Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 5

Đề bài

Câu 1 :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}$ là:

A

$\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
B

$\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}$
C

$\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}$
D

$\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}$

Câu 2 :

Cho hai điểm $A\left( { - 3;1;2} \right),B\left( {1;1;0} \right)$, tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là:

A

$M\left( { - 1;1;1} \right)$
B

$M\left( { - 2;2;2} \right)$
C

$M\left( { - 2;0;1} \right)$
D

$M\left( { - 1;2;1} \right)$

Câu 3 :

Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$ Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng $x=a,\,\,x=b\,\,\,\left( a < b \right).$ Diện tích $S$ của hình phẳng $D$ được tính bởi công thức:

A
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.$
B
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.$
C
$S=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x} \right|.$
D
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\,\text{d}x}.$

Câu 4 :

Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là

A

$\left( {0;1} \right)$
B

$(0; - 1)$
C

$\left( {1;1} \right)$
D

$\left( {1;0} \right)$

Câu 5 :

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình là

A

$z = 0$
B

$x + y + z = 0$
C

$y = 0$
D

$x = 0$

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)$; $\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai

A
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)$
B
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
C
$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 $
D
$\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương

Câu 7 :

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?

A

$M\left( {0,0,3} \right)$
B

$N\left( {0,1,0} \right)$
C

$P\left( { - 2,0,0} \right)$
D

$Q\left( {1,0,1} \right)$

Câu 8 :

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, tính thể tích khối tứ diện $OBCD$ biết $B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),D\left( {0;0; - 3} \right)$.

A

$1$
B

$6$
C

$3$
D

$2$

Câu 9 :

Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 3 + 2i$ và $B$ là điểm biểu diễn của số phức $z' = 2 + 3i$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
B

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung.
C

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$.
D

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Câu 10 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Câu 11 :

Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng một parabol. Giá $1{m^2}$ cửa sắt là $660\,000$ đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là:

A

$6500.$
B
$\frac{{55}}{6}{.10^3}$.
C

$5600.$
D

$6050.$

Câu 12 :

Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?

A

$4$
B

$0$
C

$5$
D

$2$

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và hai điểm $M\left( 4;-\,4;2 \right),\,\,N\left( 6;0;6 \right).$ Gọi $E$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right)$ tại $E.$

A
$x-2y+2z+8=0.$
B
$2x+y-2z-9=0.$
C
$2x+2y+z+1=0.$
D
$2x-2y+z+9=0.$

Câu 14 :

Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

A

$\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = x\cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\{\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
C

$\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\{\rm{d}}v = {x^2}\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
D

$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right..$

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

A

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
B

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$
C

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
D

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$

Câu 16 :

Hàm số $F\left( x \right) = {x^5} + 5{x^3} - x + 2$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? (C là hằng số).

A

$f\left( x \right) = \dfrac{{{x^6}}}{6} + 5.\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + C$
B

$f\left( x \right) = {x^4} + 5{x^2} - 1$
C

$f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} + 1$
D

$f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} - 1$

Câu 17 :

Công thức tính độ dài véc tơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ là:

A

$\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {a + b + c} $
B

$\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
C

$\left| {\overrightarrow u } \right| = {a^2} + {b^2} + {c^2}$
D

$\left| {\overrightarrow u } \right| = {\left( {\sqrt {a + b + c} } \right)^2}$

Câu 18 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$

A

$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
B

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C} $
C

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
D

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C} $

Câu 19 :

Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ và $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x = a,x = b$. Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ?

A

$V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx$.
B

$V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)} dx$.
C

$V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx$.
D

$V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)}^2}} dx$.

Câu 20 :

Cho hai số phức $z = 3 - 4i$ và $z' = \left( {2 + m} \right) + mi\,\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|$. Tổng tất cả các giá trị của m bằng

A
$ - 1.$
B
$\dfrac{{\sqrt {46} }}{2}.$
C
$0.$
D

$ - 2.$

Câu 21 :

Đổi biến $x = 4\sin t$ của tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} $ ta được:

A

$I = - 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} $
B

$I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} $
C

$I = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}tdt} $
D

$I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} $

Câu 22 :

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:

A

$6\pi $
B

$12\pi $
C

$3\pi $
D
$10\pi $

Câu 23 :

Véc tơ đơn vị trên trục $Ox$ là:

A

$\overrightarrow i $
B

$\overrightarrow j $
C

$\overrightarrow k $
D

$\overrightarrow 0 $

Câu 24 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto $\overrightarrow a = \left( {m;2;3} \right)$ và $\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)$ cùng phương thì $2m + 3n$ bằng.

A
$6$
B
$9$
C
$8$
D
$7$

Câu 25 :

Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$ xung quanh trục $Ox?$

A

$V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
B

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
C

$V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
D

$V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $

Câu 26 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $\mathbb{R}.$ Gọi ${D_1}$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),$ các đường $x = 0,\,\,x = 1$ và trục $Ox.$ Gọi ${D_2}$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{3}f\left( x \right),$ các đường $x = 0,\,\,\,x = 1$ và trục $Ox.$ Quay các hình phẳng ${D_1},\,\,{D_2}$ quanh trục $Ox$ ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là ${V_1},\,\,{V_2}.$

Khẳng định nào sau đâu là đúng?

A
${V_1} = 9{V_2}$
B
${V_2} = 9{V_1}$
C
${V_1} = 3{V_2}$
D
${V_2} = 3{V_1}$

Câu 27 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây?

A

$\left( {1; - 1;1} \right)$ và $\left( {0;1;2} \right)$
B

$\left( {1;2;0} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
C

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
D

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {1;0;3} \right)$

Câu 28 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - 2y + z - n = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + \left( {2m - 1} \right)t\end{array} \right.$. Với giá trị nào của $m,{\rm{ }}n$ thì $d$ song song $\left( P \right)$?

A

$\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..$
B

$\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..$
C

$\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..$
D

$\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..$

Câu 29 :

Cho các phát biểu sau: (Với $C$ là hằng số):

(I) $\int\limits_{}^{} {0dx} = x + C$

(II) $\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$

(III) $\int\limits_{}^{} {\sin xdx} = - \cos x + C$

(IV) $\int\limits_{}^{} {\cot xdx} = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C$

(V) $\int\limits_{}^{} {{e^x}dx} = {e^x} + C$

(VI) $\int\limits_{}^{} {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {\forall n \ne - 1} \right)$

Số phát biểu đúng là:

A

$4$
B

$6$
C

$5$
D

$3$

Câu 30 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

A

$\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0$
B

$\left( P \right): - 2x + 11y - 10{\rm{z}} - 105 = 0$
C

$\left( P \right):2x - 11y + 10z - 35 = 0$
D

$\left( P \right) : - 2x + 2y - z + 11 = 0$

Câu 31 :

Cho $I = \int {\dfrac{{d{\rm{x}}}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4} \right)^n} + C$ ở đó $n \in {\mathbb{N}^*}$. Giá trị biểu thức $S = \sin \dfrac{{n\pi }}{8}$ là:

A

$\dfrac{1}{2}$
B

$0$
C

$1$
D

$-1$

Câu 32 :

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}$.

A
$I=\frac{4581}{5000}$.
B
$I=\log \frac{5}{2}$.
C
$I=\ln \frac{5}{2}$.
D
$I=-\frac{21}{100}$.

Câu 33 :

Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} $

A

$I = - \dfrac{1}{4}{\pi ^4}$
B

$I = - {\pi ^4}$
C

$I = 0 $
D

$I = - \dfrac{1}{4}$

Câu 34 :

Biết $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx} = a + b\pi $, với $a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $S = a + 2b$.

A

$S = 0$
B

$S = 1$
C

$S = \dfrac{1}{2}$
D

$S = \dfrac{3}{8}$

Câu 35 :

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4x+4$, trục tung, trục hoành. Giá trị của k để đường thẳng d đi qua $A(0;4)$ có hệ số góc k chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau là

A
$k=-6$.
B
$k=-2$.
C
$k=-8$.
D
$k=-4$.

Câu 36 :

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y={{\text{e}}^{x}}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

A

$V=\frac{{{\text{e}}^{2}}-1}{2}$.
B

$V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}+1)}{2}$.
C

$V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}-1)}{2}$
D
$V=\frac{\pi {{\text{e}}^{2}}}{2}$.

Câu 37 :

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.

A

$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
B

$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
C

$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 $

Câu 38 :

Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Câu 39 :

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10$.

A

Đường tròn ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100.$
B

Elip $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
C

Đường tròn ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10.$
D

Elip $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1$

Câu 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2; - 1)$ , $B(2;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :$M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị bé nhất.

A

$M(0;1;0)$
B

$M(1;0;0)$
C

$M(0;1;2)$
D

$M( - 1;0;0)$

Câu 41 :

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( { - 3;0;0} \right);\,\,B\left( {0; - 2;0} \right);$ $C\left( {0;0;1} \right)$ được viết dưới dạng $ax + by - 6z + c = 0$. Giá trị của $T = a + b - c$ là :

A

$ - 11$
B

$ - 7$
C

$ - 1$
D

$11$

Câu 42 :

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm $M\left( {2;1;1} \right)$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}$. Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$.

A
$\left( {1;0;0} \right)$.
B
$\left( {0; - 5;3} \right)$.
C
$\left( {0;3; - 5} \right)$.
D
$\left( {0; - 3;1} \right)$.

Câu 43 :

Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm $A\left( {1;0;0} \right),$ $B\left( {0; - 2;0} \right),$ $C\left( {0;0;4} \right)$ và gốc tọa độ O có bán kính bằng

A
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{8}$
B
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{4}$
C
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{2}$
D
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{6}$

Câu 44 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Câu 45 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm $A\left( {2;0;0} \right);\,\,B\left( {0;4;0} \right);\,\,C\left( {0;0;6} \right)$. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và điểm N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON = 12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?

A

$\dfrac{7}{2}$
B

$3\sqrt 2 $
C

$2\sqrt 3 $
D

$\dfrac{5}{2}$

Câu 46 :

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 6,$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x + y + 2z\, + \,5 = 0,\,\,(Q):2x - y + z\, - \,5 = 0$ lần lượt tại các tiếp điểm $A,\,\,B.$ Độ dài đoạn thẳng $AB$ là

A

$2\sqrt 3 .$
B

$\sqrt 3 .$
C

$2\sqrt 6 .$
D

$3\sqrt 2 .$

Câu 47 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :

A

$2$.
B

$7$.
C

$4$.
D

$5$.

Câu 48 :

Đặt $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 4 - {x^2}$, trục hoành và đường thẳng $x = - 2$, $x = m$, $\left( { - 2 < m < 2} \right)$. Tìm số giá trị của tham số $m$ để $S = \dfrac{{25}}{3}$.

A

$2$.
B

$3$.
C

$4$.
D

$1$.

Câu 49 :

Xét các số phức $z,\,\,w$ thỏa mãn $\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z^2} - wz - 4} \right|$ bằng:

A

$4$
B

$2\left( {\sqrt {29} - 3} \right)$
C

$8$
D

$2\left( {\sqrt {29} - 5} \right)$

Câu 50 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right):\,\,3x-y+4z+2=0$ và $\left( {{Q}_{2}} \right):\,\,3x-y+4z+8=0$. Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$ là:

A

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0$
B

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$
C

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0$
D

$\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}$ là:

A

$\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
B

$\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}$
C

$\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}$
D

$\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm hai điểm đi qua của hai đường thẳng.

- Tìm các VTCP của hai đường thẳng.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}$

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( {0;1;0} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 1;0; - 1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 7;7;7} \right)$

Vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 7} \right).\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Câu 2 :

Cho hai điểm $A\left( { - 3;1;2} \right),B\left( {1;1;0} \right)$, tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là:

A

$M\left( { - 1;1;1} \right)$
B

$M\left( { - 2;2;2} \right)$
C

$M\left( { - 2;0;1} \right)$
D

$M\left( { - 1;2;1} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức trung điểm đoạn thẳng $M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Điểm $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{z_M} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 0}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1;1} \right)$

Câu 3 :

A
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.$
B
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.$
C
$S=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x} \right|.$
D
$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\,\text{d}x}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết :

Diện tích $S$ của hình phẳng $D$ được tính theo công thức là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\,\text{d}x}.$

Câu 4 :

A

$\left( {0;1} \right)$
B

$(0; - 1)$
C

$\left( {1;1} \right)$
D

$\left( {1;0} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm ${z_1},{z_2}$.

- Số phức $z = a + bi$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là $M\left( {a;b} \right)$.

- Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là $\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Phương trình: ${z^2}-2z + 5 = 0$

Có: $\Delta ' = 1 - 5 = - 4 = 4{i^2}$

$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {4{i^2}} = 2i$

$ \Rightarrow $ Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$

Khi đó: $A\left( {1;2} \right),B(1; - 2)$

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là: $\left( {1;0} \right)$

Câu 5 :

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình là

A

$z = 0$
B

$x + y + z = 0$
C

$y = 0$
D

$x = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình là $z = 0$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình là $z = 0$

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)$; $\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai

A
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)$
B
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $
C
$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 $
D
$\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét tính đúng, sai cho từng đáp án, dựa vào các công thức cộng véc tơ, độ dài véc tơ, các tính chất hai véc tơ cùng phương, hai véc tơ vuông góc.

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)$ nên A đúng.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0$ nên $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ hay B đúng.

$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 $ nên C đúng.

Vì $\dfrac{2}{1} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 4}}{1}$ nên $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ không cùng phương hay D sai.

Câu 7 :

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?

A

$M\left( {0,0,3} \right)$
B

$N\left( {0,1,0} \right)$
C

$P\left( { - 2,0,0} \right)$
D

$Q\left( {1,0,1} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Phương trình trục $Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Do đó chỉ có điểm $N\left( {0,1,0} \right)$ thuộc trục $Oy$

Câu 8 :

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, tính thể tích khối tứ diện $OBCD$ biết $B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),D\left( {0;0; - 3} \right)$.

A

$1$
B

$6$
C

$3$
D

$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện $ABCD$ là ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {OB} = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {OD} = \left( {0;0; - 3} \right)$

Do đó $\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right)$

Suy ra ${V_{OBCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right].\overrightarrow {OD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {0.0 + 0.0 + 2.\left( { - 3} \right)} \right| = 1$

Câu 9 :

Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 3 + 2i$ và $B$ là điểm biểu diễn của số phức $z' = 2 + 3i$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
B

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung.
C

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$.
D

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ mỗi điểm $A,B$ và nhận xét vị trí của $A,B$.

Lời giải chi tiết :

Số phức $z = 3 + 2i$ có điểm biểu diễn là $A$ suy ra $A\left( {3;2} \right)$.

Số phức $z' = 2 + 3i$ có điểm biểu diễn là $B$ suy ra $B\left( {2;3} \right)$.

Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {y_B}\\{y_A} = {x_B}\end{array} \right.$ nên hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Câu 10 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt u = lnx $ \Rightarrow du = \dfrac{{dx}}{x}$ và $x = {e^u}$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - u}}{{{e^u}}}du} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $

Câu 11 :

A

$6500.$
B
$\frac{{55}}{6}{.10^3}$.
C

$5600.$
D

$6050.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ và sử dụng tích phân để tính diện tích cửa sắt, tính giá tiền của cửa sắt.

Lời giải chi tiết :

+) Viết phương trình parabol:

Gọi phương trình parabol là :

$(P):\,\,y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0$

Vì ($P$) đi qua $A( - 2,5;\,1,5),\,\,B(0;2),\,\,C(2,5;\,\,1,5)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{4}a - \frac{5}{2}b + c = 1,5\\\frac{{25}}{4}a + \frac{5}{2}b + c = 1,5\\c = 2\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right.$

$ \Rightarrow (P):\,\,y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2$

+) Diện tích cần tìm là: $S = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left| { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right|dx} = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{2}{{75}}{x^3} + 2x} \right)} \right|_{ - 2,5}^{2,5} = \frac{{55}}{6}\,\,({m^2})$

+) Giá của cửa sắt là: $\frac{{55}}{6}.660\,000 = 6050000$(đồng)$ = 6050$(nghìn đồng).

Câu 12 :

Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?

A

$4$
B

$0$
C

$5$
D

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính tích phân theo $m$ rồi thay vào điều kiện bài cho tìm $m$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{\rm{\;}}I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - {m^2}x} \right)} \right|_0^1 = 1 - {m^2}\\{\rm{ \;}}I + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array}$

$m$ là số nguyên dương $ \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Câu 13 :

A
$x-2y+2z+8=0.$
B
$2x+y-2z-9=0.$
C
$2x+2y+z+1=0.$
D
$2x-2y+z+9=0.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựng hình, áp dụng công thức trung tuyến để biện luận giá trị lớn nhất.

Chú ý sử dụng bất đẳng thức Bunhia để đánh giá EM+EN:

BĐT: ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ có tâm $I\left( 1;2;2 \right),$ bán kính $R=3.$

Ta có $MI=NI=3\sqrt{5}>3=R$$\Rightarrow \,\,M,\,\,N$ nằm bên ngoài khối cầu $\left( S \right).$

Gọi $H$ là trung điểm của $MN$$\Rightarrow \,\,H\left( 5;-\,2;4 \right)$ và $E{{H}^{2}}=\frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}.$

Lại có ${{\left( EM+EN \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)=2\left( E{{H}^{2}}+\frac{M{{N}^{2}}}{4} \right)$.

Để ${{\left\{ EM+EN \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow E{{H}_{\max }}$

Khi và chỉ khi $E$ là giao điểm của $IH$ và mặt cầu $\left( S \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $E\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=a.\overrightarrow{EI}=b.\overrightarrow{IH}=b.\left( 4;-\,4;2 \right).$

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, ${{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-2;1 \right)=\frac{1}{2}\left( 4;-4;2 \right)$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $2x-2y+z+9=0.$

Câu 14 :

Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

A

$\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = x\cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\{\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
C

$\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\{\rm{d}}v = {x^2}\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
D

$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right..$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt $u$ bằng hàm đa thức.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\{\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 2x\,{\rm{d}}x\\v = \sin x\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\sin x\,{\rm{d}}x} .$

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

A

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
B

${(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$
C

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.$
D

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính bán kính mặt cầu $R = IA$

- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát:

Phương trình mặt cầu qua $I\left( {a,b,c} \right)$ và bán kính $R$có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính $R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}} = \sqrt {53} $

Do đó ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$

Câu 16 :

Hàm số $F\left( x \right) = {x^5} + 5{x^3} - x + 2$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? (C là hằng số).

A

$f\left( x \right) = \dfrac{{{x^6}}}{6} + 5.\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + C$
B

$f\left( x \right) = {x^4} + 5{x^2} - 1$
C

$f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} + 1$
D

$f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} - 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất: $F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ và thực hiện lấy đạo hàm hàm số $F\left( x \right)$ rồi kết luận đáp án đúng

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} - 1\end{array}$

Câu 17 :

Công thức tính độ dài véc tơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ là:

A

$\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {a + b + c} $
B

$\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
C

$\left| {\overrightarrow u } \right| = {a^2} + {b^2} + {c^2}$
D

$\left| {\overrightarrow u } \right| = {\left( {\sqrt {a + b + c} } \right)^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài véc tơ:

$\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {{u_1}} }^2}} = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow u }^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $

Câu 18 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$

A

$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
B

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C} $
C

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
D

$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho hàm logarit:

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} $

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{3}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^3}.\dfrac{3}{{3x}}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^2}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \dfrac{1}{9}{x^3} + C$

Câu 19 :

A

$V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx$.
B

$V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)} dx$.
C

$V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx$.
D

$V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)}^2}} dx$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]$ quay quanh trục $Ox$

Công thức tính: $V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} $

Lời giải chi tiết :

Theo công thức trên ta có: $V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx$ (vì đồ thị hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y = {f_2}\left( x \right)$.

Câu 20 :

A
$ - 1.$
B
$\dfrac{{\sqrt {46} }}{2}.$
C
$0.$
D

$ - 2.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $.

- Lập phương trình bậc hai ẩn $m$, áp dụng định lí Vi-ét: ${m_1} + {m_2} = \dfrac{{ - b}}{a}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = 3 - 4i$$ \Rightarrow iz = i\left( {3 - 4i} \right) = 4 + 3i.$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {m^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {m^2} = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 21 = 0\end{array}$

Áp dụng định lý viet ta có tổng các giá trị của m là $\dfrac{{ - 4}}{2} = - 2.$

Câu 21 :

Đổi biến $x = 4\sin t$ của tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} $ ta được:

A

$I = - 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} $
B

$I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} $
C

$I = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}tdt} $
D

$I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $x = u\left( t \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.$.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $dx = u'\left( t \right)dt$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $

Lời giải chi tiết :

Đặt $x = 4\sin t \Rightarrow dx = 4\cos tdt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \sqrt 8 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = 4\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} \cos tdt} = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)d} t$

Câu 22 :

A

$6\pi $
B

$12\pi $
C

$3\pi $
D
$10\pi $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Gọi I; R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S), giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cách I một khoảng là d và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r, khi đó ta có ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}$.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;2;0 \right)$, bán kính R = 5.

$d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 1+2.2+7 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=4=d$.

Do đó mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0$ cắt nhau theo một đường tròn (C) có bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=3$.

Vậy chu vi đường tròn (C) bằng $2\pi r=6\pi $.

Câu 23 :

Véc tơ đơn vị trên trục $Ox$ là:

A

$\overrightarrow i $
B

$\overrightarrow j $
C

$\overrightarrow k $
D

$\overrightarrow 0 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết các trục tọa độ trong không gian

Lời giải chi tiết :

Véc tơ $\overrightarrow i $ là véc tơ đơn vị của trục $Ox$.

Câu 24 :

A
$6$
B
$9$
C
$8$
D
$7$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hai vectơ cùng phương khi $\frac{x}{{x'}} = \frac{y}{{y'}} = \frac{z}{{z'}}$

Lời giải chi tiết :

Hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {m;2;3} \right),\overrightarrow b = \left( {1;n;2} \right)$ cùng phương khi $\frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n = \frac{4}{3}\end{array} \right.$

$ \Rightarrow 2m + 3n = 7.$

Câu 25 :

A

$V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
B

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
C

$V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
D

$V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)$ xung quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx$

Lời giải chi tiết :

Câu 26 :

Khẳng định nào sau đâu là đúng?

A
${V_1} = 9{V_2}$
B
${V_2} = 9{V_1}$
C
${V_1} = 3{V_2}$
D
${V_2} = 3{V_1}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Công thức tính thể tích của khối tròn xoay được tạo bởi các đường thẳng $x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)$ và các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)$ khi quay quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx.} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} $ và ${V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {\dfrac{1}{3}f\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \dfrac{1}{9}\pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} $

$ \Rightarrow {V_1} = 9{V_2}.$

Câu 27 :

A

$\left( {1; - 1;1} \right)$ và $\left( {0;1;2} \right)$
B

$\left( {1;2;0} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
C

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {0; - 1;1} \right)$
D

$\left( {0;1;2} \right)$ và $\left( {1;0;3} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về phương trình chính tắc rồi kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc $\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.

Thay các điểm ở mối đáp án vào phương trình trên ta thấy chỉ có đáp án D là cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình.

Câu 28 :

A

$\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..$
B

$\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..$
C

$\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..$
D

$\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện $d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{n_p}} \\M \in d,M \notin \left( P \right)\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 2;1} \right)$.

Đường thẳng $d$ qua $A\left( {1; - 1;3} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;2m - 1} \right)$.

Để $d\parallel \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\A \notin \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 = 0\\7 - n \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..$

Câu 29 :

Cho các phát biểu sau: (Với $C$ là hằng số):

(I) $\int\limits_{}^{} {0dx} = x + C$

(II) $\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$

(III) $\int\limits_{}^{} {\sin xdx} = - \cos x + C$

(IV) $\int\limits_{}^{} {\cot xdx} = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C$

(V) $\int\limits_{}^{} {{e^x}dx} = {e^x} + C$

(VI) $\int\limits_{}^{} {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {\forall n \ne - 1} \right)$

Số phát biểu đúng là:

A

$4$
B

$6$
C

$5$
D

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết :

Mệnh đề (I) và mệnh đề (IV) sai nên có 4 mệnh đề đúng.

Câu 30 :

A

$\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0$
B

$\left( P \right): - 2x + 11y - 10{\rm{z}} - 105 = 0$
C

$\left( P \right):2x - 11y + 10z - 35 = 0$
D

$\left( P \right) : - 2x + 2y - z + 11 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt cầu: ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2} \Rightarrow I(a;b;c);bkR$

Lời giải chi tiết :

Ta xét mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25$

$\Rightarrow I(1;2; - 2);R = 5$

Điểm $A(1;-3;0)$ thuộc $d$ nên $A \in (P)$ và $d(I;(P)) = 5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.

Câu 31 :

A

$\dfrac{1}{2}$
B

$0$
C

$1$
D

$-1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đặt $t = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} $

- Biểu diễn $dx$ theo $dt:$ $t{\rm{d}}t = d{\rm{x}}$

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} \Rightarrow {t^2} = 2{\rm{x}} - 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = d{\rm{x}}$$ \Rightarrow I = \int {\dfrac{{t{\rm{d}}t}}{{t + 4}} = \int {\left( {1 - \dfrac{4}{{t + 4}}} \right)dt = t - 4\ln \left| {t + 4} \right| + C} } $

$ = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4} \right)^4} + C$

Vậy $n = 4\;$ suy ra $S = \sin \dfrac{{4\pi }}{8} = 1$

Câu 32 :

Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}$.

A
$I=\frac{4581}{5000}$.
B
$I=\log \frac{5}{2}$.
C
$I=\ln \frac{5}{2}$.
D
$I=-\frac{21}{100}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng: $\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$

Lời giải chi tiết :

Ta có $I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}$$=\ln \left| x+2 \right|\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 3 \\ \end{smallmatrix}} \right.=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}.$

Câu 33 :

Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} $

A

$I = - \dfrac{1}{4}{\pi ^4}$
B

$I = - {\pi ^4}$
C

$I = 0 $
D

$I = - \dfrac{1}{4}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \pi \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt} = \left. {\dfrac{{{t^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$

Câu 34 :

Biết $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx} = a + b\pi $, với $a,b$ là các số hữu tỉ. Tính $S = a + 2b$.

A

$S = 0$
B

$S = 1$
C

$S = \dfrac{1}{2}$
D

$S = \dfrac{3}{8}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.$

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} $ hoặc $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} $

Lời giải chi tiết :

Đặt : $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{1}{2}.\sin 2x\end{array} \right.$

Suy ra: $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.\cos xdx} = \left. {\left( {x.\dfrac{1}{2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2x}}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} $

$= \dfrac{\pi }{8} + \left. {\dfrac{1}{4}\cos 2x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\pi }{8}$

$ \Rightarrow a = - \dfrac{1}{4};b = \dfrac{1}{8} \Rightarrow S = a + 2b = 0$

Câu 35 :

A
$k=-6$.
B
$k=-2$.
C
$k=-8$.
D
$k=-4$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a;\,\,x=b$ được tính theo công thức : $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình đường thẳng d đi qua $A(0;4)$ có hệ số góc k

$y=k(x-0)+4\Leftrightarrow y=kx+4$

Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{-4}{k},\,\,k\ne 0$. Vậy, d cắt Ox tại điểm $I\left( -\frac{4}{k};0 \right)$.

Giao điểm của $y={{x}^{2}}-4x+4$ và trục hoành: Cho $y=0\Rightarrow x=2$.

$\Rightarrow $ Để d chia (H) thành 2 phần thì $0<\frac{-4}{k}<2\Leftrightarrow k<-2$.

Vì d chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau

$\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{2}}\Rightarrow {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{-\frac{4}{k}}{\left| kx+4 \right|dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-4x+4 \right|dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{-\frac{4}{k}}{(kx+4)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{{{(x-2)}^{2}}dx}$

$\Leftrightarrow \left. \frac{{{(kx+4)}^{2}}}{2k} \right|_{0}^{-\frac{4}{k}}=\left. \frac{1}{2}.\frac{{{(x-2)}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}\Leftrightarrow -\frac{8}{k}=-\frac{1}{2}.\frac{{{(-2)}^{3}}}{3}\Leftrightarrow \frac{-8}{k}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow k=-6$

Câu 36 :

A

$V=\frac{{{\text{e}}^{2}}-1}{2}$.
B

$V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}+1)}{2}$.
C

$V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}-1)}{2}$
D
$V=\frac{\pi {{\text{e}}^{2}}}{2}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, đường thẳng $x=a;x=b$ và trục hoành là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=\pi \left. \frac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{0}^{1}=\frac{\pi \left( {{e}^{2}}-1 \right)}{2}$

Câu 37 :

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.

A

$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
B

$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
C

$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi;\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $

Câu 38 :

Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai.

- Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

- Thay vào biểu thức cần tính giá trị.

Lời giải chi tiết :

Phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0$

Ta có: ${z_1} + {z_2} = - 1;{z_1}.{z_2} = 1$

Khi đó $P = {z_1}^3 + {z_2}^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_1}^2 - {z_1}{z_2} + {z_2}^2} \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right] = - 1.(1 - 3) = 2$

Câu 39 :

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10$.

A

Đường tròn ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100.$
B

Elip $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
C

Đường tròn ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10.$
D

Elip $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ có điểm biểu diễn là $M\left( {x;y} \right)$.

Bước 2: Thay $z = x + yi$ vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa $x,y$.

Bước 3: Kết luận:

- Phương trình đường thẳng: $Ax + By + C = 0$

- Phương trình đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$

- Phương trình parabol: $y = a{x^2} + bx + c$ hoặc $x = a{y^2} + by + c$

- Phương trình elip: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Lời giải chi tiết :

Gọi $z = x + yi$. Khi đó điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức$z$.

Ta có : $\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10 $

$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10$.

Đặt ${F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)$, khi đó : $M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}( = 4)$ nên tập hợp các điểm $M$ là elip $\left( E \right)$ có 2 tiêu điểm là ${F_1};{F_2}$ . Gọi $\left( E \right)$ có dạng : $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a\\{F_1}{F_2} = 4 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21} $

Vậy tập hợp các điểm $M$ là elip : $(E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1$.

Câu 40 :

A

$M(0;1;0)$
B

$M(1;0;0)$
C

$M(0;1;2)$
D

$M( - 1;0;0)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm $A({a_1};{a_2};{a_3})$ và $B({b_1};{b_2};{b_3})$ta có:$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} $

Lời giải chi tiết :

$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử $M(m;0;0)$.

Ta có

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}$

Suy ra

$M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10 $

$= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$

$\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $M(1;0;0)$

Câu 41 :

A

$ - 11$
B

$ - 7$
C

$ - 1$
D

$11$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Viết phương trình dạng đoạn chắn.

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ : $\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6z + 6 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow a + b - c = - 1$

Câu 42 :

A
$\left( {1;0;0} \right)$.
B
$\left( {0; - 5;3} \right)$.
C
$\left( {0;3; - 5} \right)$.
D
$\left( {0; - 3;1} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi $N = d \cap \Delta $, tham số hóa tọa độ điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta $.

- Xác định 1 VTCP $\overrightarrow {{u_\Delta }} $ của đường thẳng $\Delta $, đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {MN} $. Vì $d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0$. Giải phương trình tìm $t$.

- Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP là $\overrightarrow {MN} \left( {a;b;c} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$.

- Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( {Oyz} \right):\,\,x = 0$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $N = d \cap \Delta $. Giả sử $N\left( {2 - 2t;\,\,8 + t;\,\,t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 2t;\,\,7 + t;\,\,t - 1} \right)$.

Đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 2;1;1} \right)$, đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {MN} $ là 1 VTPT.

Do $d \bot \Delta $ nên $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2t.\left( { - 2} \right) + \left( {7 + t} \right).1 + \left( {t - 1} \right).1 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;6; - 2} \right)\end{array}$

$ \Rightarrow $ Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {2;1;1} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1;3; - 1} \right)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t'\\y = 1 + 3t'\\z = 1 - t'\end{array} \right.$.

Khi đó, giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ ứng với $t'$ thỏa mãn $x = 2 + t' = 0 \Leftrightarrow t' = - 2$.

$ \Rightarrow $ Tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là: $\left( {0; - 5;3} \right)$.

Câu 43 :

Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm $A\left( {1;0;0} \right),$ $B\left( {0; - 2;0} \right),$ $C\left( {0;0;4} \right)$ và gốc tọa độ O có bán kính bằng

A
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{8}$
B
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{4}$
C
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{2}$
D
$\dfrac{{\sqrt {21} }}{6}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ tâm của mặt cầu $I\left( {a;b;c} \right)$.

- I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, O $ \Rightarrow IA = IB = IC = IO$.

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $OI = \sqrt {{{\left( {{x_I} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_I} - {z_O}} \right)}^2}} $.

- Giải hệ phương trình tìm a, b, c.

- Tính bán kính R = IO.

Lời giải chi tiết :

Gọi tâm mặt cầu là $I\left( {a;b;c} \right)$

Ta có mặt cầu đi qua $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)$ và gốc tọa độ O.

Nên $\left\{ \begin{array}{l}IA = IO\\IB = IO\\IC = IO\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2}\\{\left( {b + 2} \right)^2} = {b^2}\\{\left( {c - 4} \right)^2} = {c^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 1\\c = 2\end{array} \right.$

Suy ra $I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1;2} \right) \Rightarrow R = IO = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}.$

Câu 44 :

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Câu 45 :

A

$\dfrac{7}{2}$
B

$3\sqrt 2 $
C

$2\sqrt 3 $
D

$\dfrac{5}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Gọi điểm $N\left( {x;y;z} \right)$.

+) Ta có O, M, N thẳng hàng $ \Rightarrow OM.ON = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 12$

+) Tìm tọa độ điểm M theo x, y, z, viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.

+) $M \in \left( {ABC} \right)$, rút ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm $N\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có O, M, N thẳng hàng $ \Rightarrow OM.ON = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 12$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \dfrac{{12}}{{\overrightarrow {ON} }} = \dfrac{{12}}{{O{N^2}}}.\overrightarrow {ON} = \dfrac{{12}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left( {x;y;z} \right)\\ \Rightarrow M\left( {\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} \right)\end{array}$

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$

Do $M \in \left( {ABC} \right)$ nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có:

$\begin{array}{l}6\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 3\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 2\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 3y - 2z = 0\end{array}$

Vậy khi M thay đổi trên $\left( {ABC} \right)$ thì N luôn thuộc mặt cầu tâm $I\left( {3;\dfrac{3}{2};1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {9 + \dfrac{9}{4} + 1} = \dfrac{7}{2}$.

Câu 46 :

A

$2\sqrt 3 .$
B

$\sqrt 3 .$
C

$2\sqrt 6 .$
D

$3\sqrt 2 .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa về bài toán đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau, sử dụng bài toán hình phẳng lớp 9 để tìm AB thông qua dữ kiện góc

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6$ có tâm $I\left( {1;2; - \,1} \right),$ bán kính $R = \sqrt 6 .$

Gọi $M$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ sao cho $MAIB$ đồng phẳng.

Ta có $\cos \widehat {AMB} = \cos \widehat {\left( P \right);\left( Q \right)} = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{\left( P \right)}}.{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right|.\left| {{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right|}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \,\,\widehat {AMB} = {60^0} \Rightarrow \,\,\widehat {AIB} = {120^0}.$

Tam giác $IAB$ cân tại $I,$ có $AB = \sqrt {I{A^2} + I{B^2} - 2.IA.IB.\cos \widehat {AIB}} = 3\sqrt 2 .$

Câu 47 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :

A

$2$.
B

$7$.
C

$4$.
D

$5$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

- Làm xuất hiện dạng vi phân $f'\left( x \right)dx$sau đó đặt $dv = f'\left( x \right)dx$.

- Đồng nhất thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có : $\left( {x\sin x + \cos x} \right)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$

$ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\dfrac{x}{{\cos x}}.x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dv} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{x}{{\cos x}}\\{\rm{d}}v = \dfrac{{x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{x\sin x + \cos x}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x\\v = - \dfrac{1}{{x\sin x + \cos x}}\end{array} \right..$

Khi đó

$\begin{array}{l}I = \left. { - \dfrac{x}{{\cos x}}.\dfrac{1}{{x\sin x + \cos x}}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{{\cos }^2}x}}} = \\ = \dfrac{{ - \dfrac{\pi }{4}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}.\dfrac{1}{{\dfrac{\pi }{4}\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} + \left. {\tan x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}\\ = \dfrac{{ - \dfrac{\pi }{4}}}{{\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + 1} \right)}} + 1 = \dfrac{{ - 2\pi }}{{\left( {\pi + 4} \right)}} + 1 = \dfrac{{4 - \pi }}{{4 + \pi }} \Rightarrow m = 4\end{array}$.

Câu 48 :

A

$2$.
B

$3$.
C

$4$.
D

$1$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Viết công thức tính diện tích diện tích hình phẳng $S$

- Lập phương trình diện tích, giải phương trình tìm $m$

Lời giải chi tiết :

Ta có $S = \int\limits_{ - 2}^m {\left| {4 - {x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \dfrac{{25}}{3}$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Do $ - 2 < x < m < 2$ nên $4 - {x^2} > 0,\forall x \in \left( { - 2;m} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^m {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^m {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^m = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow 4m - \frac{{{m^3}}}{3} + 8 - \frac{8}{3} = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow - {m^3} + 12m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow {m^3} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 3m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\{m^2} + 3m - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\left( {loai} \right)\\m = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\left( {TM} \right)\\m = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy chỉ có $m = \dfrac{{\sqrt {21} - 3}}{2}$ thỏa mãn bài toán.

Câu 49 :

Xét các số phức $z,\,\,w$ thỏa mãn $\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z^2} - wz - 4} \right|$ bằng:

A

$4$
B

$2\left( {\sqrt {29} - 3} \right)$
C

$8$
D

$2\left( {\sqrt {29} - 5} \right)$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Theo bài ra ta có :

+) $\left| z \right| = 2 \Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm ${I_1}\left( {0;0} \right)$ bán kính ${R_1} = 2$.

$\left| i \right|\left| {w - \dfrac{{2 - 5i}}{i}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( { - 5 - 2i} \right)} \right| = 1$

$ \Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm ${I_2}\left( { - 5; - 2} \right)$ bán kính ${R_2} = 1$.

Đặt $T = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - w - \overline z } \right| = 2\left| {z - w - \overline z } \right|$

Đặt $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a - bi \Rightarrow z - \overline z = 2bi$.

$ \Rightarrow T = 2\left| {2bi - w} \right|$.

Gọi $M\left( {0;2b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $2bi$, $N$ là điểm biểu diễn số phức $w$.

$ \Rightarrow T = 2M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}$.

Do $\left| z \right| = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow - 2 \le b \le 2 \Leftrightarrow - 4 \le 2b \le 4$.

$ \Rightarrow $ Tập hợp các điểm $M$ là đoạn $AB$ với $A\left( { 0;-4} \right),\,\,B\left( {0;4} \right)$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow N\left( { - 4; - 2} \right),M\left( {0; - 2} \right)$.

Vậy ${T_{\min }} = 2.4 = 8$.

Câu 50 :

A

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0$
B

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$
C

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0$
D

$\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$ là mặt phẳng song song và nằm chính giữa $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\frac{2+8}{2}=5\Rightarrow \left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$

Bài liên quan