẻ các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi $p$ và $q$ là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ . Ta thấy ngay có hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ là các phép đối xứng trục ${D_p}$ và ${D_q}$.

Câu 39 :

Cho hai khẳng định sau:

(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.

(II) Cho phép đối xứng tâm ${D_O}$ và đường thẳng $d$ không đi qua $O$. Có thể dựng $d'$  là ảnh của $d$ qua ${D_O}$ mà chỉ sử dụng compa một lần và thước hai lần.

Chọn kết luận đúng:

  • A

    (I) đúng, (II) sai

  • B

    (I) sai, (II) đúng

  • C

    Cả hai đều đúng

  • D

    Cả hai đều sai

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Suy luận từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

(I) đúng, tâm đối xứng của hình đó chính là giao điểm của hai trục đối xứng.

(II) Cách dựng đường thẳng $d'$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$.

Bước 1: Lấy một điểm $M$ bất kì thuộc $d$

Bước 2: Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $OM$.

Bước 3: Kéo dài $OM$, cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OM$ tại điểm thứ hai $N$ .

Bước 4: Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $d$.

Vậy ta cần dùng compa ở bước 2 và dùng thước ở bước 3 và 4.

Do đó cả (I) và (II) đều đúng.

Câu 40 :

Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó

  • A

    Không có phép nào

  • B

    Có một phép duy nhất

  • C

    Chỉ có hai phép

  • D

    Có vô số phép.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.

Lời giải chi tiết :

Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.

Gọi $O$ là tâm đối xứng sao cho qua phép đối xứng tâm $O$ biến mỗi đường thẳng $d$ và $d'$  thành chính nó.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in d\\O \in d'\end{array} \right. \Rightarrow O = d \cap d'\) và $O$ là duy nhất.

Câu 41 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng \(d:\,\,x - y + 4 = 0\). Hỏi trong $4$ đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành $d$ qua phép quay tâm \(I\left( {0;3} \right)\) góc quay \(\pi \) ?

  • A

    \(2x + y - 4 = 0\) 

  • B

    \(2x + 2y - 3 = 0\) 

  • C

    \(x - y + 2 = 0\) 

  • D

    \(2x - 2y + 1 = 0\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \), ta có: \({Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta \)

Ta lấy hai điểm bất kì thuộc $d$ và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\) sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai ảnh vừa tìm được, đó chính là đường thẳng cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \), ta có: \({Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta \)

Ta lấy hai điểm bất kì thuộc $d$ và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\)

Lấy \(A\left( {0;4} \right);B\left( { - 4;0} \right) \in d\)

Gọi \(A',B'\) lần lượt là ảnh của $A$ và $B$ qua phép quay \(Q\left( {I; - \pi } \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IA'\\\widehat {AIA'} =  - {180^0}\end{array} \right. \Rightarrow \) I là trung điểm của  \(AA' \Rightarrow A'\left( {0;2} \right)\)

Tương tự ta có $I$ là trung điểm của  \(BB' \Rightarrow B'\left( {4;6} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua $A$ và $B$ là : \(\dfrac{{x - 0}}{{4 - 0}} = \dfrac{{y - 2}}{{6 - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - 2}}{4} \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Câu 42 :

Khẳng định nào sai ?

  • A

    Phép tịnh tiến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó

  • B

    Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó

  • C

    Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.

  • D

    Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa phép dời hình: Phép dời hình là phép bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết :

Phép quay và phép tịnh tiến đều là phép dời hình, do đó các đáp án A, C, D đúng.

Đáp án B sai vì phép quay có góc quay $90^0$ biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó.

Câu 43 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có phương trình \(x - 2y + 1 = 0\) và \(x - 2y + 4 = 0\), điểm \(I\left( {2;1} \right)\). Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng \({\Delta _1}\) thành \({\Delta _2}\) khi đó giá trị của $k$ là :

  • A

    $1$ 

  • B

    $2$ 

  • C

    $3$ 

  • D

    $4$ 

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lấy điểm $A$ bất kì thuộc \({\Delta _1}\), tìm ảnh $A'$  của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$.

Thay tọa độ điểm $A'$  vừa tìm được vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\).

Lời giải chi tiết :

Lấy \(A\left( { - 1;0} \right) \in {\Delta _1}\), gọi \(A'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ ta có : \(\overrightarrow {IA'}  = k\overrightarrow {IA} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 2;y - 1} \right) = k\left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - 3k\\y - 1 =  - k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3k + 2\\y =  - k + 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3k + 2; - k + 1} \right)\\{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( {{\Delta _1}} \right) = {\Delta _2},\,\,{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A' \Rightarrow A' \in {\Delta _2}\end{array}\)

Thay tọa độ điểm $A'$  vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) ta có:

\( - 3k + 2 - 2\left( { - k + 1} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow  - k + 4 = 0 \Leftrightarrow k = 4\)

Câu 44 :

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:2x - y = 0\). Phương trình đường thẳng qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\) và phép đối xứng trục \(Oy\) là đường thẳng nào sau đây?

  • A

    \( -2x - y = 0\).

  • B

    \(2x - y = 0\).

  • C

    \(4x - y = 0\).

  • D

    \(2x + y - 2 = 0\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất: Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó.

Tìm ảnh của đường thẳng \(d: ax+by+c=0\) qua phép vị tự:

B1: Gọi phương trình đường thẳng của ảnh \(d'\) là \(ax+by+c+m=0\)

B2: Lấy một điểm \(M\) thuộc \(d\), tìm ảnh \(M'\) của nó qua phép vị tự rồi thay \(M'\) vào phương trình của \(d'\) để tìm tham số \(m\).

- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua hai trục tọa độ: đối xứng qua cái gì thì giữ nguyên cái đó, còn lại lấy giá trị đối.

 

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( d \right) = d' \Rightarrow d'//d\)  hoặc \(d' \equiv d\).

\( \Rightarrow d'\) có dạng: \(2x - y + m = 0\)

Chọn \(N\left( {1;2} \right) \in d:{V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( N \right) = N'\left( { - 2; - 4} \right) \in d' \Rightarrow  - 4 + 4 + m = 0 \Rightarrow m = 0\)

\( \Rightarrow \)  Phương trình đường thẳng \(d':2x - y = 0\)

Qua phép đối xứng trục \(Oy\): \({D_{oy}}\left( {d'} \right) = d''\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}M(x,y) \in d'\\ \Rightarrow {D_{Oy}}(M) = M'(x',y') \in d''\end{array}\\\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x' =  - x}\\{y' = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - x'}\\{y = y'}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2( - x') - y' = 0\end{array}\end{array}\)

Suy ra phương trình ảnh \(d''\) cần tìm là: \( - 2x - y = 0\)

Câu 45 :

Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$  học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:

  • A

    \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)

  • B

    \(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)

  • C

    \(T = n{2^{n - 1}}\)

  • D

    \(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:

PA 1: Nhóm có $2$  học sinh

PA 2: Nhóm có $3$ học sinh.

PA 3: Nhóm có $4$ học sinh.

….

PA (n-2): Nhóm có $n-1$ học sinh.

Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết :

Gọi \({A_k}\) là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.

Thầy chủ nhiệm có các phương án: \({A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}\)

Ta tính xem \({A_k}\) có bao nhiêu cách thực hiện.

Phương án \({A_k}\) có hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có \(C_k^1 = k\) cách.

Theo quy tắc nhân thì phương án \({A_k}\) có \(kC_n^k\) cách thực hiện.

Các phương án \({A_k}\) là độc lập với nhau.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)

Câu 46 :

Nghiệm của phương trình \(\tan 4x.\cot 2x = 1\) là:

  • A

    \(k\pi ,k \in Z\)

  • B

    \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)

  • C

    \(\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z\)  

  • D

    Vô nghiệm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Sử dụng công thức \(\tan u.\cot u = 1\) để biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản $\tan x=\tan y$

- Giải phương trình $\tan x=\tan y$$ \Leftrightarrow x=y+k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

- Kiểm tra điều kiện và loại nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 4x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó, dễ thấy \(\cot 2x \ne 0\) (Nếu \(\cot 2x = 0\) thì phương trình thành 0=1 =>Vô nghiệm) nên phương trình tương đương:

\(\tan 4x.\cot 2x = 1 \Leftrightarrow \tan 4x = \dfrac{1}{{\cot 2x}} \\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan 2x \Leftrightarrow 4x = 2x + k\pi  \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)

Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.

Câu 47 :

Giải phương trình \(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\).

  • A
    \(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • B
    \(x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • C
    \(x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
  • D
    \(x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\).

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba đối với 1 hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\cos 4x + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow 3\cos 4x\cos 2x + 2\cos 4x = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)\cos 2x + 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x - 3\cos 2x + 4{\cos ^2}2x - 2 = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x + 3{\cos ^2}2x - 3\cos 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + {\cos ^2}2x - \cos 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^3}2x - 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {{{\cos }^2}2x + \cos 2x + 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 2\cos 2x + 2 + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 3\cos 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi  \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 48 :

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB} $ là tập nào sau đây?

  • A

    Tập \(\emptyset \) 

  • B

    Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\) 

  • C

    Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(R\) 

  • D

    Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) với \(\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {AB} \) 

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Biến đổi $\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} $.

- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có:

$\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} $

Như thế phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB} $ biến điểm $M$ thành điểm $N$.

Vậy khi $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ thì quỹ tích của $N$ là đường tròn $\left( {I;R} \right)$ với $\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {AB} $.

Câu 49 :

Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?

  • A

    $A = 0$

  • B

    $A = 1$

  • C

    $A = 3$

  • D

    $A =  - 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đối với những bài toán tổng những tổ hợp có chỉ số trên và chỉ số dưới là những số tự nhiên liên tiếp ta sử dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

Lời giải chi tiết :

Trước hết ta chứng minh công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

\(\begin{array}{l}VT = C_n^k + C_n^{k + 1}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\dfrac{1}{{n - k}} + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\dfrac{{k + 1 + n - k}}{{\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{n!\left( {n + 1} \right)}}{{k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP\end{array}\)

Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:

$\begin{array}{l}B = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_n^k + C_n^{k - 1} + 3\left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right) + 3\left( {C_n^{k - 2} + C_n^{k - 3}} \right) + C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + 3C_{n + 1}^{k - 1} + 3C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + 2\left( {C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}} \right) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 2}^k + 2C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 3}^k + C_{n + 3}^{k - 1}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 4}^k\\ \Rightarrow A = B - C_{n + 4}^k + 1 = C_{n + 4}^k - C_{n + 4}^k + 1 = 1\end{array}$

Câu 50 :

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Phép vị tự tâm $G$ biến $H$ thành $O$ có tỉ số là :

  • A

    $2$ 

  • B

    \(\dfrac{1}{2}\) 

  • C

    \( - \dfrac{1}{2}\)       

  • D

    \( - \dfrac{2}{3}\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chứng minh $H,G,O$ thẳng hàng mà tìm mối tỉ số \(\dfrac{{GO}}{{GH}}\)

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$$O$ lần lượt là trực tâm và tam đường tròn ngoại tiếp tâm giác $ABC$ .

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , kẻ đường kính $BK$.

Xét đường tròn ngoại tiếp tâm $O$\(\widehat {BCK}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {BCK} = {90^0} \Rightarrow BC \bot CK\)

\(AH \bot BC \Rightarrow AH//CK\)

Tương tự ta chứng minh được \(AK//CH\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác $AHCK$ là hình bình hành \( \Rightarrow AH = CK\)

Có $OM$ là đường trung bình của tam giác \(BCK \Rightarrow OM//CK//AH\) và \(OM = \dfrac{1}{2}CK = \dfrac{1}{2}AH\).

Gọi \(G = AM \cap OH\) ta dễ thấy \(\Delta AGH \sim \Delta MGO\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{MG}} = \dfrac{{AH}}{{OM}} = 2 = \dfrac{{HG}}{{OG}}\) , mà $AM$ là trung tuyến của tam giác \(ABC \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác $ABC$ . Vậy $H,G,O$ thẳng hàng, với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và \(\dfrac{{HG}}{{OG}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {GO}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GH} \) 

\( \Rightarrow {V_{\left( {G; - \frac{1}{2}} \right)}}\left( H \right) = O\).

close