Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}\). Biểu diễn đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}\) (đường màu đỏ) lên trục tọa độ như sau:

Ta thấy: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y =  - \dfrac{1}{2}\) tại 4 điểm phân biệt \( \Rightarrow \) Phương trình \(2f\left( x \right) + 1 = 0\) có số nghiệm là 4.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\({x^3} + 3{x^2} + 3x - 2 = 2\)\( \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x - 4 = 0\).

Sử dụng MTCT giải phương trình bậc ba, ta thấy phương trình trên có nghiệm duy nhất nên số giao điểm của hai đồ thị hàm số là 1.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào BBT, nhận xét số giao điểm của đường thẳng \(y =  - 2020\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 2020\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình  \(f\left( x \right) = 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)

Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét số giao điểm của hai đồ thị hàm số và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình  \(f\left( x \right) = 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)

Ta có đồ thị hàm số.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) và trục hoành là 2.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

- Dựa vào BBT xác định số giao điểm.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2020\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2020\) song song với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 2020\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm duy nhất.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 2020\) có 1 nghiệm duy nhất.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} - 2{x^2} + 1 = 1\) \( \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vậy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\) tại 3 điểm phân biệt

Chọn C.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 1\).

\( \Rightarrow \) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hai hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x + 3\) và đồ thị hàm số \(y = x + 3\) là nghiệm của phương trình: \({x^3} - 4x + 3 = x + 3 \Leftrightarrow {x^3} - 5x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 5 \\x =  - \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Vậy đồ thị hai hàm số có 3 giao điểm.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy hàm số đã cho là hàm bậc ba.

Nhận xét các điểm mà đồ thị hàm số đi qua, các điểm cực trị của hàm số rồi suy ra đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đã cho làm hàm số bậc ba, có nét cuối đi lên \( \Rightarrow a > 0\)

\( \Rightarrow \) loại đáp án A, B.

Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị \( \Rightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

+) Xét đáp án C: \(y = {x^3} - 3x + 1\) \( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

+) Xét đáp án D: \(y = {x^3} + 3x + 1\) \( \Rightarrow y' = 3{x^2} + 3 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \) hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 1\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1\).

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt. Vậy phương trình \(f\left( x \right) + 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(7f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{5}{7}\)

Đường thẳng \(y = \dfrac{5}{7}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 2 điểm phân biệt nên phương trình \(7f\left( x \right) - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ { - 1;3} \right]\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Vẽ đường thẳng \(y = 0\) và xác định số giao điểm của đường thẳng \(y = 0\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta thấy đường thẳng \(y = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) có 3 điểm chung.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;\,\,{y_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {0;\,\,{y_0}} \right)\) là điểm mà đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x - 3\) cắt trục tung.

\( \Rightarrow {y_0} = 0 - 3.0 - 3 =  - 3 \Rightarrow M\left( {0; - 3} \right).\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) chính là số nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

                                          \({x^3} + 2{x^2} - 4x + 1 = 2 \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} - 4x - 1 = 0\)

Sử dụng máy tính ta tìm được phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Chọn C

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại \(3\) điểm phân biệt \( \Leftrightarrow  - 4 < m < 2\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị trên là \(\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 =  - 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) - 2 = 0\,\, \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2.\)

Dựa vào bảng biến thiên rồi tìm số giao điểm của hai đồ thị và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) - 2 = 0\,\, \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại 4 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) - 2 = 0\) có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}.\)

Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận số giao điểm từ đó suy ra số nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y =  - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(2f\left( x \right) + 3 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\)  của hai đồ thị hàm số.

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình \(\left( * \right)\) rồi chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,y = x + 1\) và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = \dfrac{{2x + 5}}{{x - 1}}\) là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + 1 = \dfrac{{2x + 5}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 2x + 5\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 - 2x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 6 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \(a = 1;\,\,c =  - 6 \Rightarrow ac < 0\) \( \Rightarrow \left( * \right)\)  luôn có hai nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow d\) luôn cắt \(\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) với \({x_A},\,\,{x_B}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:\({x_A}.{x_B} = \dfrac{c}{a} =  - 6.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trìn \(f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)

Dựa vào đồ thị nhận xét số giao điểm và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trìn \(f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Tìm số nghiệm của phương trình bậc hai ẩn \(t\), từ đó suy ra số nghiệm \(x\).

   + 1 nghiệm \(t > 0\) cho 2 nghiệm \(x\).

   + 1 nghiệm \(t = 0\) cho 1 nghiệm \(x\).

   + 1 nghiệm \(t < 0\) cho 0 nghiệm \(x\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} - {x^2} - {2^{2020}} = 0\).

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành \({t^2} - t - {2^{2020}} = 0\) (*).

Ta thấy \(ac =  - {2^{2020}} < 0\) nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu, tức là có 1 nghiệm \(t\) âm và 1 nghiệm \(t\) dương.

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) =  - 0,5\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 0,5.\)

Dựa vào BBT để xác định số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) =  - 0,5\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 0,5.\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 0,5\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) =  - 0,5\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình \(f\left( x \right) = m\) là có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm duy nhất.

Dựa vào BBT để xác định \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(f\left( x \right) = m\) là có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm duy nhất.

Dựa vào BBT ta thấy, đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 1 điểm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 5 < m \le 1\\m = 2\end{array} \right.\)

Lại có: \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}\)

Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số để tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2\\f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right.\)

Với \(f\left( x \right) = 2\) thì đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt.

Với \(f\left( x \right) =  - 2\) thì đường thẳng \(y =  - 2\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điẻm phân biệt.

Vậy tổng có tất cả 4 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng biến thiên để tìm số giao điểm của đường thẳng \(y = 5\) và đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 5\) là số giao điểm của đường thẳng \(y = 5\) và đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng \(y = 5 > 3\) cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 5\) có duy nhất 1 nghiệm.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\)

Dựa vào BBT để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\)

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt

\( \Rightarrow \) Phương trình \(2f\left( x \right) - 3 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình trị tuyệt đối: \(\left| x \right| = a \Leftrightarrow x =  \pm a\).

- Sử dụng tương giao đồ thị hàm số: Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) =  - 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\), suy ra phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1\), suy ra phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt.

Dễ thấy các nghiệm trên không có nghiệm nào trùng nhau.

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Số giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\)  và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} - 3x + 1\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị.

\(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\)  và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} - 3x + 1\) là: \({x^3} - 3x + 1 = mx + m + 3\) \( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x - m - 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - {x^2} - x - \left( {m + 2} \right)x - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {m + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - m - 2} \right) = 0\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{x^2} - x - m - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\g\left( x \right) = {x^2} - x - m - 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Số giao điểm của đường thẳng \(d:\,\,\,\,y = mx + m + 3\)  và đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,\,y = {x^3} - 3x + 1\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị.

\( \Rightarrow \left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 4\left( {m + 2} \right) > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) - m - 2 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 4m + 8 > 0\\1 + 1 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 9 > 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{9}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Có vô số giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( 2 \right) =  - 2.\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = f\left( 2 \right) =  - 2.\)

Dựa vào BBT rồi biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( 2 \right) =  - 2.\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = f\left( 2 \right) =  - 2.\)

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1.\)

Dựa vào BBT, nhận xét số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1.\)

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1.\)

Dựa vào BBT, ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Số nghiệm của phương trình chính là số điểm chung của hai đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) và đường thẳng \(y =  - 4x + 8\) là nghiệm của phương trình:

            \(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 4 =  - 4x + 8\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 4x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)

Vậy số giao điểm của hai đồ thị hàm số là 1.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)  và đường thẳng \(y = 2.\)

Dựa vào đồ thị hà số để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)  và đường thẳng \(y = 2.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 2\) có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( {x + 2019} \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x + 2019 = a\\x + 2019 = b\\x + 2019 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a - 2019\\x = b - 2019\\x = c - 2019\end{array} \right.\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Dựa vào BBT, phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm thực phân biệt khi \(m \in \left( {1;3} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\)  là số giao điểm của đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(f\left( x \right) = m\) có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right..\)

Vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình, tìm nghiệm \(f\left( x \right) = m\).

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({f^2}\left( x \right) + 3f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,(1)\\f\left( x \right) =  - 3\,\,(2)\end{array} \right.\)

Trong đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt, và các nghiệm của hai phương trình là phân biệt nhau.

Vậy phương trình đã cho có tất cả  5 nghiệm.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f({x^2} - 2) = 4\) là số giao điểm của phương trình \(y = f\left( {{x^2} - 2} \right)\) và đường thẳng  song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta có:

\(f({x^2} - 2) = 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2 =  - 2\\{x^2} - 2 = {x_0}\left( {{x_0} > 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {x_0} + 2\,\,\,\left( {{x_0} > 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt {{x_0} + 2} \,\,\,\left( {{x_0} > 3} \right)\end{array} \right.\)

Số nghiệm của phương trình \(f({x^2} - 2) = 4\)  là 3.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Cô lập \(m\).

- Dựa vào đồ thị hàm số để xác định \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2f\left( x \right) + 3m - 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{3 - 3m}}{2}\) (*)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{{3 - 3m}}{2}\). Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì \( - 1 < \dfrac{{3 - 3m}}{2} < 3 \Leftrightarrow  - 2 < 3 - 3m < 6\)\( \Leftrightarrow  - 5 <  - 3m < 3 \Leftrightarrow  - 1 < m < \dfrac{5}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của m.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Đường thẳng \(y = \ln x\) \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi\( - 4 < m < 2.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}.\)

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng \( - 5\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số giao điểm của 2 đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 4x + 1\) và đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) là:

\(\begin{array}{l}4x + 1 = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {4x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = x - 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 9x + 2 = x - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + 8x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất hay đường thẳng \(y = 4x + 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) tại 1 điểm duy nhất.

Chọn B.