Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Vận dụng công thức định nghĩa tích vô hướng hai vector \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

AC = 9. Tính AB. Áp dụng định lý Py-ta-go:

\(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{5^2} + {9^2}}  = \sqrt {106} \)

\(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = c{\rm{os }}\widehat {{\rm{BAC}}}{\rm{ = }}{{AC} \over {AB}} = {9 \over {\sqrt {106} }}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \sqrt {106} .9.{9 \over {\sqrt {106} }} = 81\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Từ công thức \({\rm{cos A  =  cos(}}\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ){\rm{ =  }}{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\) tìm được số đo góc A.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 6; - 2} \right)\);

\(\eqalign{  & {\rm{cos A  =  cos(}}\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ){\rm{ =  }}{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}  \cr   &  = {{2.\left( { - 6} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right)} \over {\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = {{ - 10} \over {\sqrt 5 .\sqrt {40} }} = {{ - 10} \over {10\sqrt 2 }} = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}.  \cr   &  \Rightarrow \widehat A = {135^0}. \cr} \)

Chọn C.

Phương pháp giải:

H là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi  \(\left\{ \matrix{AH \bot BC \hfill \cr BH \bot AC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 1,y + 1} \right);\overrightarrow {BH} \left( {x - 2,y} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {9; - 6} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {10; - 5} \right).\)

H là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi  \(\left\{ \matrix{AH \bot BC \hfill \cr BH \bot AC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{9\left( {x - 1} \right) - 6\left( {y + 1} \right) = 0 \hfill \cr 10\left( {x - 2} \right) - 5y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{9x - 6y = 15 \hfill \cr 10x - 5y = 20 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 3 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow x + y = 5.\) 

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tọa độ hóa điểm C bằng cách gọi C(a; b).

- Tam giác ABC vuông cân tại B \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  BA \bot BC \hfill \cr   BA = BC \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr   \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \hfill \cr}  \right.\)

- Sử dụng các công thức tích vô hướng của 2 vector, công thức tính độ dài vector \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}.} \)

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông cân tại B \( \Rightarrow \left\{ \matrix{  BA \bot BC \hfill \cr   BA = BC \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr   {\left| {\overrightarrow {BA} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {BC} } \right|^2} \hfill \cr}  \right.\)

Gọi tọa độ C(a; b) ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {2 - 1;4 - 1} \right) = \left( {1;3} \right)\,;\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a - 1;b - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 1.\left( {a - 1} \right) + 3.\left( {b - 1} \right) = 0 \hfill \cr   {1^2} + {3^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a + 3b = 4 \hfill \cr   {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} = 10 \hfill \cr}  \right.\)

Thay a = 4 – 3b vào phương trình dưới ta được \(\eqalign{  & {\left( {4 - 3b - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {\left( {3 - 3b} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10  \cr   &  \Leftrightarrow 9{\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 1 \cr} \)

Giải ra ta được hoặc b = 0 hoặc b = 2.

Với b = 2 Þ a = – 2 \( \Rightarrow C\left( { - 2;2} \right).\)

Với b = 0 \( \Rightarrow a = 4 \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa trên mối liên hệ đã cho biến đổi về dạng chứa \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow c  + \overrightarrow c .\overrightarrow a \)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta có \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + 3\overrightarrow c  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  =  - 2\overrightarrow c  \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)^2} = 4{\overrightarrow c ^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2A = 4{c^2}\)

Do đó \(A = {1 \over 2}\left( {3{c^2} - {a^2} - {b^2}} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính góc giữa hai vector: \(\cos a = {{\left| {\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {BE} } \right|\left| {\overrightarrow {CF} } \right|}}\) , phân tích biểu thức tích vô hướng về dạng đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

Gọi a là góc tạo bởi hai trung tuyến BE,CF.

Khi đó \(\cos a = {{\left| {\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {BE} } \right|\left| {\overrightarrow {CF} } \right|}}\)

Sử dụng phân tích

\(\eqalign{  & \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AE} } \right)\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AF} } \right)  \cr   &  = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AF}   \cr   &  = 0 - \overrightarrow {AB} .{{\overrightarrow {AB} } \over 2} - \overrightarrow {AC} {{\overrightarrow {AC} } \over 2} + 0  \cr   &  =  - {{A{B^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 2} =  - {{A{B^2}} \over 2} - {{A{B^2}} \over 2} =  - A{B^2}. \cr} \)

\(BE = CF = \sqrt {A{B^2} + A{E^2}}  = \sqrt {A{B^2} + {{A{B^2}} \over 4}}  = AB\sqrt {{5 \over 4}} \)

Từ đó suy ra \(\cos a = {{A{B^2}} \over {A{B^2}{5 \over 4}}} = {4 \over 5}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lấy \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right),\,\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) lần lượt là VTPT của \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\) được tính:

\(\cos \left( {\widehat {{\Delta _1};{\Delta _2}}} \right) = {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

\({\Delta _1}:\,x - \sqrt 3 y + 6 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\), \({\Delta _2}:\,x + 10 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0} \right)\)

Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}: \cos \left( {\widehat {{\Delta _1};{\Delta _2}}} \right) = {{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = {{\left| {1.1 + \left( { - \sqrt 3 } \right).0} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right)} = {60^0}\)

Chọn: D

Phương pháp giải:

H là trực tâm của tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\left( {a;b} \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {HA}  = \left( {5 - a;3 - b} \right);\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;6} \right)\\\overrightarrow {HB}  = \left( {2 - a; - 1 - b} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 6;2} \right)\end{array}\)

H là trực tâm của tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {5 - a} \right) + 6\left( {3 - b} \right) = 0\\ - 6\left( {2 - a} \right) + 2\left( { - 1 - b} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 6b + 3 = 0\\6a - 2b - 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {3;2} \right)\)

Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat C = {30^0} \Rightarrow \widehat B = {60^0}\)

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} \\ = BC.CA.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CA} } \right)} + BA.AC.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {AC} } \right)}\\ = 2a.a\sqrt 3 .\cos {30^0} + a.a\sqrt 3 .\cos {90^0}\\ = 2{a^2}\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3{a^2}\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải chi tiết:

\( + )\,\,\overrightarrow {AH} .\left( {2\overrightarrow {AD}  - 3\overrightarrow {CD} } \right) = 2\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD}  - 3\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CD}  = 2AH.AD.\cos \widehat {HAD}\).

Ta có: \(\Delta AHD\) có \(\widehat {ADH} = {45^0} \Rightarrow \Delta AHD\) vuông cân tại H.

Ta có: \(HD = \dfrac{{3a - a}}{2} = a = AH \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {HAD} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left( {2\overrightarrow {AD}  - 3\overrightarrow {CD} } \right) = 2.a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = 2{a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 2{a^2}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BH}  = \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} } \right)\left( {\overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AB} } \right) = A{H^2} - \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HC} }_0 - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} \\ = A{H^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC}  = A{B^2} - AB.HC.\cos 0 = A{B^2} - AB.HC\\ = {a^2} - a.2a =  - {a^2}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = \ 0 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

H là trực tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\left( {a;b} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;6} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {5;6} \right);\,\,\,\overrightarrow {AH}  = \left( {a + 3;b} \right);\,\,\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 3;b} \right)\).

Vì H là trực tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - 3 + 6b = 0\\5a - 15 + 6b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow a + 6b = 2 + 5 = 7\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên \(OA = OB = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {BO} } \right) = {60^0}\)

Vậy \(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {OB}  = OA.OB.\cos \left( {\overrightarrow {AO} ;\overrightarrow {BO} } \right) = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.\cos 60 = \dfrac{{{a^2}}}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành : \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\)

+) Sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

\( + )\;\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(ABCD\)  là hình vuông \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = {45^0},\;\left( {\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {BD} } \right) = {90^0}.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = a.a\sqrt 2 .\cos {45^o} = {a^2}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = \frac{7}{2}\\{x^2}y + x{y^2} = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \frac{7}{2} - \left( {x + y} \right)\\xy.\left( {x + y} \right) = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\xy = b\end{array} \right.\;\;\left( {{a^2} \ge 4b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{7}{2} - a\\ab = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{7}{2} - a\\a\left( {\frac{7}{2} - a} \right) = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{7}{2} - a\\{a^2} - \frac{7}{2}a + \frac{5}{2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{7}{2} - a\\\left[ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\b = 1\end{array} \right.\;\;\left( {tm} \right)\\\left[ \begin{array}{l}a = 1\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{5}{2}\\xy = 1\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\)  là một nghiệm của hệ phương trình \( \Rightarrow {x_0} + {y_0} = \frac{5}{2}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác vuông cân và công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại A; \(AB = AC = a \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A,\;\;\left( {\overrightarrow {BA} ,\;\overrightarrow {BC} } \right) = \angle ABC = {45^0}.\)

Sử dụng định lý Pytago ta được: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = BA.BC.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {45^o} = {a^2}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 7} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {3;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {BC}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \,\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \) Tam giác ABC vuông tại C

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hình vuông và tính góc giữa hai vectơ bằng cách đưa về chung gốc.

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình vuông \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {135^o}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dùng công thức góc giữa hai véc tơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\,\,;\,\,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \)

Lời giải chi tiết:

Véc tơ \(\overrightarrow b  = \left( {3;y} \right)\) tạo với véc tơ \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 2} \right)\) một góc \({45^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos {45^o} = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3 - 2y}}{{\sqrt 5 .\sqrt {9 + {y^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {10} }}{2}.\sqrt {9 + {y^2}}  = 3 - 2y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 2y \ge 0\\\frac{5}{2}\left( {9 + {y^2}} \right) = {\left( {3 - 2y} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\45 + 5{y^2} = 18 - 24y + 8{y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\3{y^2} - 24y - 27 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y = 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow y =  - 1.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Ta lấy trung điểm I của đoạn thẳng \(AB\) , rồi sau đó biến đổi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) thông qua hai vecto \(\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {AB} \) cố định

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(\overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IB} .\)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {IB} } \right) = \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {IA} } \right) = {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2} = M{I^2} - I{A^2} = M{I^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}\)

Theo giả thiết, ta có: \(M{I^2} - \frac{{A{B^2}}}{4} =  - 16 \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} - 16 = \frac{{{8^2}}}{4} - 16 = 0\,\, \to M \equiv I\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Ta lấy điểm đối xứng của  \(A\) qua \(B\) , rồi sau đó biến đổi vecto có \(N\) thông qua một vecto khác cố định

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\).

 Khi đó \(\overrightarrow {AC}  = 2.\overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2{a^2}.\)

Kết hợp với giả thiết đã cho, ta có: \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AC} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN}  = 0 \Rightarrow CN \bot AB.\)

Vậy tập hợp các điểm \(N\) là đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với \(AB.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Ta sử dụng tính chất của hai vecto vuông góc và biến đổi các vecto thông qua 3 vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DC} \)

+) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,AM \bot BD \Leftrightarrow 2.\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BD}  = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - A{B^2} + A{D^2} - \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB}  = 0\\ \Leftrightarrow {h^2} - {a^2} - ab = 0\end{array}\)

Chọn  B

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} ;\,\,\,{\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,m} \right)\) và  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {MA}  = \left( {1; - 1 - m} \right)}\\{\overrightarrow {MB}  = \left( {3;\,\,2 - m} \right)}\end{array}} \right..\)

Khi đó: \(M{A^2} + M{B^2} = {\left| {\overrightarrow {MA} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {MB} } \right|^2} = {1^2} + {\left( { - 1 - m} \right)^2} + {3^2} + {\left( {2 - m} \right)^2} = 2{m^2} - 2m + 15 = 2{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{29}}{2} \ge \frac{{29}}{2}\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow Min\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = \frac{{29}}{2}.\) 

 Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( {0;\,\,\frac{1}{2}} \right).\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Phân tích vectơ sau đó áp dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CN}  = \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CM} } \right)\left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BN} } \right) = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {BN} \\ = BC.CB.\cos \angle \left( {\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) + BC.BN.\cos \angle ABC + CM.CB.\cos \angle ACB + CM.BN.\cos \angle BAC\\ = 2\sqrt 2 .2\sqrt 2 .\cos {180^0} + 2\sqrt 2 .1.\cos {45^0} + 1.2\sqrt 2 \cos {45^0} + 1.1.\cos {90^0}\\ =  - {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + 2\sqrt 2 .1.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2\sqrt 2 .1.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 0 =  - 4.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Ta có: \(\angle AMB > {90^0} \Rightarrow  - 1 \le \cos \angle AMB < 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2;\,\,b - 3} \right),\,\,\,\overrightarrow {BM}  = \left( { - 8;\,\,b + 3} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \angle AMB = \frac{{\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {BM} } \right|}} = \frac{{2.\left( { - 8} \right) + \left( {b - 3} \right)\left( {b + 3} \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \sqrt {{8^2} + {{\left( {b + 3} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{ - 16 + {b^2} - 9}}{{\sqrt {4 + {b^2} - 6b + 9} .\sqrt {64 + {b^2} + 6b + 9} }} = \frac{{{b^2} - 25}}{{\sqrt {{b^2} - 6b + 13} .\sqrt {{b^2} + 6b + 73} }}.\end{array}\)

Để \(\angle AMB > 90^\circ \) thì \(\cos \angle AMB < 0 \Leftrightarrow {b^2} - 25 < 0 \Leftrightarrow  - 5 < b < 5 \Leftrightarrow b \in \left( { - 5;5} \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(AC \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\), từ đó ta tìm được tọa độ điểm \(C.\)

Lời giải chi tiết:

Điểm \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;y} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2;y - 2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 8;y - 2} \right)\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(AC \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2.\left( { - 8} \right) + {\left( {y - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 2 = 4\\y - 2 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 6\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(C\left( {0;6} \right)\) hoặc \(C\left( {0; - 2} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định \(\left| {2\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi nào, sau đó vận dụng các giả thiết để tìm được tỉ số \(\frac{{AC}}{{AI}}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC.\)

Có \(\left| {2\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA} } \right| = \left| {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right| = 2IN\)

Do đó, \(\left| {2\overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {AC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow I\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) trên \(MC.\)

Dựng hình vuông \(ABCD.\)

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\) và \(H\) là giao điểm của \(AP\) và \(DN.\)

Ta chứng minh được \(DN \bot CM \Rightarrow I \in DN.\)

Lại có tứ giác \(AMCP\) là hình bình hành, suy ra \(AP//CM.\)

Do đó\(AP \bot DI\) và \(H\) là trung điểm của \(DI \Rightarrow \Delta AID\) cân tại \(A.\)

Vậy  \(\frac{{AC}}{{AI}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \sqrt 2 .\) 

Chọn  D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.CD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} } \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\)

Gọi \(\angle \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} } \right) = \alpha .\) Ta có hình vẽ.

Ta có: \(AH = CD = a.\)

Xét \(\Delta ABH\) ta có: \(AB = \frac{{AH}}{{\cos \angle HAB}} = \frac{{AH}}{{\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)}} = \frac{{CD}}{{ - \cos \alpha }}.\)

Áp dụng công thức tích vô hướng ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.CD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{CD}}{{ - \cos \alpha }}.CD.\cos \alpha  =  - C{D^2} =  - {a^2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Gắn hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, M, N.

+) \(CM \bot BN \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {BN}  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có

\(A\left( {0;0} \right);\,\,B\left( {1;0} \right);\,\,C\left( {1;1} \right);\,\,D\left( {0;1} \right);\,\,M\left( {x;0} \right);\,\,N\left( {0;1 - y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CM}  = \left( {x - 1; - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BN}  = \left( { - 1;1 - y} \right)\\CM \bot BN \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {BN}  = 0\\ \Leftrightarrow  - x + 1 - 1 + y = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\end{array}\)

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

Gọi tọa độ điểm C theo hai chữ, từ dữ kiện đề bài lập hệ phương trình giải để tìm C

 \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Ta có : \(\overrightarrow {AH}  = \left( {8;2} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {{x_0} - 5;{y_0} - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {8;4} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {CH}  = \left( {5 - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

H là trực tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {CH}  \bot \overrightarrow {AB} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\left( {{x_0} - 5} \right) + 2\left( {{y_0} - 2} \right) = 0\\8\left( {5 - {x_0}} \right) + 4\left( { - {y_0}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{x_0} + 2{y_0} = 44\\ - 8{x_0} - 4{y_0} =  - 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 6\\{y_0} =  - 2\end{array} \right.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Từ hai hình chiếu của \(C\) lên \(AB,AD\), ta biến đổi các các đẳng thức theo đề bài để đưa ra đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Vì \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(C\) lên \(AB,AD\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \end{array}\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB + } \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = {\overrightarrow {AC} ^2}\left( * \right)\)

Do \(AC\) là đường chéo lớn nên \(\angle ABC \ge {90^o}\) và \(B\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(E.\) Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE}  = AB.AE\)

Tương tự ta có \(D\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(F.\) Suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AF}  = AD.AF\)

Vậy \(\left( * \right)\) trở thành: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Ta biến đổi tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) rồi sau đó thay theo giả thiết cho kết quả

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết \(M\) là điểm nằm trên \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\) nên ta có \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

Đặt \(AB = x,AC = y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4{a^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\)

Mặt khác từ \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = {a^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{2}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}\,\,\,\,\left( {do{\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}{y^2} - \frac{2}{3}{x^2} = {a^2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có  \(y = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung điểm: Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), với mọi \(I\) ta có \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = 2\overrightarrow {IM} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \\\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MJ} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right)\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {MJ} \).

\( \Rightarrow 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {MJ}  = 0 \Leftrightarrow MI \bot MJ \Rightarrow \angle IMJ = {90^0}\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là mặt cầu đường kính \(IJ\).

Vì \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(IJ = \dfrac{1}{2}AC = 4\).

Vậy hợp các điểm \(M\) là mặt cầu đường kính bằng \(4.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

+) \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH}  = \left( {a + 3;b} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;6} \right)}\\{\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 3;b} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {5;6} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ giả thiết, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a + 3} \right).\left( { - 1} \right) + b.6 = 0}\\{\left( {a - 3} \right).5 + b.6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = \frac{5}{6}}\end{array} \Rightarrow a + 6b = 7} \right.} \right.} \right.\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: ABCD là hình thoi có \(\angle BAD = {60^0}\)\( \Rightarrow \angle ABC = {120^0}\) và tam giác ABD là tam giác đều.

\( \Rightarrow AB = AD = BD = a.\)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BD} } \right)\\\overrightarrow {BN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BN}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + {{\overrightarrow {BD} }^2} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} } \right)\\ = \frac{1}{4}\left( {BA.BD.\cos ABD + BA.BC.\cos ABC + B{D^2} + BD.BC.\cos DBC} \right)\\ = \frac{1}{4}\left( {{a^2}.\cos {{60}^0} + {a^2}.\cos {{120}^0} + {a^2} + {a^2}.\cos {{60}^0}} \right)\\ = \frac{1}{4}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{3{a^2}}}{8}.\end{array}\)

Đáp án  B.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vecto: \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 3.2 - 1.5 = 1.\)

Chọn A.