Phương pháp giải:

Giải từng bất phương trình và kết hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 2x + 7\\4x + 3 \le 2x + 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 6\\2x \le 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 6\\x \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 6 < x \le 9.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {6;9} \right].\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình để kiểm chứng.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;\;1} \right)\) vào hệ BPT ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 - 1 + 2 = 3 \ge 0\\ - 1 - 2.1 - 2 =  - 5 < 0\end{array} \right.\)

Vậy điểm \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2 \ge 0\\ - x - 2y - 2 < 0\end{array} \right..\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải từng BPT và kết hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 < 4 + 2x\\5x - 3 < 4x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < 2 \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 1;2} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải lần lượt các bất phương trình, sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm của từng bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \le 1 + 2x\\\frac{{x - 1}}{2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - x \ge  - 1 - 3\\x - 1 < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ { - 4;3} \right)\)

Vậy, tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là \(\left[ { - 4;3} \right)\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Giải từng bất phương trình và kết hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 \le 0\\{x^2} - 8x + 12 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) \le 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 6} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 5\\2 < x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x \le 5 \Rightarrow S = \left( {2;5} \right]\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ từng điểm vào hệ BPT để kiểm chứng

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 3.1 - 2 = 2 \ge 0\\2.1 + 1 + 1 = 4 \le 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) đáp án A sai.

+) Đáp án A: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3.2 - 2 = 3 \ge 0\,\\2.\left( { - 1} \right) + 2 + 1 = 1 \le 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\end{array} \right. \Rightarrow \) đáp án B sai.

+) Đáp án C: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 + 3.2 - 2 = 2 \ge 0\\2.\left( { - 2} \right) + 2 + 1 =  - 1 \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \) đáp án C đúng.

\( \Rightarrow \) Điểm \(\left( { - 2;2} \right)\) là nghiệm của hệ BPT đề bài

Chọn C.

Phương pháp giải:

Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\) lần lượt là 2 tập nghiệm của 2 bất phương trình của hệ. Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} = \emptyset \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\2m \le 8 + 5x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 9 \ge {x^2} + 7x + 1\\5x \ge 2m - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 13x \ge  - 8\\x \ge \dfrac{{2m - 8}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{8}{{13}} \Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;\dfrac{8}{{13}}} \right]\\x \ge \dfrac{{2m - 8}}{5} \Rightarrow {S_2} = \left[ {\dfrac{{2m - 8}}{5}; + \infty } \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để hệ bất phương trình có nghiệm thì \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \).

\( \Leftrightarrow \dfrac{8}{{13}} < \dfrac{{2m - 8}}{5} \Leftrightarrow 40 < 26m - 104 \Leftrightarrow 26m > 144 \Leftrightarrow m > \dfrac{{72}}{{13}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải từng bất phương trình và kết hợp nghiệm

Lời giải chi tiết:

+) \({x^2} + 3x - 4 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 4 \le x \le 1\)

+) \(\left| {x + 1} \right| \ge 3 - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\{x^2} + 2x + 1 \ge 9 - 6x + {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\1 \le x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1.\)

Kết hợp nghiệm ta được \(x = 1\)

Vậy tâp nghiệm của BPT là : \(S = \left\{ 1 \right\}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Vẽ miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình và tính diện tích.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác vuông tại B với 3 đỉnh là \(A\left( {2;4} \right),B\left( {2; - 2} \right),C\left( {5; - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = 6,\,\,BC = 3\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}.6.3 = 9.\end{array}\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chia trường hợp để biện luận số nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\mx > 3\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\)

Nếu \(m = 0,\) hệ vô nghiệm.

Nếu \(m > 0,\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > \frac{3}{m}\end{array} \right.,\) hệ luôn có nghiệm.

Nếu \(m < 0,\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{3}{m} < 0\end{array} \right.,\) hệ vô nghiệm.

Vậy \(m > 0\) thỏa mãn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải và biện luận tìm nghiệm của từng bất phương trình trong hệ, sau đó cho hai tập nghiệm giao nhau chính là tập nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 4 \ge 0\\{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - m} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - m} \right) \le 0\end{array} \right.\,\,\left( I \right)\)

+) Nếu \(x - m \ge x + 1 \Leftrightarrow m \le  - 1\) thì \(\left( I \right) \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\x + 1 \le 0\\x - m \ge 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\m \le x \le  - 1\end{array} \right.,\) hệ vô nghiệm.

+) Nếu \(x - m < x + 1 \Leftrightarrow m >  - 1\) thì \(\left( I \right) \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\x + 1 \ge 0\\x - m \le 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\ - 1 \le x \le m\end{array} \right..\)

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\left| A \right| < m\,\,\,\left( {m > 0} \right) \Leftrightarrow  - m < A < m.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 6 < 0\\\left| {2x - 1} \right| < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) < 0\\ - 3 < 2x - 1 < 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < x < 6\\ - 2 < 2x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < x < 6\\ - 1 < x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 2.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định, sau đó đưa về giải bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5 + \sqrt x  < 2x + \sqrt x \\2{x^2} - 5x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\left[ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3}{2} < x < 5\\x < 1\end{array} \right..\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0\) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: \(S = \left[ {0;\,1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};\,\,5} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải hệ bất phương trình bậc nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 11 < 4x - 8\\4x - 8 < 3x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x >  - 3\\x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x < 4\end{array} \right. \Rightarrow  - 1 < x < 4\\x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}.\\ \Rightarrow S = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}3(x - 6) <  - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{5x + m}}{2} > 7\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1): \(3\left( {x - 6} \right) <  - 3 \Leftrightarrow x - 6 <  - 1 \Leftrightarrow x < 5\)

Vậy tập nghiệm của (1) là \(\left( { - \infty ;5} \right)\).

Giải (2): \(\frac{{5x + m}}{2} > 7 \Leftrightarrow 5x + m > 14 \Leftrightarrow 5x > 14 - m \Leftrightarrow x > \frac{{14 - m}}{5}\)

Vậy tập  hợp nghiệm của (2) là: \(\left( {\frac{{14 - m}}{5}; + \infty } \right)\)

Hệ bất phương trình có nghiệm khi:  \(\left( { - \infty ;5} \right) \cap \left( {\frac{{14 - m}}{5}; + \infty } \right) \ne \emptyset \)

\( \Rightarrow \frac{{14 - m}}{5} < 5 \Leftrightarrow 14 - m < 25 \Leftrightarrow  - m < 11 \Leftrightarrow m >  - 11\)

Nếu \(m >  - 11\) thì tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình là: \(\left( {\frac{{14 - m}}{5};5} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}3(x + 3) > 5\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5x + 8 < 2m\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải (1): \(3\left( {x + 3} \right) > 5 \Leftrightarrow 3x + 9 > 5 \Leftrightarrow 3x >  - 4 \Leftrightarrow x >  - \frac{4}{3}\)

Tập hợp nghiệm của (1) là: \(\left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\)

Giải (2): \(5x + 8 > 2m \Leftrightarrow 5x < 2m - 8 \Leftrightarrow x < \frac{{2m - 8}}{5}\)

Tập hợp nghiệm của (2) là: \(\left( { - \infty ;\frac{{2m - 8}}{5}} \right)\)

Để hệ phương trình trên vô nghiệm thì \(\left( { - \infty ;\frac{{2m - 8}}{5}} \right) \cap \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right) = \emptyset \)

\( \Rightarrow \frac{{2m - 8}}{5} \le  - \frac{4}{3} \Leftrightarrow 6m - 24 \le  - 20 \Leftrightarrow 6m \le 4 \Leftrightarrow m \le \frac{2}{3}\)

Vậy nếu \(m \le \frac{2}{3}\) thì hệ phương trình vô nghiệm.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải bài toán bằng cách lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Gọi số kệ sách và số bàn làm việc cửa hàng cần làm trong một tháng lần lượt là \(a,b\) với \(a,b \in \mathbb{N}.\)

Dựa vào các giả thiết của đề bài để lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải hệ đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi số kệ sách và số bàn làm việc cửa hàng cần làm trong một tháng lần lượt là \(a,b\) với \(a,b \in \mathbb{N}.\)

Lợi nhuận cửa hàng thu được là: \(400a + 750b\) (nghìn đồng).

Để làm \(a\) kệ sách và \(b\) bàn làm việc, cần \(5a + 10b\) giờ chế biến gỗ và \(4a + 3b\) giờ hoàn thiện.

Vì mỗi tháng cửa hàng có không quá 600 giờ để chế biến gỗ và không quá 24 giờ để hoàn thiện nên ta có hệ bất phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5a + 10b \le 600\\4a + 3b \le 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b \le 120\\4a + 3b \le 240\end{array} \right.\\ \Rightarrow 36\left( {a + 2b} \right) + \left( {4a + 3b} \right) \le 36.120 + 240\\ \Rightarrow 40a + 75b \le 4560.\end{array}\)

Suy ra \(400a + 750b \le 45600\) nghìn đồng hay 45,6 triệu đồng.

Vậy số tiền lớn nhất có thể thu được sau 1 tháng là 45,6 triệu đồng khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 120\\4a + 3b = 240\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 24\\b = 48\end{array} \right.\) hay cửa hàng cần làm 24 kệ sách và 48 bàn làm việc.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải hệ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\4 - 3x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 1\\3x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le \frac{4}{3}.\)

Vậy \(S = \left[ {\frac{1}{2};\frac{4}{3}} \right].\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(2 \le \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2\,\,\,\,(1)\\\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(2 \le \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2\,\,\,\,(1)\\\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Tập xác định:  \(D = R\backslash \left\{ 3 \right\}.\)

Giải (1) ta có:

\(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} - 2 \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{2x + 1 - 2x + 6}}{{x - 3}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{7}{{x - 3}} \ge 0 \Leftrightarrow x > 3\)

Vậy tập nghiệm của (1) là \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Giải (2) ta có tập nghiệm là: \(\left( { - \infty ;3} \right) \cup \left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của hệ là: \(\left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, lấy giao nghiệm của 2 bất phương trình.

Tìm điều kiện để tập nghiệm đó khác rỗng.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - {a^2} - 3} \right)x + a - 3 < 0\\\left( {{a^2} + 1} \right)x - a + 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( { - {a^2} - 3} \right)x < 3 - a\\\left( {{a^2} + 1} \right)x < a - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{{a - 3}}{{{a^2} + 3}}\\x < \frac{{a - 2}}{{{a^2} + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{a - 3}}{{{a^2} + 3}} < x < \frac{{a - 2}}{{{a^2} + 1}}\)

Để hệ bất phương trình có nghiệm thì:

 \(\begin{array}{l}\frac{{a - 3}}{{{a^2} + 3}} < \frac{{a - 2}}{{{a^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {a - 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 3} \right)}}{{\left( {{a^2} + 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 3} \right) < 0\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\,\left( {{a^2} + 3} \right)\left( {{a^2} + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} - 3{a^2} + a - 3 - {a^3} + 2{a^2} - 3a + 6 < 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow  - {a^2} - 2a + 3 < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 1\\a <  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.