Phương pháp giải:

- Liệt kê các số tự nhiên nhỏ hơn 10.

- Đếm số các số tự nhiên nhỏ hơn 10.

Lời giải chi tiết:

\(A=\left\{ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9 \right\}.\)

Vậy tập hợp A có 10 phần tử.

Chọn C

Phương pháp giải:

Dựa vào các số đã biết của dãy số, chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử đó rồi liệt kê các phần tử của tập hợp.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(6 = 4.1 + 2\)

           \(\begin{array}{l}10 = 4.2 + 2\\14 = 4.3 + 2\\18 = 4.4 + 2\end{array}\)

Như vậy ta có tập hợp \(A = \left\{ {6;\,\,10;\,\,14;\,\,18;\,\,22;\,\,26;\,\,30;\,\,34;\,\,38;\,\,42} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\,\,x = 4k + 2,\,\,1 \le k \le 10} \right\}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào các phần tử của hai tập hợp, liệt kê các tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Cho các tập hơp: \(A = \left\{ {a;\,\,b;\,\,3;\,\,6} \right\}\) và \(B = \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,7;\,\,x} \right\}.\)

Ta có hai phần tử \(3;\,\,6\) thuộc cả hai tập hợp  \(A\) và  \(B.\)

Như vậy tập hợp gồm 3 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán sẽ có một tử thuộc \(\left\{ {3;\,\,6} \right\}\) và  hai phần tử còn lại chỉ thuộc \(\left\{ {2;\,\,4;\,\,7;\,\,x} \right\}.\)

Vậy ta có 12  tập hợp thỏa mãn bài toán là:

\(\begin{array}{l}{C_1} = \left\{ {3;\,\,2;\,\,4} \right\} &  & {C_2} = \left\{ {3;\,\,2;\,\,7} \right\} &  & {C_3} = \left\{ {3;\,\,2;\,\,x} \right\}\\{C_4} = \left\{ {3;\,\,4;\,\,7} \right\} &  & {C_5} = \left\{ {3;\,\,4;\,\,x} \right\} &  & {C_6} = \left\{ {3;\,\,7;\,\,x} \right\}\\{C_7} = \left\{ {6;\,\,2;\,\,4} \right\} &  & {C_8} = \left\{ {6;\,\,2;\,\,7} \right\} &  & {C_9} = \left\{ {6;\,\,2;\,\,x} \right\} & \\{C_{10}} = \left\{ {6;\,\,4;\,\,7} \right\} &  & {C_{11}} = \left\{ {6;\,\,4;\,\,x} \right\} &  & {C_{12}} = \left\{ {6;\,\,7;\,\,x} \right\} & \end{array}\)

Phương pháp giải:

+) Nếu mọi phần tử của tập hợp \(A\) đều thuộc tập hợp \(B\) thì tập hợp \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(B.\) Kí hiệu là: \(A \subset B.\) 

Lời giải chi tiết:

Tập hợp con gồm \(0\) phần tử của \(B\) là: \(\emptyset .\)

Tập hợp con gồm \(1\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ x \right\};\,\,\left\{ y \right\};\,\,\left\{ z \right\};\,\,\left\{ 1 \right\};\,\,\left\{ 5 \right\}.\)

Tập hợp con gồm \(2\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,z} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,1} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {y;\,\,z} \right\};\,\,\left\{ {y;\,\,1} \right\};\,\,\,\left\{ {y;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {z;\,\,1} \right\};\,\,\left\{ {z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,5} \right\}.\)

Tập hợp con gồm \(3\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y;\,\,z} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,1} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,z;\,\,1} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {y;\,\,z;\,\,1} \right\};\,\,\)

\(\,\left\{ {y;\,\,z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {y;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {z;\,\,1;\,\,5} \right\}.\)

Tập hợp con gồm \(4\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y;\,\,z;\,\,1} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,z;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {x;\,\,y;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {x;\,\,z;\,\,1;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {y;\,\,z;\,\,1;\,\,5} \right\}.\)

Tập hợp con gồm \(5\) phần tử của \(B\) là: \(\left\{ {x;\,\,y;\,\,z;\,\,1;\,\,5} \right\}.\)

Như vậy tập hợp \(B\) có tất cả: \(32\) tập hợp con.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Nếu mọi phần tử của tập hợp \(A\) đều thuộc tập hợp \(B\) thì tập hợp \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(B.\) Kí hiệu là: \(A \subset B.\) 

Lời giải chi tiết:

Các tập hợp con của \(M\) phải có ít nhất một số lẻ và một số chẵn nên tập hợp con cần tìm phải có ít nhất \(2\) phần tử.

Vậy các tập hợp con cần tìm là:

\(\begin{array}{l}\left\{ {2;\,\,3} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5} \right\};\,\,\,\left\{ {2;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {3;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {5;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {8;\,\,9} \right\};\,\,\,\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,5} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5;\,\,8} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,8;\,\,9} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,5;\,\,8} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,8;\,\,9} \right\}\,;\,\left\{ {5;\,\,8;\,\,9} \right\};\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,8} \right\};\,\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,3;\,\,8;\,\,9} \right\};\,\,\left\{ {2;\,\,5;\,\,8;\,\,9} \right\};\,\,\,\left\{ {3;\,\,5;\,\,8;\,\,9} \right\};\\\left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,8;\,\,9} \right\}.\end{array}\)

Có tất cả \(21\) tập hợp con thỏa mãn.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\) rồi xác định các giá trị \(a,\,\,b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|\,\,x \le 5} \right\} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}.\)

Để \(A = \left\{ {1;\,\,a;\,\,2\,;\,\,b;\,\,4;\,\,3} \right\}\)

\( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5\) hoặc \(a = 5,\,\,b = 0.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tính số phần tử của tập hợp đã cho theo công thức tổng quát (tổng phụ thuộc vào số phần tử cần tìm).

+) Cho số phần tử của tập hợp vừa tìm được bằng giá trị đề bài cho. Từ đó tìm giá trị phần tử cần tìm.

Lời giải chi tiết:

 Số phần tử của tập hợp \(M\)  là: \(\left( {5n - 10} \right):5 + 1 = n - 2 + 1 = n - 1\) (phần tử).

Tập hợp \(M\)  có \(2016\)  phần tử nên ta có:

\(n - 1 = 2016 \Rightarrow n = 2017.\)

Vậy \(n = 2017.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử.

Lời giải chi tiết:

Xét tập hợp \(P = \left\{ {7;\,12;\,\,17;\,\,...;\,\,5n + 2;\,\,5n + 7} \right\}\).

Ta có: \(12 - 7 = 5\); \(17 - 12 = 5\);…; \(\left( {5n + 7} \right) - \left( {5n + 2} \right) = 5\)

\( \Rightarrow \) Các phần tử liên tiếp của tập hợp \(P\) cách nhau \(5\) đơn vị.

Số phần tử của tập hợp \(P\) là: \(\left( {5n + 7 - 7} \right):5 + 1 = n + 1\) (phần tử)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Từ tính chất đặc trưng của tập hợp. Viết tập hợp \(M\) bằng cách liệt kê số phần tử.

+ Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp nhau cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử.

+ Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {a + b} \right)\,\,.\,\,n + 2\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M\) là tập hợp các số tự nhiên chẵn có hai chữ số.

\( \Rightarrow M = \left\{ {10;\,\,12;\,\,14;\,\,...\,\,;\,\,96;\,\,98} \right\}\)

Số phần tử của tập hợp \(M\) là: \(\left( {98 - 10} \right):2 + 1 = 45\) (phần tử)

Tổng các phần tử của tập hợp \(M\) là: \(\left( {10 + 98} \right).45:2 = 2430\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến  \(b,\) hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left( {b - a} \right):d + 1\) phần tử.

Lời giải chi tiết:

Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {n - 50} \right):5 + 1\) (phần tử)

Theo đề bài, số phần tử của tập hợp \(A\) là \(2020\) phần tử nên ta có:

\(\left( {n - 50} \right):5 + 1 = 2020\)

\(\left( {n - 50} \right):5 = 2019\)

\(n - 50 = 2019.5\)

\(n - 50 = 10095\)

\(n = 10095 + 50\)

\(n = 10145\)

Vậy \(n = 10145\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tổng các phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến  \(b,\)  đến \(b\) có \(n\) phần tử là: \(\left( {b + a} \right).n:2\)

Lời giải chi tiết:

Vì tổng các phần tử trong tập hợp \(A\) bằng \(4840\) nên ta có:

\(21 + 22 + 23 +  \ldots  + n = 4840\)

\( \Rightarrow \left( {1 + 2 +  \ldots  + 20} \right) + 21 + 22 + 23 +  \ldots  + n = 4840 + \left( {1 + 2 +  \ldots  + 20} \right)\)

\( \Rightarrow 1 + 2 +  \ldots  + 20 + 21 + 22 + 23 +  \ldots  + n = 4840 + \left( {1 + 20} \right).20:2\)

\( \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n:2 = 4840 + 210\)

\( \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n:2 = 5050\)

\( \Rightarrow \left( {n + 1} \right).n = 10100\)

Vì \(10100 = 101.100\) nên \(n = 100\).

Vậy \(n = 100\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Viết tập hợp bằng phương pháp:

- Liệt kê các phần tử của tập hợp.

- Hoặc chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có các tập hợp: \(A = \left\{ {11;\,\,13;\,\,15;\,\,17;\,\,19;\,\,21;\,\,23} \right\}\)và \(B = \left\{ {11;\,\,12;\,\,13;\,\,14;\,\,15;\,\,16;\,\,17;\,\,18;\,\,19} \right\}\)

Tập hợp \(M\) các số lẻ có nhiều phần tử nhất sao cho tập hợp  vừa là tập hợp con của \(A\), vừa là tập hợp con của \(B\) nên các phần tử của \(M\) là các phần tử chung của \(A\) và \(B\).

Suy ra, \(M = \left\{ {11;\,\,13;\,\,15;\,\,17;\,\,19} \right\}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.

- Hai tập hợp được gọi là bằng nhau nếu các phần tử của chúng như nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có tập hợp: \(P = \left\{ {x \in \mathbb{N}|1 < x \le 9} \right\} = \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9} \right\}\)

Để \(P = \left\{ {8;\,\,7;\,\,3;\,\,4;\,\,a;\,\,b;\,\,6;\,\,5} \right\}\) suy ra \(a = 2\) và \(b = 9\) hoặc \(a = 9\) và \(b = 2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\), hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left( {b - a} \right):d + 1\) phần tử.

Lời giải chi tiết:

Ta có tập hợp: \(B = \left\{ {211;\,\,213;\,\,215;\,\, \ldots \,\,;\,\,x} \right\}\)

Số phần tử của tập hợp \(B\) là: \(\left( {x - 211} \right):2 + 1\) (phần tử)

Theo đề bài, ta có số phần tử của tập hợp \(B\) là \(381\) phần tử, nên ta có:

\(\left( {x - 211} \right):2 + 1 = 381\)

\( \Rightarrow \left( {x - 211} \right):2 = 381 - 1\)

\( \Rightarrow \left( {x - 211} \right):2 = 380\)

\( \Rightarrow x - 211 = 380.2\)

\( \Rightarrow x - 211 = 760\)

\( \Rightarrow x = 760 + 211\)

\( \Rightarrow x = 971\)

Vậy \(x = 971\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tính số chữ số Hà cần viết khi các trang sách có 1 chữ số, 2 chữ số và 3 chữ số.

+) Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử.

Lời giải chi tiết:

Từ trang \(1\)  đến trang \(9\)  Hà cần viết \(9\)  chữ số.

Từ trang \(10\)  đến trang \(99\)  có \(90\)  trang, Hà cần viết: \(90.2 = 180\) chữ số.

Từ trang \(100\) đến trang \(280\) có \(\left( {280 - 100} \right) + 1 = 181\) trang.

Khi đó Hà cần viết: \(181.3 = 543\) chữ số.

Vậy bạn Hà cần viết: \(9 + 180 + 543 = 732\) chữ số.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Tính số chữ số cần viết khi các trang sách có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số và 4 chữ số.

+) Tập hợp các số tự nhiên từ \(a\) đến \(b\) mà hai số kế tiếp cách nhau \(d\) đơn vị có \(\left| {b - a} \right|:d + 1\) phần tử.

Lời giải chi tiết:

Để đánh số trang từ trang \(1\)  đến trang \(9\)  cần viết \(9\)  chữ số.

Từ  trang \(10\)  đến trang \(99\)  có \(90\)  trang,  cần viết: \(90.2 = 180\) chữ số.

Từ  trang \(100\) đến trang \(999\) có \(\left( {999 - 100} \right) + 1 = 900\) trang.

Khi đó cần viết: \(900.3 = 2700\) chữ số.

Như vậy để đánh số trang các trang có 1 chữ số, 2 chữ số và 3 chữ số cần viết: \(9 + 180 + 2700 = 2889\) chữ số.

Theo đề bài ta có: Để đánh số hết các trang sách cần đánh \(3897\) chữ số nên số các chữ số để đánh các trang sách có 4 chữ số là: \(3897 - 2889 = 1008\) chữ số.

Suy ra số trang sách có \(4\) chữ  số là: \(1008:4 = 252\) trang.

Trang sách cuối cùng của cuốn sách đó là: \(252 - 1 + 1000 = 1251.\)

Vậy cuốn sách đó có \(1251\) trang.

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Tính số phần tử của tập hợp đã cho theo công thức tổng quát (tổng phụ thuộc vào số phần tử cần tìm).

+) Cho số phần tử của tập hợp vừa tìm được bằng giá trị đề bài cho. Từ đó tìm giá trị phần tử cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\) là tập hợp gồm các số tự nhiên chia hết cho 5 dư 1 từ 500 đến số a. 

Khi đó ta có: \(A = \left\{ {501;\,\,506;\,\,\,511;\,\,\,.........;\,\,a} \right\}\) với  \(a \in \mathbb{N}.\)

Số phần tử của tập hợp \(A\) là: \(\left( {a - 501} \right):5 + 1\) (phần tử).

Theo đề bài ta có tập hợp \(A\)  có \(106\)  phần tử nên:

\(\begin{array}{l}\left( {a - 501} \right):5 + 1 = 106\\\left( {a - 501} \right):5\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 105\\a - 501\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 525\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1026.\end{array}\)

Vậy \(a = 1026.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\) rồi xác định các giá trị \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = \left\{ {x\,\,|\,\,x = 3k + 2,\,\,k \in \mathbb{N},\,\,20 \le x \le 50} \right\} = \left\{ {20;\,\,23;\,\,26;\,\,29;\,\,32;\,\,35;\,\,38;\,\,41;\,\,44;\,\,47;\,\,50} \right\}.\) 

Để \(A = \left\{ {23;\,\,26;\,\,a;\,\,29;\,\,32;\,\,b;\,\,35;\,\,41;\,\,38;\,\,c;\,\,47} \right\}.\)

\( \Rightarrow a = 20,\,\,b = 44,\,\,\,c = 50\)  hoặc \(a = 20,\,\,b = 50,\,\,c = 44\) hoặc \(a = 50,\,\,b = 20,\,\,c = 44\) hoặc \(a = 50,\,\,b = 44,\,\,c = 20\)  hoặc \(a = 44,\,\,b = 50,\,\,c = 20\) hoặc \(a = 44,\,\,b = b = 20,\,\,c = 50.\)

Chọn A.