Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 4

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
B

Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
C

Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
D

Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

Câu 2 :

Với giá trị nào của m thì phương trình $\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1$ luôn có nghiệm?

A

$m = 1$
B

Không có m
C

$m = 0$
D

Với mọi m

Câu 3 :

Số tổ hợp chập $6$ của $7$ phần tử là:

A

$6$
B

$7$
C

$13$
D

$42$

Câu 4 :

Hàm số $y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}$ xác định trên:

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 5 :

Số các hoán vị khác nhau của $n$ phần tử là:

A

${P_n} = n!$
B

${P_n} = n$
C

${P_n} = \left( {n - 1} \right)!$
D

${P_n} = {n^2}$

Câu 6 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

A

Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
B

Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
C

Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
D

Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.

Câu 7 :

Điểm nào là ảnh của $M\left( {3; - 1} \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;2} \right)$

A

$\left( {2;1} \right)$
B

$\left( { - 1;5} \right)$
C

$\left( { - 1;3} \right)$
D

$\left( {5; - 4} \right)$

Câu 8 :

Cho đường thẳng $d$ và điểm $M'$ là ảnh của điểm $M$ nằm ngoài $d$ qua phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$MM' \bot d$ tại $M'$
B

$MM' \bot d$ tại $M$
C

$MM'//d$
D

$MM' \equiv d$

Câu 9 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 10 :

Với giá trị của $x$ thỏa mãn $12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162$ thì $A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?$

A

$20$
B

$30$
C

$ - 10$
D

$34$

Câu 11 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu phép đối xứng tâm biến điểm $A\left( {5;2} \right)$ thành điểm $A'\left( { - 3;4} \right)$ thì nó biến điểm $B\left( {1; - 1} \right)$ thành điểm :

A

$B'\left( {1;7} \right)$
B

$B'\left( {1;6} \right)$
C

$B'\left( {2;5} \right)$
D

$B'\left( {1; - 5} \right)$

Câu 12 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép vị tự $V$ tỉ số $k = 2$ biến điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ thành điểm $A'\left( { - 5;1} \right).$ Hỏi phép vị tự $V$ biến điểm $B\left( {0;1} \right)$ thành điểm có tọa độ nào sau đây?

A

$\left( {0;2} \right).$
B

$\left( {12; - 5} \right).$
C

$\left( { - 7;7} \right).$
D

$\left( {11;6} \right).$

Câu 13 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo ${T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}$ biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

A
BC
B
AB
C
DC
D
CA

Câu 14 :

Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với $d:2x\; - y = 0$ có tọa độ là:

A

$A'\left( { - 2;7} \right)$
B

$A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$
C

$A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$
D

$A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)$

Câu 15 :

Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$ bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày $1$ vở kịch, $1$ điệu múa và $1$ bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?

A

$11$
B

$36$
C

$25$
D

$18$

Câu 16 :

Có bao nhiêu cách xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?

A
$1$.
B
$25$.
C
$5$.
D
$120$.

Câu 17 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4$. Phép đối xứng trục $Ox$ biến đường tròn $\left( C \right)$ thành đường tròn $\left( {C'} \right)$ có phương trình là:

A

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.$
B

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.$
C

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.$
D

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.$

Câu 18 :

Gọi $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua một phép biến hình. Có tất cả bao nhiêu điểm $M'$?

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$4$

Câu 19 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm $A\left( {1;0} \right)$ thành điểm $A'\left( {0;1} \right)$. Khi đó nó biến điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ thành điểm:

A

$M'\left( { - 1; - 1} \right)$
B

$M'\left( {1;1} \right)$
C

$M'\left( { - 1;1} \right)$
D

$M'\left( {1;0} \right)$

Câu 20 :

Tìm chu kì của hàm số $y = f\left( x \right) = \tan 2x$.

A

${T_0} = 2\pi $
B

${T_0} = \dfrac{\pi }{2}$
C

${T_0} = \pi $
D

${T_0} = 4\pi $

Câu 21 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:

A

$\left( {5; - 3} \right)$
B

$\left( {3;5} \right)$
C

$\left( { - 3;5} \right)$
D

$\left( {3; - 5} \right)$

Câu 22 :

Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?

A

Hình thoi
B

Hình vuông
C

Hình elip
D

hình tròn.

Câu 23 :

Số (5! – P₄) bằng:

A
5
B
12
C
24
D
96

Câu 24 :

Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $2$. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,\,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$. Diện tích $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ là:

A

$5\sqrt 2 $
B

$9\sqrt 3 $
C

$9\sqrt 2 $
D

$5\sqrt 3 $

Câu 25 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( { - 2;4} \right)$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = - 2$ biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?

A

$\left( { - 3;4} \right)$
B

$\left( { - 4; - 8} \right)$
C

$\left( {4; - 8} \right)$
D

$\left( {4;8} \right)$

Câu 26 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $a:\,\,2x + y + 5 = 0$ và $b:\,\,x - 2y - 3 = 0$. Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:

A

${45^0}$
B

${90^0}$
C

${120^0}$
D

${60^0}$

Câu 27 :

Phương trình $\cos 2x = 1$ có nghiệm là:

A

$x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 28 :

Nghiệm của phương trình $4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0$ là:

A

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right.$

Câu 29 :

Công việc $A$ có $k$ công đoạn ${A_1},{A_2},...,{A_k}$ với số cách thực hiện lần lượt là ${n_1},{n_2},...,{n_k}$. Khi đó số cách thực hiện công việc $A$ là:

A

${n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$ cách
B

${n_1}.{n_2}.....{n_k}$ cách
C

$n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2$ cách
D

${n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}$ cách

Câu 30 :

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép dời hình.
B

Phép đồng dạng tỉ số $k = - 1$ là phép đối xứng tâm.
C

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép tịnh tiến
D

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép vị tự tỉ số $k = 1$

Câu 31 :

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = \sqrt {2\sin x + 3} $

A

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1$
B

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0$
C

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 $
D

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3$

Câu 32 :

Cho phương trình $\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}$. Biết $x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}$ là một nghiệm của phương trình. Tính $m$.

A
$\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
B
$\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{3}{2}\\m = 0\end{array} \right.$
C
$\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{4}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$
D
$\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Câu 33 :

Để phương trình $\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}$ có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

A

$\left| a \right| \ge 1$
B

$\left| a \right| > 1$
C

$\left| a \right| = 1$
D

$\left| a \right| \ne 1$

Câu 34 :

Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?

A

$360$
B

$343$
C

$523$
D

$347$

Câu 35 :

Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.

A

$36$
B

$60$
C

$72$
D

$120$

Câu 36 :

Cho $C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2$. Khi đó tổng $x + y$ bằng:

A

$3$
B

$ - 8$
C

$11$
D

$ - 3$

Câu 37 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - x + 1$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {2;3} \right)$, parabol $\left( P \right)$ biến thành parabol $\left( Q \right)$ có phương trình là:

A

$y = {x^2} - 7x + 14$
B

$y = {x^2} + 3x + 2$
C

$y = {x^2} + 5x + 6$
D

$y = {x^2} - 9x + 5$

Câu 38 :

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Nhận định nào sau đây là đúng?

A

Không có phép đối xứng trục nào biến $a$ thành $b$
B

Có duy nhất một phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
C

Có đúng hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
D

Có vô số phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ .

Câu 39 :

Cho hai khẳng định sau:

(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.

(II) Cho phép đối xứng tâm ${D_O}$ và đường thẳng $d$ không đi qua $O$. Có thể dựng $d'$ là ảnh của $d$ qua ${D_O}$ mà chỉ sử dụng compa một lần và thước hai lần.

Chọn kết luận đúng:

A

(I) đúng, (II) sai
B

(I) sai, (II) đúng
C

Cả hai đều đúng
D

Cả hai đều sai

Câu 40 :

Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó

A

Không có phép nào
B

Có một phép duy nhất
C

Chỉ có hai phép
D

Có vô số phép.

Câu 41 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d:\,\,x - y + 4 = 0$. Hỏi trong $4$ đường thẳng cho bởi các phương trình sau, đường thẳng nào có thể biến thành $d$ qua phép quay tâm $I\left( {0;3} \right)$ góc quay $\pi $ ?

A

$2x + y - 4 = 0$
B

$2x + 2y - 3 = 0$
C

$x - y + 2 = 0$
D

$2x - 2y + 1 = 0$

Câu 42 :

Khẳng định nào sai ?

A

Phép tịnh tiến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
B

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó
C

Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
D

Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Câu 43 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt có phương trình $x - 2y + 1 = 0$ và $x - 2y + 4 = 0$, điểm $I\left( {2;1} \right)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng ${\Delta _1}$ thành ${\Delta _2}$ khi đó giá trị của $k$ là :

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Câu 44 :

Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho đường thẳng $d:2x - y = 0$. Phương trình đường thẳng qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = - 2$ và phép đối xứng trục $Oy$ là đường thẳng nào sau đây?

A

$ -2x - y = 0$.
B

$2x - y = 0$.
C

$4x - y = 0$.
D

$2x + y - 2 = 0$

Câu 45 :

Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:

A

$T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} $
B

$T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)$
C

$T = n{2^{n - 1}}$
D

$T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} $

Câu 46 :

Nghiệm của phương trình $\tan 4x.\cot 2x = 1$ là:

A

$k\pi ,k \in Z$
B

$\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z$
C

$\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z$
D

Vô nghiệm

Câu 47 :

Giải phương trình $\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2$.

A
$x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B
$x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C
$x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D
$x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 48 :

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} $ là tập nào sau đây?

A

Tập $\emptyset $
B

Đường tròn tâm $A$ bán kính $AB$
C

Đường tròn tâm $B$ bán kính $R$
D

Đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ với $\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} $

Câu 49 :

Với $k,n \in N,2 \le k \le n$ thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?

A

$A = 0$
B

$A = 1$
C

$A = 3$
D

$A = - 1$

Câu 50 :

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Phép vị tự tâm $G$ biến $H$ thành $O$ có tỉ số là :

A

$2$
B

$\dfrac{1}{2}$
C

$ - \dfrac{1}{2}$
D

$ - \dfrac{2}{3}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
B

Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
C

Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
D

Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Lời giải chi tiết :

Lấy điểm $A,B$ bất kì thuộc hai đường thẳng $a,b$ thì phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow {AB} $ biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.

Vì các điểm $A,B$ là lấy bất kì nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn bài toán.

Câu 2 :

Với giá trị nào của m thì phương trình $\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1$ luôn có nghiệm?

A

$m = 1$
B

Không có m
C

$m = 0$
D

Với mọi m

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Điều kiện để phương trình $a\cos x + b\sin x = c$ có nghiệm là ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - m\\c = 1\end{array} \right.$

Để phương trình có nghiệm thì ${a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 3 + {m^2} \ge 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge - 2$ (luôn đúng với $\forall m$ )

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Câu 3 :

Số tổ hợp chập $6$ của $7$ phần tử là:

A

$6$
B

$7$
C

$13$
D

$42$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử $C_n^k$.

Lời giải chi tiết :

Số tổ hợp chập $6$ của $7$ phần tử là $C_7^6 = 7$.

Câu 4 :

Hàm số $y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}$ xác định trên:

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}$ xác định nếu $f\left( x \right) \ne 0$.

Sử dụng công thức $\cos a \ne 1 \Leftrightarrow a \ne k2\pi$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\cos 3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k2\pi }}{3}$

Câu 5 :

Số các hoán vị khác nhau của $n$ phần tử là:

A

${P_n} = n!$
B

${P_n} = n$
C

${P_n} = \left( {n - 1} \right)!$
D

${P_n} = {n^2}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Số các hoán vị khác nhau của $n$ phần tử là ${P_n} = n!$

Câu 6 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

A

Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
B

Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
C

Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
D

Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết :

Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.

Câu 7 :

Điểm nào là ảnh của $M\left( {3; - 1} \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;2} \right)$

A

$\left( {2;1} \right)$
B

$\left( { - 1;5} \right)$
C

$\left( { - 1;3} \right)$
D

$\left( {5; - 4} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm $I \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM'$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm $I \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM'$ .

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_I} - {x_M} = - 1\\{y_{M'}} = 2{y_I} - {y_M} = 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 1;5} \right)$

Câu 8 :

Cho đường thẳng $d$ và điểm $M'$ là ảnh của điểm $M$ nằm ngoài $d$ qua phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$MM' \bot d$ tại $M'$
B

$MM' \bot d$ tại $M$
C

$MM'//d$
D

$MM' \equiv d$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng $d$. Với mỗi điểm $M$, xác định điểm $M'$ là hình chiếu của $M$ lên $d$. Phép biến hình này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$.

Lời giải chi tiết :

Từ định nghĩa phép chiếu vuông góc ta thấy $MM'$ vuông góc với $d$ tại $M'$ (vì $M'$ là hình chiếu của $M$ trên $d$ nên $M' \in d$).

Câu 9 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có:

+) $\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ nên A sai.

+) $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ nên B đúng, D sai.

+) $\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ nên C sai.

Câu 10 :

Với giá trị của $x$ thỏa mãn $12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162$ thì $A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?$

A

$20$
B

$30$
C

$ - 10$
D

$34$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$ để tìm x, sau đó thay vào tính giá trị biểu thức

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)!}}{{2!\left( {x + 2} \right)!}} = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{2} = 162\\ \Leftrightarrow 24x + {x^2} + 7x + 12 = 324\\ \Leftrightarrow {x^2} + 31x - 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 39\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

$ \Rightarrow A_{x - 1}^2 - C_x^1 = A_7^2 - C_8^1 = 34$

Câu 11 :

A

$B'\left( {1;7} \right)$
B

$B'\left( {1;6} \right)$
C

$B'\left( {2;5} \right)$
D

$B'\left( {1; - 5} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

${D_I}\left( M \right) = M' \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM'$

Lời giải chi tiết :

${D_I}\left( A \right) = A' \Rightarrow I$ là trung điểm của $AA' \Rightarrow I\left( {1;3} \right)$

${D_I}\left( B \right) = B' \Rightarrow I$ là trung điểm của $BB' \Rightarrow B'\left( {1;7} \right)$

Câu 12 :

A

$\left( {0;2} \right).$
B

$\left( {12; - 5} \right).$
C

$\left( { - 7;7} \right).$
D

$\left( {11;6} \right).$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của phép vị tự ${V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A',{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( B \right) = B'$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} $

Lời giải chi tiết :

Gọi $B'\left( {x;y} \right)$ là ảnh của $B$ qua phép vị tự $V.$

Suy ra $\overrightarrow {A'B'} = \left( {x + 5;y - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right).$

Theo giả thiết, ta có $\overrightarrow {A'B'} = 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 5 = 2.\left( { - 1} \right)\\y - 1 = 2.3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 7\end{array} \right.$.

Câu 13 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo ${T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}$ biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

A
BC
B
AB
C
DC
D
CA

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: ${T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = B \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow u $.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} $.

Mà ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} $.

Do đó

$\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}$

Vậy ${T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB$

Câu 14 :

Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với $d:2x\; - y = 0$ có tọa độ là:

A

$A'\left( { - 2;7} \right)$
B

$A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$
C

$A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$
D

$A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua $A$ và vuông góc với $d.$

- Tìm giao điểm $H$ của $d$ và $d’.$ Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’.$

Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Gọi $A'$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d.$ Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A $ và vuông góc với $d,$ khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x + 2y + c = 0.$

Vì $A \in d'$ nên $4 + 2\left( { - 3} \right) + c = 0 \Rightarrow c = 2$. Khi đó $\left( {d'} \right):x + 2y + 2 = 0$

Gọi $H = d \cap d' \Rightarrow H\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow $ $H $ là trung điểm của $AA’.$ Khi đó

$\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) - 4 = - \dfrac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + 3 = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$

Câu 15 :

A

$11$
B

$36$
C

$25$
D

$18$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Chọn $1$ vở kịch có $2$ cách

Chọn $1$ điệu múa có $3$ cách.

Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: $2.3.6 = 36$ cách

Câu 16 :

Có bao nhiêu cách xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?

A
$1$.
B
$25$.
C
$5$.
D
$120$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số cách sắp xếp $n$ bạn vào $n$ vị trí khác nhau là ${P_n} = n!$

Lời giải chi tiết :

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.

Vậy số cách xếp là ${P_5} = 5! = 120$ (cách).

Câu 17 :

A

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.$
B

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.$
C

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.$
D

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tìm tâm và bán kính đường tròn đã cho.

- Xác định ảnh của tâm đường tròn qua phép đối xứng.

- Viết phương trình đường tròn ảnh và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$ và bán kính $R = 2.$

Ta có $I\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow I'\left( {1;2} \right)$ đối xứng với $I$ qua $Ox$ và $R = 2 \Rightarrow R' = R = 2.$

Do đó $\left( {C'} \right)$ có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.$

Câu 18 :

Gọi $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua một phép biến hình. Có tất cả bao nhiêu điểm $M'$?

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$4$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm $M$ thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất $M'$ thuộc mặt phẳng ấy

Câu 19 :

A

$M'\left( { - 1; - 1} \right)$
B

$M'\left( {1;1} \right)$
C

$M'\left( { - 1;1} \right)$
D

$M'\left( {1;0} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định góc quay.

Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm $M\left( {x;y} \right)$ qua phép quay tâm $O$ góc $\alpha :\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Phép quay tâm $O$ biến điểm $A\left( {1;0} \right)$ thành điểm $A'\left( {0;1} \right)$ là phép quay tâm $O$ góc ${90^0}$

Gọi $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ qua phép quay tâm $O$ góc ${90^0}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} + 1.\sin {90^0}\\y' = 1.\sin {90^0} - 1.\cos {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1;1} \right)$

Câu 20 :

Tìm chu kì của hàm số $y = f\left( x \right) = \tan 2x$.

A

${T_0} = 2\pi $
B

${T_0} = \dfrac{\pi }{2}$
C

${T_0} = \pi $
D

${T_0} = 4\pi $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}$.

Lời giải chi tiết :

Chu kì của hàm số $f\left( x \right) = \tan 2x$ là ${T_0} = \dfrac{\pi }{2}$

Câu 21 :

A

$\left( {5; - 3} \right)$
B

$\left( {3;5} \right)$
C

$\left( { - 3;5} \right)$
D

$\left( {3; - 5} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)$

Câu 22 :

Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?

A

Hình thoi
B

Hình vuông
C

Hình elip
D

hình tròn.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Liệt kê các trục đối xứng của từng hình.

Lời giải chi tiết :

Hình thoi có $2$ trục đối xứng (hai đường chéo).

Hình vuông có $4$ trục đối xứng (hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối).

Elip có $2$ trục đối xứng (hai trục của Elip)

Hình tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm (đường kính).

Câu 23 :

Số (5! – P₄) bằng:

A
5
B
12
C
24
D
96

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

$5! - {P_4} = 5! - 4! = 96$.

Câu 24 :

A

$5\sqrt 2 $
B

$9\sqrt 3 $
C

$9\sqrt 2 $
D

$5\sqrt 3 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất phép tịnh tiến, phép quay biến tam giác thành tam giác bằng nó.

- Sử dụng tính chất phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các cạnh nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {BC} }}$, phép quay $Q\left( {B,{{60}^0}} \right)$, phép vị tự ${V_{\left( {A,3} \right)}},\Delta ABC$ biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ thì ${A_1}{B_1} = 3AB = 6$

Tam giác đều $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bằng $6 \Rightarrow {S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 $.

Câu 25 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( { - 2;4} \right)$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = - 2$ biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?

A

$\left( { - 3;4} \right)$
B

$\left( { - 4; - 8} \right)$
C

$\left( {4; - 8} \right)$
D

$\left( {4;8} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

${V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} $

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = - 2$.

${V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = - 2\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \left( {x';y'} \right) = - 2\left( { - 2;4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4\\y' = - 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 8} \right)$

Câu 26 :

A

${45^0}$
B

${90^0}$
C

${120^0}$
D

${60^0}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\overrightarrow n _a} = \left( {2;1} \right),{\overrightarrow n _b} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _a}.{\overrightarrow n _b} = 0 \Rightarrow a \bot b$

Do đó tồn tại phép quay góc ${90^0}$ biến đường thẳng này thành đường thẳng kia

Câu 27 :

Phương trình $\cos 2x = 1$ có nghiệm là:

A

$x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 28 :

Nghiệm của phương trình $4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0$ là:

A

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array} \right.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để biến đổi phương trình thành phương trình bậc hai đối với $\cos 2x$.

Các công thức:

${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$

${\cos ^2}x =\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} $

Bước 2: Đặt $t = \cos 2x\left( { - 1 \le t \le t} \right)$, giải phương trình ẩn $t$ rồi giải phương trình tìm $x$.

$\cos x= \cos a \Leftrightarrow x=\pm a+ k2\pi$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\begin{array}{l}4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 8.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 4\left( {1 + \cos 2x} \right) - 9 = 0\\\Leftrightarrow 4\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 4 + 4\cos 2x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 4 - 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 5 = 0 \\\Leftrightarrow - 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 1 = 0\end{array}$

Bước 2:

Đặt $\cos 2x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$ khi đó phương trình có dạng

$ - 4{t^2} + 4t - 1 = 0 $$ \Leftrightarrow - \left( {4{t^2} - 4t + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow - {\left( {2t - 1} \right)^2} = 0 $ $\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x =\cos \dfrac{\pi }{3} \\\Leftrightarrow 2x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Câu 29 :

A

${n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$ cách
B

${n_1}.{n_2}.....{n_k}$ cách
C

$n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2$ cách
D

${n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}$ cách

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Số cách thực hiện công việc $A$ là: ${n_1}.{n_2}.....{n_k}$ cách.

Câu 30 :

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép dời hình.
B

Phép đồng dạng tỉ số $k = - 1$ là phép đối xứng tâm.
C

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép tịnh tiến
D

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép vị tự tỉ số $k = 1$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Khi $k = 1$ phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên là phép dời hình.

Câu 31 :

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = \sqrt {2\sin x + 3} $

A

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1$
B

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0$
C

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 $
D

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng $ - 1 \le \sin x \le 1$ để đánh giá biểu thức $\sqrt {2\sin x + 3} $, từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Do $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2 $$\Rightarrow -2+3 \le2\sin x + 3 \le 2+3 $$\Rightarrow1 \le \sqrt {2\sin x + 3} \le \sqrt 5 $.

Dấu “=” xảy ra khi lần lượt $\sin x = - 1$ và $\sin x = 1$

Câu 32 :

Cho phương trình $\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}$. Biết $x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}$ là một nghiệm của phương trình. Tính $m$.

A
$\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
B
$\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{3}{2}\\m = 0\end{array} \right.$
C
$\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{4}\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$
D
$\left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay $x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}$ sau đó giải phương trình tìm $m$.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = \dfrac{{11\pi }}{{60}}$ vào phương trình ta có:

$\begin{array}{l}\sin \left( {2.\dfrac{{11\pi }}{{60}} - \dfrac{\pi }{5}} \right) = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{6} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = 3{m^2} + \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow 6{m^2} + m = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{3}\\m = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Câu 33 :

Để phương trình $\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}$ có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

A

$\left| a \right| \ge 1$
B

$\left| a \right| > 1$
C

$\left| a \right| = 1$
D

$\left| a \right| \ne 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đối với chỉ một hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

$\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array}$

Vì $\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 1$

Câu 34 :

Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?

A

$360$
B

$343$
C

$523$
D

$347$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân với chú ý có bốn công đoạn để lập được số thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết :

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là $\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)$, $d \in \left\{ {2;4;6} \right\}$

Vì $\overline {abcd} $ là số chẵn nên $d \in \left\{ {2;4;6} \right\} $

$\Rightarrow $ Có $3$ cách chọn $d.$

Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$

$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$

$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$

Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)

Câu 35 :

A

$36$
B

$60$
C

$72$
D

$120$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa về bài toán lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$.

Sử dụng công thức chỉnh hợp cho bài toán này.

Lời giải chi tiết :

Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.

Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có $A_5^4 = 120$ số.

Câu 36 :

Cho $C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2$. Khi đó tổng $x + y$ bằng:

A

$3$
B

$ - 8$
C

$11$
D

$ - 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$

Và áp dụng công thức của tỉ lệ thức: $a:b:c = x:y:z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{y}\\\dfrac{a}{c} = \dfrac{x}{z}\\\dfrac{b}{c} = \dfrac{y}{z}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge y \ge 0\\x \ge y + 1 \ge 0\\x \ge y - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 1\\x \ge y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 1\\x \ge 2\end{array} \right.\,\,\left( {x,y \in N} \right)$

\(\begin{array}{l}C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{C_{x + 1}^y}}{{C_x^{y + 1}}} = \dfrac{6}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{C_{x + 1}^y}}{{C_x^{y - 1}}} = \dfrac{6}{2} = 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}}}{{\dfrac{{x!}}{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}.\dfrac{{\left( {y + 1} \right)!\left( {x - y - 1} \right)!}}{{x!}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y + 1} \right)}} = \dfrac{6}{5}\,\,\,\left( 3 \right)\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}}}{{\dfrac{{x!}}{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)!}}{{y!\left( {x + 1 - y} \right)!}}\dfrac{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}{{x!}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y - 1\end{array}\)

Thay vào (3) ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{3y\left( {y + 1} \right)}}{{\left( {2y - 1} \right)2y}} = \dfrac{6}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{y + 1}}{{4y - 2}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow 5y + 5 = 8y - 4\\ \Leftrightarrow 3y = 9 \Leftrightarrow y = 3\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow x = 8\,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow x + y = 11\end{array}$

Câu 37 :

A

$y = {x^2} - 7x + 14$
B

$y = {x^2} + 3x + 2$
C

$y = {x^2} + 5x + 6$
D

$y = {x^2} - 9x + 5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến: Hợp hai phép tịnh tiến thì được phép tịnh tiến.

- Xác định véc tơ tịnh tiến $\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v $.

- Sử dụng công thức biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình parabol $\left( Q \right)$.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta suy ra, $\left( Q \right)$ là ảnh của $\left( P \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v $.

Ta có: $\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {3;1} \right)$.

Do đó phương trình của $\left( Q \right)$ là: $y - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) + 1 \Leftrightarrow y = {x^2} - 7x + 14$.

Câu 38 :

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Nhận định nào sau đây là đúng?

A

Không có phép đối xứng trục nào biến $a$ thành $b$
B

Có duy nhất một phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
C

Có đúng hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$
D

Có vô số phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Kẻ các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi $p$ và $q$ là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$ . Ta thấy ngay có hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ là các phép đối xứng trục ${D_p}$ và ${D_q}$.

Câu 39 :

Cho hai khẳng định sau:

(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.

Chọn kết luận đúng:

A

(I) đúng, (II) sai
B

(I) sai, (II) đúng
C

Cả hai đều đúng
D

Cả hai đều sai

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Suy luận từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

(I) đúng, tâm đối xứng của hình đó chính là giao điểm của hai trục đối xứng.

(II) Cách dựng đường thẳng $d'$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng tâm $O$.

Bước 1: Lấy một điểm $M$ bất kì thuộc $d$

Bước 2: Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $OM$.

Bước 3: Kéo dài $OM$, cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OM$ tại điểm thứ hai $N$ .

Bước 4: Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $d$.

Vậy ta cần dùng compa ở bước 2 và dùng thước ở bước 3 và 4.

Do đó cả (I) và (II) đều đúng.

Câu 40 :

Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó

A

Không có phép nào
B

Có một phép duy nhất
C

Chỉ có hai phép
D

Có vô số phép.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.

Lời giải chi tiết :

Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.

Gọi $O$ là tâm đối xứng sao cho qua phép đối xứng tâm $O$ biến mỗi đường thẳng $d$ và $d'$ thành chính nó.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in d\\O \in d'\end{array} \right. \Rightarrow O = d \cap d'$ và $O$ là duy nhất.

Câu 41 :

A

$2x + y - 4 = 0$
B

$2x + 2y - 3 = 0$
C

$x - y + 2 = 0$
D

$2x - 2y + 1 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta $, ta có: ${Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta $

Ta lấy hai điểm bất kì thuộc $d$ và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay $Q\left( {I; - \pi } \right)$ sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai ảnh vừa tìm được, đó chính là đường thẳng cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta $, ta có: ${Q_{\left( {I;\pi } \right)}}:\,\,\Delta \,\, \mapsto \,\,d \Rightarrow {Q_{\left( {I; - \pi } \right)}}:\,\,d\,\, \mapsto \,\,\Delta $

Ta lấy hai điểm bất kì thuộc $d$ và tìm ảnh của hai điểm đó qua phép quay $Q\left( {I; - \pi } \right)$

Lấy $A\left( {0;4} \right);B\left( { - 4;0} \right) \in d$

Gọi $A',B'$ lần lượt là ảnh của $A$ và $B$ qua phép quay $Q\left( {I; - \pi } \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IA = IA'\\\widehat {AIA'} = - {180^0}\end{array} \right. \Rightarrow $ I là trung điểm của $AA' \Rightarrow A'\left( {0;2} \right)$

Tương tự ta có $I$ là trung điểm của $BB' \Rightarrow B'\left( {4;6} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ và $B$ là : $\dfrac{{x - 0}}{{4 - 0}} = \dfrac{{y - 2}}{{6 - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - 2}}{4} \Leftrightarrow x - y + 2 = 0$

Câu 42 :

Khẳng định nào sai ?

A

Phép tịnh tiến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
B

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó
C

Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
D

Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa phép dời hình: Phép dời hình là phép bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết :

Phép quay và phép tịnh tiến đều là phép dời hình, do đó các đáp án A, C, D đúng.

Đáp án B sai vì phép quay có góc quay $90^0$ biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó.

Câu 43 :

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lấy điểm $A$ bất kì thuộc ${\Delta _1}$, tìm ảnh $A'$ của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$.

Thay tọa độ điểm $A'$ vừa tìm được vào phương trình đường thẳng ${\Delta _2}$.

Lời giải chi tiết :

Lấy $A\left( { - 1;0} \right) \in {\Delta _1}$, gọi $A'\left( {x;y} \right)$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ ta có : $\overrightarrow {IA'} = k\overrightarrow {IA} $

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 2;y - 1} \right) = k\left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 3k\\y - 1 = - k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3k + 2\\y = - k + 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3k + 2; - k + 1} \right)\\{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( {{\Delta _1}} \right) = {\Delta _2},\,\,{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A' \Rightarrow A' \in {\Delta _2}\end{array}$

Thay tọa độ điểm $A'$ vào phương trình đường thẳng ${\Delta _2}$ ta có:

$ - 3k + 2 - 2\left( { - k + 1} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow - k + 4 = 0 \Leftrightarrow k = 4$

Câu 44 :

A

$ -2x - y = 0$.
B

$2x - y = 0$.
C

$4x - y = 0$.
D

$2x + y - 2 = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất: Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó.

Tìm ảnh của đường thẳng $d: ax+by+c=0$ qua phép vị tự:

B1: Gọi phương trình đường thẳng của ảnh $d'$ là $ax+by+c+m=0$

B2: Lấy một điểm $M$ thuộc $d$, tìm ảnh $M'$ của nó qua phép vị tự rồi thay $M'$ vào phương trình của $d'$ để tìm tham số $m$.

- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua hai trục tọa độ: đối xứng qua cái gì thì giữ nguyên cái đó, còn lại lấy giá trị đối.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( d \right) = d' \Rightarrow d'//d$ hoặc $d' \equiv d$.

$ \Rightarrow d'$ có dạng: $2x - y + m = 0$

Chọn $N\left( {1;2} \right) \in d:{V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( N \right) = N'\left( { - 2; - 4} \right) \in d' \Rightarrow - 4 + 4 + m = 0 \Rightarrow m = 0$

$ \Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $d':2x - y = 0$

Qua phép đối xứng trục $Oy$: ${D_{oy}}\left( {d'} \right) = d''$

$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}M(x,y) \in d'\\ \Rightarrow {D_{Oy}}(M) = M'(x',y') \in d''\end{array}\\\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x' = - x}\\{y' = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - x'}\\{y = y'}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow 2( - x') - y' = 0\end{array}\end{array}$

Suy ra phương trình ảnh $d''$ cần tìm là: $ - 2x - y = 0$

Câu 45 :

A

$T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} $
B

$T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)$
C

$T = n{2^{n - 1}}$
D

$T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:

PA 1: Nhóm có $2$ học sinh

PA 2: Nhóm có $3$ học sinh.

PA 3: Nhóm có $4$ học sinh.

….

PA (n-2): Nhóm có $n-1$ học sinh.

Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết :

Gọi ${A_k}$ là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.

Thầy chủ nhiệm có các phương án: ${A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}$

Ta tính xem ${A_k}$ có bao nhiêu cách thực hiện.

Phương án ${A_k}$ có hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có $C_n^k$ cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có $C_k^1 = k$ cách.

Theo quy tắc nhân thì phương án ${A_k}$ có $kC_n^k$ cách thực hiện.

Các phương án ${A_k}$ là độc lập với nhau.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: $T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} $

Câu 46 :

Nghiệm của phương trình $\tan 4x.\cot 2x = 1$ là:

A

$k\pi ,k \in Z$
B

$\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z$
C

$\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z$
D

Vô nghiệm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Sử dụng công thức $\tan u.\cot u = 1$ để biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản $\tan x=\tan y$

- Giải phương trình $\tan x=\tan y$$ \Leftrightarrow x=y+k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

- Kiểm tra điều kiện và loại nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}\cos 4x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.$

Khi đó, dễ thấy $\cot 2x \ne 0$ (Nếu $\cot 2x = 0$ thì phương trình thành 0=1 =>Vô nghiệm) nên phương trình tương đương:

$\tan 4x.\cot 2x = 1 \Leftrightarrow \tan 4x = \dfrac{1}{{\cot 2x}} \\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan 2x \Leftrightarrow 4x = 2x + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}$

Kết hợp với điều kiện ta được phương trình vô nghiệm.

Câu 47 :

Giải phương trình $\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2$.

A
$x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B
$x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C
$x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D
$x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]$.

- Sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1$.

- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba đối với 1 hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\cos 4x + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow 3\cos 4x\cos 2x + 2\cos 4x = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)\cos 2x + 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x - 3\cos 2x + 4{\cos ^2}2x - 2 = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x + 3{\cos ^2}2x - 3\cos 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + {\cos ^2}2x - \cos 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^3}2x - 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {{{\cos }^2}2x + \cos 2x + 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 2\cos 2x + 2 + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 3\cos 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 48 :

A

Tập $\emptyset $
B

Đường tròn tâm $A$ bán kính $AB$
C

Đường tròn tâm $B$ bán kính $R$
D

Đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ với $\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Biến đổi $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} $.

- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có:

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} $

Như thế phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} $ biến điểm $M$ thành điểm $N$.

Vậy khi $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ thì quỹ tích của $N$ là đường tròn $\left( {I;R} \right)$ với $\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} $.

Câu 49 :

Với $k,n \in N,2 \le k \le n$ thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?

A

$A = 0$
B

$A = 1$
C

$A = 3$
D

$A = - 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đối với những bài toán tổng những tổ hợp có chỉ số trên và chỉ số dưới là những số tự nhiên liên tiếp ta sử dụng công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$

Lời giải chi tiết :

Trước hết ta chứng minh công thức $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$

$\begin{array}{l}VT = C_n^k + C_n^{k + 1}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\dfrac{1}{{n - k}} + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\dfrac{{k + 1 + n - k}}{{\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{n!\left( {n + 1} \right)}}{{k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP\end{array}$

Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:

$\begin{array}{l}B = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_n^k + C_n^{k - 1} + 3\left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right) + 3\left( {C_n^{k - 2} + C_n^{k - 3}} \right) + C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + 3C_{n + 1}^{k - 1} + 3C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + 2\left( {C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}} \right) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 2}^k + 2C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 3}^k + C_{n + 3}^{k - 1}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 4}^k\\ \Rightarrow A = B - C_{n + 4}^k + 1 = C_{n + 4}^k - C_{n + 4}^k + 1 = 1\end{array}$

Câu 50 :

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ . Phép vị tự tâm $G$ biến $H$ thành $O$ có tỉ số là :

A

$2$
B

$\dfrac{1}{2}$
C

$ - \dfrac{1}{2}$
D

$ - \dfrac{2}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chứng minh $H,G,O$ thẳng hàng mà tìm mối tỉ số $\dfrac{{GO}}{{GH}}$

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ và $O$ lần lượt là trực tâm và tam đường tròn ngoại tiếp tâm giác $ABC$ .

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , kẻ đường kính $BK$.

Xét đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ có $\widehat {BCK}$ nội tiếp chắn nửa đường tròn $ \Rightarrow \widehat {BCK} = {90^0} \Rightarrow BC \bot CK$

Mà $AH \bot BC \Rightarrow AH//CK$

Tương tự ta chứng minh được $AK//CH$

$ \Rightarrow $ Tứ giác $AHCK$ là hình bình hành $ \Rightarrow AH = CK$

Có $OM$ là đường trung bình của tam giác $BCK \Rightarrow OM//CK//AH$ và $OM = \dfrac{1}{2}CK = \dfrac{1}{2}AH$.

Gọi $G = AM \cap OH$ ta dễ thấy $\Delta AGH \sim \Delta MGO\left( {g.g} \right)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{MG}} = \dfrac{{AH}}{{OM}} = 2 = \dfrac{{HG}}{{OG}}$ , mà $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC \Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Vậy $H,G,O$ thẳng hàng, với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $\dfrac{{HG}}{{OG}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {GO} = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {GH} $

$ \Rightarrow {V_{\left( {G; - \frac{1}{2}} \right)}}\left( H \right) = O$.

Bài liên quan