Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 4

Đề bài

Câu 1 :

Tích phân $\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}$ bằng:

A

${{e}^{-2}}$
B

${{e}^{3}}-e$
C

$e-{{e}^{3}}$
D
${{e}^{2}}$

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

$A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

A

$4$
B

$5$
C

$7$
D

$6$

Câu 3 :

Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:

A

$z$ là số thuần ảo
B

Môđun của $z$ bằng $1$
C

$z$ là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0
D

Phần thực của $z$ là số âm

Câu 4 :

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng $2$?

A

$\int\limits_1^2 {{e^x}dx} $.
B

$\int\limits_0^1 {2dx} $.
C

$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} $.
D

$\int\limits_0^1 {xdx} $.

Câu 5 :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}$ là:

A

$\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
B

$\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}$
C

$\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}$
D

$\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}$

Câu 6 :

Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó

A

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
B

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
D

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.

Câu 7 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ trên $\left( 0;\,+\infty \right)$.

A

$-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C$.
B

$3\sin x-\dfrac{1}{x}+C$.
C

$3\cos x+\dfrac{1}{x}+C$.
D
$3\cos x+\ln x+C$.

Câu 8 :

Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {0;0;1} \right)$, $B\left( {0; - 1;0} \right)$ và $C\left( {2;1; - 2} \right)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác. Phương trình đường thẳng $AG$ là:

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$
B

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{2}$
C

$\dfrac{{x - \dfrac{2}{3}}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + \dfrac{1}{3}}}{{ - 2}}$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Câu 9 :

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;0; - 2} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right),\left( R \right)$ cho trước với $\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0$ và $\left( {{\rm{ }}R} \right):2x - 3y + z + 1 = 0$ .

A

$2x + 4y + z = 0$
B

$x + 2y - z - 3 = 0$
C

$x + y + z + 1 = 0$
D

$x + y + z - 1 = 0$

Câu 10 :

Tìm điểm $M$ biểu diễn số phức $z = i - 2$

A

$M(1; - 2)$
B

$M(2; - 1)$
C

$M( - 2;1)$
D

$M(2;1)$

Câu 11 :

Với cách đổi biến $u=\sqrt{1+3\ln x}$ thì tích phân $\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx$ trở thành:

A
$\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}$
B
$\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}$
C
$2\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}$
D
$\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{u}du}$

Câu 12 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.$
B

$\int{0\,\text{d}x}=C.$
C

$\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.$
D

$\int{\text{dx}}=x+C.$

Câu 13 :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):$ $2x-y+3z-2=0$. Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là

A

$\overrightarrow{n}=(1;-1;3)$.
B

$\overrightarrow{n}=(2;-1;3)$.
C

$\overrightarrow{n}=(2;1;3)$.
D
$\overrightarrow{n}=(2;3;-2)$.

Câu 14 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = 1$ và điểm $A$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của $z$. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w = \dfrac{1}{{iz}}$ là một trong bốn điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$. Khi đó điểm biểu diễn của số phức $w$ là

A

Điểm $M$.
B

Điểm $N$.
C

Điểm $P$.
D

Điểm $Q$.

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x+y+z-5=0$ và $\left( Q \right):x+2y+z-4=0.$ Khi đó, giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có phương trình là

A
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
B
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$
C
$d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
D
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$

Câu 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu tâm $I\left( {6,3, - 4} \right)$ tiếp xúc với $Ox$ có bán kính $R$ bằng:

A

$R = 6$
B

$R = 5$
C

$R = 4$
D

$R = 3$

Câu 17 :

Cho ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2iz + i = 0$. Chọn mệnh đề đúng:

A

${z_1} + {z_2} = 2i$
B

${z_1}{z_2} = - 2i$
C

${z_1}{z_2} = 2i$
D

${z_1} + {z_2} = - 2i$

Câu 18 :

Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1};{z_2}$ khác $0$. Khi đó khẳng định nào sau đây sai ?

A

$\left| {{z_2}} \right| = ON$
B

$\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$
C

$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$
D

$\left| {{z_1}} \right| = OM$

Câu 19 :

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 2 = 0$?

A
$Q\left( 1;-2;2 \right)$
B
$N\left( 1;-1;-1 \right)$
C
$P\left( 2;-1;-1 \right)$
D
$M\left( 1;1;-1 \right)$

Câu 20 :

Chọn kết luận đúng:

A

Số phức $ - 3$ chỉ có một căn bậc hai là $ - \sqrt 3 $.
B

Số phức $ - 3$ có hai căn bậc hai là $ \pm i\sqrt 3 $.
C

Số phức $ - 3$ chỉ có một căn bậc hai là $3i$.
D

Số phức $ - 3$ có hai căn bậc hai là $ \pm 3i$.

Câu 21 :

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=6,$ tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P):x+y+2z\,+\,5=0,\,\,(Q):2x-y+z\,-\,5=0$ lần lượt tại các tiếp điểm $A,\,\,B.$ Độ dài đoạn thẳng $AB$ là

A

$2\sqrt{3}.$
B

$\sqrt{3}.$
C

$2\sqrt{6}.$
D
$3\sqrt{2}.$

Câu 22 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Câu 23 :

Giả sử $A,B$ là các hằng số của hàm số $f\left( x \right) = A\sin \pi x + B{x^2}$. Biết $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4$, giá trị của $B$ là:

A

$1$
B

$2$
C

$\dfrac{3}{2}$
D

Kết quả khác

Câu 24 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {1;0;2} \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A,$ vuông góc và cắt $d$.

A

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
B

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$.
C

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
D

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.

Câu 25 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):4x + 3y - 7z + 3 = 0$ và điểm $I(0;1;1)$. Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ qua $I$ là:

A

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
B

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
C

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
D

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$

Câu 26 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;0;-\,2 \right),$ bán kính $R=4\,\,?$

A
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16.$
B
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4.$
C
${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.$
D
${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4.$

Câu 27 :

Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức $w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z $

A

$w = 16 + 7i$
B

$w = 4 + 7i$
C

$w = 7 + 5i$
D

$w = 7 + 4i$

Câu 28 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ tam giác $ABC$ có $A\left( -\,1;-\,2;4 \right),\,\,B\left( -\,4;-\,2;0 \right)$ và $C\left( 3;-\,2;1 \right).$ Tính số đo của góc $B.$

A
${{45}^{0}}.$
B
${{120}^{0}}.$
C
${{90}^{0}}.$
D
${{60}^{0}}.$

Câu 29 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z = 0$. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu $\left( S \right)$?

A

$M\left( {0;1; - 1} \right)$.
B

$N\left( {0;3;2} \right)$.
C

$P\left( { - 1;6; - 1} \right)$.
D

$Q\left( {1;2;0} \right)$.

Câu 30 :

Tính tổng $T$ của phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.$

A

$T = 11$.
B

$T = 11 + 6\sqrt 2 $.
C

$T = - 7 + 6\sqrt 2 $.
D

$T = - 7$.

Câu 31 :

Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=4,$ giá trị của $F\left( 1 \right)$ bằng

A

$\frac{7}{3}.$
B

$\frac{5}{3}.$
C

$\frac{3}{2}.$
D
$\frac{7}{2}.$

Câu 32 :

Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\left( {1 - \cos x} \right)}^n}\sin xdx} $ bằng:

A

$I = \dfrac{1}{{n + 1}}$
B

$I = \dfrac{1}{{n - 1}}$
C

$I = \dfrac{1}{{2n}}$
D

$I = - \dfrac{n}{{n + 1}}$

Câu 33 :

Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}}$ và $f\left( x \right)$ là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = - \,1,\,\,f\left( 1 \right) = 0.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .$

A

$I = 0.$
B

$I = - \,1.$
C

$I = 1.$
D

$I = 2.$

Câu 34 :

Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ $Oxy$ là $16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)$ như hình vẽ bên. Tính diện tích $S$ của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài $1$ mét

A

$S = \dfrac{{125}}{6}({m^2})$
B

$S = \dfrac{{125}}{4}\left( {{m^2}} \right)$
C

$S = \dfrac{{250}}{3}\left( {{m^2}} \right)$
D

$S = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)$

Câu 35 :

Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục $Oxy$ thì nó có đỉnh $\left( {0;8} \right)$ và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là $\left( { - 4;0} \right)$. Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.

A

$\dfrac{{128}}{3}{m^2}$
B

$\dfrac{{131}}{3}{m^2}$
C

$\dfrac{{28}}{3}{m^2}$
D

$\dfrac{{26}}{3}m$

Câu 36 :

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y = - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b},$ với $a,\,\,b > 0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T = a + b.$

A

$T = 33.$
B

$T = 31.$
C

$T = 29.$
D

$T = 27.$

Câu 37 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}$ và $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh $Ox$ bằng :

A

$\dfrac{{81\pi }}{{35}}$
B

$\dfrac{{53\pi }}{6}$
C

$\dfrac{{81}}{{35}}$
D

$\dfrac{{21\pi }}{5}$

Câu 38 :

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.

A

$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
B

$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
C

$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 $

Câu 39 :

Gọi ${z_1};{z_2};{z_3};{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0$. Tổng $T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}$ bằng:

A

$5\sqrt 2 $
B

$5$
C

$\sqrt 2 $
D

$3\sqrt 2 $

Câu 40 :

Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và ${z^2}$ là số thuần ảo?

A

$2$
B

$3$
C

$4$
D

$0$

Câu 41 :

Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau ${z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i$. Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Câu 42 :

Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3$, gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó $\left| {{z_0}} \right|$ là

A

$3$
B

$4$
C

$5$
D

$8$

Câu 43 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( 1;2;3 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các tia $Ox;\,\,Oy;\,\,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;\,\,B;\,\,C$ $\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)$ sao cho thể tích của tứ diện $OABC$ nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A

$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.$
B

$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.$
C

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.$
D

$\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.$

Câu 44 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{ }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng $\Delta '$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta $ trên $\left( P \right)$ là:

A

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$
B

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$
C

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$
D

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$

Câu 45 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1;1;2),B(0; - 1;1)$ và song song với đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}$ là:

A

$(P):5x - y - 3z + 2 = 0$
B

$(P):3x + y - 5z + 6 = 0$
C

$(P):3x + 3y + z - 8 = 0$
D

$(P):x - y + 2z - 4 = 0$

Câu 46 :

Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$. Hãy viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2\,;\,0;1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d: \dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.

A

${(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2.$
B

${(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9.$
C

${(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4.$
D

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24.$

Câu 47 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}$, mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0$ và điểm $A\left( {1;2 - 1} \right)$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ cắt $d$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là:

A

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
B

$\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
C

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$
D

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}$

Câu 48 :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-m=0.$ Tìm tất cả m để $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

A

$m=-4.$
B

$m=0.$
C

$m=4.$
D

$m=7.$

Câu 49 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó

A

$r = \sqrt 2 $
B

$r = 2$
C

$r = 4$
D

$r = 2\sqrt 2 $

Câu 50 :

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, $f(x)>-1,\,f(0)=0$ và thỏa mãn $f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}$. Tính $f\left( \sqrt{3} \right)$.

A

$0$
B

$3$
C

$7$
D

$9$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Tích phân $\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}$ bằng:

A

${{e}^{-2}}$
B

${{e}^{3}}-e$
C

$e-{{e}^{3}}$
D
${{e}^{2}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân của hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}=\left. {{e}^{x}} \right|_{1}^{3}={{e}^{3}}-e.$

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

A

$4$
B

$5$
C

$7$
D

$6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện để $H$ là trực tâm của tam giác là $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c = - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + c = 4$.

Câu 3 :

Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:

A

$z$ là số thuần ảo
B

Môđun của $z$ bằng $1$
C

$z$ là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0
D

Phần thực của $z$ là số âm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đặt $z = a + bi$ , tính $\left| z \right|$ sau đó thay vào phương trình $\left| z \right| + z = 0$. Từ đó tìm được $a$ và $b$

Lời giải chi tiết :

Đặt $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Ta có: $\left| z \right| + z = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 0 + 0i$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left| a \right| + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a \le 0\end{array} \right.$

Câu 4 :

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng $2$?

A

$\int\limits_1^2 {{e^x}dx} $.
B

$\int\limits_0^1 {2dx} $.
C

$\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} $.
D

$\int\limits_0^1 {xdx} $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính tích phân từng đáp án và dùng phương pháp loại trừ, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản:

$\int {dx = x + C} $, $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $, $\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $ và công thức tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Lời giải chi tiết :

+) $\int\limits_1^2 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_1^2 = {e^2} - e$

+) $\int\limits_0^1 {2dx} = \left. {2x} \right|_0^1 = 2$,

+) $\int\limits_0^1 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}$

+) $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1$

Vậy chỉ có đáp án B là có tích phân bằng $2$.

Câu 5 :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}$ là:

A

$\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
B

$\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}$
C

$\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}$
D

$\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm hai điểm đi qua của hai đường thẳng.

- Tìm các VTCP của hai đường thẳng.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}$

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( {0;1;0} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 1;0; - 1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 7;7;7} \right)$

Vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 7} \right).\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Câu 6 :

Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó

A

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
B

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
C

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
D

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho số phức $ z = a + bi\Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{(a - bi)(a + bi)}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} - {{(bi)}^2}}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $

$= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$

Câu 7 :

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ trên $\left( 0;\,+\infty \right)$.

A

$-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C$.
B

$3\sin x-\dfrac{1}{x}+C$.
C

$3\cos x+\dfrac{1}{x}+C$.
D
$3\cos x+\ln x+C$.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\left( {3\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right){\text{d}}x} = 3\sin x - \dfrac{1}{x} + C$

Câu 8 :

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$
B

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{2}$
C

$\dfrac{{x - \dfrac{2}{3}}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + \dfrac{1}{3}}}{{ - 2}}$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường thẳng $AG$ cũng là đường thẳng $AM$ với $M$ là trung điểm của $BC$.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $AG$ cũng là đường thẳng $AM$ với $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $M\left( {1;0; - 1} \right)$ là trung điểm của $BC$ nên đường thẳng $AG$ đi qua $A\left( {0;0;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {1;0; - 2} \right)$ làm VTCP.

Do đó $AG:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Câu 9 :

A

$2x + 4y + z = 0$
B

$x + 2y - z - 3 = 0$
C

$x + y + z + 1 = 0$
D

$x + y + z - 1 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right)$ và $\left( R \right)$ nên nhận $\vec n = \left[ {\overrightarrow {{n_R}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$ là vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết :

Có $\overrightarrow {{n_Q}} = (1,2, - 3)$ và $\overrightarrow {{n_R}} = (2, - 3,1)$. Suy ra $\vec n = ( - 7, - 7, - 7)$. Chọn $\vec n' = (1,1,1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $\left( P \right)$ là

$(x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0$

Câu 10 :

Tìm điểm $M$ biểu diễn số phức $z = i - 2$

A

$M(1; - 2)$
B

$M(2; - 1)$
C

$M( - 2;1)$
D

$M(2;1)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điểm biều diễn của số phức $z = a + bi$ là $M\left( {a;b} \right)$

Lời giải chi tiết :

$z = i - 2 = - 2 + i$ nên điểm biểu diễn là $M\left( { - 2;1} \right)$

Câu 11 :

Với cách đổi biến $u=\sqrt{1+3\ln x}$ thì tích phân $\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx$ trở thành:

A
$\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}$
B
$\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}$
C
$2\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}$
D
$\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{u}du}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Đổi cận từ x sang u.

+) Áp dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp để tính $du$ và thế vào biểu thức $f\left( x \right)$ lấy tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đổi cận: $\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow u=1 \\ & x=e\Rightarrow u=2 \\ \end{align} \right..$

Ta có: $u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow {{u}^{2}}=1+3\ln x\Rightarrow \ln x=\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.$

$\begin{align} & u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow du=\left( \sqrt{1+3\ln x} \right)'dx=\frac{\left( 1+3\ln x \right)'}{2\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{3}{2x\sqrt{1+3\ln x}}dx. \\ & \Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{2}{3}du \\ \end{align}$ $\Rightarrow \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\frac{2}{3}du=\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du.}}$

Câu 12 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.$
B

$\int{0\,\text{d}x}=C.$
C

$\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.$
D

$\int{\text{dx}}=x+C.$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\ne \ln x+C.$

Câu 13 :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):$ $2x-y+3z-2=0$. Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là

A

$\overrightarrow{n}=(1;-1;3)$.
B

$\overrightarrow{n}=(2;-1;3)$.
C

$\overrightarrow{n}=(2;1;3)$.
D
$\overrightarrow{n}=(2;3;-2)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax+By+Cz+D=0\,\,\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}>0 \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng (P) : $2x-y+3z-2=0$ có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;-1;3)$.

Câu 14 :

A

Điểm $M$.
B

Điểm $N$.
C

Điểm $P$.
D

Điểm $Q$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$

- Tìm $w$ và đối chiếu các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Gọi $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$ Từ giả thiết, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\x > 0;{\rm{ }}y > 0\end{array} \right..$

Ta có $w = \dfrac{1}{{iz}} = - \dfrac{i}{z} = - \dfrac{i}{{x + yi}} = - \dfrac{{i\left( {x - yi} \right)}}{{\left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right)}} = - \dfrac{{y + xi}}{{{x^2} + {y^2}}} = - \,y - xi.$

Vì $x > 0,{\rm{ }}y > 0$ nên điểm biểu diễn số phức $w$ có tọa độ là $\left( { - \,y; - \,x} \right)$ (đều có hoành độ và tung độ âm). Đồng thời $\left| w \right| = \sqrt {{{\left( { - y} \right)}^2} + {{\left( { - x} \right)}^2}} = 1 = \left| z \right|.$ Suy ra điểm biểu diễn của số phức $w$ nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng bằng $OA.$ Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm $P$ thỏa mãn.

Câu 15 :

A
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
B
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$
C
$d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
D
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).$

Gọi $d$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$

Ta có $\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=$$\left( -\,1;-\,2;5 \right)$

Xét hệ $\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,$

Chọn $x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y + z = 5\\
2y + z = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - \,1\\
z = 6
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$

Câu 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu tâm $I\left( {6,3, - 4} \right)$ tiếp xúc với $Ox$ có bán kính $R$ bằng:

A

$R = 6$
B

$R = 5$
C

$R = 4$
D

$R = 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt cầu tiếp xúc $Ox$ nếu $d\left( {I,Ox} \right) = R$.

Lời giải chi tiết :

Bán kính $R = d\left[ {I,Ox} \right] = \sqrt {y_I^2 + z_I^2} = 5$.

Câu 17 :

Cho ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2iz + i = 0$. Chọn mệnh đề đúng:

A

${z_1} + {z_2} = 2i$
B

${z_1}{z_2} = - 2i$
C

${z_1}{z_2} = 2i$
D

${z_1} + {z_2} = - 2i$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A} = \dfrac{{ - 2i}}{1} = - 2i\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} = \dfrac{i}{1} = i\end{array} \right.$

Vậy ${z_1} + {z_2} = - 2i$.

Câu 18 :

Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1};{z_2}$ khác $0$. Khi đó khẳng định nào sau đây sai ?

A

$\left| {{z_2}} \right| = ON$
B

$\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$
C

$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$
D

$\left| {{z_1}} \right| = OM$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào đồ thị đề bài cho để tìm ra phương án sai.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$ là khẳng định sai vì dựa vào đồ thị ta có: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$

Câu 19 :

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 2 = 0$?

A
$Q\left( 1;-2;2 \right)$
B
$N\left( 1;-1;-1 \right)$
C
$P\left( 2;-1;-1 \right)$
D
$M\left( 1;1;-1 \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay tọa độ các điểm ở từng đáp án vào phương trình mặt phẳng (P) và rút ra kết luận. Điểm thuộc mặt phẳng (P) phải là điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Thay tọa độ điểm $N$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta có $2.1 – (–1) – 1 – 2 = 0$, vậy điểm $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

Câu 20 :

Chọn kết luận đúng:

A

Số phức $ - 3$ chỉ có một căn bậc hai là $ - \sqrt 3 $.
B

Số phức $ - 3$ có hai căn bậc hai là $ \pm i\sqrt 3 $.
C

Số phức $ - 3$ chỉ có một căn bậc hai là $3i$.
D

Số phức $ - 3$ có hai căn bậc hai là $ \pm 3i$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Số phức $w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ là căn bậc hai của số phức $z = a + bi$ nếu ${w^2} = z$.

Lời giải chi tiết :

Số phức $ - 3$ có hai căn bậc hai là $ \pm i\sqrt 3 $ vì ${\left( { \pm i\sqrt 3 } \right)^2} = - 3$.

Câu 21 :

A

$2\sqrt{3}.$
B

$\sqrt{3}.$
C

$2\sqrt{6}.$
D
$3\sqrt{2}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa về bài toán đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau, sử dụng bài toán hình phẳng lớp 9 để tìm AB thông qua dữ kiện góc

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=6$ có tâm $I\left( 1;2;-\,1 \right),$ bán kính $R=\sqrt{6}.$

Gọi $M$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ sao cho $MAIB$ đồng phẳng.

Ta có $\cos \widehat{AMB}=\cos \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)}=\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}.{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \,\,\widehat{AIB}={{120}^{0}}.$

Tam giác $IAB$ cân tại $I,$ có $AB=\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2.IA.IB.\cos \widehat{AIB}}=3\sqrt{2}.$

Câu 22 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt u = lnx $ \Rightarrow du = \dfrac{{dx}}{x}$ và $x = {e^u}$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - u}}{{{e^u}}}du} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $

Câu 23 :

Giả sử $A,B$ là các hằng số của hàm số $f\left( x \right) = A\sin \pi x + B{x^2}$. Biết $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4$, giá trị của $B$ là:

A

$1$
B

$2$
C

$\dfrac{3}{2}$
D

Kết quả khác

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp để tính tích phân hàm $f\left( x \right)$ từ $0$ đến $2$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left( {A\sin \pi x + B{x^2}} \right)dx} = 4 $

$\Leftrightarrow \left. {\left( { - \dfrac{A}{\pi }\cos \pi x + \dfrac{B}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^2 = 4 \Leftrightarrow \dfrac{B}{3}{.2^3} = 4 \Leftrightarrow B = \dfrac{3}{2}$

Câu 24 :

A

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
B

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$.
C

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
D

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ giao điểm $B$ của $\Delta $ với ${d_2}$.

- $\Delta \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $B = \Delta \cap d$, suy ra $B \in d$ nên $B\left( {1 + t;t; - 1 + 2t} \right)$.

Khi đó $\Delta $ có VTCP là $\overrightarrow {AB} = \left( {t;t;2t - 3} \right)$. Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1;2} \right)$.

Theo đề bài: $\Delta \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = t + t + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow B\left( {2;1;1} \right)$.

Đường thẳng $\Delta $ cần tìm đi qua hai điểm $A,{\rm{ }}B$ nên $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$.

Câu 25 :

A

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
B

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
C

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
D

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ suy ra $(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} $

$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$qua I, suy ra I là trung điểm của AA’ với $A \in \left( \alpha \right);A' \in \left( \beta \right)$

Lời giải chi tiết :

$(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = (4;3; - 7)$

Lấy $A(0; - 1;0) \in \left( \alpha \right)$. Gọi $A' \in \left( \beta \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$.

$ \Rightarrow I$ là trung điểm của $AA'$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow A'(0;3;2)\\ \Rightarrow 4(x - 0) + 3(y - 3) - 7(z - 2) = 0\\ \Rightarrow 4x + 3y - 7z + 5 = 0\end{array}$

Câu 26 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;0;-\,2 \right),$ bán kính $R=4\,\,?$

A
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16.$
B
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4.$
C
${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.$
D
${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt cầu tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),$ bán kính $R$ có phương trình là ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.$

Câu 27 :

Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức $w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z $

A

$w = 16 + 7i$
B

$w = 4 + 7i$
C

$w = 7 + 5i$
D

$w = 7 + 4i$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng các quy tắc nhân chia số phức thông thường

+$z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi$

Lời giải chi tiết :

${\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\overline z = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i) $

$= 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i$

Câu 28 :

A
${{45}^{0}}.$
B
${{120}^{0}}.$
C
${{90}^{0}}.$
D
${{60}^{0}}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính độ dài các cạnh của tam giác và nhận xét sự đặc biệt của tam giác đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có $AB=5,\,\,AC=5$ và $BC=5\sqrt{2}$$\Rightarrow \,\,A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$

Suy ra tam giác $ABC$ vuông cân tại $A\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{45}^{0}}.$

Câu 29 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z = 0$. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu $\left( S \right)$?

A

$M\left( {0;1; - 1} \right)$.
B

$N\left( {0;3;2} \right)$.
C

$P\left( { - 1;6; - 1} \right)$.
D

$Q\left( {1;2;0} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điểm $A$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ nếu $IA = R$.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;2;1} \right)$, bán kính $R = \sqrt {14} $.

Xét điểm $M\left( {0;1; - 1} \right)$, ta có $\overrightarrow {IM} = \left( { - 3; - 1; - 2} \right)$. Suy ra $IM = \sqrt {9 + 1 + 4} = \sqrt {14} = R$.

Do đó điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$.

Câu 30 :

Tính tổng $T$ của phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.$

A

$T = 11$.
B

$T = 11 + 6\sqrt 2 $.
C

$T = - 7 + 6\sqrt 2 $.
D

$T = - 7$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biến đổi $z$ về dạng $z = a + bi$ suy ra phần thực và phần ảo.

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .3i + {\left( {3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i - 9 = - 7 + 6\sqrt 2 i.$

Suy ra $T = - 7 + 6\sqrt 2 .$

Câu 31 :

Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=4,$ giá trị của $F\left( 1 \right)$ bằng

A

$\frac{7}{3}.$
B

$\frac{5}{3}.$
C

$\frac{3}{2}.$
D
$\frac{7}{2}.$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\,dx}=\int{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\,dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x+C.$

Mà $F\left( 0 \right)=4$

$\Rightarrow $${{\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x+C \right) \right|}_{x\,\,=\,\,0}}=4\Rightarrow C=4.$

Vậy $F\left( 1 \right)={{\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x+4 \right) \right|}_{x\,\,=\,\,1}}=\frac{7}{3}.$

Câu 32 :

Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\left( {1 - \cos x} \right)}^n}\sin xdx} $ bằng:

A

$I = \dfrac{1}{{n + 1}}$
B

$I = \dfrac{1}{{n - 1}}$
C

$I = \dfrac{1}{{2n}}$
D

$I = - \dfrac{n}{{n + 1}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$

Khi đó $I = \int\limits_0^1 {{t^n}dt} = \left. {\dfrac{{{t^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{n + 1}}$

Câu 33 :

A

$I = 0.$
B

$I = - \,1.$
C

$I = 1.$
D

$I = 2.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- $F(x)$ được gọi là 1 nguyên hàm của hàm số $f(x)$ khi và chỉ khi $\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)$ và $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b.$

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân $f'\left( x \right)dx$ thì ta đặt $dv = f'\left( x \right)dx$.

- Đồng nhất thức.

Lời giải chi tiết :

Vì ${x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \int {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = {x^2}.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{2x}}\\{\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 2{e^{2x}}{\rm{d}}x\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.,$ khi đó $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right){e^{2x}}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} .$

Suy ra $I = {e^2}f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - 2\left. {{x^2}} \right|_0^1 = - \,\left( { - \,1} \right) - 2 = - \,1.$

Vậy $I = - \,1.$

Câu 34 :

A

$S = \dfrac{{125}}{6}({m^2})$
B

$S = \dfrac{{125}}{4}\left( {{m^2}} \right)$
C

$S = \dfrac{{250}}{3}\left( {{m^2}} \right)$
D

$S = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, trục hoành và 2 đường thẳng $x = a$ và $x = b$ là:

${\rm{S}} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} d{\rm{x}}$

Lời giải chi tiết :

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là $x = 0;x = 5;x = - 5$

Ta thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích $4$ mảnh đất nhỏ bằng nhau.

Xét diện tích $S$ mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có

$\begin{array}{l}4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right] \\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^5 {x\sqrt {25 - {x^2}} } d{\rm{x}} = \dfrac{{125}}{{12}}\\ \Rightarrow S = 4.\dfrac{{125}}{{12}} = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\end{array}$

Câu 35 :

A

$\dfrac{{128}}{3}{m^2}$
B

$\dfrac{{131}}{3}{m^2}$
C

$\dfrac{{28}}{3}{m^2}$
D

$\dfrac{{26}}{3}m$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm phương trình parabol.

- Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.

Lời giải chi tiết :

+ Gọi phương trình parabol là: $y=a{x^2} + {\rm{ }}bx + c $

Nhận thấy với $x = 0$ thì $y = 8$ suy ra $c = 8$.

Mặt khác $\left( {0;8} \right)$ là đỉnh nên $ - \dfrac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0$

Điểm $(-4;0)$ thuộc đồ thị hàm số nên phương trình $y=0$ có nghiệm $x = - 4 \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2}$.

Vậy phương trình parabol: $y = - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8$

Bài toán quy về tính diện tích được tạo bởi parabol với trục $Ox$.

Ta có:

$S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8} \right|dx} = 2\int\limits_0^4 {\left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8} \right)dx} = 2.\left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{6} + 8x} \right)} \right|_0^4 = \dfrac{{128}}{3}{m^2}$

Câu 36 :

A

$T = 33.$
B

$T = 31.$
C

$T = 29.$
D

$T = 27.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),x = a,x = b$ quanh trục $Ox$ là: $V = \pi .\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Lời giải chi tiết :

${x^2} + 3y = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{{{x^2}}}{3}$

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

$ - \,\sqrt {4 - {x^2}} = - \dfrac{{{x^2}}}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt {4 - {x^2}} = {x^2} \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}0 \le {x^2} \le 4\\{x^4} + 9{x^2} - 36 = 0\end{array} \right. $

$\Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \,\sqrt 3 .$

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = \pi \int\limits_{ - \,\sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {{{\left( { - \,\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( { - \,\dfrac{{{x^2}}}{3}} \right)}^2}} \right|\,{\rm{d}}x.} $

$ = \pi \int\limits_{ - \,\sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {\left( {4 - {x^2}} \right) - \dfrac{{{x^4}}}{9}} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\pi \left. {\left( {4x - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{{45}}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }} \right| $

$= 2\pi \left( {4\sqrt 3 - \sqrt 3 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{5}} \right) = \dfrac{{28\pi \sqrt 3 }}{5}$

Vậy $V = \dfrac{{28\pi \sqrt 3 }}{5} = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 28\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 28 + 5 = 33.$

Câu 37 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}$ và $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh $Ox$ bằng :

A

$\dfrac{{81\pi }}{{35}}$
B

$\dfrac{{53\pi }}{6}$
C

$\dfrac{{81}}{{35}}$
D

$\dfrac{{21\pi }}{5}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục $Ox$.

- Tính thể tích theo công thức $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$

$V=\pi {{\int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}}^{2}}d\text{x }=\pi \int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{9}{{x}^{6}}-\dfrac{2}{3}{{x}^{5}}+{{x}^{4}} \right)}dx$

$=\left. \pi \left( \dfrac{1}{63}{{x}^{7}}-\dfrac{1}{9}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{5}{{x}^{5}} \right) \right|_{0}^{3}=\dfrac{81}{35}\pi $

Câu 38 :

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.

A

$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
B

$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
C

$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi;\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $

Câu 39 :

Gọi ${z_1};{z_2};{z_3};{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0$. Tổng $T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}$ bằng:

A

$5\sqrt 2 $
B

$5$
C

$\sqrt 2 $
D

$3\sqrt 2 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải phương trình phức từ đó tính tổng.

Lời giải chi tiết :

$2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 \\z = \pm i\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$$T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2} = 2 + 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 5$

Câu 40 :

Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và ${z^2}$ là số thuần ảo?

A

$2$
B

$3$
C

$4$
D

$0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Số phức $z$ là số ảo nếu $a = 0$

Lời giải chi tiết :

Đặt $z = a + bi$

Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5 $ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)

${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$

Do ${z^2}$ là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = a\\
b = - a
\end{array} \right.$

TH1: b=a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow b = 4\\
a = - 3 \Rightarrow b = - 3
\end{array} \right.$

TH2: b=-a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 $ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow b = - 3\\
a = - 4 \Rightarrow b = 4
\end{array} \right.$

Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.

Câu 41 :

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tích vô hướng $2$ véc tơ vuông góc với nhau thì bằng $0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${z_2} = 2i$

Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Câu 42 :

Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3$, gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó $\left| {{z_0}} \right|$ là

A

$3$
B

$4$
C

$5$
D

$8$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$

- Bước 2: Thay $z$ vào biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của $x,y$ suy ra tập hợp biểu diễn của số phức $z$.

- Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá biểu thức của $x,y$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $z = x + yi$;

Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Vậy quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $

$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$

Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30$ (theo bunhiacopxki)

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$

Câu 43 :

A

$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.$
B

$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.$
C

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.$
D

$\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Gọi $A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)$$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$

+) Vì mặt phẳng chắn trên các trục tọa độ nên sử dụng phương trình đoạn chắn và áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho việc xác định thể tích min. Từ đó lập được phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Gọi $A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)$$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$

Vì $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc $\Rightarrow $ Thể tích khối chóp $O.ABC$ là $V=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{abc}{6}.$

Điểm $M\in \left( P \right)$ suy ra $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}$ $\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{6}{abc}$ $\Rightarrow abc\ge 162\Rightarrow V\ge 27.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=6 \\ & c=9 \\\end{align} \right..$ Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.$

Câu 44 :

A

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$
B

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$
C

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$
D

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với $\left( P \right)$.

- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $\Delta $ và vuông góc với $\left( P \right)$, suy ra $\left( Q \right):2x + y - 3z + 1 = 0.$

Khi đó $\Delta '$ cần tìm là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\2x + y - 3z + 1 = 0\end{array} \right..$

Đặt $z = t,$ ta có phương trình tham số của $\Delta '$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t{\rm{ }}}\end{array}} \right..$

Câu 45 :

A

$(P):5x - y - 3z + 2 = 0$
B

$(P):3x + y - 5z + 6 = 0$
C

$(P):3x + 3y + z - 8 = 0$
D

$(P):x - y + 2z - 4 = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Vì $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ và song song với đường thẳng d nên ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{;}}\overrightarrow {{u_d}} } \right]$

- Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto $\overrightarrow n = (a;b;c)$ có dạng:

$a.(x - {x_0}) + b.(y - {y_0}) + c(z - {z_0}) = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 5;1;3)$

Vì $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ và song song với đường thẳng $d$ nên ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5;1;3} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = ( - 5;1;3)\\A(1;1;2) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow - 5(x - 1) + (y - 1) + 3(z - 2) = 0\\ \Leftrightarrow - 5x + y + 3z - 2 = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z + 2 = 0\end{array}$

Câu 46 :

A

${(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2.$
B

${(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9.$
C

${(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4.$
D

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ $R = d(I,d)$

+ Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I( a;b;c)$ bán kính $R$ là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1)$ . Lấy điểm $ M( 1;0;2) \in d$ ;

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right] = ( - 2;2; - 2)\\R = d(I,d) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \end{array}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I ( 2; 0; 1)$ bán kính $\sqrt 2 $ là:

${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2$ .

Câu 47 :

A

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
B

$\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}$
C

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$
D

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi $B = \Delta \cap d$

- $\Delta //\left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Gọi $B = \Delta \cap d$, suy ra $B \in d \Rightarrow B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)$.

Suy ra đường thẳng $\Delta $ có VTCP $\overrightarrow {AB} = \left( {2 + t;1 + 3t;1 + 2t} \right)$.

Vì $\Delta \parallel \left( \alpha \right)$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3t - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$.

Do đó phương trình $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$.

Câu 48 :

A

$m=-4.$
B

$m=0.$
C

$m=4.$
D

$m=7.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì $d\left( I;\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;1;-2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$.

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì $d\left( I;\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất.

Ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4$

Câu 49 :

A

$r = \sqrt 2 $
B

$r = 2$
C

$r = 4$
D

$r = 2\sqrt 2 $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi$ có điểm biểu diễn là $M(x;y)$

Bước 2: Thay $z$ vào đề bài $ \Rightarrow $ Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: $Ax + By + C = 0.$

+) Đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.$

+) Parabol: $y = a.{x^2} + bx + c$

+) Elip: $\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1$

Lời giải chi tiết :

Giả sử $w = a + bi$ . Ta có

$\begin{array}{l}w = (1 - i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)z + i\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + i + 2(1 - i)\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + 2 - i\\ \Leftrightarrow (1 - i)(z - 2) = a - 2 + (b + 1)i\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{a - 2 + (b + 1)i}}{{1 - i}}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{\left[ {a - 2 + (b + 1)i} \right](1 + i)}}{2}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - 2 - b - 1 + (a - 2 + b + 1)i} \right]\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - b - 3 + (a + b - 1)i} \right]\end{array}$

Theo giả thiết $\left| {z - 2} \right| = 2$ nên ta có $\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}\left[ {{{(a - b - 3)}^2} + {{(a + b - 1)}^2}} \right] = 4 \Leftrightarrow {(a - b - 3)^2} + {(a + b - 1)^2} = 16 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 10 - 8a + 4b = 16\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b + 1)^2} = 8\end{array}$

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt 2 $.

Câu 50 :

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, $f(x)>-1,\,f(0)=0$ và thỏa mãn $f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}$. Tính $f\left( \sqrt{3} \right)$.

A

$0$
B

$3$
C

$7$
D

$9$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lấy nguyên hàm hai vế, tìm hàm số $f(x)$.

Lời giải chi tiết :

$f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)+1}}=\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow \int{\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)+1}}}dx=\int{\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx\Leftrightarrow \int{\frac{d\left( f(x)+1 \right)}{\sqrt{f(x)+1}}}=\int{\frac{d({{x}^{2}}+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{f(x)+1}=2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$

Mà $f(0)=0\Rightarrow 2\sqrt{0+1}=2\sqrt{{{0}^{2}}+1}+C\Rightarrow C=0$

$\Rightarrow \sqrt{f(x)+1}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow f(x)={{x}^{2}}$

$\Rightarrow f\left( \sqrt{3} \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=3$

Bài liên quan