Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12

Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 3

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì véc tơ nào sau đây có thể là VTPT của \(\left( P \right)\)?

  • A

    \( - \overrightarrow a \) hoặc \( - \overrightarrow b \)

  • B

    \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\)    

  • C

    \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b \)

  • D

    \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Câu 2 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(2;1;0),\,\,B(1;-1;3)\). Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x+3y-2z-1=0\) có phương trình là

  • A
    \(5x-y+z-9=0\).                       
  • B
    \(-5x-y+z+11=0\).      
  • C
     \(5x+y-z+11=0\).        
  • D
    \(-5x+y+z+9=0\).
Câu 3 :

Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng:

  • A

    \({{e}^{-2}}\)                          

  • B

    \({{e}^{3}}-e\)             

  • C

    \(e-{{e}^{3}}\)                         

  • D
    \({{e}^{2}}\)
Câu 4 :

Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

  • A

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4\).

  • B

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).

  • C

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10\).

  • D

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \).

Câu 5 :

Chọn mệnh đề đúng:

  • A

    \(\int {0dx}  = C\)       

  • B

    \(\int {dx}  = C\)         

  • C

    \(\int {dx}  = 0\)          

  • D

    \(\int {0dx}  = x + C\)

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

  • A

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • B

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

  • C

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • D

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

Câu 7 :

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).

  • A

     \(-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C\).

  • B

     \(3\sin x-\dfrac{1}{x}+C\). 

  • C

    \(3\cos x+\dfrac{1}{x}+C\).

  • D
     \(3\cos x+\ln x+C\). 
Câu 8 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?

  • A

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)

  • B

    \(\int\limits_a^b {kdx}  = k\left( {b - a} \right)\)

  • C

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \) với \(b \in \left[ {a;c} \right]\) 

  • D

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_b^a {f\left( { - x} \right)dx} \)

Câu 9 :

Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)

  • A

    \(a = 3,b = 2.\)          

  • B

    \(a = 3,b = 2\sqrt 2 .\)          

  • C

    \(a = 3,b = \sqrt 2 .\)               

  • D

    \(a = 3,b =  - 2\sqrt 2 .\)

Câu 10 :

$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln x$ và $F\left( 1 \right) = 3.$ Khi đó giá trị của $F\left( e \right)$ là:

  • A

    $0$

  • B

    $1$

  • C

    $4$

  • D

    $3$

Câu 11 :

Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là các VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

. Chọn kết luận sai?

 
 
  • A

    \(\left( P \right)\) có vô số véc tơ pháp tuyến

  • B

    \(\overrightarrow n  =  - \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\)  là một VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

  • C

    \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

  • D

    \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương.

     
Câu 12 :

Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$

  • A

    $z = 2017 - 4066274i$.

  • B

    $z = 2018 + 4066274i$.

  • C

    $z = 2018 - 4066274i$.

  • D

    $z = 2016 - 4066274i$.

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -1;2;-4 \right)\) và \(B\left( 1;0;2 \right)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

  • A
     \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+4}{3}\)                                
  • B
      \(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3}\)
  • C
     \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}\)                               
  • D
     \(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-4}{3}\)
Câu 14 :

Trong không gian $Oxyz$ cho $3$ véc tơ: \(\vec a\left( {4;2;5} \right),\vec b\left( {3;1;3} \right),\vec c\left( {2;0;1} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng 

  • A

    \(\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\)          

  • B

    $3$ véc tơ cùng phương.    

  • C

    $3$ véctơ đồng phẳng.          

  • D

    $3$ véctơ không đồng phẳng.

Câu 15 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(|z - 1 - 2i| = 4\). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|z + 2 + i|\). Tính \(S = {M^2} + {m^2}\).

  • A

    $S = 34$

  • B

    $S = 82$

  • C

    $S = 68$

  • D

    $S = 36$

Câu 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right);B\left( {3;2;3} \right)$, có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 3 = 0$ , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$?

  • A

    $1$

  • B

    \(\sqrt 2 \)       

  • C

    $2$

  • D

    \(2\sqrt 2 \)

Câu 17 :

Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v  = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u  = \overrightarrow v \), khi đó:

  • A

    \(a = 0\)

  • B

    \(c = 1\)

  • C

    \(a =  - 1\)

  • D

    \(a = c\)

Câu 18 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x =  - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:

  • A

    $S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$     

  • B

    $S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx}  + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $

  • C

    $S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $    

  • D

    $S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx}  + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $

Câu 19 :

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành

  • A

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • B

    $I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • C

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • D

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {2;2;0} \right)\) và \(D\left( {0;m;0} \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) để khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(2\) là:

  • A

    \(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m =  - 2\end{array} \right.\).

  • B

    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m = 2\end{array} \right.\).

  • C

    \(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).

  • D

    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Câu 21 :

Đặt \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {tdt} \). Khi đó \(F'\left( x \right)\) là hàm số nào dưới đây?

  • A

    \(F'\left( x \right) = x\)            

  • B

    \(F'\left( x \right) = 1\)             

  • C

    \(F\left( x \right) = x - 1\)        

  • D

    \(F'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\)

Câu 22 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B(0;3;1)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

  • A
    \(\left( { - 1;1;2} \right)\)
  • B
    \(\left( {2;4; - 2} \right)\)
  • C
    \(\left( { - 2; - 4;2} \right)\)
  • D
    \(\left( { - 2;2;4} \right)\)
Câu 23 :

Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:

  • A

    \(dx = u'\left( t \right)dt\) 

  • B

    \(dt = u'\left( x \right)dx\)

  • C

    \(dx = u\left( t \right)dt\) 

  • D

    \(dt = dx\)

Câu 24 :

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)

  • A

    $V = 36\pi .$

  • B

    $V = 24\pi .$

  • C

    $V = 16\pi .$

  • D

    $V = 64\pi .$

Câu 25 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

  • A

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.\)          

  • B

    \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.\)

  • C

    \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\)

  • D

    \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0\)

Câu 26 :

Tính \(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} \) ta được:

  • A

    \( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

  • B

    \( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

  • C

    \(\dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)           

  • D

    \(\dfrac{1}{2}{x^2} - x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

Câu 27 :

Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:

  • A

    \(\dfrac{3}{2}\)

  • B

    \( - \dfrac{3}{2}\)                   

  • C

    \(\dfrac{5}{2}\)         

  • D

    \( - \dfrac{5}{2}\)

Câu 28 :

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:

  • A

    $0$.

  • B

    $\frac{{64}}{3}$.

  • C

    $7$.

  • D

    \(12,5\).

Câu 29 :

Cho \(\int\limits_0^b {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 3} }}dx}  = 2\) với \(b \in K\). Khi đó $K$ có thể là khoảng nào trong các khoảng sau?

  • A
    \(K = \left( {1;2} \right)\)
  • B
    \(K = \left( {0;1} \right)\)
  • C
    \(K = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
  • D
    \(K = \left( {2;3} \right)\)
Câu 30 :

Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là

  • A
    \(T=10\).                                 
  • B
    \(T=9\).                                   
  • C
     \(T=8\).                                  
  • D
     \(T=11\).
Câu 31 :

Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol  \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng

  • A
    \(\frac{4\pi +\sqrt{3}}{12}\)                        
  • B
     \(\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\)
  • C
     \(\frac{4\pi +2\sqrt{3}-3}{6}\)                    
  • D
     \(\frac{5\sqrt{3}-2\pi }{3}\)
Câu 32 :

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x},\) trục hoành và đường thẳng \(x=9.\) Khi (H) quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng:

  • A

    \(18\)                                       

  • B

    \(\frac{18}{2}\)                                               

  • C

    \(18\pi \)                                             

  • D
    \(\frac{81\pi }{2}\)
Câu 33 :

Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)

  • A

    \(S = 0.\)

  • B

    \(S = {2^{10}} + 1.\)

  • C

    \(S = 1\).

  • D

    \(S = {2^{10}}\).

Câu 34 :

Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

  • A

    \(T = 2\sqrt {13} \).    

  • B

    \(T = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\).

  • C

    \(T = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{3}\).        

  • D

    \(T = 4\sqrt {13} \).

Câu 35 :

Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?

  • A

    \(2\)

  • B

    \(3\)

  • C

    \(4\)

  • D

    \(0\)

Câu 36 :

Cho số phức $z$ thay đổi, luôn có $\left| z \right| = 2$ . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = (1 - 2i)\overline z  + 3i$ là

  • A

    Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 2\sqrt 5 $

  • B

    Đường tròn ${x^2} + {(y + 3)^2} = 20$

  • C

    Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 20$

  • D

    Đường tròn ${(x - 3)^2} + {y^2} = 2\sqrt 5 $

Câu 37 :

Biết số phức $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5 $ và biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left| z \right|$.

  • A

    $\left| z \right| = \sqrt {33} $.

  • B

    $\left| z \right| = 50$.

  • C

    $\left| z \right| = \sqrt {10} $.

  • D

    $\left| z \right| = 5\sqrt 2 $.

Câu 38 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:

  • A

    \(\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

  • B

    \(\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

  • C

    \(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

  • D

    $\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$

Câu 39 :

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$  song song với mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - z - 2 = 0$  và cách $\left( Q \right)$  một khoảng là \(2\sqrt 3 \) .

  • A

    $x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .

  • B

    $x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .

  • C

    $x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .

  • D

    $x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .

Câu 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}\).

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng \({d_3}\) qua \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và vuông góc với cả \({d_1},\,\,{d_2}.\)

  • A

    \(\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}\)

  • B

    \(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)

  • C

    \(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}\)

  • D

    \({d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)

Câu 41 :

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:

  • A

    \(3\sqrt {19} \)

  • B

    \(\dfrac{{3\sqrt {19} }}{{13}}\)

  • C

    \(\sqrt 6 \)

  • D

    \(\dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\) 

Câu 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{      }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:

  • A

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

  • B

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

  • C

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

  • D

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

Câu 43 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).

  • A

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)

  • B

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)

  • C

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)                    

  • D

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)

Câu 44 :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm \(I( - 1;2; - 5)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 10 = 0\) theo thiết diện là hình tròn có diện tích \(3\pi \). Phương trình của $\left( S \right)$ là:

  • A

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)

  • B

    \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 5)^2} = 25\)                           

  • C

    \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(x - 5)^2} = 16\)           

  • D

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 12 = 0\) 

Câu 45 :

Cho \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x=}\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f(x)\text{d}x}=1.\) Giá trị của \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f(x)}{{{3}^{x}}+1}\text{d}x}\) bằng

  • A
    3
  • B
    1
  • C
    4
  • D
    6
Câu 46 :

 Tìm thể tích \(V\) của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\) khi quay quanh trục \(Ox.\)

  • A
    \(V=24{{\pi }^{2}}.\)     
  • B
     \(V=24\pi .\)     
  • C
    \(V=16\pi .\)     
  • D
    \(V=36{{\pi }^{2}}.\)
Câu 47 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó

  • A

    \(r = \sqrt 2 \)

  • B

    $r = 2$

  • C

    $r = 4$

  • D

    \(r = 2\sqrt 2 \)

Câu 48 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình là:

  • A

    \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)           

  • B

    \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)

  • C

    \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

  • D

    \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)

Câu 49 :

Gọi \(F\left( x \right) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x}\). Tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\)

  • A

    $244$

  • B

    $247$

  • C

    $245$

  • D

    $246$

Câu 50 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n  = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

  • A

    \(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • B

    \(mn =  - \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • C

    \(mn = 4\)

  • D

    \(mn =  - 4\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì véc tơ nào sau đây có thể là VTPT của \(\left( P \right)\)?

  • A

    \( - \overrightarrow a \) hoặc \( - \overrightarrow b \)

  • B

    \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\)    

  • C

    \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b \)

  • D

    \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Vì tích có hướng của hai vecto là một vecto vuông góc với cả hai vecto ban đầu nên nó vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).

Câu 2 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(2;1;0),\,\,B(1;-1;3)\). Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x+3y-2z-1=0\) có phương trình là

  • A
    \(5x-y+z-9=0\).                       
  • B
    \(-5x-y+z+11=0\).      
  • C
     \(5x+y-z+11=0\).        
  • D
    \(-5x+y+z+9=0\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho \(\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), khi đó \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

\(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =\) \( \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) =\) \( \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Gọi mặt phẳng cần tìm là \(\left( \alpha  \right)\).

(P): \(x+3y-2z-1=0\) có một VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\left( 1;3;-2 \right)=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\). Vì \(\left( \alpha  \right)\bot (P)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\)

\(AB\subset \left( \alpha  \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha  \right)}}\bot \overrightarrow{AB}=\left( -1;-2;3 \right)=\overrightarrow{u_2}\)

Khi đó, \(\left( \alpha  \right)\)có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(5;-1;1)\)

Phương trình \(\left( \alpha  \right)\): \(5.(x-2)-1.(y-1)+1.(z-0)=0\Leftrightarrow 5x-y+z-9=0\)

Câu 3 :

Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng:

  • A

    \({{e}^{-2}}\)                          

  • B

    \({{e}^{3}}-e\)             

  • C

    \(e-{{e}^{3}}\)                         

  • D
    \({{e}^{2}}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân của hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}=\left. {{e}^{x}} \right|_{1}^{3}={{e}^{3}}-e.\)

Câu 4 :

Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

  • A

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4\).

  • B

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).

  • C

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10\).

  • D

    \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính \(\Delta  = {B^2} - 4AC\).

- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \)

- Bước 3: Tính các nghiệm:

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} =  - \dfrac{B}{{2A}}\)

+ Nếu \(\Delta  \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta  }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta  \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\Delta ' = 1 - 5 =  - 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} =  - 1 + 2i\\{z_2} =  - 1 - 2i\end{array} \right.  \)

$\Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5$

Câu 5 :

Chọn mệnh đề đúng:

  • A

    \(\int {0dx}  = C\)       

  • B

    \(\int {dx}  = C\)         

  • C

    \(\int {dx}  = 0\)          

  • D

    \(\int {0dx}  = x + C\)

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\int {0dx}  = C\) nên A đúng, D sai.

\(\int {dx}  = x+C \) nên B, C sai

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

  • A

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • B

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

  • C

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • D

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính bán kính mặt cầu \(R = IA\)

- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát:

Phương trình mặt cầu qua $I\left( {a,b,c} \right)$ và bán kính $R$có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}}  = \sqrt {53} \)

Do đó \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

Câu 7 :

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).

  • A

     \(-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C\).

  • B

     \(3\sin x-\dfrac{1}{x}+C\). 

  • C

    \(3\cos x+\dfrac{1}{x}+C\).

  • D
     \(3\cos x+\ln x+C\). 

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\left( {3\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right){\text{d}}x} = 3\sin x - \dfrac{1}{x} + C\)

Câu 8 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?

  • A

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)

  • B

    \(\int\limits_a^b {kdx}  = k\left( {b - a} \right)\)

  • C

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \) với \(b \in \left[ {a;c} \right]\) 

  • D

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_b^a {f\left( { - x} \right)dx} \)

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề D sai.

Câu 9 :

Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)

  • A

    \(a = 3,b = 2.\)          

  • B

    \(a = 3,b = 2\sqrt 2 .\)          

  • C

    \(a = 3,b = \sqrt 2 .\)               

  • D

    \(a = 3,b =  - 2\sqrt 2 .\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa về số phức:  $z = a + bi,a,b \in R$, trong đó $a$ là phần thực của số phức và $b$ là phần ảo của số phức

Lời giải chi tiết :

Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $ - 2\sqrt 2 $ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$

Câu 10 :

$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln x$ và $F\left( 1 \right) = 3.$ Khi đó giá trị của $F\left( e \right)$ là:

  • A

    $0$

  • B

    $1$

  • C

    $4$

  • D

    $3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Ta có: $F\left( x \right)$  là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} hay{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right).} $

+) Tìm nguyên hàm của hàm $f\left( x \right)$ bằng phương pháp tích phân từng phần sau đó thay giá trị $F\left( 1 \right) = 3$ để tìm hàng số C.

+) Thay giá trị $x = e$ vào hàm $F\left( x \right)$ vừa tìm được để tính $F\left( e \right).$

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\ln xdx} .$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln x}\\{dv = dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = \dfrac{1}{x}dx}\\{v = x}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\ln xdx}  = x\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx = x\ln x - \int {dx}  = x\ln x - x + C.} $

Theo đề bài ta có: $F\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow 1.\ln {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 - 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 4.$

$\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{ \Rightarrow F\left( x \right) = x\ln x - x + 4}\\{{\rm{ \;}}}&{ \Rightarrow F\left( e \right) = e\ln e - e + 4 = 4.}\end{array}$

Câu 11 :

Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là các VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

. Chọn kết luận sai?

 
 
  • A

    \(\left( P \right)\) có vô số véc tơ pháp tuyến

  • B

    \(\overrightarrow n  =  - \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\)  là một VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

  • C

    \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

  • D

    \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương.

     

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

- Một mặt phẳng có vô số VTPT nên A đúng.

- Véc tơ \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên mọi véc tơ cùng phương với nó đều là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó B đúng, C sai.

- Hai véc tơ muốn là VTCP của mặt phẳng thì chúng phải không cùng phương nên D đúng.

Câu 12 :

Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$

  • A

    $z = 2017 - 4066274i$.

  • B

    $z = 2018 + 4066274i$.

  • C

    $z = 2018 - 4066274i$.

  • D

    $z = 2016 - 4066274i$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nhân hai số phức \(z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i\)

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = {z_1}.{z_2} = \left( {2017 - i} \right)\left( {2 - 2016i} \right) = 2017.2 - 2017.2016i - 2i + 2016{i^2}$

$ = 4034 - 4066272i - 2i - 2016 = \left( {4034 - 2016} \right) + \left( { - 4066272i - 2} \right)i = 2018 - 4066274i.$

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -1;2;-4 \right)\) và \(B\left( 1;0;2 \right)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

  • A
     \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+4}{3}\)                                
  • B
      \(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3}\)
  • C
     \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}\)                               
  • D
     \(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-4}{3}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)\) có phương trình chính tắc: \(\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2;6 \right)=2\left( 1;-1;3 \right)\).

\(\Rightarrow \) đường thẳng d đi qua A và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;3 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình : \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}\)

Câu 14 :

Trong không gian $Oxyz$ cho $3$ véc tơ: \(\vec a\left( {4;2;5} \right),\vec b\left( {3;1;3} \right),\vec c\left( {2;0;1} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng 

  • A

    \(\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\)          

  • B

    $3$ véc tơ cùng phương.    

  • C

    $3$ véctơ đồng phẳng.          

  • D

    $3$ véctơ không đồng phẳng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện véc tơ cùng phương \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow v \), véc tơ đồng phẳng \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}}  = 0\)  

Lời giải chi tiết :

Tính \(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&4\\3&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\). Suy ra loại A

Tính \(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = \left( {1;3; - 2} \right).\left( {2;0;1} \right) = 0\). Suy ra \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng.

Câu 15 :

Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(|z - 1 - 2i| = 4\). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|z + 2 + i|\). Tính \(S = {M^2} + {m^2}\).

  • A

    $S = 34$

  • B

    $S = 82$

  • C

    $S = 68$

  • D

    $S = 36$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| A \right| - \left| B \right| \le \left| {A \pm B} \right| \le \left| A \right| + \left| B \right|\).

Đặc biệt $\left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \leqslant \left| {A \pm B} \right| \leqslant \left| A \right| + \left| B \right|$

Lời giải chi tiết :

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

\(|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2  - 4 = m\)

\(|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2  = M\)

Suy ra \({M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2  - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68\)

Câu 16 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right);B\left( {3;2;3} \right)$, có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 3 = 0$ , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$?

  • A

    $1$

  • B

    \(\sqrt 2 \)       

  • C

    $2$

  • D

    \(2\sqrt 2 \)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Gọi tâm $\left( S \right)$ là $I\left( {a;b;c} \right)$

+ Tìm mối quan hệ của $a,b,c$ để biến đổi về 1 ẩn, sau đó đánh giá tìm min của $R$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)$ .

Suy ra \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)\)

\(I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\) \( \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\
\Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0\\
\Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b
\end{array}\)

\({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2 \)

\(\min R = 2\sqrt 2 \) khi $b = 0$

Câu 17 :

Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v  = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u  = \overrightarrow v \), khi đó:

  • A

    \(a = 0\)

  • B

    \(c = 1\)

  • C

    \(a =  - 1\)

  • D

    \(a = c\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai véc tơ bằng nhau \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

\(\overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.\)

Câu 18 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x =  - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:

  • A

    $S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$     

  • B

    $S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx}  + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $

  • C

    $S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $    

  • D

    $S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx}  + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

 ${x^3}-x = 2x \Leftrightarrow {x^3}-3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (chỉ xét trên $\left( {-1;1} \right)$)

Với $x \in \left( {-1;0} \right)$ thì ${x^3}-3x > 0$ ; với $x \in \left( {0;1} \right)$ thì ${x^3}-3x < 0$

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 3x} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $

Câu 19 :

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành

  • A

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • B

    $I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • C

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • D

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {2;2;0} \right)\) và \(D\left( {0;m;0} \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) để khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(2\) là:

  • A

    \(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m =  - 2\end{array} \right.\).

  • B

    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m = 2\end{array} \right.\).

  • C

    \(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).

  • D

    \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 4\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khoảng cách \(AB\) và \(CD\) được tính theo công thức \(d\left( {AB,CD} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;m - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2;2; - 2} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)\).

Do đó \(d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left| {2m + 4} \right| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).

Câu 21 :

Đặt \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {tdt} \). Khi đó \(F'\left( x \right)\) là hàm số nào dưới đây?

  • A

    \(F'\left( x \right) = x\)            

  • B

    \(F'\left( x \right) = 1\)             

  • C

    \(F\left( x \right) = x - 1\)        

  • D

    \(F'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân \(F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {tdt}  = \left. {\dfrac{{{t^2}}}{2}} \right|_1^x = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2} \Rightarrow F'\left( x \right) = x\)

Câu 22 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B(0;3;1)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

  • A
    \(\left( { - 1;1;2} \right)\)
  • B
    \(\left( {2;4; - 2} \right)\)
  • C
    \(\left( { - 2; - 4;2} \right)\)
  • D
    \(\left( { - 2;2;4} \right)\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(I\) là trung điểm của \(AB\) thì tọa độ của \(I\) thỏa mãn 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 1 + 3}}{2} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1;2} \right)\)

Câu 23 :

Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:

  • A

    \(dx = u'\left( t \right)dt\) 

  • B

    \(dt = u'\left( x \right)dx\)

  • C

    \(dx = u\left( t \right)dt\) 

  • D

    \(dt = dx\)

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì \(dx = u'\left( t \right)dt\).

Câu 24 :

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)

  • A

    $V = 36\pi .$

  • B

    $V = 24\pi .$

  • C

    $V = 16\pi .$

  • D

    $V = 64\pi .$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Rút hàm số đã cho theo biến y : \(x = f\left( y \right)\), Vẽ hình và xác định các đường giới hạn.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(x = f\left( y \right),x = g\left( y \right),y = a,y = b\) là \(V = \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right|dy} \).

Lời giải chi tiết :

\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 16\left( {1 - \dfrac{{{y^2}}}{9}} \right) \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \)

Phương trình tung độ giao điểm của đồ thị \(\left( E \right)\) với $Oy$ là \(\dfrac{0}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - \,3\\y = 3\end{array} \right..\)

Ta xét thể tích vật tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \), đường thẳng $x = 0, y = 3, y = 0$ quanh trục $Ox$ là: \(V = \left| {\dfrac{{16}}{9}\pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - {y^2}} \right)dy} } \right| = \left| {\dfrac{{16}}{9}\left. {\pi \left( {9y - \dfrac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3} \right| = 32\pi \).

Khi đó thể tích cần tìm là \(2V = 64\pi \).

Câu 25 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

  • A

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.\)          

  • B

    \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.\)

  • C

    \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\)

  • D

    \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điều kiện cần và đủ để \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

Lời giải chi tiết :

Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu.

Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 1,d =  - 8\)  có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu.

Xét phương án C có

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\).

Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b =  - \dfrac{1}{2},c =  - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\)

Không phải là phương trình mặt cầu.

Câu 26 :

Tính \(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} \) ta được:

  • A

    \( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

  • B

    \( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

  • C

    \(\dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)           

  • D

    \(\dfrac{1}{2}{x^2} - x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức \({\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1,\) sau đó tách thành 2 nguyên hàm và sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Lời giải chi tiết :

\(I = \int {x{{\tan }^2}xdx}  = \int {x\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}  = \int {x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {xdx}  = {I_1} - {I_2}\)

Ta có: \({I_2} = \int {xdx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} + {C_2},{I_1} = \int {x\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \tan x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = x\tan x - \int {\tan xdx}  + {C_1} = x\tan x - \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}dx}  + {C_1} \\ = x\tan x + \int {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}}  + {C_1} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1}.\\ \Rightarrow I = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - {C_2} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| - \dfrac{{{x^2}}}{2} + C.\end{array}$

Câu 27 :

Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:

  • A

    \(\dfrac{3}{2}\)

  • B

    \( - \dfrac{3}{2}\)                   

  • C

    \(\dfrac{5}{2}\)         

  • D

    \( - \dfrac{5}{2}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp để tính tích phân, từ đó tìm \(a,b \Rightarrow a + b\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 \)

$= \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b =  - \dfrac{3}{2}$

Câu 28 :

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:

  • A

    $0$.

  • B

    $\frac{{64}}{3}$.

  • C

    $7$.

  • D

    \(12,5\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phá dấu giá trị tuyệt đối trong từng khoảng rồi tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{c}\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {(x - 3)(x + 1)} \right|dx}  =  - \int\limits_{ - 1}^3 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx}  + \int\limits_3^5 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx} \\ =  - \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_{ - 1}^3 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_3^5 = \dfrac{{64}}{3}.\end{array}$

Câu 29 :

Cho \(\int\limits_0^b {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 3} }}dx}  = 2\) với \(b \in K\). Khi đó $K$ có thể là khoảng nào trong các khoảng sau?

  • A
    \(K = \left( {1;2} \right)\)
  • B
    \(K = \left( {0;1} \right)\)
  • C
    \(K = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
  • D
    \(K = \left( {2;3} \right)\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 3} \).

Lời giải chi tiết :

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 3}  \Rightarrow {t^2} = {e^x} + 3 \Leftrightarrow 2tdt = {e^x}dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = b \Rightarrow t = \sqrt {{e^b} + 3} \end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\int\limits_0^b {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 3} }}dx}  = 2 \Leftrightarrow \int\limits_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } {\frac{{2tdt}}{t}}  = 2 \Leftrightarrow \left. t \right|_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{e^b} + 3}  - 2 = 1 \Leftrightarrow b = \ln 6 \approx 1,8\)

Vậy trong các khoảng ở đáp án chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Câu 30 :

Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là

  • A
    \(T=10\).                                 
  • B
    \(T=9\).                                   
  • C
     \(T=8\).                                  
  • D
     \(T=11\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đặt \({{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\).

Đổi cận:

$\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 9\\
x = 4 \Rightarrow t = 25
\end{array}$

Khi đó, ta có: \(I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8\)

Suy ra, \(a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8\)

Câu 31 :

Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol  \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng

  • A
    \(\frac{4\pi +\sqrt{3}}{12}\)                        
  • B
     \(\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\)
  • C
     \(\frac{4\pi +2\sqrt{3}-3}{6}\)                    
  • D
     \(\frac{5\sqrt{3}-2\pi }{3}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right),y=0,x=a;x=b\) \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1(TM) \\  & x=-1(L) \\ \end{align} \right.\)

Do đó:

\(S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\left. \frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\)

Tính \(I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\).

Đặt \(x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{align}  & x=1\Rightarrow \sin t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6} \\  & x=2\Rightarrow \sin t=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{align}  & I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}.2\cos tdt}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{4{{\cos }^{2}}tdt}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{2\left( \cos 2t+1 \right)dt} \\  & =\left. \sin 2t \right|_{\pi /6}^{\pi /2}+\left. 2t \right|_{\pi /6}^{\pi /2}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)

Suy ra \(S=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\).

Câu 32 :

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x},\) trục hoành và đường thẳng \(x=9.\) Khi (H) quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng:

  • A

    \(18\)                                       

  • B

    \(\frac{18}{2}\)                                               

  • C

    \(18\pi \)                                             

  • D
    \(\frac{81\pi }{2}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay.

Thể tích của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x=a;\,\,x=b\) quanh $Ox$ là \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\).

Lời giải chi tiết :

Đk: \(x\ge 0\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\). Khi đó \(V=\pi \int\limits_{0}^{9}{xdx}=\left. \pi \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{9}=\frac{81\pi }{2}\)

Câu 33 :

Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)

  • A

    \(S = 0.\)

  • B

    \(S = {2^{10}} + 1.\)

  • C

    \(S = 1\).

  • D

    \(S = {2^{10}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = u_1.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có $w = {i^5}\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right) $ $= i.\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right).$

Dễ thấy $T = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}$ là tổng của cấp số nhân có $14$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = i$.

Do đó $T = {u_1}\dfrac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {i^{14}}}}{{1 - i}} = \dfrac{{1 + 1}}{{1 - i}}$ $ = \dfrac{{2\left( {1 + i} \right)}}{{1 + 1}} = 1 + i$

Vậy \(w = i\left( {1 + i} \right) =  - 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = a + b = 0\)

Câu 34 :

Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).

  • A

    \(T = 2\sqrt {13} \).    

  • B

    \(T = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\).

  • C

    \(T = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{3}\).        

  • D

    \(T = 4\sqrt {13} \).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\) thì \({z_1} = \overline {{z_2}} \).

Lời giải chi tiết :

Đặt \({\rm{w}} = x + yi\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}{z_1} = x + yi + 2i = x + \left( {y + 2} \right)i;{z_2} = 2(x + yi) - 3 = \left( {2x - 3} \right) + 2yi \\ \Rightarrow {z_2} = \left( {2x - 3} \right) - 2yi\\{z_1} = \overline {{z_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 3\\y + 2 =  - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + \dfrac{4}{3}i\\{z_2} = 3 - \dfrac{4}{3}i\end{array} \right. \\ \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^2}}  + \sqrt {{3^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}\)

Câu 35 :

Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?

  • A

    \(2\)

  • B

    \(3\)

  • C

    \(4\)

  • D

    \(0\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Số phức \(z\) là số ảo nếu \(a = 0\)

Lời giải chi tiết :

Đặt \(z = a + bi\)

Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5 $ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)

${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$

Do \({z^2}\) là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = a\\
b = - a
\end{array} \right.$

TH1: b=a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow b = 4\\
a = - 3 \Rightarrow b = - 3
\end{array} \right.$

TH2: b=-a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 $ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow b = - 3\\
a = - 4 \Rightarrow b = 4
\end{array} \right.$

Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.

Câu 36 :

Cho số phức $z$ thay đổi, luôn có $\left| z \right| = 2$ . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = (1 - 2i)\overline z  + 3i$ là

  • A

    Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 2\sqrt 5 $

  • B

    Đường tròn ${x^2} + {(y + 3)^2} = 20$

  • C

    Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 20$

  • D

    Đường tròn ${(x - 3)^2} + {y^2} = 2\sqrt 5 $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đặt \(w = a + bi\), rút $\overline z $ theo \(w\) và thay và điều kiện \(\left| z \right| = 2\) suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

Giả sử ${\rm{w}} = a + bi(a,b \in R) \Rightarrow a + bi = (1 - 2i)\overline z  + 3i$  $\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  = \dfrac{{a + (b - 3)i}}{{1 - 2i}} = \dfrac{{\left[ {a + (b - 3)i} \right](1 + 2i)}}{5} = \dfrac{{a - 2(b - 3) + (2a + b - 3)i}}{5}\\ \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \dfrac{1}{5}\sqrt {{{\left[ {a - 2(b - 3)} \right]}^2} + {{(2a + b - 3)}^2}}  = 2\\ \Rightarrow {(a - 2b + 6)^2} + {(2a + b - 3)^2} = 100\\ \Rightarrow {(a - 2b)^2} + {(2a + b)^2} + 12(a - 2b) - 6(2a + b) = 55\\ \Rightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30b = 55 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 6b = 11 \Rightarrow {a^2} + {(b - 3)^2} = 20\end{array}$

Câu 37 :

Biết số phức $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5 $ và biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left| z \right|$.

  • A

    $\left| z \right| = \sqrt {33} $.

  • B

    $\left| z \right| = 50$.

  • C

    $\left| z \right| = \sqrt {10} $.

  • D

    $\left| z \right| = 5\sqrt 2 $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\)

- Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\) suy ra tập hợp biểu diễn của số phức \(z\).

- Bước 3: Sử dụng mối quan hệ hình học để tìm mô đun số phức cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Vì $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5  \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5.$

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;4} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5 $.

Ta có $P = {\left| {\left( {x + 2} \right) + yi} \right|^2} - {\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right|^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]$.

$ = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 - P = 0.$

Ta tìm $P$ sao cho đường thẳng $\Delta :4x + 2y + 3 - P = 0$ và đường tròn $\left( C \right)$ có điểm chung $ \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] \le R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {12 + 8 + 3 - P} \right|}}{{\sqrt {20} }} \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {23 - P} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le P \le 33.$

Do đó ${P_{\max }} = 33$. Dấu $'' = ''$ xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y - 30 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \,5\end{array} \right.$.

Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2 $.

Câu 38 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:

  • A

    \(\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

  • B

    \(\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

  • C

    \(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

  • D

    $\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhận xét trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) rồi suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(G'\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).

Ta có \(\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'C}  + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {G'C}  = \overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(G'\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên có tọa độ \(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right).\)

Câu 39 :

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$  song song với mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - z - 2 = 0$  và cách $\left( Q \right)$  một khoảng là \(2\sqrt 3 \) .

  • A

    $x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .

  • B

    $x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .

  • C

    $x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .

  • D

    $x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ở dạng tổng quát với chú ý $\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = k.\overrightarrow {{n_Q}} $

- Tìm một điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và viết công thức khoảng cách \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\) và tìm.

- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là

\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Lời giải chi tiết :

Vì $\left( P \right)$  song song với $\left( Q \right)$  nên $\left( P \right):x + y - z + c = 0$  với \(c \ne  - 2\) .

Chọn $A\left( {2,0,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$ ta có

\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow |2 + c| = 6\).

 Suy ra $c = 4$ hoặc $c =  - 8$.

Câu 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}\).

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng \({d_3}\) qua \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và vuông góc với cả \({d_1},\,\,{d_2}.\)

  • A

    \(\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}\)

  • B

    \(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)

  • C

    \(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}\)

  • D

    \({d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)

Lời giải chi tiết :

Đường \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 4;6} \right)\);  \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow b  = \left( {2;1; - 5} \right)\).

Vì \({d_3}\) vuông góc với \({d_1};\,\,{d_2}\) nên có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {14;17;9} \right)\).

Câu 41 :

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:

  • A

    \(3\sqrt {19} \)

  • B

    \(\dfrac{{3\sqrt {19} }}{{13}}\)

  • C

    \(\sqrt 6 \)

  • D

    \(\dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\) 

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng \(AB\).

- Đường cao \(OH\) chính là khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(AB\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3;1} \right)\)

$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)$

Do đó \(OH = d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\)

Câu 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{      }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:

  • A

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

  • B

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

  • C

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

  • D

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{       }}}\end{array}} \right.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(\Delta \) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và vuông góc với \(\left( P \right)\), suy ra $\left( Q \right):2x + y - 3z + 1 = 0.$

Khi đó \(\Delta '\) cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\2x + y - 3z + 1 = 0\end{array} \right..$

Đặt \(z = t,\) ta có phương trình tham số của \(\Delta '\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t{\rm{       }}}\end{array}} \right..\)

Câu 43 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).

  • A

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)

  • B

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)

  • C

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)                    

  • D

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét từng đáp án:

- Xác định tâm mặt cầu và thay vào mặt phẳng.

- Tính bán kính mặt cầu và kiểm tra khoảng cách từ tâm đến các điểm \(A,B,C\) bằng bán kính.

Lời giải chi tiết :

- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án

+ A cho mặt cầu tâm \({I_A}(1, - 1,1)\)  và \({R_A} = \sqrt {13} \)

+ B cho mặt cầu tâm \({I_B}(2, - 1,3)\)  và \({R_B} = 4\)

+ C cho mặt cầu tâm \({I_C}( - 2,1, - 3)\)  và \({R_C} = 2\sqrt 3 \)

+ D cho mặt cầu tâm \({I_D}(1, - 1,1)\)  và \({R_D} = \sqrt 5 \)

- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \((\alpha )\)  hay không. Loại được đáp án C.

- Ta thấy\({I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\), nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với \({R_A},{R_D}\) .

Có \(IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}}  = \sqrt {21} \) . Ta thấy \(IM \ne {R_A} \ne {R_D}\). Loại A và D

Câu 44 :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm \(I( - 1;2; - 5)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 10 = 0\) theo thiết diện là hình tròn có diện tích \(3\pi \). Phương trình của $\left( S \right)$ là:

  • A

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)

  • B

    \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 5)^2} = 25\)                           

  • C

    \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(x - 5)^2} = 16\)           

  • D

    \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 12 = 0\) 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Xác định bán kính mặt cầu $\left( S \right)$

+ Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là tâm của đường tròn thiết diện, $E$ là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có: $IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE$

\(IO = d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3\)

\(S = 3\pi  = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3\)

Tam giác $IOE$ vuông tại $O$ nên \({R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.\)

Suy ra phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)

Câu 45 :

Cho \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x=}\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f(x)\text{d}x}=1.\) Giá trị của \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f(x)}{{{3}^{x}}+1}\text{d}x}\) bằng

  • A
    3
  • B
    1
  • C
    4
  • D
    6

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chọn hàm (hàm chẵn, 2 giả thiết \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+b\)) hoặc đổi biến số để tính tích phân

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=1\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=1}}}\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=2.}\)

\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=3.}}\)

Mặt khác: \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}dx}=\int\limits_{-2}^{0}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}dx+\int\limits_{0}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}dx}}\) và \(y=f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(R.\)

\(\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right)\ \forall x\in R.\)

Gọi \(I=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}\,\text{d}x}\), đặt \(t=-\,x\Rightarrow \text{d}t=-\,\text{d}x\) và đổi cận \(\left\{ \begin{align}  & x=-\,2\,\,\Rightarrow \,\,t=2 \\  & x=2\,\,\Rightarrow \,\,t=-\,2 \\ \end{align} \right..\)

Suy ra \(I=\int\limits_{2}^{-\,2}{\frac{f\left( -t \right)}{{{3}^{-t}}+1}\,\left( -\,\text{d}t \right)}=\int\limits_{-\,2}^{2}{\frac{f\left( t \right)}{\frac{1}{{{3}^{t}}}+1}\,\text{d}t}=\int\limits_{-\,2}^{2}{\frac{{{3}^{x}}f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}\,\text{d}x}\)

\(\Rightarrow \,\,2I=\int\limits_{-\,2}^{2}{\frac{\left( {{3}^{x}}+1 \right)f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\,2}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\)

Do \(f\left( x \right)\) là hàm chẵn nên suy ra \(\int\limits_{-\,2}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\).

Vậy \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=3.\)

Câu 46 :

 Tìm thể tích \(V\) của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\) khi quay quanh trục \(Ox.\)

  • A
    \(V=24{{\pi }^{2}}.\)     
  • B
     \(V=24\pi .\)     
  • C
    \(V=16\pi .\)     
  • D
    \(V=36{{\pi }^{2}}.\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay được quay quanh trục hoành của các đồ thị hàm số : \(y=f\left( x \right);\ x=a;\ x=b\ \ \left( a<b \right)\) là : \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[\begin{align}  & y=f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\ & y=g\left( x \right)=-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\\end{align} \right.\)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}-\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{g}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}\)

\(\begin{align}  & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \right)}^{2}}-{{\left( 3-\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \,\int\limits_{-\,2}^{2}{12\sqrt{4-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}=24{{\pi }^{2}}. \\\end{align}\)

Vậy thể tích cần tính là \(V=24{{\pi }^{2}}.\)

Câu 47 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó

  • A

    \(r = \sqrt 2 \)

  • B

    $r = 2$

  • C

    $r = 4$

  • D

    \(r = 2\sqrt 2 \)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)

Bước 2: Thay \(z\) vào đề bài \( \Rightarrow \) Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: \(Ax + By + C = 0.\)

+) Đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\)

+) Parabol: \(y = a.{x^2} + bx + c\)

+) Elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1\)

Lời giải chi tiết :

Giả sử $w = a + bi$ . Ta có

\(\begin{array}{l}w = (1 - i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)z + i\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + i + 2(1 - i)\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + 2 - i\\ \Leftrightarrow (1 - i)(z - 2) = a - 2 + (b + 1)i\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{a - 2 + (b + 1)i}}{{1 - i}}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{\left[ {a - 2 + (b + 1)i} \right](1 + i)}}{2}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - 2 - b - 1 + (a - 2 + b + 1)i} \right]\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - b - 3 + (a + b - 1)i} \right]\end{array}\)

 Theo giả thiết $\left| {z - 2} \right| = 2$ nên ta có \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}\left[ {{{(a - b - 3)}^2} + {{(a + b - 1)}^2}} \right] = 4 \Leftrightarrow {(a - b - 3)^2} + {(a + b - 1)^2} = 16 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 10 - 8a + 4b = 16\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b + 1)^2} = 8\end{array}\)

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \).

Câu 48 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình là:

  • A

    \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)           

  • B

    \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)

  • C

    \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

  • D

    \(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi \(B = \Delta  \cap d\)

- \(\Delta //\left( \alpha  \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\)

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Gọi \(B = \Delta  \cap d\), suy ra \(B \in d \Rightarrow B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)\).

Suy ra đường thẳng \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2 + t;1 + 3t;1 + 2t} \right)\).

Vì \(\Delta \parallel \left( \alpha  \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3t - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).

Do đó phương trình \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\).

Câu 49 :

Gọi \(F\left( x \right) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x}\). Tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\)

  • A

    $244$

  • B

    $247$

  • C

    $245$

  • D

    $246$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

+) Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số.

Lời giải chi tiết :

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right){e^x} + \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a{x^3} + \left( {3a + b} \right){x^2} + \left( {2b + c} \right)x + c + d} \right){e^x}\end{array}\)

Do đó \(\left( {a{x^3} + \left( {3a + b} \right){x^2} + \left( {2b + c} \right)x + c + d} \right){e^x} = \left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x}\)

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\3a + b = 9\\2b + c =  - 2\\c + d = 5\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c =  - 8\\d = 13\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = {d^2} = 246\)

Câu 50 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n  = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

  • A

    \(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • B

    \(mn =  - \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • C

    \(mn = 4\)

  • D

    \(mn =  - 4\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) biết VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;m;n} \right)\) và đi qua \(A\).

- \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\).

- Tìm GTLN của biểu thức \(d\left( {B,\left( P \right)} \right)\) và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

                                                      $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ =  > d(B,(P))\max  = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19}  \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}}  = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

      $\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow  - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

Bài liên quan
close