Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 :

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4x+4$, trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng (d) đi qua điểm $A\left( 0;4 \right)$ và có hệ số góc k chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A

k=-8
B

k=-6
C

k=-2
D
k=-4

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

$A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

A

$4$
B

$5$
C

$7$
D

$6$

Câu 3 :

Tìm phần ảo $b$ của số phức $w = \dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$ với $z = 5 - 3i$.

A

$b = 0.$
B

$b = - 6$.
C

$b = - 3i$.
D

$b = - 3$.

Câu 4 :

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ là :

A
$\sin x - \cos x + C$
B
$\sin x + \cot x + C$
C
$\cos x - \sin x + C$
D
$\sin x + \cos x + C$

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0$. Tiếp diện của $(S)$ tại điểm $M(-1;2;0)$ có phương trình là:

A

$2x+y=0$
B

$x = 0$
C

$y = 0$
D

$z = 0$

Câu 6 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ thỏa mãn $\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 10;\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 18;\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = 7$. Giá trị của $\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $ là:

A

$ - 15$
B

$7$
C

$15$
D

$ - 7$

Câu 7 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn$|z - 1 - 2i| = 4$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $|z + 2 + i|$. Tính $S = {M^2} + {m^2}$.

A

$S = 34$
B

$S = 82$
C

$S = 68$
D

$S = 36$

Câu 8 :

Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 3 + 2i$ và $B$ là điểm biểu diễn của số phức $z' = 2 + 3i$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
B

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung.
C

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$.
D

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Câu 9 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = - \,{x^2} + 2x$ và $y = 0$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ là

A

$V = \dfrac{7}{3}\pi .$
B

$V = \dfrac{8}{3}\pi .$
C

$V = \dfrac{{10}}{3}\pi .$
D

$V = \dfrac{{16}}{3}\pi .$

Câu 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {2; - 6;3} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$ là:

A

$\left( {1; - 2;0} \right)$
B

$\left( { - 8;4; - 3} \right)$
C

$\left( {1;2;1} \right)$
D

$\left( {4; - 4;1} \right)$

Câu 11 :

Tính tổng $T$ của phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.$

A

$T = 11$.
B

$T = 11 + 6\sqrt 2 $.
C

$T = - 7 + 6\sqrt 2 $.
D

$T = - 7$.

Câu 12 :

Cho ba điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ lần lượt biểu diễn ba số phức ${z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3}$ với ${z_3} \ne {z_1}$ và ${z_3} \ne {z_2}.$ Biết $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$ và ${z_1} + {z_2} = 0.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
B

Tam giác $ABC$ đều
C

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
D

Tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Câu 13 :

Cho phương trình $4{z^4} + m{z^2} + 4 = 0$ trong tập số phức và $m$ là tham số thực. Gọi ${z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3},{\rm{ }}{z_4}$ là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right) = 324$.

A

$m = 1$ hoặc $m = - 35$.
B

$m = - 1$ hoặc $m = - 35$.
C

$m = - 1$ hoặc $m = 35$.
D

$m = 1$ hoặc $m = 35$.

Câu 14 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C

$M \in \left( P \right)$
D

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$, cho hai điểm $E\left( {2,1,1} \right),{\rm{ }}F\left( {0,3, - 1} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $EF$ có phương trình là:

A

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 3.$
B

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 9.$
C

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 9.$
D

${(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 9.$

Câu 16 :

Gọi $S$ là tổng phần thực và phần ảo của số phức $w = {z^3} - i$, biết $z$ thỏa mãn $z + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\overline {iz} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$S = - 46.$
B

$S = - 36$.
C

$S = - 56$.
D

$S = - 1$.

Câu 17 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Câu 18 :

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d có phương trình $d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{3}$ với mặt phẳng (P) có phương trình $(P):x + 2y - z - 3 = 0$ là:

A

$A\left( { - 3;1; - 7} \right)$
B

$B\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
C

$C\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
D

$D\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)$

Câu 19 :

Cho hình phẳng giới hạn bởi $D = \left\{ {y = \tan x;\,\,y = 0;\,\,x = 0;\,\,x = \dfrac{\pi }{3}} \right\}.$ Thể tích vật tròn xoay khi $D$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi \left( {a - \dfrac{\pi }{b}} \right),$ với $a,\,\,b \in R.$ Tính $T = {a^2} + 2b.$

A

$T = 6.$
B

$T = 9.$
C

$T = 12.$
D

$T = 3.$

Câu 20 :

Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ là đường thẳng $\Delta $ như hình vẽ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.

A

${\left| z \right|_{\min }} = 2.$
B

${\left| z \right|_{\min }} = 1.$
C

${\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 2 .$
D

${\left| z \right|_{\min }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Câu 21 :

Hoành độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k $ là:

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Câu 22 :

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {m;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;n;p} \right)$. Biết $\overrightarrow u = \overrightarrow v $, giá trị $T = m - n + p$ bằng:

A

$3$
B

$2$
C

$1$
D

$ - 1$

Câu 23 :

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;-2;\ 1 \right),\ B\left( 1;-1;\ 3 \right).$ Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB}$ là

A
$\left( -1;\ 1;\ 2 \right)$
B
$\left( -3;\ 3;-4 \right)$
C
$\left( 3;-3;4 \right)$
D
$\left( 1;-1;-2 \right)$

Câu 24 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):4x + 3y - 7z + 3 = 0$ và điểm $I(0;1;1)$. Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ qua $I$ là:

A

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
B

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
C

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
D

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$

Câu 25 :

Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$

A

$z = 2017 - 4066274i$.
B

$z = 2018 + 4066274i$.
C

$z = 2018 - 4066274i$.
D

$z = 2016 - 4066274i$.

Câu 26 :

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0$

A

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$
B

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3$
C

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$
D

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Câu 27 :

Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z $

A

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2i$
B

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2$
C

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2i$
D

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2$

Câu 28 :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{e^x}$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2;x = 3$ có công thức tính là

A
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$
B
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{e^x}} \right|dx} .$
C
$S = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} } \right|.$
D
$S = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$

Câu 29 :

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$. Biết rằng $f\left( 0 \right)=2018$. Giá trị của biểu thức $f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)$ bằng:

A
$\ln 2$
B

$2\ln 4$
C
$\ln 3$
D
$2\ln 2$

Câu 30 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn $[0;\pi ]$ đạt giá trị bằng $0$ ?

A

$f(x) = \cos 3x$.
B

$f(x) = \sin 3x$.
C

$f(x) = \cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.
D

$f(x) = \sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 31 :

Tính tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

A

$I = \ln \dfrac{6}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
B

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{6}$
C

$I = \ln \dfrac{4}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
D

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$

Câu 32 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} $. Gọi $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}$. Chọn kết luận đúng:

A

$a - b = - 1$
B

$a + b = 1$
C

$a + b = 2$
D

$a - b = 0$

Câu 33 :

Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình $y=\frac{10}{3}x-{{x}^{2}}$, $y=\left\{ \begin{align} & -x\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,x\le 1 \\ & x-2\,\,\text{khi}\,\,x>1 \\ \end{align} \right.$. Diện tích của $\left( H \right)$ bằng?

A
$\frac{11}{6}.$
B
$\frac{13}{2}$.
C
$\frac{11}{2}$.
D
$\frac{14}{3}$.

Câu 34 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},\ \ y=0,\ x=0,\ x=1$ xung quanh trục $Ox$ là:

A
$V=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
B
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx.}$
C
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
D
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx.}$

Câu 35 :

Tìm môđun của số phức $z$, biết $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i.$

A

$\left| z \right| = \sqrt[4]{{\dfrac{1}{2}}}.$
B

$\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
C

$\left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 .$

Câu 36 :

Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó

A

$w = {2^{50}}i$
B

$w = - {2^{51}}$
C

$w = {2^{51}}$.
D

$w = - {2^{50}}i$.

Câu 37 :

Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau ${z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i$. Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Câu 38 :

Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:

A

Cả mặt phẳng
B

Đường thẳng
C

Một điểm
D

Hai đường thẳng

Câu 39 :

Cho ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $|{z_1} - {z_2}| = 1$ và $|{z_1} + {z_2}| = 3$. Tính $\max T = |{z_1}| + |{z_2}|$

A

$8$
B

$10$
C

$4$
D

$\sqrt {10} $

Câu 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(2; - 1;1)$, $B(3;0; - 1)$, $C(2; - 1;3)$ và $D$ thuộc trục $Oy$ . Tính tổng tung độ của các điểm $D$, biết thể tích tứ diện bằng $5$ .

A

$ - 6$
B

$2$
C

$7$
D

$ - 4$

Câu 41 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 0;1;2 \right),\,\,B\left( 2;-\,2;0 \right)$ và $C\left( -\,2;0;1 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,$ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có phương trình là

A

$4x-2y+z+4=0.$
B

$4x+2y+z-4=0.$
C

$4x-2y-z+4=0.$
D

$4x+2y-z+4=0.$

Câu 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $d$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với trục $Ox$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$. Phương trình của $d$ là:

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = - t\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3t\\z = - t\end{array} \right.$
C

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3t\\z = t\end{array} \right.$

Câu 43 :

Cho hình lập phương $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khoảng cách giữa $MN$ và $A'C$ là:

A

$\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
B

$\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$
C

$\dfrac{1}{2}$
D

$\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}$

Câu 44 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,\,\,B$ và $\left( P \right)$ cách điểm $O$ một khoảng lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A
$x+2y+6z-7=0.$
B
$x+2y+4z-5=0.$
C
$x+2y+5z-6=0.$
D
$2x+3y+5z-6=0.$

Câu 45 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Câu 46 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72$ và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

A

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C

$mn = 4$
D

$mn = - 4$

Câu 47 :

Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}$ biết $f(0)=\frac{11}{3}$. Giá trị $f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)$ bằng

A
$\frac{1}{2}$.
B
$\frac{5\sqrt{6}}{18}$.
C
$1.$
D
$\frac{5\sqrt{6}}{9}$.

Câu 48 :

Người ta cần trồng hoa tại phần đắt nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ $O$ , bán kính bằng $\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt 2 $ và độ dài trục nhỏ bằng $2$ (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón $\dfrac{{100}}{{(2\sqrt 2 - 1)\pi }}kg$ phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?

A

$30kg$
B

$40kg$
C

$50kg$
D

$45kg$

Câu 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right):\,\,3x-y+4z+2=0$ và $\left( {{Q}_{2}} \right):\,\,3x-y+4z+8=0$. Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$ là:

A

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0$
B

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$
C

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0$
D

$\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0$

Câu 50 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y = 0$. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua $A\left( { - 1;3; - 4} \right)$ cắt trục $Ox$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$:

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 3 + t\\z - 4 - t\end{array} \right.$
C

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{4}$
D

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 4}}{4}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

k=-8
B

k=-6
C

k=-2
D
k=-4

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Tính diện tích hình (H), áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, đường thẳng x = a, x = b, trục hoành là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$

+) Viết phương trình đường thẳng (d), đường thẳng (d) chia hình (H) thành 2 phần, trong đó có 1 phần là tam giác vuông, tính diện tích tam giác vuông và cho ${{S}_{\Delta }}=\frac{1}{2}{{S}_{\left( H \right)}}\Rightarrow $ tìm k.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow x=2$

$\Rightarrow $ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4x+4$, trục tung và trục hoành là $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-4x+4 \right|dx}=\frac{8}{3}$

Đường thẳng (d) đi qua A(0;4) và có hệ số góc là k chia hình (H) thành hai phần:

Phần 1: Tam giác vuông OAB có diện tích S₁.

Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng (d), đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4x+4$ và trục hoành.

Đường thẳng (d) có phương trình $y=kx+4$ cắt trục hoành tại điểm $B\left( -\frac{4}{k};0 \right)$, với ${{x}_{B}}\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow k\le -2$

Đường thẳng (d) chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau$\Rightarrow {{S}_{1}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.4.\left| \frac{-4}{k} \right|=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \left| \frac{1}{k} \right|=\frac{1}{6}\Leftrightarrow k=\pm 6\Rightarrow k=-6$

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

A

$4$
B

$5$
C

$7$
D

$6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện để $H$ là trực tâm của tam giác là $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c = - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + c = 4$.

Câu 3 :

Tìm phần ảo $b$ của số phức $w = \dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$ với $z = 5 - 3i$.

A

$b = 0.$
B

$b = - 6$.
C

$b = - 3i$.
D

$b = - 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm $\overline z $ và thay và tìm $w$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = 5 - 3i \Rightarrow \bar z = 5 + 3i.$

Vậy $\dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right) = \dfrac{1}{{2i}}\left[ {\left( {5 - 3i} \right) - \left( {5 + 3i} \right)} \right] = \dfrac{1}{{2i}}\left( { - 6i} \right) = - 3 = - 3 + 0i.$

Câu 4 :

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ là :

A
$\sin x - \cos x + C$
B
$\sin x + \cot x + C$
C
$\cos x - \sin x + C$
D
$\sin x + \cos x + C$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

$\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C$

Câu 5 :

A

$2x+y=0$
B

$x = 0$
C

$y = 0$
D

$z = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$

+ Phương trình tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M \in \left( S \right)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} $ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và bán kính $R = 3$

Ta có : $M( - 1;2;0) \in \left( S \right)$

Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$.

Khi đó $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right)$ làm véctơ pháp tuyến

Vậy $\left( \alpha \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Câu 6 :

A

$ - 15$
B

$7$
C

$15$
D

$ - 7$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} $

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = 10 - 7 - 18 = - 15 \Rightarrow \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = 15\end{array}$

Câu 7 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn$|z - 1 - 2i| = 4$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $|z + 2 + i|$. Tính $S = {M^2} + {m^2}$.

A

$S = 34$
B

$S = 82$
C

$S = 68$
D

$S = 36$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: $\left| A \right| - \left| B \right| \le \left| {A \pm B} \right| \le \left| A \right| + \left| B \right|$.

Đặc biệt $\left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \leqslant \left| {A \pm B} \right| \leqslant \left| A \right| + \left| B \right|$

Lời giải chi tiết :

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

$|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m$

$|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M$

Suy ra ${M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68$

Câu 8 :

Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 3 + 2i$ và $B$ là điểm biểu diễn của số phức $z' = 2 + 3i$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
B

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung.
C

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$.
D

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ mỗi điểm $A,B$ và nhận xét vị trí của $A,B$.

Lời giải chi tiết :

Số phức $z = 3 + 2i$ có điểm biểu diễn là $A$ suy ra $A\left( {3;2} \right)$.

Số phức $z' = 2 + 3i$ có điểm biểu diễn là $B$ suy ra $B\left( {2;3} \right)$.

Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {y_B}\\{y_A} = {x_B}\end{array} \right.$ nên hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Câu 9 :

A

$V = \dfrac{7}{3}\pi .$
B

$V = \dfrac{8}{3}\pi .$
C

$V = \dfrac{{10}}{3}\pi .$
D

$V = \dfrac{{16}}{3}\pi .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Rút hàm số theo biến y, $x = f\left( y \right);x = g\left( y \right)$.

Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm ra các cận $y = a$ và $y = b$.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục $Oy$ của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số $x = f\left( y \right),x = g\left( y \right),y = a,y = b$ là $V = \pi\int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right|dy} $.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y = - \,{x^2} + 2x \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 - y \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{ }}x = 1 - \sqrt {1 - y} \\{\rm{ }}x = 1 + \sqrt {1 - y} \end{array} \right..$

Xét phương trình tung độ giao điểm $1 - \sqrt {1 - y} = 1 + \sqrt {1 - y} \Leftrightarrow \sqrt {1 - y} = 0 \Leftrightarrow y = 1$.

Khi đó, thể tích cần tính là $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right|{\rm{d}}y} = \left| {\pi \int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} \,{\rm{d}}y} } \right|$

Đặt $\sqrt {1 - y} = t \Leftrightarrow 1 - y = {t^2} \Leftrightarrow dy = - 2tdt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}y = 0 \Leftrightarrow t = 1\\y = 1 \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right.$

Khi đó $V=\left| -\pi \int\limits_{1}^{0}{4t.2tdt} \right|=\left| 8\pi \int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}dt} \right|=\left| 8\left. \pi \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1} \right|=\dfrac{8\pi }{3}$

Câu 10 :

A

$\left( {1; - 2;0} \right)$
B

$\left( { - 8;4; - 3} \right)$
C

$\left( {1;2;1} \right)$
D

$\left( {4; - 4;1} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$.

- $MH \bot d$ nên $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$.

Suy ra $H \in d$ nên $H\left( {1 + 3t; - 2 - 2t;t} \right)$$ \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {3t - 1;4 - 2t;t - 3} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow u = \left( {3; - 2;1} \right)$.

Ta có $MH \bot d$ nên $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 3\left( {3t - 1} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) + \left( {t - 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {4; - 4;1} \right)$.

Câu 11 :

Tính tổng $T$ của phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.$

A

$T = 11$.
B

$T = 11 + 6\sqrt 2 $.
C

$T = - 7 + 6\sqrt 2 $.
D

$T = - 7$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biến đổi $z$ về dạng $z = a + bi$ suy ra phần thực và phần ảo.

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .3i + {\left( {3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i - 9 = - 7 + 6\sqrt 2 i.$

Suy ra $T = - 7 + 6\sqrt 2 .$

Câu 12 :

A

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
B

Tam giác $ABC$ đều
C

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
D

Tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biểu diễn hình học các điểm biểu diễn ${z_1},{z_2},{z_3}$ và nhận xét tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = R.$

Khi đó $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ nằm trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

Do ${z_1} + {z_2} = 0$ nên hai điểm $A,{\rm{ }}B$ đối xứng nhau qua $O.$ Như vậy điểm $C$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ (bỏ đi hai điểm $A$ và $B$) hay tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Câu 13 :

A

$m = 1$ hoặc $m = - 35$.
B

$m = - 1$ hoặc $m = - 35$.
C

$m = - 1$ hoặc $m = 35$.
D

$m = 1$ hoặc $m = 35$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đặt $t = {z^2}$, đưa phương trình về ẩn $t$.

- Biến đổi đẳng thức bài cho về đẳng thức liên quan đến các nghiệm ${t_1},{t_2}$ và sử dụng định lý Vi-et đưa về phương trình ẩn $m$.

- Giải phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = {z^2}$, phương trình trở thành $4{t^2} + mt + 4 = 0$ có hai nghiệm ${t_1},{\rm{ }}{t_2}$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - \dfrac{m}{4}\\{t_1}.{t_2} = 1\end{array} \right.$ .

Do vai trò của các nghiệm như nhau nên ta giả sử ta có $z_1^2 = z_2^2 = {t_1}$, $z_3^2 = z_4^2 = {t_2}$.

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {\left( {{t_1} + 4} \right)^2}{\left( {{t_2} + 4} \right)^2} = 324 \Leftrightarrow {\left[ {{t_1}{t_2} + 4\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 16} \right]^2} = 324$

$ \Leftrightarrow {\left( { - m + 17} \right)^2} = {18^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m + 17 = 18\\ - m + 17 = - 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 35\end{array} \right.$ .

Câu 14 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C

$M \in \left( P \right)$
D

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính khoảng cách từ $M$ đến hai mặt phẳng trên, từ đó suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$ nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó $M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)$ nên C sai.

Câu 15 :

A

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 3.$
B

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 9.$
C

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 9.$
D

${(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 9.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ tâm mặt cầu: là trung điểm của $AB$.

- Tính bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{{AB}}{2}$, suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Ta có $EF = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{(1 + 1)}^2}} = 2\sqrt 3 $ .

Mặt cầu $(S)$ đường kính $EF $ nhận trung điểm $I$ của $EF$ là tâm, có $I\left( {1,2,0} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{1}{2}EF = \sqrt 3 $.

Câu 16 :

A

$S = - 46.$
B

$S = - 36$.
C

$S = - 56$.
D

$S = - 1$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đặt $z = a + bi$, thay vào đẳng thức bài cho tìm $z$.

- Từ đó tính $w$.

Lời giải chi tiết :

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $iz = i\left( {x + yi} \right) = - y + xi$ $ \Rightarrow \overline {iz} = - y - xi$

Theo giả thiết, ta có $x + yi + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\left( { - y - xi} \right)$

$ \Leftrightarrow x + 2 + \left( {y - 4} \right)i = \left( { - 2y - x} \right) + \left( {y - 2x} \right)i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = - 2y - x\\y - 4 = y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 - 3i$

Khi đó $w = {z^3} - i = {\left( {2 - 3i} \right)^3} - i = - 46 - 10i$.

Câu 17 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt u = lnx $ \Rightarrow du = \dfrac{{dx}}{x}$ và $x = {e^u}$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - u}}{{{e^u}}}du} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $

Câu 18 :

A

$A\left( { - 3;1; - 7} \right)$
B

$B\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
C

$C\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
D

$D\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số. Suy ra tọa độ điểm $M \in (d)$

Sau đó thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng để tìm tham số. Kết luận.

Lời giải chi tiết :

Giả sử M là giao điểm của (d) và (P).

$d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{3} \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 0 - t\\z = - 2 + 3t\end{array} \right.$

Lấy $M \in (d) \Rightarrow M\left( { - 1 + t; - t; - 2 + 3t} \right)$

Vì $M \in (P) \Rightarrow - 1 + t + 2.( - t) - ( - 2 + 3t) - 3 = 0 \Leftrightarrow - 4t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{2}$

Suy ra ta có $M\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)$

Câu 19 :

A

$T = 6.$
B

$T = 9.$
C

$T = 12.$
D

$T = 3.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),x = a,x = b$ quanh trục Ox là: $V = \pi .\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Lời giải chi tiết :

Thể tích vật tròn xoay cần tính là $V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {{{\tan }^2}x\,{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\,{\rm{d}}x} .$$=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{3}}=\pi \left( \sqrt{3}-\dfrac{\pi }{3} \right)=\pi \left( a-\dfrac{\pi}{3} \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align} & a=\sqrt{3} \\ & b=3 \\ \end{align} \right..$

Vậy $T = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 2.3 = 9.$

Câu 20 :

Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ là đường thẳng $\Delta $ như hình vẽ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.

A

${\left| z \right|_{\min }} = 2.$
B

${\left| z \right|_{\min }} = 1.$
C

${\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 2 .$
D

${\left| z \right|_{\min }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Viết phương trình $\Delta $ suy ra khoảng cách theo công thức $d\left( {A,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Lời giải chi tiết :

$\Delta $ đi qua hai điểm $\left( {1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ nên có phương trình $\Delta :x + y - 1 = 0$.

Khi đó ${\left| z \right|_{\min }} = d\left[ {O,\Delta } \right] = \dfrac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Câu 21 :

Hoành độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k $ là:

A

$ - 1$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa điểm trong không gian $Oxyz$

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)$. Do đó hoành độ của $M$ bằng $ - 1$.

Câu 22 :

A

$3$
B

$2$
C

$1$
D

$ - 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hai véc tơ bằng nhau nếu tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Do $\overrightarrow u = \overrightarrow v $ nên $m = 0,n = 2,p = 1$.

Vậy $m - n + p = 0 - 2 + 1 = - 1$.

Câu 23 :

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;-2;\ 1 \right),\ B\left( 1;-1;\ 3 \right).$ Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB}$ là

A
$\left( -1;\ 1;\ 2 \right)$
B
$\left( -3;\ 3;-4 \right)$
C
$\left( 3;-3;4 \right)$
D
$\left( 1;-1;-2 \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Cho hai điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right);\ \ B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}};\ {{z}_{2}} \right).$ Khi đó ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}};\ {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right).$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}};\ {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)=\left( 1-2;\ -1+2;\ 3-1 \right)=\left( -1;\ 1;\ 2 \right).$

Câu 24 :

A

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
B

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
C

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
D

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ suy ra $(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} $

$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$qua I, suy ra I là trung điểm của AA’ với $A \in \left( \alpha \right);A' \in \left( \beta \right)$

Lời giải chi tiết :

$(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = (4;3; - 7)$

Lấy $A(0; - 1;0) \in \left( \alpha \right)$. Gọi $A' \in \left( \beta \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$.

$ \Rightarrow I$ là trung điểm của $AA'$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow A'(0;3;2)\\ \Rightarrow 4(x - 0) + 3(y - 3) - 7(z - 2) = 0\\ \Rightarrow 4x + 3y - 7z + 5 = 0\end{array}$

Câu 25 :

Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$

A

$z = 2017 - 4066274i$.
B

$z = 2018 + 4066274i$.
C

$z = 2018 - 4066274i$.
D

$z = 2016 - 4066274i$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nhân hai số phức $z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i$

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = {z_1}.{z_2} = \left( {2017 - i} \right)\left( {2 - 2016i} \right) = 2017.2 - 2017.2016i - 2i + 2016{i^2}$

$ = 4034 - 4066272i - 2i - 2016 = \left( {4034 - 2016} \right) + \left( { - 4066272i - 2} \right)i = 2018 - 4066274i.$

Câu 26 :

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0$

A

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$
B

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3$
C

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$
D

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$, đó chính là bán kính mặt cầu cần tìm

Lời giải chi tiết :

Khoảng cách từ $I$ đến $\left( P \right)$ được tính theo công thức $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 - 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Câu 27 :

Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z $

A

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2i$
B

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2$
C

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2i$
D

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $a - bi$.

Phần thực và phần ảo của $z = a + bi$ lần lượt là $a,b$.

Lời giải chi tiết :

Số phức liên hợp của $z$ là $3 + 2i$, phần thực $3$, phần ảo $2$.

Câu 28 :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{e^x}$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2;x = 3$ có công thức tính là

A
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$
B
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{e^x}} \right|dx} .$
C
$S = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} } \right|.$
D
$S = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y =f(x)$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = a;x = b$ có công thức tính là $S = \int\limits_{ a}^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{e^x}$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2;x = 3$ có công thức tính là $S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{e^x}} \right|dx} .$

Câu 29 :

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$. Biết rằng $f\left( 0 \right)=2018$. Giá trị của biểu thức $f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)$ bằng:

A
$\ln 2$
B

$2\ln 4$
C
$\ln 3$
D
$2\ln 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$f\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết :

$f\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1}{x+1}dx}$ $=\ln \left| x+1 \right|+C$

$f\left( 0 \right)=2018\Leftrightarrow C=2018$ $\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left| x+1 \right|+2018$

$\Rightarrow f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)$ $=\ln 4+2018-\ln 2-2018=\ln 2$

Câu 30 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn $[0;\pi ]$ đạt giá trị bằng $0$ ?

A

$f(x) = \cos 3x$.
B

$f(x) = \sin 3x$.
C

$f(x) = \cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.
D

$f(x) = \sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính tích phân các hàm đã cho trên $\left[ {0;\pi } \right]$, sử dụng các công thức nguyên hàm hàm lượng giác cơ bản:

$\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C$, $\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C$ và công thức tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Lời giải chi tiết :

Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án:

+) $\int\limits_0^\pi {\cos 3xdx} = \left. {\dfrac{1}{3}\sin 3x} \right|_0^\pi = 0$,

+) $\int\limits_0^\pi {\sin 3xdx} = - \left. {\dfrac{1}{3}\cos 3x} \right|_0^\pi = \dfrac{2}{3}$,

+) $\int\limits_0^\pi {\cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)dx} = \left. {4\sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|_0^\pi = 2\left( {\sqrt 2 - 2} \right)$,

+) $\int\limits_0^\pi {\sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)dx} = \left. { - 4\cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|_0^\pi = 2\sqrt 2 $.

Vậy chọn $f(x) = \cos 3x$.

Câu 31 :

Tính tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

A

$I = \ln \dfrac{6}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
B

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{6}$
C

$I = \ln \dfrac{4}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
D

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt $t = \sin x + \cos x$, tính $dt$ và đổi cận thay vào tính $I$.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx,$ đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = \int\limits_{\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}^{\sqrt 2 } {\dfrac{{ - dt}}{t}} = \left. { - \ln \left| t \right|} \right|_{\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}^{\sqrt 2 } = - \ln \sqrt 2 + \ln \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} = \ln \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$

Câu 32 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} $. Gọi $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}$. Chọn kết luận đúng:

A

$a - b = - 1$
B

$a + b = 1$
C

$a + b = 2$
D

$a - b = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần:

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.$

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức $\int\limits_m^n {udv} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = - \cos x\end{array} \right.$ $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = \left. { - {e^x}\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = 1 + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = \sin xdx\end{array} \right.$

Khi đó $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = \left. {{e^x}\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I$

Do đó $I = 1 + {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I \Leftrightarrow 2I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1 \Leftrightarrow I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.

Câu 33 :

A
$\frac{11}{6}.$
B
$\frac{13}{2}$.
C
$\frac{11}{2}$.
D
$\frac{14}{3}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chia thành các miền diện tích và áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết :

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=-x$ và $y=x-2$ là: $-x=x-2\,\Leftrightarrow x=1$.

Diện tích hình phẳng cần tính là:$S=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{10}{3}x-{{x}^{2}}+x \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{10}{3}x-{{x}^{2}}-x+2 \right)\text{d}x}$.

$\Leftrightarrow S=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{13}{3}x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{7}{3}x-{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x}$

$\Leftrightarrow S=\left. \left( \frac{13}{6}{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)\, \right|_{\,0}^{1}+\left. \left( \frac{7}{6}{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+2x \right)\, \right|_{1}^{3}=\frac{13}{2}$

Câu 34 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},\ \ y=0,\ x=0,\ x=1$ xung quanh trục $Ox$ là:

A
$V=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
B
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx.}$
C
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
D
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx.}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),\ \ y=g\left( x \right),\ x=a,\ x=b$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức:

$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx.}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức ta có thể tích khối tròn xoay bài cho là: $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{2}}dx=}\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$

Câu 35 :

Tìm môđun của số phức $z$, biết $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i.$

A

$\left| z \right| = \sqrt[4]{{\dfrac{1}{2}}}.$
B

$\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
C

$\left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$
D

$\left| z \right| = \sqrt 2 .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính ${z^2}$ suy ra $\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}$ rồi tính $\left| z \right|$.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết, ta có $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i = \dfrac{{1 + i}}{2} \Rightarrow {z^2} = \dfrac{2}{{1 + i}} = 1 - i.$.

Lấy môđun hai vế và chú ý $\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}$, ta được ${\left| z \right|^2} = \sqrt 2 \leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$

Câu 36 :

Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó

A

$w = {2^{50}}i$
B

$w = - {2^{51}}$
C

$w = {2^{51}}$.
D

$w = - {2^{50}}i$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập hợp số phức:

- Bước 1: Tính $\Delta = {B^2} - 4AC$.

- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của $\Delta $

- Bước 3: Tính các nghiệm:

+ Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}$

+ Nếu $\Delta \ne 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}$ (ở đó $\sqrt \Delta $ là kí hiệu căn bậc hai của số phức $\Delta $)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

${z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 2 + i\\{z_2} = - 2 - i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + 1 = i - 1\\{z_2} + 1 = - i - 1\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^2} = {(i - 1)^2} = - 2i\\{({z_2} + 1)^2} = {( - i - 1)^2} = 2i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^4} = - 4\\{({z_2} + 1)^4} = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {({z_1} + 1)^{100}} + {({z_2} + 1)^{100}} = {\left( { - 4} \right)^{25}} + {\left( { - 4} \right)^{25}} = 2.{\left( { - {2^2}} \right)^{25}} = - {2^{51}}\end{array}$

Câu 37 :

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tích vô hướng $2$ véc tơ vuông góc với nhau thì bằng $0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${z_2} = 2i$

Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Câu 38 :

Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:

A

Cả mặt phẳng
B

Đường thẳng
C

Một điểm
D

Hai đường thẳng

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ có điểm biểu diễn là $M\left( {x;y} \right)$.

Bước 2: Thay $z = x + yi$ vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa $x,y$.

Bước 3: Kết luận:

- Phương trình đường thẳng: $Ax + By + C = 0$

- Phương trình đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$

- Phương trình parabol: $y = a{x^2} + bx + c$ hoặc $x = a{y^2} + by + c$

- Phương trình elip: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Lời giải chi tiết :

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)$ thì ${\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi - {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2} - {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 0\end{array} \right.$

Do đó tập điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y = 0$.

Câu 39 :

Cho ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $|{z_1} - {z_2}| = 1$ và $|{z_1} + {z_2}| = 3$. Tính $\max T = |{z_1}| + |{z_2}|$

A

$8$
B

$10$
C

$4$
D

$\sqrt {10} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi ${z_1} = {x_1} + {y_1}i$,${z_2} = {x_2} + {y_2}i$, thay vào biểu thức đề bài tìm mối liên hệ ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ để đánh giá $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử ${z_1} = {x_1} + {y_1}i$,${z_2} = {x_2} + {y_2}i$.

Theo giả thiết $|{z_1} - {z_2}| = 1$ có

${({x_1} - {x_2})^2} + {({y_1} - {y_2})^2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 - 2{y_1}{y_2} = 1$ (1)

Theo giả thiết $|{z_1} + {z_2}| = 3$ có

${({x_1} + {x_2})^2} + {({y_1} + {y_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 9$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5$

Ta có

$T = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} $

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$T \le \sqrt {2.(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)} = \sqrt {10} $

Câu 40 :

A

$ - 6$
B

$2$
C

$7$
D

$ - 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:

Cho hai điểm $A({a_1};{a_2};{a_3})$ và $B({b_1};{b_2};{b_3})$ta có: $\overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})$

- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vecto $\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})$ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$

- Sử dụng công thức tính tích có hướng:

Cho hai vecto $\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})$ta có:

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)$

- Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện

${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AD} } \right|$

Lời giải chi tiết :

Giả sử $D\left( {0;y;0} \right) \in Oy$ ta có:

$\overrightarrow {AB} = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC} = (0;0;2),\overrightarrow {AD} = ( - 2;y + 1; - 1)$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)$

Theo công thức tính thể tích ta có

${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|$

Theo giả thiết ta có ${V_{ABCD}} = 5$, suy ra ta có:

$\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y = - 18\end{array} \right.$

Suy ra $D(0;12;0)$ hoặc $D(0; - 18;0)$

Do đó tổng tung độ của các điểm $D$ là $12 + ( - 18) = - 6$

Câu 41 :

A

$4x-2y+z+4=0.$
B

$4x+2y+z-4=0.$
C

$4x-2y-z+4=0.$
D

$4x+2y-z+4=0.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc cắt nhau theo giao tuyến d. Nếu đường thẳng a nằm trong (P) và vuông góc với d thì a vuông góc (Q).

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = AH\\
BC \subset \left( {ABC} \right)\\
BC \bot AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( P \right)$

Do đó $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $BC$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;1;2)$ và nhận $\overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2; - 1} \right)$ làm VTPT nên:

$\left( P \right):4\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0$ hay $\left( P \right):4x - 2y - z + 4 = 0$.

Câu 42 :

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = - t\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3t\\z = - t\end{array} \right.$
C

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}$
D

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3t\\z = t\end{array} \right.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ thì $d$ có VTCP $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $\Delta $ có VTCP $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1; - 3} \right)$. Trục $Ox$ có VTCP $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

Do $d \bot Ox$ và $d \bot \Delta $ nên có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0;3; - 1} \right)$.

Câu 43 :

A

$\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
B

$\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$
C

$\dfrac{1}{2}$
D

$\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ điểm $C$, sử dụng tính chất $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $.

- Tính các véc tơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} $.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}$

Lời giải chi tiết :

Gọi $C\left( {x;y;z} \right)$ ta có:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 0 = x - 0\\0 - 0 = y - 1\\0 - 0 = z - 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)$

Lại có

$\begin{array}{l}M\left( {\dfrac{1}{2};0;0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {A'C} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {MA'} = \left( { - \dfrac{1}{2};0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;0; - 1} \right)\end{array}$

Vậy $d\left( {MN,A'C} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right].\overrightarrow {MA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 0.0 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$

Câu 44 :

A
$x+2y+6z-7=0.$
B
$x+2y+4z-5=0.$
C
$x+2y+5z-6=0.$
D
$2x+3y+5z-6=0.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng là $ax+by+cz+d=0,$ biểu diễn các mối liên hệ giữa a, b, c, d theo dữ kiện điểm thuộc mặt phẳng, từ đó đưa về khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+by+cz+d=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0.$

Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right)$ suy ra$\left\{ \begin{array}{l}
- \,a + b + c + d = 0\\
a + c + d = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2a\\
d = - \,a - c
\end{array} \right..$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+2ay+cz-a-c=0.$

Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là $d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

Ta có ${{\left( a+c \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}}.a\sqrt{5}+c \right)}^{2}}\le \left( {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( 5{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\Leftrightarrow \frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{30}}{5}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $c=5a$$\Rightarrow d=-\,6a.$

Vậy $\left( P \right):x+2y+5z-6=0.$

Câu 45 :

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Câu 46 :

A

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C

$mn = 4$
D

$mn = - 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ biết VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ và đi qua $A$.

- $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)$.

- Tìm GTLN của biểu thức $d\left( {B,\left( P \right)} \right)$ và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

Câu 47 :

A
$\frac{1}{2}$.
B
$\frac{5\sqrt{6}}{18}$.
C
$1.$
D
$\frac{5\sqrt{6}}{9}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đạo hàm: $\left( f.g \right)'=f'.g+f.g'$.

Lời giải chi tiết :

$3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\Leftrightarrow 3{{e}^{3x}}f(x)+{{e}^{3x}}f'(x)={{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\Leftrightarrow \left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'={{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}}dx\,$

Ta có: $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'dx}=\left. \left( {{e}^{3x}}f(x) \right) \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}={{e}^{\frac{3\ln 6}{2}}}f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-f(0)={{e}^{\ln \sqrt{{{6}^{3}}}}}f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}=6\sqrt{6}.f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}$

$\begin{align} I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{2x}}\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}\,d\left( {{e}^{2x}}+3 \right) \\ =\frac{1}{2}\left. .\frac{{{\left( \sqrt{{{e}^{2x}}+3} \right)}^{3}}}{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}=\left. \frac{\left( {{e}^{2x}}+3 \right)\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}{3} \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}=9-\frac{8}{3}=\frac{19}{3} \\ \Rightarrow 6\sqrt{6}.f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}=\frac{19}{3}\Rightarrow f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)=\frac{10}{6\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{18} \\ \end{align}$

Câu 48 :

A

$30kg$
B

$40kg$
C

$50kg$
D

$45kg$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính diện tích elip và diện tích hình tròn dựa vào công thức tích phân.

- Tính diện tích phần trồng hoa.

- Tính số kg phân bón cần dùng.

Lời giải chi tiết :

Phương trình elip: $\dfrac{{{x^2}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Ta có : $y = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} $ (nửa trên của elip)

Diện tích của elip là: $S = 4\int_0^{\sqrt 2 } {\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} } dx$

Đặt $x = \sqrt 2 \cos a \Rightarrow 1 - \dfrac{{{x^2}}}{2} = {\sin ^2}a$

Suy ra: $dx = - \sqrt 2 \sin ada$

Đổi cận $x = \sqrt 2 \Rightarrow a = 0$ ; $x = 0$ thì $a = \dfrac{\pi }{2}$

${S_1} = \int_{\dfrac{\pi }{2}}^0 { - \sqrt 2 {{\sin }^2}ada} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\int_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {\left( {\cos 2a - 1} \right)da} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left. {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2a - a} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \dfrac{{\sqrt 2 \pi }}{4}$$ \Rightarrow S = 4{S_1} = \sqrt 2 \pi $

Diện tích hình tròn là : $S' = \pi {R^2} = \pi .\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\pi $

Diện tích trồng hoa: ${S_b} = \pi \left( {\sqrt 2 - \dfrac{1}{2}} \right)$

Số kg phân bón là :$\dfrac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}.\left( {\sqrt 2 - \dfrac{1}{2}} \right)\pi = 50kg$

Câu 49 :

A

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0$
B

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$
C

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0$
D

$\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$ là mặt phẳng song song và nằm chính giữa $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\frac{2+8}{2}=5\Rightarrow \left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$

Câu 50 :

A

$\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$
B

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 3 + t\\z - 4 - t\end{array} \right.$
C

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{4}$
D

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 4}}{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ giao điểm $B$ của $d$ với $Ox$.

- $d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;0} \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm. Ta có $d \cap Ox = B\left( {b;0;0} \right)$.

Suy ra $d$ có VTCP $\overrightarrow {AB} = \left( {b + 1; - 3;4} \right)$.

Do $d\parallel \left( P \right)$ nên $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow \left( {b + 1} \right).1 + \left( { - 3} \right).2 + 4.0 = 0 \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow B\left( {5;0;0} \right).$

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm $A,{\rm{ }}B$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$.

Bài liên quan