Phương pháp giải:

Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là: $\left| {{z_0}} \right|$

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ $M\left( {1;2;--3} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ bằng 3.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Nếu $\overrightarrow a  \bot \left( P \right)$ thì vecto $\overrightarrow a$  là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Vecto $\overrightarrow a$  là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$thì vecto $k\overrightarrow a \,\,\left( {k \ne 0} \right)$ cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Lời giải chi tiết:

Vì $M'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mp$\left( \alpha  \right)$ nên $M'M \bot \left( \alpha  \right)$

Do đó, $\overrightarrow {MM'}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right).$

Suy ra mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có một vecto pháp tuyến là : $\overrightarrow {MM'}  = \left( {4;2;6} \right).$

Vậy mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cũng có một vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MM'}  = \left( {2;1;3} \right).$  

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ các điểm $A,\,\,B,\,\,C$.

   + Hình chiếu của $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ lên trục $Ox$ là $A\left( {{x_0};0;0} \right)$.

   + Hình chiếu của $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ lên trục $Oy$ là $B\left( {0;{y_0};0} \right)$.

   + Hình chiếu của $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ lên trục $Oz$ là $C\left( {0;0;{x_0}} \right)$.

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua $A,\,\,B,\,\,C$ dạng mặt chắn: Mặt phẳng đi qua các điểm $A\left( {{x_0};0;0} \right)$, $B\left( {0;{y_0};0} \right)$, $C\left( {0;0;{x_0}} \right)$ có phương trình $\dfrac{x}{{{x_0}}} + \dfrac{y}{{{y_0}}} + \dfrac{z}{{{z_0}}} = 1$.

- Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$: Hai mặt phẳng song song khi VTPT của chúng là các vectơ cùng phương.

Lời giải chi tiết:

$M\left( { - 3;\,\,2;\,\,4} \right)$. Theo giả thiết, $A,\,\,B,\,\,C$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên trục $Ox,\,\,Oy,\,\,Oz$ nên $A\left( { - 3;\,0;\,0} \right);\,\,B\left( {0;\,2;\,0} \right);\,\,C\left( {0;\,0;\,4} \right).$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ dạng mặt chắn là: $\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x - 6y - 3z + 12 = 0$.

Trong các mặt phẳng đã cho, mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình là $4x - 6y - 3z - 12 = 0$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- $A,\,\,B \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow AB \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB}$, $\left( \alpha  \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{n_\alpha }}$.

- $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]$.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có $A\left( { - 2;3; - 1} \right);\,\,B\left( {1; - 2; - 3} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 5; - 2} \right).$

Mặt phẳng $\left( P \right):3x - 2y + z + 9 = 0$ có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - 2;1} \right)$.

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 9; - 9;9} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{n_P}} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left( \alpha  \right)$ nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 9; - 9;9} \right)$ là 1 VTPT $\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {1;1; - 1} \right)$ cũng là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là: $1\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y - 3} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + y - z - 2 = 0.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ có bán kính $R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$.

- Khoảng cách từ $I\left( {a;b;c} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là: $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

- Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ có bán kính $R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$.

$\Rightarrow R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.1 - 2} \right|}}{3} = 3.$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2;1} \right)$, bán kính $R = 3$ có phương trình là:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là: $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

- Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$, bán kính $R$ cắt $\left( P \right)$ theo một đường tròn bán kính $r$ thì ${R^2} = {d^2} + {r^2}$ trong đó $d = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$.

- Mặt cầu tâm $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$, bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 2 + 2.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1 = d$.

$\Rightarrow$ Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt {{r^2} + {d^2}}  = \sqrt {8 + 1}  = 3$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng song song với trục $Oy$ có VTPT vuông góc với $\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Xét mặt phẳng bất kì $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$.

Để mặt phẳng này song song với $Oy$ thì $\overrightarrow n .\overrightarrow j  = 0$ với $\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)$ là 1 VTCP của $Oy$.

$\Rightarrow A.0 + B.1 + C.0 = 0 \Leftrightarrow B = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow n \left( {A;0;C} \right)$.

Lại có $Oy\parallel \left( P \right) \Rightarrow O \notin \left( P \right) \Rightarrow D \ne 0$.

Trong 4 đáp án ta thấy mặt phẳng $\left( \alpha  \right):x - 3z + 4 = 0.$thỏa mãn điều kiện trên.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm trọng tâm $G$ tam giác $ABC$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.$.

- Hình chiếu của $G\left( {a;b;c} \right)$ lên các trục $Ox,\,\,Oy,\,\,Oz$ lần lượt là $M\left( {a;0;0} \right)$, $N\left( {0;b;0} \right)$, $P\left( {0;0;c} \right)$.

- Mặt phẳng đi qua $M\left( {a;0;0} \right)$, $N\left( {0;b;0} \right)$, $P\left( {0;0;c} \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$ (phương trình mặt chắn).

Lời giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Ta có $A\left( {1;1;1} \right),B\left( { - 1;0;3} \right),C\left( {6;8; - 10} \right)$ nên $G\left( {2;3; - 2} \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {2;0;0} \right)\\N\left( {0;3;0} \right)\\K\left( {0;0; - 2} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {MNK} \right)$ là: $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua trung điểm của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTPT.

- Điểm $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$.

- Mặt phẳng đi qua $I\left( {a;b;c} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $I$  là trung điểm của $AB$ ta có $I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right).$

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$. Khi đó $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)$ của $AB$ và có 1 vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = \overrightarrow {BA}  = \left( {3;4;9} \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$3\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 9\left( {z + \dfrac{1}{2}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y + 9z + 7 = 0$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( { - a; - b; - c} \right)$.

- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $M$ là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {IM}$ và đi qua điểm $M$.

- Mặt phẳng đi qua $M\left( {a;b;c} \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( {3;2; - 1} \right).$

Mà $M\left( {3;6; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM}  = \left( {0;4; - 1} \right).$

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $M$ là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {IM}$ và đi qua điểm $M$ có phương trình:  $4\left( {y - 6} \right) - \left( {z + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 4y - z - 26 = 0.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm 1 VTPT của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$.

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

- Xác định $a,\,\,b,\,\,c$, sau đó tính $S$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;3;1} \right)$,$\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {3;1;1} \right)$.

Do mặt phẳng$\left( P \right)$ qua $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$nên $\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$$= \left( {2;9; - 15} \right)$.

Suy ra phương trình mặt phẳng$\left( P \right)$ là: $2\left( {x - 3} \right) + 9\left( {y - 2} \right) - 15\left( {z - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + 9y - 15z - 9 = 0$.

$\Rightarrow a = 2,\,\,b = 9,\,\,c =  - 15$.

Vậy $S = a + b + c$$= 2 + 9 - 15$$=  - 4$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách từ I xuống.

Áp dụng công thức tính diện tích hình tròn.

Áp dụng định lý Pytago để tính bán kính mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có $I\left( {1;2;0} \right);\left( P \right):2x - 2y + z - 7 = 0$ $\Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 2.2 + 0 - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3.$

Đường tròn tâm A có $S = 16\pi  \Rightarrow \pi .A{B^2} = 16\pi  \Rightarrow AB = 4.$

Áp dụng định lý Pyatgo trong tam giác ABI có $I{B^2} = I{A^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} \Rightarrow R = IB = 5$

Mặt cầu tâm $I\left( {1;2;0} \right)$ bán kính $R = 5$ có phương trình là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 25.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- $\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ với $\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}}$ lần lượt là 1 VTPT của $\left( P \right),\,\,\left( Q \right)$.

- Mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)$.

Ta có: $A\left( {1;0; - 2} \right);B\left( { - 1; - 1;3} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1;5} \right).$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 3; - 14; - 4} \right).$.

Gọi $\overrightarrow {{n_Q}}$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( Q \right)\\\left( Q \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 3; - 14; - 4} \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là:

$- 3\left( {x - 1} \right) - 14\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z + 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x + 14y + 4z + 5 = 0$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hình chiếu của điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là điểm $\left( {0;b;c} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {2; - 2;1} \right)$ trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có tọa độ là: $\left( {0; - 2;1} \right)$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ và $\left( \beta  \right):\,\,A'x + B'y + C'z + D' = 0$ song song khi và chỉ khi $\dfrac{A}{{A'}} = \dfrac{B}{{B'}} = \dfrac{C}{{C'}} \ne \dfrac{D}{{D'}}$.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,x + 2y - z - 1 = 0$ và $\left( \beta  \right):\,\,2x + 4y - mz - 2 = 0$ song song với nhau khi và chỉ khi

$\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne  - 2\end{array} \right. \Rightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Nhận xét (P) // (Q).

- $d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right)$ với $M \in \left( P \right)$ bất kì.

- Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( Q \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là

$d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\dfrac{2}{4} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \dfrac{{ - 9}}{{ - 6}}$ nên $\left( P \right)\parallel \left( Q \right)$.

Xét $\left( P \right)$, cho $x = z = 0 \Rightarrow y =  - 9 \Rightarrow M\left( {0; - 9;0} \right) \in \left( P \right)$.

Vậy  $d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 2.\left( { - 9} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Trong không gian $Oxyz$, điểm đối xứng với điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ qua mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có tọa độ là $\left( { - a;b;c} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Trong không gian $Oxyz$, điểm đối xứng với điểm $M\left( {2; - 2;1} \right)$ qua mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có tọa độ là: $\left( { - 2; - 2;1} \right)$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow n$ đều là 1 VTPT của $\left( P \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\dfrac{x}{{ - 5}} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z + 10 = 0$

Suy ra mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right).$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P).

- Sử dụng định lí Ta-lét chứng minh $\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{AH}}{{BK}} = \dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}$.

- Tính khoảng cách từ A đến (P): Khoảng cách từ $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là ${x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM}  \Rightarrow A;\,\,B$ nằm hai phía của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{1}{2}$.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó ta có AH // BK. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{AH}}{{BK}} = \dfrac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}$.

Mà $d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3$.

Vậy $d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 6.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính $d = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$. Khoảng cách từ $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng$\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

- Sử dụng định lí Pytago: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$ với R là bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến.

- Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có đường kính bằng 8 nên có bán kính r = 4.

Ta có: $S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right| = 9 + 27 = 36.$

Gọi R là bán kính mặt cầu (S), áp dụng định lí Pytago ta có: ${R^2} = {r^2} + {d^2} = {4^2} + {3^2} = 25$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- $\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]$ là 1 VTPT của (P).

- $\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)$ cũng là 1 VTPT của (P) nên $\overrightarrow n$ cùng phương với vectơ $\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]$ là 1 VTPT của (P).

$\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1;5} \right),\,\,\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)$.

Vì $\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)$ cũng là 1 VTPT của (P), ta chọn $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)$ $\Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c =  - 1$.

Vậy $k = \dfrac{b}{c} = \dfrac{5}{{ - 1}} =  - 5$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( P \right)$, khoảng cách từ $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

- Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có mặt cầu tâm $I\left( { - 1;0;0} \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right):x + 2y + 2{\rm{z}} - 5 = 0$ nên $R = {d_{\left( {I;\left( P \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| { - 1 + 2.0 + 2.0 - 5} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 2.$

Mặt cầu tâm $I\left( { - 1;0;0} \right)$ và bán kính $R = 2$ có phương trình là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức viết phương trình mặt chắn đi qua 3 điểm đặc biệt có tọa độ $\left( {a;0;0} \right),$ $\left( {0;b;0} \right),$ $\left( {0;0;c} \right)$ là $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1.$

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $E\left( {1;0;0} \right),$ $N\left( {0;1;0} \right),$$M\left( {0;0; - 1} \right)$ là $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{{ - 1}} = 1$$\Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0.$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích có hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết:

Ta có $M\left( {1;1; - 2} \right),N\left( {3;0;3} \right),P\left( {2;0;0} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \left( {2; - 1;5} \right)\\\overrightarrow {MP}  = \left( {1; - 1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {MNP} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3;1; - 1} \right)$

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm các vecto pháp tuyến của 3 mặt phẳng.

- Tìm mối quan hệ giữa các vecto rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left( P \right):2x + 4y - 2z + 2 = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;4; - 2} \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right):x + 2y - z = 0$ có vecto pháp tuyến$\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2; - 1} \right)$

Mặt phẳng $\left( R \right):x + 2y + z + 3 = 0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1;2;1} \right)$

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} \parallel \overrightarrow {{n_2}}  \Rightarrow \left( P \right)\parallel \left( Q \right)$

Và $\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  \ne \overrightarrow 0  \Rightarrow \left( Q \right);\left( R \right)$ cắt nhau.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng vuông góc với trục Oy có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {0;1;0} \right)$

Mặt phẳng đó đi qua điểm $M\left( {2;2;3} \right)$ và có dạng $y - 2 = 0$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm trung điểm của MN: Trung điểm I đoạn MN có tọa độ là $\left( {\dfrac{{{x_M} + {x_N}}}{2};\dfrac{{{y_M} + {y_N}}}{2};\dfrac{{{z_M} + {z_N}}}{2}} \right)$.

- Tìm $\overrightarrow {MN}$ rồi viết phương trình mặt phẳng trung trực là mặt phẳng đi qua I và nhận $\overrightarrow {MN}$ là 1 VTPT.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {MN}$ và đi qua trung điểm của MN.

Ta có $M\left( { - 3;0;3} \right),N\left( {3;0; - 3} \right)$ có trung điểm $I\left( {0;0;0} \right)$

Và $\overrightarrow {MN}  = \left( {6;0; - 6} \right)$ hay $\left( {1;0; - 1} \right)$

Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là $\left( {1;0; - 1} \right)$ và đi qua $I\left( {0;0;0} \right)$ có phương trình là $x - z = 0$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của AB nếu (P) đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.

- Xác định vectơ pháp tuyến của (P): $\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {AB}$.

- Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4; - 2} \right)$ nên mặt phẳng trung trực của AB có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {1; - 2; - 1} \right)$.

Ta có trung điểm I của đoạn AB có tọa độ là $\left( {2;0;1} \right).$

Mặt phẳng đi qua I$\left( {2;0;1} \right)$ và co vecto pháp tuyến là $\left( {1; - 2; - 1} \right)$ có phương trình là

$1\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0$  $\Leftrightarrow x - 2y - z - 1 = 0$

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính R.

- Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 12$ có tâm $I\left( {1; - 2;0} \right)$.

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng (Oxz) nên có 1 VTPT là $\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2 = 0.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0 là $d = \dfrac{{\left| {D - D'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Lời giải chi tiết:

$d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 11 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 5.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,ax + by + cz + d = 0$ là: $d\left( {M;\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $d\left( {M;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.4 + 5} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng trung trực $\left( \alpha  \right)$  của đoạn thẳng $AB$   đi qua trung điểm $I$ của $AB$  và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {A;\;B;\;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\, - 4;\,\,6} \right) = 2\left( {1; - 2;\,\,3} \right).$  

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow I\left( {2;\,\,1;\,\,1} \right).$

Mặt phẳng trung trực $\left( \alpha  \right)$  của đoạn thẳng $AB$   đi qua trung điểm $I$ của $AB$  và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

$\Rightarrow \left( \alpha  \right):\,\,\,x - 2 - 2\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y + 3z - 3 = 0$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = k\overrightarrow {{n_Q}} .$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {a;\,b;\,c} \right)$ là: $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {2; - 5;\,\,1} \right).$

Mặt phẳng cần tìm đi qua $M\left( {2; - 1;\,\,3} \right)$ và song song với $\left( \alpha  \right):\,\,\,2x - 5y + z - 1 = 0$ có phương trình:

$2\left( {x - 2} \right) - 5\left( {y + 1} \right) + z - 3 = 0$ $\Leftrightarrow 2x - 5y + z - 12 = 0.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB ta có $I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1; - 1} \right)$ là 1 VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:

$3\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) - 1.\left( {y - \dfrac{3}{2}} \right) - 1.\left( {z - \dfrac{1}{2}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - y - z + \dfrac{1}{2} = 0$ $\Leftrightarrow 6x - 2y - 2z + 1 = 0$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của AB là $\overrightarrow {AB}$.

- Tìm trung điểm I của AB là điểm thuộc mặt phẳng cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng $\left( P \right)$.

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( {2;0;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)$ là 1 VTPT của $\left( P \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + y - z - 1 = 0$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là $\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$ với $\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}}$ lần lượt là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right):x - 2y - z + 2 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {2; - 1;1} \right)$.

Khi đó ta có: $\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$$= \dfrac{{\left| {1.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Vậy $\angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = {60^0}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$.

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có $I\left( {2;1;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;0} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;0} \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng trung trực của $AB$.

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của $AB$ là:

$1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai VTPT của hai mặt phẳng cùng phương.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,\,3x - my - z + 7 = 0$ có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - m; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right):\,\,\,6x + 5y - 2z - 4 = 0$ có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {6;5; - 2} \right)$.

Để $\left( P \right)\parallel \left( Q \right)$ thì $\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}}$ cùng phương $\Leftrightarrow \dfrac{3}{6} = \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{2}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng song song với $\left( P \right):\,\,x - 2y + z + 3 = 0$ có dạng $\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + d = 0\,\,\left( {d \ne 3} \right)$.

- Thay tọa độ điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ vào phương trình mặt phẳng$\left( Q \right)$ tìm hằng số $d$ và kết luận phương trình mặt phẳng cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng cần tìm.

Vì $\left( Q \right)\parallel \left( P \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng: $\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + d = 0\,\,\left( {d \ne 3} \right)$.

Theo bài ra ta có: $M\left( {1;2;3} \right) \in \left( Q \right)$.

$\Rightarrow 1 - 2.2 + 3 + d = 0 \Leftrightarrow d = 0$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ cần tìm là: $x - 2y + z = 0$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right)$$+ c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {3; - 1;2} \right)$

Vì mặt phẳng cần tìm song song với $\left( \alpha  \right)$ nên nhận $\overrightarrow n  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {3; - 1;2} \right)$ làm VTPT

Phương trình mặt phẳng đó là: $3\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - y + 2z - 6 = 0$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng trung trực $\left( \alpha  \right)$  của đoạn thẳng $AB$   đi qua trung điểm $I$ của $AB$  và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $A\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)$ và $B\left( {3;\,\,4;\,\,7} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,2;\,\,4} \right) = 2\left( {1;\,\,1;\,\,2} \right)$

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow I\left( {2;\,\,3;\,\,5} \right)$

Mặt phẳng trung trực $\left( \alpha  \right)$  của đoạn thẳng $AB$   đi qua trung điểm $I$ của $AB$  và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT

$\Rightarrow \left( \alpha  \right):\,\,\,x - 2 + y - 3 + 2\left( {z - 5} \right)$ $\Leftrightarrow x + y + 2z - 15 = 0$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho $\left( \alpha  \right):\,\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ và  $\left( \beta  \right):\,\,\,ax + by + cz + d = 0$

$\Rightarrow$ Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)$  $\Leftrightarrow \dfrac{A}{a} = \dfrac{B}{b} = \dfrac{C}{c} \ne \dfrac{D}{d}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( \alpha  \right):\,\,x + y - z + 1 = 0$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\,\,1; - 1} \right).$

$\left( \beta  \right):\,\,\, - 2x + my + 2z - 2 = 0$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( { - 2;\,\,m;\,\,2} \right).$

$\Rightarrow \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{2}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 2}}{1}$ (vô lý)

$\Rightarrow$ Không có giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng vuông góc với $AB$ nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {A;\;B;\;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4;\,\,4} \right) = 2\left( {1; - 2;\,\,2} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$  cần tìm vuông góc với $AB$ $\Rightarrow$ nhận vecto $\left( {1;\, - 2;\,\,2} \right)$ làm VTPT.

$\Rightarrow \left( P \right)$ đi qua $A\left( {1;\,\,3; - 1} \right)$ và vuông góc với $AB$ có phương trình:

$x - 1 - 2\left( {y - 3} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2y + 2z + 7 = 0.$ 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho ba điểm $A\left( {a;\,\,0;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b;\,\,0} \right)$ và $C\left( {0;\,\,0;\,\,c} \right).$ Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có dạng:

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$ được gọi là phương trình mặt chắn.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ đi qua ba điểm $M\left( {1;\,\,0;\,\,0} \right),\,\,N\left( {0; - 2;\,\,0} \right),\,\,P\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)$ có dạng:

$\dfrac{x}{1} - \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = 1.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng vuông góc với $AB$ nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {A;\;B;\;C} \right)$ có phương trình: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;\,\,2} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$  cần tìm vuông góc với $AB$ $\Rightarrow$ nhận vecto $\left( {1;\, - 2;\,\,2} \right)$ làm VTPT.

$\Rightarrow \left( P \right)$ đi qua $A\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)$ và vuông góc với $AB$ có phương trình:

$x - 1 - 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2y + 2z - 3 = 0.$ 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,ax + by + cz + d = 0$ là: $d\left( {M;\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có:$\left( P \right):\,\,\,2x - 2y + z - 2 = 0$

$\Rightarrow d\left( {M;\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.6 - 3 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} }}$ $= \frac{{15}}{3} = 5.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua trung điểm của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2x$, $x =  - 3$, $x =  - 2$ và trục hoành là: $S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {2x} \right|dx}$.

Trên khoảng $\left( { - 3; - 2} \right)$ ta có $\left| {2x} \right| =  - 2x$, do đó $S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} { - 2xdx}  = \int\limits_{ - 2}^{ - 3} {2xdx}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$: Mặt cầu $\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

- Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $A$ nhận $\overrightarrow {IA}$ là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z = 0$ có tâm $I\left( {1;2;2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - 0}  = \sqrt {14}$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại $A\left( {3;4;3} \right)$, khi đó ta có $IA \bot \left( P \right)$ nên $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {IA}  = \left( {2;2;1} \right)$ là 1 VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {3;4;3} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow {IA}  = \left( {2;2;1} \right)$ là:

$2\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 4} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + 2y + z - 17 = 0$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Mặt phẳn đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận $\overrightarrow {BC}$ là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right) \ne \overrightarrow 0$ là:

$a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4;4; - 2} \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4;4; - 2} \right)$ là VTPT, có phương trình là:

$- 4\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow  - 4x + 4y - 2z - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 2x - 2y + z + 2 = 0$

Chọn B.