Phương pháp giải:

Tính độ dài các cạnh của tam giác và nhận xét sự đặc biệt của tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AB=5,\,\,AC=5\) và \(BC=5\sqrt{2}\)\(\Rightarrow \,\,A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\)

Suy ra tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{45}^{0}}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Với tam diện vuông \(O.ABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc và \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) thì \(OH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hình vẽ tham khảo

Do \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\bot BC\).

Mặt khác \(OA\bot \left( OBC \right)\)\(\Rightarrow OA\bot BC\)\(\Rightarrow BC\bot \left( OAH \right)\)\(\Rightarrow OH\bot BC\).

Tương tự: \(OH\bot AB\)\(\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\) hay \(\overrightarrow{OH}=\left( 1;1;-3 \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Hơn nữa, \(\left( P \right)\) đi qua \(H\left( 1;1;-3 \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(x+y-3z-11=0\).

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (ABC) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right):\,\,\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 2 = 0\)\( \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm VTPT.

Chọn: A

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow b \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \) và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = k\left| {\overrightarrow a } \right| \Rightarrow \overrightarrow b  =  - k\overrightarrow a \)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\overrightarrow b \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \) và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow a \,\, \Rightarrow \)\(\overrightarrow b  = \left( { - 2;4; - 6} \right)\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

\(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\). \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

\( \Leftrightarrow \left( {1; - 4;3} \right) = \left( {3 - a;2 - b; - 1 - c} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 3 - a\\ - 4 = 2 - b\\3 =  - 1 - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\\c =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {2;6; - 4} \right)\).

Chọn C

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Khi đó: \(\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}}&{{a_1}}\\{{b_3}}&{{b_1}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 4;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 1; - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {15;9;7} \right)\).

Chọn A

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow u  = \left( { - 2;3;0} \right),\overrightarrow v  = \left( {2; - 2;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {\bf{w}}  = \overrightarrow u  - 2\overrightarrow v  = \left( { - 6;7; - 2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {\bf{w}} } \right| = \sqrt {{6^2} + {7^2} + {2^2}}  = \sqrt {89} \).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Véc tơ \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \) thì \(M\left( {x;y;z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow j  - 2\overrightarrow k  = 0.\overrightarrow i  + 1.\overrightarrow j  - 2.\overrightarrow k  \Rightarrow A\left( {0;1; - 2} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow M\) là trung điểm của AB.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow M\) là trung điểm của AB \( \Leftrightarrow \)\(M\left( {2;1;1} \right)\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow u  = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right);\,\,\overrightarrow v  = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 1.2 + 2.\left( { - 2} \right) + {\log _2}3.{\log _3}2 = 2 - 4 + 1 =  - 1\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

M’ đối xứng với điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)\( \Rightarrow M'\left( {x; - y;z} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm \(M\left( {1; - 2; - 3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là: \(M'\left( {1;2; - 3} \right)\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Hai véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow {a'}  = \left( {x';y';z'} \right)\) bằng nhau nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\\c = c'\end{array} \right.\) 

Lời giải chi tiết:

Gọi tọa độ điểm \(C\left( {x;y;z} \right)\) ta có \(\overrightarrow {OC}  = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( { - 6; - 1; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {BA}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 6\\y =  - 1\\z =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 6; - 1; - 1} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\)  của đoạn thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm một VTPT.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\)  của đoạn thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm một VTPT.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,4;\,\, - 2} \right) = 2\left( {1;\,2; - 1} \right)//\,\,\left( {1;\,\,2; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( \alpha  \right)\) nhận vecto \(\left( {1;\,2; - 1} \right)\) làm 1 VTPT.

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) được gọi là cùng phương \( \Leftrightarrow \exists k \ne 0:\,\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{n}{{ - 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n =  - 4\end{array} \right.\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Với \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow u \left( {2; - 1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \)

Chọn A

Phương pháp giải:

Hình chiếu của \(M\left( {a;b;c} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(H\left( {a;b;0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của \(M\left( {1;2;3} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(H\left( {1;2;0} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nếu \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) nên \(M\left( {2;1;0} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(M\left( {2; - 4;1} \right)\,;N\left( {3;0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {1;4; - 2} \right)\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\) tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình thì chọn đáp án đó.

Lời giải chi tiết:

+) Xét điểm \(Q\left( {2; - 1; - 1} \right)\) ta có: \(2.2 + 3.\left( { - 1} \right) - 3\left( { - 1} \right) + 4 = 8 \ne 0 \Rightarrow Q \notin \left( \alpha  \right).\)

+) Xét điểm \(N\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)\) ta có: \(2.1 + 3.1 - 3.1 + 4 = 6 \ne 0 \Rightarrow N \notin \left( \alpha  \right).\)

+) Xét điểm \(P\left( {2;\,\,1;\,\,1} \right)\) ta có: \(2.2 + 3.1 - 3.1 + 4 = 8 \ne 0 \Rightarrow P \notin \left( \alpha  \right).\)

+) Xét điểm \(M\left( { - 2;\,\,1;\,\,1} \right)\) ta có: \(2.\left( { - 2} \right) + 3.1 - 3.1 + 4 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right).\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

- Tích vô hướng: \(\overrightarrow a \left( {{x_1};{y_1};{z_2}} \right);\,\,\overrightarrow b \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\).

- Độ dài vectơ: \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \).

Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow b \left( {2;2;0} \right);\overrightarrow c \left( {1;1;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow c  = 2.1 + 2.1 + 0.1 = 4 \ne 0.\)

Suy ra \(\overrightarrow b \) không vuông góc với \(\overrightarrow c \), do đó khẳng định D sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow 2 + m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính độ dài vecto: \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).

Lời giải chi tiết:

\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {0^2}}  = \sqrt {25}  = 5.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM}  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow z \) có tọa độ \(M\left( {a;b;c} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điểm điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM}  =  - 4\overrightarrow i  + 5\overrightarrow k \) \( \Rightarrow M\left( { - 4;0;5} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) đến trục \(Oz\) là \(d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1; - 2;5} \right)\) đến trục \(Oz\) là \(d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;y;0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\) lên trục Oy là điểm \(A'\left( {0;3;0} \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M\left( {3; - 4;12} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\y = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\z = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì tọa độ điểm G là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - 1 + 0}}{3} = 0\\y = \frac{{ - 2 + 3 + 2}}{3} = 1\\z = \frac{{1 + 4 + 1}}{3} = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {0;1;2} \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ là \(\left( {x;0;z} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điểm đối xứng của \(A\left( {4;1; - 2} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là điểm \(A'\left( {4; - 1; - 2} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính vecto khi biết hai điểm: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(A\left( {1;1; - 2} \right),\,\,B\left( {3;0;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 1;3} \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Vecto \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow x  = \overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow x  = \left( {1; - 3;2} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vectơ: \(\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\), \(\overrightarrow b \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + 3.\left( { - 1} \right) + 2.2 = 3 - 3 + 4 = 4.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho hai điểm \(A\left( {{x_1};\,{y_1};\,{z_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,{y_2};\,{z_2}} \right)\) thì tọa độ trung điểm của \(AB\) là:  \(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\,\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2};\,\,\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {{x_I};\,\,{y_I};\,\,{z_I}} \right)\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {1;\,\,1;\, - 1} \right).\)

Chọn A. 

Phương pháp giải:

Cho vecto \(\overrightarrow a  = {a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow a  = \left( {{a_1};\;{a_2};\;{a_3}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  + 5\overrightarrow k  = \left( { - 2;\,\,3;\,\,5} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Trong không gian \(Oxyz,\) vecto đơn vị trên trục \(Oy\) là:  \(\overrightarrow j \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Trong không gian \(Oxyz,\) vecto đơn vị trên trục \(Oy\) là:  \(\overrightarrow j \left( {0;\,\,1;\,\,0} \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right) \Rightarrow k\overrightarrow u  = \left( {ka;kb;kc} \right)\)\(\left( {k \ne 0} \right)\).

- Cộng hai vectơ: \(\overrightarrow u \left( {{x_1};{y_1};{z_2}} \right);\,\,\overrightarrow v \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2};{z_1} + {z_2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + 4\overrightarrow c \\\,\,\,\, = 2\left( { - 2; - 3;3} \right) - 3\left( {0;2; - 1} \right) + 4\left( { - 3;2;5} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 4; - 6;6} \right) - \left( {0;6; - 3} \right) + \left( { - 12;8;20} \right)\\\,\,\,\, = \left( { - 16; - 4;29} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

Lời giải chi tiết:

\(AB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),\)\(B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right),\)\(C\left( {{x_3};{y_3};{z_3}} \right).\) Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Trọng tâm \(G\) có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{5 + \left( { - 2} \right) + 0}}{3} = 1\\{y_G} = \dfrac{{ - 2 + 3 + 2}}{3} = 1\\{z_G} = \dfrac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\end{array} \right.\) . Hay \(G\left( {1;1;1} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hình chiếu của điểm \(A\left( {a;b;c} \right)\) lên trục Ox là \(A'\left( {a;0;0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 3; - 5} \right)\) trên trục Ox là \(M'\left( {1;0;0} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Điểm \(M'\) là hình chiếu của điểm \(M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là: \(M'\left( {0;\,\,b;\,\,c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1;\,\,6;\,\,2020} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ là: \(\left( {0;\,\,6;\,\,2020} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho hai vecto \(\overrightarrow a \left( {{x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1}} \right),\,\,\,\overrightarrow b  = \left( {{x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}} \right).\) Khi đó \(\alpha  = \angle \left( {\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b } \right)\) có:

\(\cos \alpha  = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Cho hai vecto \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,4;\,\,1} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( { - 1;\,\,1; - 3} \right)\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{1.\left( { - 1} \right) + 4.1 + 1.\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0\\ \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right) = {90^0}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho hai điểm  \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1};\,\,{z_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};\,\,{y_2};\,\,{z_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_2} - {x_1};\,\,{y_2} - {y_1};\,\,{z_2} - {z_1}} \right).\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 4;\,\,3;\,\,12} \right)\) \( \Rightarrow OA = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2} + {{12}^2}}  = \sqrt {169}  = 13.\)   

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;0;0} \right)\).

Vậy  \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}}  = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

Lời giải chi tiết:

\(AB = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {22} \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(M'\left( {0;\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1; - 2;\,\,3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(A\left( {0;\, - 2;\,\,3} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k \), khi đó: \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow k \), khi đó: \(\overrightarrow u  = \left( {2;0; - 3} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {OA}  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k  \Rightarrow A\left( {a;b;c} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = 3\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  - 1\overrightarrow k  \Rightarrow A\left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) trên trục \(Oy\) là \(M'\left( {0;y;0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {3;1;2} \right)\) trên trục \(Oy\) là điểm \(F\left( {0;1;0} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng các công thức nhân vô hướng hai véc tơ, độ dài véc tơ và chú ý: \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 1.2 + 1.2 + 0.0 = 0\) nên \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \) hay A đúng.

Đáp án B: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \) nên B đúng.

Đáp án C: \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \) nên C đúng.

Đáp án D: \(\overrightarrow c .\overrightarrow b  = 1.2 + 1.2 + 1.0 = 4 \ne 0\) nên \(\overrightarrow c \) và \(\overrightarrow b \) không vuông góc hay D sai.

Chọn D.