Phương pháp giải:

- Liệt kê bội của từng số, sau đó tìm tập hợp bội chung.

- Từ tập hợp bội chung tìm ra bội chung nhỏ nhất $BCNN \ne 0$

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\begin{align}& B(38)=\{0,38,76,114,...\} \\& B(76)=\{0,76,156,...\} \\& \Rightarrow BC(38,76)=\{0,76\} \\& \Rightarrow BCNN(38,76)=76 \\\end{align}$

Chọn C

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức:

Mọi số tự nhiên đều có ước là $1$.

Số nguyên tố có $2$ ước là $1$  và chính nó.

Mọi số nguyên tố khác nhau đều có ước chung duy nhất là $1$.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

A. Đáp án này đúng vì mọi số tự nhiên đều có ước chung là $1$

B. Đáp án này sai, vì $0$  không là ước của $1$  số nào cả.

C. Đáp án này sai, vì số nguyên tố có $2$  ước là $1$  và chính nó.

D. Đáp án này sai, vì $2$  số nguyên tố có ước chung là $1$.

Chọn A

Phương pháp giải:

Câu a:

Cách 1:

- Áp dụng liệt kê ra ước của mỗi số, sau đó tìm tập hợp ước chung.

Từ tập hợp ước chung tìm ra ước chung lớn nhất.

Cách 2:

- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

- Tìm thừa số nguyên tố chung.

- Lập tích của các số tìm được với số mũ nhỏ nhất.

Tích đó chính là thừa số nguyên tố.

Cách 3:

- Áp dụng kiến thức: Nếu số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$, thì $a$ là bội của $b$,  hay $b$ là ước của $a$. Vì thế nên $UCLN(a,b)=b$

Câu b:

Cách 1:

- Áp dụng phương pháp: liệt kê tập hợp bội của từng số, sau đó tìm tập hợp bội chung, từ tập hợp bội chung ta tìm số nhỏ nhất.

Cách 2:

- Áp dụng phương pháp:

+ Phân tích từng số ra thừa số nguyên tố.

+ Tìm thừa số nguyên tố chung và riềng.

+ Lập tích các số tìm được với số mũ lớn nhất.

Tích của các số đó chính là BCNN

Cách 3 (xét nhanh):

- Áp dụng nếu số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$, thì bội chung nhỏ nhất chính là $a$.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) $15;\, 25$ và $225$

Ta có:

$\begin{array}{l} 15 = 3.5;\;\;\;\;25 = 5.5;\;\;\;\;225 = {3^2}{.5^2}\\ \Rightarrow U(15) = {\rm{\{ 1;}}\;{\rm{3;}}\;{\rm{5;}}\;{\rm{15\} }}\\ U(25) = {\rm{\{ 1;}}\;{\rm{5;}}\;{\rm{25\} }}\\ U(225) = {\rm{\{ 1;}}\;{\rm{3;}}\;{\rm{5;}}\;{\rm{9;}}\;{\rm{15;}}\;{\rm{25;}}\;{\rm{45;}}\;{\rm{75;}}\;{\rm{225\} }}\\ \Rightarrow UC(15;\;25;\;225) = {\rm{\{ 1;}}\;{\rm{5\} }} \Rightarrow UCLN(15;\;25;\;225) = 5 \end{array}$

b) $3; \, 4$ và $8$

Ta có:

$\begin{align}& 3=3 \\& 4={{2}^{2}} \\& 8={{2}^{3}} \\\end{align}$

$\Rightarrow BCNN(3; 4; 8)={{2}^{3}}.3=8.3=24$

Chọn A

Phương pháp giải:

 BCNN(a; b) bằng tích của tất cả các thừa số nguyên tố có trong phân tích của a và b với số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Nếu  $a={{2}^{3}}{{.3.5}^{2}}$ và $b={{2}^{2}}{{.3}^{2}}.5$ thì  $BCNN\left( a;\ b \right)=\,\,{{2}^{3}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}$.

Chọn D

Phương pháp giải:

Từ phân tích các số ra thừa số nguyên tố ta chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng, sau đó lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó, tích đó là BCNN phải tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $x = 2.3.7\,\,;\,\,\,y = {2.3.5^2}\,\,;\,\,\,z = {2^2}.3.5$

$BCNN\,\,(x\,;\,\,y\,;\,\,z) = {2^2}{.3.5^2}.7$

Chọn C

Phương pháp giải:

Từ phân tích các số ra thừa số nguyên tố ta chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng, sau đó lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó, tích đó là BCNN phải tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $24 = {2^3}.3\,\,\,  ; 36 = {2^2}{.3^2}\,\,\,;48 = {2^4}.3$

$\Rightarrow BCNN\left( {24\,;\,\,36\,;\,\,48} \right) = {2^4}{.3^2} = 144$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhều số, ta làm như sau :

Bước 1 : Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 2 : Chọn ra các thừa số chung và riêng

Bước 3 : Bội chung nhỏ nhất của các số đó là tích của các thừa số chung và riêng lấy với số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $24 = {2^3}.3$

$30 = 2.3.5$

Suy ra $BCNN\left( {24;30} \right) = {2^3}.3.5 = 120$

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức:

Muốn tìm $BCNN$ của $2$ hay nhiều số ta thực hiện các bước sau:

+ Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

+ Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng

+ Tích của các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.

Tích đó là $BCNN$

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Theo như đề bài ra, bài toán đã phân tích cho ta các số ra thừa số nguyên tố.

Ta sẽ chọn thừa số nguyên tố chung là: $2$; thừa số nguyên tố riêng là: $3,5,7$

Số mũ cao nhất của $2,5,7$  là $1$ , số mũ cao nhất của $3$  là $2$

Vậy $BCNN\left( 6;70;90 \right)={{2.3}^{2}}.5.7$

Chọn B

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về chia hết, vì số tự nhiên $15$ chia hết cho$a$, nên $a$ là ước của $15$;$18$ chia hết cho $a$ nên $a$ cũng là ước của $18$.Mà $a$ là số lớn nhất.Từ đó tìm được giá trị của $a$

- Áp dụng kiến thức tìm $BCNN$ của $3$ số với số $a$ vừa tìm được đó là: $a,5,8$

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

$\begin{align} & 15\vdots a\Rightarrow a\in U(15)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,3,5,15 }\!\!\}\!\!\text{ } \\ & 18\vdots a\Rightarrow a\in U(18)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,6,9,18 }\!\!\}\!\!\text{ } \\ & \Rightarrow \text{a}\in UC(15,18)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,3 }\!\!\}\!\!\text{ } \\ \end{align}$

Mà $a$ là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn $15\vdots a$và $18\vdots a$, nên $a=UCLN(15,18)=3$.

Vậy $a=3$

Với $a=3$ ta tính $BCNN(a,5,8)=BCNN(3,5,8)$$3={{3}^{1}};\,5={{5}^{1}};8={{2}^{3}}\Rightarrow BCNN(3,5,8)={{3.5.2}^{3}}=15.8=120$

Chọn B

Phương pháp giải:

-Áp dụng kiến thức tìm bội chung của 10; của 12; rồi tìm bội chung của 10 và 12. Sau đó đối chiếu đáp án tìm ra kết quả

- Cách 2: vì kết quả là bội chung của 10 và 12, nên kết quả sẽ chia hết cho 10 và cho 12, ta nên thử kết quả sẽ tìm ra đáp án nhanh hơn

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

$\eqalign{& B(10) = {\rm{\{ 0,}}\,\,{\rm{10,}}\,\,{\rm{20,}}\,\,{\rm{30,}}\,\,{\rm{40,}}\,\,{\rm{50,}}\,\,{\rm{60,}}...{\rm{\} }}  \cr & B(12) = {\rm{\{ 0,}}\,\,{\rm{12,}}\,\,{\rm{24,}}\,\,{\rm{36,}}\,\,{\rm{48,}}\,\,{\rm{60,}}..{\rm{\} }}  \cr &  \Rightarrow BCNN(10,12) = {\rm{60}} \cr}$

Cách 2:

- Ta thấy 2 đáp án A và B có tận cùng 5 vs 2, nên 2 đáp án đó sẽ không chia hết cho 10. Nên loại 2 đáp án này(giải nhanh)

- Ta xét 2 đáp án C và D theo cách 2, thì chỉ có 60 là chia hết 10 và chia hết 12. Vậy đây là đáp án đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tìm BCNN của 2 số bằng phương pháp phân tích các số thành thừa số nguyên tố, chọn thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất. Tích của các số đó là bội chung nhỏ nhất của $2$ số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}4 = {2^2};18 = {2.3^2}\\ \Rightarrow BCNN\left( {4;18} \right) = {2^2}{.3^2} = 4.9 = 36\end{array}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng công thức $BCNN\left( {a;b} \right) = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = am\\k = bn\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {m;n} \right) = 1,\,\,\left( {m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

+) Xác định giá trị của $m$ hoặc $n$.

+) Từ biểu thức $a.m = b.n$ suy ra $m$ là ước của $b$, $n$là ước của $a$.

+) Từ đó suy ra các giá trị cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: $BCNN\left( {b;14} \right) = 770 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}770 = b.m\\770 = 14.n\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {m,n} \right) = 1,\,\,\,\left( {m,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Từ $770 = 14.n \Rightarrow n = 55$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}770 = b.m\\770 = 14.55\end{array} \right. \Rightarrow b.m = 14.55 \Rightarrow 14.55 \vdots m$

Mà $\left( {m,55} \right) = 1$ suy ra $14 \vdots m \Rightarrow m \in U\left( {14} \right) = \left\{ {1;2;7;14} \right\}$

Suy ra, $b \in \left\{ {770;385;110;55} \right\}$.

Vậy $b \in \left\{ {55;110;385;770} \right\}$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

a) - Phân tích các số $150$ và $180$ ra thừa số nguyên tố.

  - Tìm ƯCLN : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung rồi lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

- Tìm BCNN: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng rồi lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó.

b) Áp dụng các dấu hiệu chia hết:

- Các số có chữ số tận cùng là $0$ thì chia hết cho cả $2$ và $5$.

- Các số có tổng các chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9$.

- Lưu ý : các số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $3$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $150 = {2.3.5^2}\,\,;  180 = {2^2}{.3^2}.5$

$\begin{array}{l} \Rightarrow UCLN\left( {150\,;\,\,180} \right) = 2.3.5 = 30\\\,\,\,\,\,\,BCNN\left( {150\,;\,\,180} \right) = {2^2}{.3^2}{.5^2} = 900\end{array}$

b) Số có chữ số tận cùng là $0$ thì chia hết cho cả $2$ và $5$. Do đó, trong các số đã cho, số chia hết cho cả $2$ và $5$ là $6750$.

Số $6750$ có tổng các chữ số là $6 + 7 + 5 + 0 = 18$.

Mà $18$ chia hết cho cả $3$ và $9$ nên số  $6750$ chia hết cho cả $3$ và $9$.

Vậy số $6750$ chia hết cho cả $2\,;\,\,3\,;\,\,5$ và $9$.

Phương pháp giải:

Gọi x là số học sinh của trường. Từ đề bài ta có  $x\vdots 8\,\,;\,\,\,x\vdots 9 \,;\,\,x\vdots \,10$ suy ra $x\in BC\,(8;\,\,9;\,\,10)$

Tìm BCNN (8; 9; 10) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó tìm BC (8; 9; 10).

Áp dụng điều kiện $700<\ x\ <750$ để tìm x.

Lời giải chi tiết:

Gọi x là số học sinh của trường đó . Theo giả thiết ta có $700<\ x\ <750.$

Vì số học sinh của khi xếp mỗi hàng 8 em, mỗi hàng  9 em, mỗi hàng 10 em đều vừa đủ hàng nên $x\vdots 8\,\,;\,\,\,x\vdots 9  \,;\,\,x\vdots \,10$. Suy ra x là bội chung của 8; 9; 10, hay $x\in BC\,(8;\,\,9;\,\,10)$.

Ta có: $8={{2}^{3}}\,\,;\,\,\,\,\,9={{3}^{2}}\,\,;\,\,\,\,\,10=2.5$.

$BCNN\left( 8;\ 9;\ 10 \right)={{2}^{3}}{{.3}^{2}}.5=360$

Suy ra $BC\left( 8;\ 9;\ 10 \right)\in \left\{ 0;\ 360;\ 720;\ 1080;\ ..... \right\}\ \ \ hay\ \ x\in \left\{ 0;\ 360;\ 720;\ 1080;.... \right\}$

 Vì $700<\ x\ <750$  nên $x=720.$

Vậy trường đó có tất cả 720 học sinh.

Chọn D

Phương pháp giải:

Gọi x là số học sinh của trường. Từ đề bài ta có  $(x - 3)\,\, \vdots \,\,40\,\,;\,\,\,(x - 3)\,\, \vdots \,\,45$ suy ra $x - 3 \in BC\,(40;\,\,45)$

Tìm BCNN (40; 45) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó tìm BC (40; 45).

Áp dụng điều kiện 700 < x < 800 để tìm x.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (học sinh) là số học sinh của trường $\left( {700 < x < 800,\;\;x \in N} \right).$

Vì khi xếp hàng 40 học sinh hay 45 học sinh đều thừa 3 người nên suy ra $(x - 3)\,\, \vdots \,\,40\,\,;\,\,\,(x - 3)\,\, \vdots \,\,45$, hay  $x - 3 \in BC\,(40;\,\,45)$

Ta có: $40\, = {2^3}.5\,\,\,;\,\,\,\,\,45 = {3^2}.5$.

$\begin{array}{l}BCNN(40;45) = {2^3}{.3^2}.5 = 360\\BC\left( {40;\;45} \right) = B\left( {360} \right) = \left\{ {0;\;360;\;720;\;1080;....} \right\}\end{array}$.

Do đó: $x - 3 \in \left\{ {0\,;\,\,360\,;\,\,720\,;\,\,1080;\,\,...} \right\}$

Suy ra $x \in \left\{ {3\,;\,\,363\,;\,\,723\,;\,\,1083;\,\,...} \right\}$

Lại có $700 < x < 800$  nên  $x = 723.$

Vậy trường đó có 723 học sinh.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Số học sinh lớp 6 của một trường khi xếp hàng 8, hàng 10, hàng 15 thì vừa đủ và không thừa một học sinh nào. Tìm số học sinh lớp 6 của trường đó biết số học sinh trong khoảng 100 đến 150 em.

Lời giải chi tiết:

Số học sinh lớp 6 của một trường khi xếp hàng 8, hàng 10, hàng 15 thì vừa đủ và không thừa một học sinh nào. Tìm số học sinh lớp 6 của trường đó biết số học sinh trong khoảng 100 đến 150 em.

Gọi số học sinh lớp 6 của trường đó là x (học sinh) $\left( {100 < x < 150,\;x \in N} \right).$

Số học sinh lớp 6 của một trường khi xếp hàng 8, hàng 10, hàng 15 thì vừa đủ

$\Rightarrow x \in BC\left( {8;10;15} \right).$

Mà $BCNN\left( {8;\;10;\;15} \right) = {2^3}.3.5 = 120.$

$\Rightarrow x \in BC\left( {8;10;15} \right) = \left\{ {120;240;...} \right\}$

Mà số học sinh trong khoảng 100 đến 150 em $\Rightarrow x = 120$ (em)

Vậy số học sinh lớp 6 của trường đó là 120 em.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Gọi số học sinh của trường là $x$ (học sinh) $\left( {x \in N,\;\;700\; < x\; < 800} \right).$

Số học sinh có thể xếp 40 người hoặc 45  người lên 1 xe nên $x$ là $BC\left( {40;\;45} \right).$

Dựa vào dữ liệu bài toán để tìm số xe có thể xếp 40 người 1 xe.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh của trường là $x$ (học sinh) $\left( {x \in N,\;\;700\; < x\; < 800} \right).$

Số học sinh có thể xếp 40 người hoặc 45  người lên 1 xe nên $x$ là $BC\left( {40;\;45} \right).$

Ta có: $40 = {2^3}.5,\;\;45 = {3^2}.5.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN\left( {40;\;45} \right) = {2^3}{.3^2}.5 = 360.\\ \Rightarrow BC\left( {40;\;45} \right) = \left\{ {360;\;720;\;1080;.....} \right\}\end{array}$

Mà $700\; < x < \;800 \Rightarrow x = 720$ (học sinh).

Vậy để xếp 40 người 1 xe thì cần số xe là: $720:40 = 18$ (xe).

Chọn C

Phương pháp giải:

Gọi x là số học sinh của trường đó . Từ đề bài ta có  $x\,\, \vdots \,\,12\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,18\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,21$ suy ra $x \in BC\,(12;\,\,18;\,\,21)$

Tìm $BCNN{\rm{ }}\left( {12;{\rm{ }}18;{\rm{ }}21} \right)$ bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó tìm $BC{\rm{ }}\left( {12;{\rm{ }}18;{\rm{ }}21} \right)$

Kết hợp với điều kiện $500 < x < 600$ để tìm x.

Lời giải chi tiết:

Gọi x là số học sinh của trường đó ($500 < x < 600$)

Vì khi xếp thành $12$ hàng, $18$ hàng, $21$ hàng đều vừa đủ nên $x\,\, \vdots \,\,12\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,18\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,21$, suy ra $x \in BC\,(12;\,\,18;\,\,21)$

Ta có: $12\, = {2^2}.3\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,18 = {2.3^2}\,;\,\,\,\,\,\,\,21 = 3.7\,\,$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN(12\,;\,\,18\,;\,\,21) = {2^2}{.3^2}.7 = 252\\ \Rightarrow BC{\rm{ }}(12;{\rm{ }}18;{\rm{ 2}}1) = B\left( {252} \right) = \left\{ {0;{\rm{ 252}};{\rm{ 5}}04;{\rm{ 756}};{\rm{ }} \ldots } \right\}\end{array}$.

Vì $x \in BC\,(12;\,\,18;\,\,21)$ và $500 < x < 600$ nên suy ra $x = 504$ .

Vậy trường đó có $504$ học sinh.

Chọn C