60 bài tập trắc nghiệm nguyên hàm mức độ nhận biết, thông hiểu

Làm bài

Quảng cáo

Câu hỏi 1 :

Xét \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Phát biểu nào sau đây sai?

  • A \(\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx + \int {g\left( x \right)} \,dx\).
  • B \(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx - \int {g\left( x \right)} \,dx\).
  • C \(\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \,dx = {\left( {\int {f\left( x \right)} \,dx} \right)^2}\).
  • D \(\int {f\left( x \right)} \,d\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( x \right)g\left( x \right) - \int {g\left( x \right)} \,d\left( {f\left( x \right)} \right)\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất nguyên hàm: \(\int {\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right)} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx \pm \int {g\left( x \right)} \,dx\) và công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv}  - uv - \int {vdu} \).

Lời giải chi tiết:

Phát biểu sai là \(\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \,dx = {\left( {\int {f\left( x \right)} \,dx} \right)^2}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3 - 2x\) là

  • A \(3{x^2} - 2x + C\)
  • B \( - {x^2} + 3x + C\)
  • C \( - {x^2} + C\)
  • D \( - 2{x^2} + 3x + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {3 - 2x} \right)dx =  - {x^2} + 3x + C} } \).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) là:

  • A \( - 2\cos 2x + C\)
  • B \(2\cos 2x + C\)
  • C \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\)
  • D \( - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm: \(\int {\sin nxdx}  =  - \frac{1}{n}\int {\cos nxdx} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\sin 2xdx}  =  - \frac{1}{2}\cos 2x + C.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

  • A \(\int {f\left( x \right)g\left( x \right)dx}  = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \). 
  • B \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\) (C là hằng số)
  • C \(\int {\sin xdx =  - \cos x + C} \) (C là hằng số)
  • D \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\) (C là hằng số)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân và các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để chọn đáp án đúng:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\) (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\int {\sin xdx =  - \cos x + C} \)  (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án C đúng.

\(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\) (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án D đúng.

\( \Rightarrow \)Chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

\(\int {\dfrac{1}{x}dx} \) bằng:

  • A \(\ln \left| x \right| + C\)
  • B \(\ln x + C\)
  • C \( - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C\)
  • D \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x\)

  • A \( - \cos 3x + C\)
  • B \( - \dfrac{1}{3}\cos 3x + C\)
  • C \(\cos 3x + C\)
  • D \(\dfrac{1}{3}\cos 3x + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác: \(\int {\sin axdx}  =  - \frac{1}{a}\cos ax + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(\int {\sin 3xdx}  =  - \frac{1}{3}\cos 3x + C.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \ln x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu:

  • A \(F'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln x}}\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
  • B \(F'\left( x \right) = \ln x\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)          
  • C \(F'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
  • D \(F'\left( x \right) = {e^x}\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\F'\left( x \right) = f\left( x \right)\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \ln x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow F'\left( x \right) = \ln x\,\,\,\forall x\, \in \left( {0; + \infty } \right).\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là:

  • A \({2^x} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C.\)
  • B \(\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C.\)
  • C \({2^x} + {x^2} + C.\)
  • D \(\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm:

+)\(\int {{a^x}dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \).

+)\(\int {{x^a}dx = \dfrac{{{x^{a + 1}}}}{{a + 1}}} \,\,\left( {a \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{2^x} + x} \right)dx = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C} } \).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {3x - 2} \right)\) có một nguyên hàm là:

  • A \(\sin \left( {3x - 2} \right) - 2\)
  • B \(\dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) - 2\)
  • C \( - \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) - 2\)
  • D \( - \sin \left( {3x - 2} \right) - 2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác: \(\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\cos \left( {3x - 2} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) + C\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) - 2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {3x - 2} \right).\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + {e^x}\) là:

  • A \(F\left( x \right) = 1 + {e^x} + C.\)               
  • B \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + {e^x} + C.\)
  • C \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2} + {e^x}}}{2} + C.\)             
  • D \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + {e^x}\ln 2 + C.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^a}}  = \frac{{{x^{a + 1}}}}{{a + 1}} + C\), \(\int {{e^x}}  = {e^x} + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + {e^x}} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + } {e^x} + C\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng

  • A \(\int {{e^x}dx}  =  - {e^x} + C\)
  • B \(\int {dx}  = x + C\)
  • C \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  =  - \ln x + C\)
  • D \(\int {\cos xdx}  =  - \sin x + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\), \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\), \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\cos xdx}  =  - \sin x + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \\\int {dx = x + C} \\\int {\dfrac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \\\int {\cos xdx = \sin x + C} \end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 8\sin x\).

  • A \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 6x - 8\cos x + C\).
  • B \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 6x + 8\cos x + C\).
  • C \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = {x^3} - 8\cos x + C\).
  • D \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = {x^3} + 8\cos x + C\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\); \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 3{x^2} + 8\sin x\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx = \int {3{x^2}dx + \int {8\sin xdx} } } \\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = {x^3} - 8\cos x + C.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \dfrac{2}{x}\) là:

  • A \(\cos x + 2\ln \left| x \right| + C\)
  • B \(\cos x - \dfrac{2}{{{x^2}}} + C\)
  • C \( - \cos x + 2\ln \left| x \right| + C\)
  • D \( - \cos x + 2\ln x + C\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản và hàm lượng giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\sin x + \frac{2}{x}} \right)dx}  =  - \cos x + 2\ln \left| x \right| + C.} \)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) là:

  • A \(\dfrac{1}{3}{x^3} + 2x + C\)
  • B \(2x + 2 + C\)
  • C \({x^3} + {x^2} + C\)
  • D \(\dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + C\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) là:

  • A \(2\cos 2x + C\)
  • B \( - 2\cos 2x + C\)
  • C \(\dfrac{1}{2}\cos 2x + C\)
  • D \( - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\sin kxdx}  =  - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\sin 2xdx}  =  - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{2018}^{x}}.\)

  • A

    \(\frac{{{2018}^{x}}}{\log 2018}+C.\)                      

  • B

     \(\frac{{{2018}^{x\,+\,1}}}{x+1}+C.\)    

  • C

    \(\frac{{{2018}^{x}}}{\ln 2018}+C.\)                        

  • D  \({{2018}^{x}}.\ln 2018+C.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{{{2018}^{x}}\,\text{d}x}=\frac{{{2018}^{x}}}{\ln 2018}+C.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

  • A

     \(\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.\)         

  • B

     \(\int{0\,\text{d}x}=C.\)             

  • C

     \(\int{\frac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.\)              

  • D  \(\int{\text{dx}}=x+C.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Dựa vào các công thức nguyên hàm cơ bản

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{\frac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\ne \ln x+C.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x - {e^x}\) là

  • A \({x^2} - {e^{x + 1}} + C\)
  • B \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\)
  • C \(1 - {e^x} + C\)
  • D \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - {e^x} + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)\(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x - {e^x}} \right)dx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} - {e^x} + C.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Họ nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = {x^2} + 3\) là

  • A \(\dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\)
  • B \({x^3} + 3x + C\)
  • C \(\dfrac{{{x^3}}}{2} + 3x + C\)
  • D \({x^2} + 3x + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = {x^2} + 3 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Họ nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = 4{x^3}\) là

  • A \(4{x^4} + C\)
  • B \(12{x^2} + C\)
  • C \(\dfrac{{{x^4}}}{4} + C\)
  • D \({x^4} + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = 4{x^3} \Rightarrow F\left( x \right) = {x^4} + C.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tính nguyên hàm \(I=\int{\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}} \right)\,\text{d}x}.\)

  • A \(I=\frac{\ln 2}{2}+\frac{\ln 3}{3}+C.\)              
  • B  \(I=\frac{\ln 2}{{{2}^{x}}}+\frac{\ln 3}{{{3}^{x}}}+C.\)         
  • C \(I=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}+C.\)                    
  • D  \(I=-\,\frac{\ln 2}{2}-\frac{\ln 3}{3}+C.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức nguyên hàm của hàm số mũ cơ bản \(\int\limits_{{}}^{{}}{{{a}^{x}}dx}=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I=\int{\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}} \right)\,\text{d}x}=\int{{{2}^{x}}\,\text{d}x}+\int{{{3}^{x}}\,\text{d}x}=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}+C.\) 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

 Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+C\). Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau?

  • A  \(f\left( x \right)=12{{x}^{2}}-6x+2+C\)                                       
  • B  \(f\left( x \right)=12{{x}^{2}}-6x+2\)
  • C  \(f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+Cx\)                                     
  • D  \(f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+Cx+C'\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(f\left( x \right)=\left( \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx} \right)'\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right)=\left( \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx} \right)'=12{{x}^{2}}-6x+2\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

 Tìm họ nguyên hàm \(\int{{{\sin }^{2}}x\,\text{d}x}.\)

  • A  \(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C.\)     
  • B  \(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{2}+C.\)      
  • C  \(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C.\)    
  • D \(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{2}+C.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc, đưa về tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{{{\sin }^{2}}x\,\text{d}x}=\int{\frac{1-\cos 2x}{2}\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{dx-\frac{1}{2}\int{\cos 2xdx}}=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=2\sqrt{x}+3x\)là

  • A  \(2x\sqrt{x}+\frac{3{{x}^{2}}}{2}+C\).                  
  • B \(\frac{4}{3}x\sqrt{x}+\frac{3{{x}^{2}}}{2}+C\).             
  • C  \(\frac{3}{2}x\sqrt{x}+\frac{3{{x}^{2}}}{2}+C\).           
  • D    \(4x\sqrt{x}+\frac{3{{x}^{2}}}{2}+C\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\int{{{x}^{\alpha }}dx=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}}+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\int{f(x)dx}=\int{\left( 2\sqrt{x}+3x \right)dx}=2\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}dx+3\int{xdx}}=2.\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+3.\frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+C\)

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

 Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=cos3x\) là:

  • A \(-3\sin 3x+C\)          
  • B  \(-\frac{1}{3}\sin 3x+C\)                           
  • C  \(-\sin 3x+C\)
  • D   \(\frac{1}{3}\sin 3x+C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int{f\left( x \right)dx}=\int{c\text{os}3xdx}=\frac{\sin 3x}{3}+C\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\tan 2x.\)

  • A  \(\int{\tan 2x\,\text{d}x}=2\left( 1+{{\tan }^{2}}2x \right)+C.\) 
  • B  \(\int{\tan 2x\,\text{d}x}=-\,\ln \left| \cos 2x \right|+C.\)   
  • C  \(\int{\tan 2x\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}2x \right)+C.\)   
  • D  \(\int{\tan 2x\,\text{d}x}=-\,\frac{1}{2}\ln \left| \cos 2x \right|+C.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm lượng giác : \(\int{\tan xdx=-\ln \left| \cos x \right|+C.}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\tan 2x\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{\tan 2x\,\text{d}\left( 2x \right)}=-\frac{1}{2}\ln \left| \cos 2x \right|+C.\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{5}^{2x}}.\)

  • A \(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=2.\frac{{{5}^{2x}}}{\ln 5}+C.\)         
  • B \(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=\frac{{{25}^{x}}}{2\ln 5}+C.\)         
  • C \(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}={{2.5}^{2x}}\ln 5+C.\)               
  • D \(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=\frac{{{25}^{x\,+\,1}}}{x+1}+C.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm số mũ

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)={{25}^{x}}\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{{{25}^{x}}\,\text{d}x}=\frac{{{25}^{x}}}{\ln 25}+C=\frac{{{5}^{2x}}}{2\ln 5}+C.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\) ?

  • A  \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}.\)   
  • B \(y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}.\)           
  • C \(y=\frac{{{x}^{2}}-3x-3}{x+1}.\) 
  • D    \(y=\frac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm nguyên hàm bằng các nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\)

\(\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\left( 1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\,\text{d}x}=x+\frac{1}{x+1}+C=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}+C\)

Với \(C=0,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án B đúng.

Với \(C=-\,4,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}-4=\frac{{{x}^{2}}-3x-3}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án C đúng.

Với \(C=-\,2,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}-2=\frac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án D đúng.

Vậy \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}\) không phải nguyên hàm của hàm số đã cho. 

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - \cos x + 1\).

  • A \(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = {{{2^x}} \over {\ln 2}} + \sin x + x + C\)
  • B \(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = {{{2^x}} \over {\ln 2}} - \sin x + x + C\)
  • C \(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = {2^x}.\ln 2 + \sin x + x + C\)
  • D \(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = {2^x}.\ln 2 - \sin x + x + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {\left( {{2^x} - \cos x + 1} \right)dx}  = {{{2^x}} \over {\ln 2}} - \sin x + x + C\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho các phát biểu sau: (Với C là hằng số):

(I) \(\int\limits_{}^{} {0dx}  = x + C\)                                    (II) \(\int\limits_{}^{} {{1 \over x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\)                             (III) \(\int\limits_{}^{} {\sin xdx}  =  - \cos x + C\)

(IV) \(\int\limits_{}^{} {\cot xdx}  =  - {1 \over {{{\sin }^2}x}} + C\)                       (V) \(\int\limits_{}^{} {{e^x}dx}  = {e^x} + C\)                          (VI) \(\int\limits_{}^{} {{x^n}dx}  = {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}} + C\,\,\left( {\forall n \ne  - 1} \right)\)

Số phát biểu đúng là:

  • A 4
  • B 6
  • C 5
  • D 3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề (I) và mệnh đề (IV) sai, còn lại 4 mệnh đề đúng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

\(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx} \) bằng

  • A \(\dfrac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)
  • B \( - \dfrac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\)
  • C \({e^{ - 2x + 1}} + C.\)
  • D \( - 2{e^{ - 2x + 1}} + C.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^{ax + b}}dx = \dfrac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx =  - \dfrac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C} \)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng \(\dfrac{\pi }{4}.\)

  • A \(F\left( x \right) = \tan x - 1\)
  • B \(F\left( x \right) = \tan x - x + \dfrac{\pi }{4} - 1\)
  • C \(F\left( x \right) = \tan x + x + \dfrac{\pi }{4} - 1\)
  • D \(F\left( x \right) = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi lượng giác: \({\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\).

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}  = \tan x + C\).

- Sử dụng giả thiết \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\) tìm C.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \dfrac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{\pi }{4} - 1.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \dfrac{\pi }{4} - 1.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\ln 4\) thỏa \(F\left( 0 \right) = 4\). Khi đó \(F\left( 1 \right)\) bằng

  • A 5
  • B \(2{\left( {\ln 2} \right)^2}\)
  • C 7
  • D 6

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {{a^x}dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x}\ln 4\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) = \ln 4.\int {{2^x}dx}  = \ln 4.\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C}  = {2.2^x} + C\end{array}\)

Mà \(F\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) = {2.2^x} + 2 \Rightarrow F\left( 1 \right) = 6\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 8{x^3} + 6x\) là

  • A \(2{x^4} + 3{x^2} + C.\)
  • B \(8{x^4} + 6{x^2} + C.\)
  • C \(24{x^2} + 6 + C\)
  • D \(2{x^3} + 3x + C.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {8{x^3} + 6x} \right)} dx = 2{x^4} + 3{x^2} + C} \)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} + \sin 8x\) là:

  • A \(\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \cos 8x + C\)
  • B \(\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \dfrac{1}{8}\cos 8x + C\)
  • C \(\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \dfrac{1}{8}cos8x + C\)
  • D \({3^x}\ln 3 - \dfrac{1}{8}\cos 8x + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\), \(\int {\sin kxdx}  =  - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{3^x} + \sin 8x} \right)dx}  = \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \dfrac{1}{8}\cos 8x + C\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 6x + \sin 3x\) thỏa \(F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\). Khi đó \(F\left( x \right)\) bằng

  • A \(3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + 1\)
  • B \(3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} - 1\)
  • C \(3{x^2} + \dfrac{{\cos 3x}}{3} + \dfrac{1}{3}\)
  • D \(3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + \dfrac{2}{3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\sin 3xdx}  =  - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 6x + \sin 3x\) nên \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right)dx} } \)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + C\)

Mà \(F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3.0 - \dfrac{1}{3} + C = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C = 1\)

Vậy \(F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + 1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Nếu \(\int {f\left( x \right)dx = \dfrac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C} \) thì \(f\left( x \right)\) bằng

  • A \(\dfrac{{{x^4}}}{{12}} + {e^x}\)
  • B \(\dfrac{{{x^4}}}{3} + {e^x}\)
  • C \(3{x^2} + {e^x}\)
  • D \({x^2} + {e^x}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(f\left( x \right) = \left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)'\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \dfrac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C} \)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = {x^2} + {e^x}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Hàm số \(F\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) là nguyên hàm của hàm số nào?

  • A \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \cos x\)
  • B \(y = 2x + \cos x\)
  • C \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \cos x\)
  • D \(y = 2x - \cos x\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) + C = f\left( x \right)\) (C = hằng số).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right) = {x^2} + \sin x\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = 2x + \cos x\)

Nên \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x + \cos x.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = {e^{5x - 3}}.\)

  • A \(\int {f\left( x \right)dx}  = 5{e^{5x - 3}} + C\)
  • B \(\int {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{5}{e^{5x - 3}} + C\)
  • C \(\int {f\left( x \right)dx}  = {e^{5x - 3}} + C\)
  • D \(\int {f\left( x \right)dx}  =  - \dfrac{1}{3}{e^{5x - 3}} + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {{e^{5x - 3}}dx}  = \dfrac{1}{5}{e^{5x - 3}} + C.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

  • A \(\dfrac{1}{2}\ln {x^2}\)
  • B \(\ln x\)
  • C \(\ln 2x\)
  • D \(\ln \left( {x + 1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C = \ln x + C\,\,\left( {do\,\,x > 0} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy:

Đáp án A: \(\dfrac{1}{2}\ln {x^2} = \ln \left| x \right| = \ln x\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = 0\).

Đáp án B: \(\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = 0\).

Đáp án C: \(\ln 2x = \ln 2 + \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = \ln 2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A \(F'\left( {5x} \right) = f\left( {5x} \right)\)
  • B \(F'\left( {5x} \right) = 5f\left( {5x} \right)\)
  • C \(F'\left( {5x} \right) = 5f\left( x \right)\)
  • D \(F'\left( {5x} \right) = \dfrac{1}{5}f\left( x \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Ta có: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right).\)

Có \(F'\left( {5x} \right) = \left( {5x} \right)'f\left( {5x} \right) = 5f\left( {5x} \right).\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Tìm hàm \(F\left( x \right)\) không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\).

  • A \(F\left( x \right) =  - {\cos ^2}x\)
  • B \(F\left( x \right) = {\sin ^2}x\)
  • C \(F\left( x \right) =  - \dfrac{1}{2}\cos 2x\)
  • D \(F\left( x \right) =  - \cos 2x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm lượng giác để tìm nguyên hàm của hàm số đã cho rồi chọn nguyên hàm không phải là nguyên hàm của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx}  =  - \frac{1}{2}\cos 2x + C\) \( \Rightarrow \) đáp án C đúng.

Lại có: \( - \frac{1}{2}\cos 2x + C =  - \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + C\)\( =  - {\cos ^2}x + C'\)\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

\( - \frac{1}{2}\cos 2x + C =  - \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + C\)\( = {\sin ^2}x + C'\) \( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {3^x}\) là:

  • A \({3^x}\ln 3 + C\)
  • B \(x{.3^{x - 1}} + C\)
  • C \({3^x} + C\)
  • D \(\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{3^x}dx}  = \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\ln x\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4}\). Tìm \(F\left( x \right)\).

  • A \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + 1\).
  • B \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{1}{2}\).
  • C \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{1}{2}\).
  • D \(F\left( x \right) = {x^2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần: \(\int\limits_{}^{} {udv}  = uv - \int\limits_{}^{} {vdu} \).

- Thay \(F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4}\) tính hằng số C, từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \int {x\ln x} dx\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}.\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{dx}}{x}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\\F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} + C = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow C = 1\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + 1\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\) là:

  • A \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{{\sin 2x}}{2} + C\)
  • B \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\)
  • C \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\)
  • D \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin 2x}}{2} + C\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {dx}  = x + C\), \(\int {\cos kxdx}  = \dfrac{1}{k}\sin kx + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {{{\cos }^2}xdx} \\ = \int {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int {dx}  + \dfrac{1}{2}\int {\cos 2xdx} \\ = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\sin 2x + C\\ = \dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Xét \(\int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \), nếu đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) thì \(\int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \) bằng

  • A \(\int {2dt.} \)
  • B \(\int {2{t^2}dt.} \)
  • C \(\int {{t^2}dt.} \)
  • D \(\int {\dfrac{{dt}}{2}.} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(I = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {e^x} + 1\) \( \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\).

Khi đó ta có: \(I = \int {\dfrac{{2tdt}}{t} = \int {2dt.} } \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Họ nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}dx} \) bằng:

  • A \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + x - 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\)
  • B \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + C\)
  • C \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\)
  • D \({x^2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ có bậc tử cao hơn bậc mẫu, ta chia tử cho mẫu sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}dx}  = \int {\frac{{{x^2} + 2x + 1 + 2}}{{x + 1}}dx} \\ = \int {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}dx}  = \int {\left( {x + 1} \right)dx}  + \int {\frac{2}{{x + 1}}dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(K.\) Mệnh đề nào dưới đây sai?

  • A \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( x \right) + C.\)
  • B \({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right).\)
  • C \({\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = F'\left( x \right).\)
  • D \({\left( {x\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f'\left( x \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng  thì \(F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng  thì \(F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx} \). Suy ra khẳng định A đúng.

Khi đó ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta lại có \(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right) = F'\left( x \right)\). Suy ra khẳng định B, C đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}} \) bằng

  • A \(\sqrt {1 - x}  + C.\)
  • B \(\dfrac{C}{{\sqrt {1 - x} }}\).
  • C \( - 2\sqrt {1 - x}  + C.\)
  • D \(\dfrac{2}{{\sqrt {1 - x} }} + C.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}}  = \dfrac{2}{a}\sqrt {ax + b}  + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}}  = \dfrac{2}{{ - 1}}\sqrt {1 - x}  + C =  - 2\sqrt {1 - x}  + C\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right)\left( {m/s} \right)\) và có gia tốc \(a\left( t \right) = \dfrac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).\) Vận tốc ban đầu của vật là \(6\left( {m/s} \right).\) Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?

  • A \(3\ln 11 - 6.\)
  • B \(3\ln 6 + 6.\)
  • C \(2\ln 11 + 6.\)
  • D \(3\ln 11 + 6.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Tính vận tốc của vật \(v = \int {a\left( t \right)dt} \).

- Sử dụng giả thiết \(v\left( 0 \right) = 6\) tìm \(C\).

- Tính \(v\left( {10} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {\dfrac{3}{{t + 1}}dt}  = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).

Theo bài ra ta có: \(v\left( 0 \right) = 6 \Leftrightarrow 6\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6\). Khi đó \(v = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\).

Vậy vận tốc của vật sau 10 giây là: \(v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\,\left( {m/s} \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 51 :

Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}\) vàthỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) là

  • A \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}.\)
  • B \(F\left( x \right) = \dfrac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + \dfrac{1}{2}\).
  • C \(F\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}} - 1.\)
  • D \(F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \dfrac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\).

- Thay \(F\left( 0 \right) = 1\) để tìm hằng số \(C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {{e^{2x}}dx}  = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).

Lại có \(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{e^0}}}{2} + C = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\).

Vây \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + \dfrac{1}{2}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 52 :

Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} \).

  • A \( - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} + C.\)
  • B \(\ln \left| {1 + x} \right| + C.\)
  • C \(\log \left| {1 + x} \right| + C.\)
  • D \(\ln \left( {1 + x} \right) + C.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  = \dfrac{1}{1}\ln \left| {1 + x} \right| + C = \ln \left| {1 + x} \right| + C\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 53 :

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - 6{x^2}\) là:

  • A \( - \cos x - 2{x^3} + C\)
  • B \(\cos x - 2{x^3} + C\)
  • C . \( - \cos x - 18{x^3} + C\)
  • D \(\cos x - 18{x^3} + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số cơ bản để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\left( {\sin x - 6{x^2}} \right)dx} \) \( =  - \cos x - \dfrac{{6{x^3}}}{3} + C\)\( =  - \cos x - 2{x^3} + C\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 54 :

Cho \(I = \int\limits_0^4 {\sin \sqrt x dx} ,\) nếu đặt \(u = \sqrt x \) thì:

  • A \(I = \int\limits_0^4 {2u\sin udu} \)
  • B \(I = \int\limits_0^4 {u\sin udu} \)
  • C \(I = \int\limits_0^2 {2u\sin udu} \)
  • D \(I = \int\limits_0^2 {u\sin udu} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \sqrt x  \Rightarrow {u^2} = x \Rightarrow dx = 2udu\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 4 \Rightarrow u = 2\end{array} \right..\) Từ đó chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^4 {\sin \sqrt x dx} \)

Đặt \(u = \sqrt x  \Rightarrow {u^2} = x \Rightarrow dx = 2udu\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 4 \Rightarrow u = 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {2u\sin udu} .\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 55 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2020\) là:

  • A \(4{x^3} + 2020x + C\)
  • B \(\dfrac{{{x^5}}}{5} + 2020x + C\)
  • C \(4{x^3} + C\)
  • D \(\dfrac{{{x^5}}}{5} + C\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^4} + 2020} \right)dx} \) \( = \dfrac{{{x^5}}}{5} + 2020x + C.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 56 :

Tìm họ nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2x - 1}}.\)

  • A \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C\)
  • B \(F\left( x \right) = \ln \left| {2x - 1} \right| + C\)
  • C \(F\left( x \right) = \ln \left( {2x - 1} \right) + C\)
  • D \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {2x - 1} \right) + C\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản:  \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = } \int {\dfrac{1}{{2x - 1}}dx} \) \( = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 57 :

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + {3^x}\) là:

  • A \(3{x^2} + {3^x}\ln 3 + C\)
  • B \(\dfrac{{{x^4}}}{4} + {3^x}\ln 3 + C\)
  • C \(\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{3^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\)
  • D \(\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\left( {{x^3} + {3^x}} \right)dx}  = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 58 :

Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{{x - 2}}\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 1\). Tính \(F\left( 0 \right)\)

  • A \(F\left( 0 \right) = 5\ln 2\)
  • B \(F\left( 0 \right) = 1 + \ln 2\)
  • C \(F\left( 0 \right) = \ln 2\)
  • D \(F\left( 0 \right) = 1 + 5\ln 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\dfrac{{x + 3}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{x - 2}}\).

- Áp dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,\,\,\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \).

- Thay \(F\left( 1 \right) = 1\), tính \(C\). Từ đó tính \(F\left( 0 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{{x + 3}}{{x - 2}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {1 + \dfrac{5}{{x - 2}}} \right)dx}  = x + 5\ln \left| {x - 2} \right| + C\end{array}\).

Theo bài ra ta có: \(F\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow 1 + 5\ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0\).

Do đó \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + 5\ln \left| {x - 2} \right|\).

Vậy \(F\left( 0 \right) = 5\ln 2\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 59 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\).

  • A \(2\cot 2x + C\)
  • B \( - \cot 2x + C\)
  • C \(\cot 2x + C\)
  • D \( - 2\cot 2x + C\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi \({\sin ^2}x.{\cos ^2}x = \dfrac{1}{4}{\sin ^2}2x\) biến đổi hàm số đã cho.

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx}  =  - \dfrac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx}  = \int {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}.4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\ = \int {\dfrac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx}  = 4.\left( { - \dfrac{1}{2}\cot 2x} \right) + C\\ =  - 2\cot 2x + C\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 60 :

Khẳng định nào sau đây là sai ?

  • A \(\int {{x^\alpha }dx}  = \dfrac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\)(\(C\)là hằng số, \(\alpha \) là hằng số)
  • B \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\)(\(C\)là hằng số)
  • C \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\)(\(C\)là hằng số) với \(x \ne 0\).
  • D Mọi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) đều có nguyên hàm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A : sai do nếu \(\alpha  =  - 1\) thì công thức trở thành : \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\).

Đáp án B : đúng.

Đáp án C : đúng.

Đáp án D : đúng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Quảng cáo
close