Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 1

Đề bài

Câu 1 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z = 3-i$. Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình bên ?

A

Điểm $P$
B

Điểm $Q$
C

Điểm $M$
D

Điểm $N$

Câu 2 :

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A

$y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}$
B

$y = {x^2}$
C

$y = {x^3} - 3x$
D

$y = - {x^4}$

Câu 3 :

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là:

A

$V = \dfrac{1}{3}Sh$
B

$V = \dfrac{1}{2}Sh$
C

$V = \dfrac{1}{6}Sh$
D

$V = Sh$

Câu 4 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
B

$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
C

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
D

$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$

Câu 5 :

Cho hình $\left( H \right)$ giới hạn bởi đường cong $x = \sqrt y $, trục tung và hai đường thẳng $y = 1,y = 4$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ được tính theo công thức:

A

$V = \pi \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt y } \right|dy} $
B

$V = \int\limits_1^4 {{y^2}dy} $
C

$V = \pi \int\limits_1^4 {{y^2}dy} $
D

$V = \pi \int\limits_1^4 {ydy} $

Câu 6 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:

A

$f\left( 0 \right) < 5$
B

$f\left( 2 \right) \geqslant 5$
C

$f\left( 1 \right) = 5$
D

$f\left( 0 \right) = 5$

Câu 7 :

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường $x=\sqrt{y};\,y=-x+2,x=0$ quanh trục $Ox$ có giá trị là kết quả nào sau đây ?

A

$V=\frac{3}{2}\pi $
B

$V=\frac{1}{3}\pi $
C

$V=\frac{11}{6}\pi $
D
$V=\frac{32}{15}\pi $

Câu 8 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:

A

$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
B

$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
C

$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
D

$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $

Câu 9 :

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r = 3cm$ và độ dài đường sinh $4cm$ là:

A

$12({m^2})$
B

$12\pi (c{m^3})$
C

$12\pi (c{m^2})$
D

$4\pi (c{m^2})$

Câu 10 :

Cho hai hàm số $f,\,\,g$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
B

$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
C

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
D

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $

Câu 11 :

Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:

“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”

A

nhỏ hơn
B

nhỏ hơn hoặc bằng
C

bằng
D

lớn hơn

Câu 12 :

Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;0;1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:

A

$\sqrt 2 $
B

$\sqrt 3 $
C

$2\sqrt 3 $
D

$\dfrac{5}{{\sqrt {17} }}$

Câu 13 :

Cho ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$m < n$
B

$m > n$
C

$m \le n$
D

$m = n$

Câu 14 :

Cho $2$ số phức,${z_1} = 1 + 3i,{\overline z _2} = 4 + 2i$. Tính môđun của số phức ${z_2} - 2{z_1}$

A

$2\sqrt {17} $
B

$2\sqrt {13} $
C

$4$
D

$\sqrt 5 $

Câu 15 :

Giá trị của $x$ thỏa mãn ${\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) = 2$ là

A

$x=3+\sqrt{2}$
B

$x=\dfrac{-11}{4}$
C

$x=3-\sqrt{2}$
D

$x=\dfrac{11}{4}$

Câu 16 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

A

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
B

Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
C

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$
D

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$

Câu 17 :

Điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ nếu và chỉ nếu:

A

$\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k $
B

$\overrightarrow {OM} = z.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + x.\overrightarrow k $
C

$\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow j + y.k + z.\overrightarrow i $
D

$\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow k + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow i $

Câu 18 :

Cho phương trình ${z^2} - 2z + 2 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số thuần ảo
B

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức
C

Phương trình đã cho không có nghiệm phức
D

Phương trình đã cho không có nghiệm thực

Câu 19 :

Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

$a > 0$
B

$a < 0$
C

$a = 0$
D

$a \leqslant 0$

Câu 20 :

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A

$y = \sin x + 1$
B

$y = \cos x$
C

$y = \cot x$
D

$y = - \cos x$

Câu 21 :

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành

A

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
B

$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
C

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
D

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 22 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của $d$?

A

$\overrightarrow {{u_1}} = (0,3, - 1)$
B

$\overrightarrow {{u_1}} = (1,3, - 1)$
C

$\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 3, - 1)$
D

$\overrightarrow {{u_1}} = (1,2,5)$

Câu 23 :

Trong không gian $Oxyz$ cho ba vecto $\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right),\vec c = \left( {1;1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A

$\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 $
B

$\vec a \bot \vec b$
C

$\left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 $
D

$\vec b \bot \vec c$

Câu 24 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?

A

$m = - 16$.
B

$m = 16$.
C

$m = 4$.
D

$m = - 4$.

Câu 25 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ${60^0}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$?

A

$V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
B

$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
C

$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}$
D

$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{10}}$

Câu 26 :

Gọi $G\left( {4; - 1;3} \right)$ là tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ với $A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)$. Tìm tọa độ điểm $C$.

A

$C\left( { - 1;3;2} \right)$
B

$C\left( {11; - 2;10} \right)$
C

$C\left( {5; - 6;2} \right)$
D

$C\left( {13; - 8;8} \right)$

Câu 27 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\left( C \right).$ Tất cả các giá trị của m để (C) có 3 đường tiệm cận là:

A

$m < 1$
B

$m \ne 0$
C

$m = - 3$
D

$m < 1;\,m \ne 0$

Câu 28 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = - 2x + m$ cắt đồ thị $(H)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm$A,{\text{ }}B$ phân biệt sao cho $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,{\text{ }}B$ của đồ thị $(H)$.

A

$m = - 3$
B

$m = - 2$
C

$m = 3$
D

$m = 2$

Câu 29 :

Anh A mua 1 chiếc Laptop giá $23$ triệu đồng theo hình thức trả góp, lãi suất mỗi tháng là $0,5\% $. Hỏi mỗi tháng anh A phải trả cho cửa hàng bao nhiêu tiền để sau $6$ tháng anh trả hết nợ?

A

$5.345.000$ đồng
B

$4.000.000$ đồng
C

$3.900.695$ đồng
D

$3.852.500$ đồng

Câu 30 :

Đặt $a = {\log _2}5$ và $b = {\log _2}6$. Hãy biểu diễn ${\log _3}90$ theo $a$ và $b$?

A

${\log _3}90 = \dfrac{{a - 2b + 1}}{{b + 1}}$
B

${\log _3}90 = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}$
C

${\log _3}90 = \dfrac{{2a - b + 1}}{{a + 1}}$
D

${\log _3}90 = \dfrac{{2a + b - 1}}{{a - 1}}$

Câu 31 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}}$. Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?

A

$f\left( x \right) > 9 \Leftrightarrow x-2 - \left( {{x^2} - 4} \right)\log_{3}7 > 0$
B

$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\ln 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\ln 7>0$
C

$f\left( x \right)>9~\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\log 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\log 7>0$
D

$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right){{\log }_{0,2}}3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right){{\log }_{0,2}}7>0$

Câu 32 :

Ta có $\int {{x^2}.{e^x}dx = \left( {{x^2} + mx + n} \right)} {e^x} + C$ khi đó $m.n$ bằng.

A

$ - 4$.
B

$5$.
C

$4$.
D

$0$.

Câu 33 :

Tìm các số thực $a,\,\,b$ để hàm số $f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5.$

A

$a=-\frac{\pi }{2},\,\,b=2.$
B

$a=\pi ,\,\,b=-\,1.$
C

$a=\frac{\pi }{2},\,\,b=2.$
D
$a=-\,\pi ,\,\,b=1.$

Câu 34 :

Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y = {x^2}$và đường thẳng là $y = 25$. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua $O$ và điểm $M$ trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm $M$ bằng cách tính độ dài $OM$ để diện tích mảnh vường nhỏ bằng $\dfrac{9}{2}$.

A

$OM=2\sqrt{5}$
B

$OM = 3\sqrt {10} $
C

$OM = 15$
D

$OM = 10$

Câu 35 :

Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau ${z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i$. Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Câu 36 :

Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3$, gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó $\left| {{z_0}} \right|$ là

A

$3$
B

$4$
C

$5$
D

$8$

Câu 37 :

Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:

A

$\dfrac{{{a^3}}}{4}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Câu 38 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $

A

$R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } $
B

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}$
C

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
D

$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$

Câu 39 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( 1;2;3 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các tia $Ox;\,\,Oy;\,\,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;\,\,B;\,\,C$ $\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)$ sao cho thể tích của tứ diện $OABC$ nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A

$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.$
B

$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.$
C

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.$
D

$\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.$

Câu 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x - y - z - 1 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $A(1;1; - 2)$ vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là:

A

$\Delta :\dfrac{x}{{ - 6}} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{9}$
B

$\Delta :\dfrac{{x - 3}}{{50}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 75}}$
C

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}$
D

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{5} = \dfrac{z}{3}$

Câu 41 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Câu 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ và đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z$ . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta $ và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là

A

$2x - 2y + z - 2 = 0$ và $2x - 2y + z + 16 = 0$
B

$2x - 2y + z + 2 = 0$ và $2x - 2y + z - 16 = 0$
C

$2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$
D

$2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$

Câu 43 :

Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2} + 1$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx + 2$. Biết rằng tồn tại $m$ để diện tích hình phẳng giới hạn bới $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A

$S = \dfrac{8}{3}$
B

$S = \dfrac{4}{3}$
C

$S = 4$
D

$S = \dfrac{{16}}{9}$

Câu 44 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right)$ và $\vec c = \left( {0;m - 2;2} \right)$. Giá trị $m$ bằng bao nhiêu để ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng

A

$m = \dfrac{3}{5}$
B

$m = \dfrac{2}{5}$
C

$m = \dfrac{3}{4}$
D

$m = \dfrac{2}{3}$

Câu 45 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\tan ^5}x$.

A

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
B

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
C

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
D

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$

Câu 46 :

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $8$. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng $x$, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng $\dfrac{3}{4}$ thể tích tứ diện $ABCD$. Giá trị của $x$ là:

A

$3\sqrt[3]{2}$
B

$3\sqrt[3]{4}$
C

$2\sqrt 2 $
D

$2\sqrt[3]{4}$

Câu 47 :

Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 $. Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $\left| {z - 1 + i} \right|$. Tính $P = m + M$.

A

$P = \sqrt {13} + \sqrt {73} $
B

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
C

$P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} $
D

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}$

Câu 48 :

Cho các hàm số $y = f (x), y = g (x), y = \dfrac{{f\left( x \right) + 3}}{{g\left( x \right) + 1}}$ . Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x = 1$ bằng nhau và khác $0$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A

$f\left( 1 \right) \leqslant - \dfrac{{11}}{4}$
B

$f\left( 1 \right) < - \dfrac{{11}}{4}$
C

$f\left( 1 \right) > - \dfrac{{11}}{4}$
D

$f\left( 1 \right) \geqslant - \dfrac{{11}}{4}$

Câu 49 :

Số nghiệm của phương trình ${\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)$là

A

$3$
B

$2$
C

$1$
D

$4$

Câu 50 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72$ và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

A

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C

$mn = 4$
D

$mn = - 4$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z = 3-i$. Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình bên ?

A

Điểm $P$
B

Điểm $Q$
C

Điểm $M$
D

Điểm $N$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Chia hai số phức $\dfrac{z}{{z'}} = \dfrac{{z.\overline {z'} }}{{z'.\overline {z'} }} = \dfrac{{z.\overline {z'} }}{{{{\left| {z'} \right|}^2}}}$

- Điểm $M\left( {a;b} \right)$ biểu diễn số phức $z = a + bi$

Lời giải chi tiết :

$\left( {1 + i} \right)z = 3 - i \Rightarrow z = \dfrac{{3 - i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \dfrac{{2 - 4i}}{{{1^2} + {1^2}}} = 1 - 2i \Rightarrow Q\left( {1; - 2} \right)$ là điểm biểu diễn $z$.

Câu 2 :

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A

$y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}$
B

$y = {x^2}$
C

$y = {x^3} - 3x$
D

$y = - {x^4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ không có cực trị.

Lời giải chi tiết :

Dễ thấy hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}$ là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên không có cực trị.

Ngoài ra, có thể kiểm tra được các cực trị của mỗi hàm số được cho ở ba đáp án B, C, D.

Câu 3 :

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là:

A

$V = \dfrac{1}{3}Sh$
B

$V = \dfrac{1}{2}Sh$
C

$V = \dfrac{1}{6}Sh$
D

$V = Sh$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là $V = Sh$.

Câu 4 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
B

$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
C

$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
D

$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân ở các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

$\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)d(2x)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \\\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)d(x + 1)} = \int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 2} \\\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \end{array}$

Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.

Câu 5 :

A

$V = \pi \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt y } \right|dy} $
B

$V = \int\limits_1^4 {{y^2}dy} $
C

$V = \pi \int\limits_1^4 {{y^2}dy} $
D

$V = \pi \int\limits_1^4 {ydy} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} $

Lời giải chi tiết :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ được tính theo công thức $V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2}dy} = \pi \int\limits_1^4 {ydy} $.

Câu 6 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:

A

$f\left( 0 \right) < 5$
B

$f\left( 2 \right) \geqslant 5$
C

$f\left( 1 \right) = 5$
D

$f\left( 0 \right) = 5$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

GTNN của $f\left( x \right)$ trên $\left[ {0;2} \right]$ bằng $5$ nên $f\left( x \right) \geqslant 5,\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \geqslant 5$.

Câu 7 :

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường $x=\sqrt{y};\,y=-x+2,x=0$ quanh trục $Ox$ có giá trị là kết quả nào sau đây ?

A

$V=\frac{3}{2}\pi $
B

$V=\frac{1}{3}\pi $
C

$V=\frac{11}{6}\pi $
D
$V=\frac{32}{15}\pi $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right);y=g\left( x \right);\,\,x=a;\,\,x=b$ khi quay quanh trục Ox là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx}$

Lời giải chi tiết :

ĐK : $x\ge 0;\,\,y\ge 0$

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{2}}=-x+2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}x=-2\,\,\left( ktm \right) \\x=1\,\,\,\,\,\,\,\left( tm \right) \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-{{\left( -x+2 \right)}^{2}} \right|dx}=\pi \left| \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+4x-4 \right)}dx \right|=\frac{32}{15}\pi $

Câu 8 :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:

A

$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
B

$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
C

$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
D

$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|$

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:

${x^3}-x = 2x \Leftrightarrow {x^3}-3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (chỉ xét trên $\left( {-1;1} \right)$)

Với $x \in \left( {-1;0} \right)$ thì ${x^3}-3x > 0$ ; với $x \in \left( {0;1} \right)$ thì ${x^3}-3x < 0$

Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 3x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $

Câu 9 :

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r = 3cm$ và độ dài đường sinh $4cm$ là:

A

$12({m^2})$
B

$12\pi (c{m^3})$
C

$12\pi (c{m^2})$
D

$4\pi (c{m^2})$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh ${S_{xq}} = \pi rl$.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta được: ${S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Câu 10 :

Cho hai hàm số $f,\,\,g$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A

$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
B

$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
C

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
D

$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án B: sai vì $x$ không phải hằng số nên không đưa được ra ngoài dấu tích phân.

Đáp án C: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án D: đúng theo tính chất tích phân.

Câu 11 :

Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:

“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”

A

nhỏ hơn
B

nhỏ hơn hoặc bằng
C

bằng
D

lớn hơn

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi, lấy ví dụ cho hình tứ diện để chọn đáp án.

Lời giải chi tiết :

Hình tứ diện có $6$ cạnh và $4$ đỉnh nên số cạnh của tứ diện lớn hơn số mặt của nó.

Câu 12 :

Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;0;1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:

A

$\sqrt 2 $
B

$\sqrt 3 $
C

$2\sqrt 3 $
D

$\dfrac{5}{{\sqrt {17} }}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: $d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right)$. Khi đó:

$\overrightarrow {MA} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right) $

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;2; - 2} \right)$

Vậy $d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 $

Câu 13 :

Cho ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$m < n$
B

$m > n$
C

$m \le n$
D

$m = n$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất so sánh: Với $0 < a < 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$.

Lời giải chi tiết :

Vì $0 < \sqrt 2 - 1 < 1$ nên ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n$.

Câu 14 :

Cho $2$ số phức,${z_1} = 1 + 3i,{\overline z _2} = 4 + 2i$. Tính môđun của số phức ${z_2} - 2{z_1}$

A

$2\sqrt {17} $
B

$2\sqrt {13} $
C

$4$
D

$\sqrt 5 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+Sử dụng các quy tắc nhân chia số phức thông thường để tìm số phức

+$z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi$ và $|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $

Lời giải chi tiết :

${z_2} - 2{z_1} = 4 - 2i - 2(1 + 3i) = 2 - 8i \Rightarrow |{z_2} - 2{z_1}| = \sqrt {{2^2} + {8^2}} = \sqrt {68} = 2\sqrt {17} $

Câu 15 :

Giá trị của $x$ thỏa mãn ${\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) = 2$ là

A

$x=3+\sqrt{2}$
B

$x=\dfrac{-11}{4}$
C

$x=3-\sqrt{2}$
D

$x=\dfrac{11}{4}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp giải phương trình logarit cơ bản ${\log _a}x = m\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow x = {a^m}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình tương đương với:

$3 - x = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{4}$

Vậy $x = \dfrac{{11}}{4}$.

Câu 16 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

A

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
B

Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
C

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$
D

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và tìm các điểm cực tiểu, cực đại của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x = - 2$ nên $x = - 2$ là điểm cực tiểu của hàm số (C đúng).

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x = 2$ nên $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số (A đúng).

- Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x = 0$ nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số (D đúng).

- Qua điểm $x = 3$ thì đạo hàm không đổi dấu nên $x = 3$ không là điểm cực trị của hàm số (B sai).

Câu 17 :

Điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ nếu và chỉ nếu:

A

$\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k $
B

$\overrightarrow {OM} = z.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + x.\overrightarrow k $
C

$\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow j + y.k + z.\overrightarrow i $
D

$\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow k + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow i $

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Điểm $M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k $

Câu 18 :

Cho phương trình ${z^2} - 2z + 2 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A

Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số thuần ảo
B

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức
C

Phương trình đã cho không có nghiệm phức
D

Phương trình đã cho không có nghiệm thực

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính $\Delta $ từ đó giải phương trình theo $\Delta $

Lời giải chi tiết :

$\Delta ' = 1 - 2 = - 1 < 0 \Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm là $z = 1 + i$ và $z = 1 - i$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phức.

Do đó các đáp án A, B, D đều đúng

Câu 19 :

Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

$a > 0$
B

$a < 0$
C

$a = 0$
D

$a \leqslant 0$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty $ nên $a > 0$.

Câu 20 :

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A

$y = \sin x + 1$
B

$y = \cos x$
C

$y = \cot x$
D

$y = - \cos x$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

$\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.

Câu 21 :

A

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
B

$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
C

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
D

$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức của tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 22 :

A

$\overrightarrow {{u_1}} = (0,3, - 1)$
B

$\overrightarrow {{u_1}} = (1,3, - 1)$
C

$\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 3, - 1)$
D

$\overrightarrow {{u_1}} = (1,2,5)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình tham số của đường thẳng: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

ở đó $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ là VTCP của đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 0t\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {0;3; - 1} \right)$

Câu 23 :

Trong không gian $Oxyz$ cho ba vecto $\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right),\vec c = \left( {1;1;1} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A

$\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 $
B

$\vec a \bot \vec b$
C

$\left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 $
D

$\vec b \bot \vec c$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức độ dài véc tơ $\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {{u_1}} }^2}} = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} $

- Sử dụng điều kiện để hai véc tơ vuông góc $\overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0$

Lời giải chi tiết :

Kiểm tra lần lượt các điều kiện

$\left\{ \begin{array}{l}\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \\\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \\\vec a.\vec b = ( - 1).1 + 1.1 + 0.0 = 0 \Rightarrow \vec a \bot \vec b\end{array} \right.$

Lại có: $\overrightarrow b .\overrightarrow c = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0$ nên $\overrightarrow b $ và $\overrightarrow c $ không vuông góc.

Câu 24 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?

A

$m = - 16$.
B

$m = 16$.
C

$m = 4$.
D

$m = - 4$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta có: phương trình mặt cầu có 2 dạng:

Dạng 1: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}b} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} = {\rm{ }}{R^2}\left( {R{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính là $R$ .

Dạng 2: ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}2ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2by{\rm{ }}-{\rm{ }}2cz{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {c^2} > {\rm{ }}d} \right)$ có tâm là $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = \sqrt {9 + m} $

Ta có: $R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16$

Câu 25 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ${60^0}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$?

A

$V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
B

$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
C

$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}$
D

$V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{10}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính diện tích đáy ${S_{ABC}}$.

- Bước 2: Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy, sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Bước 3: Tính chiều cao $h = SO$.

- Bước 4: Tính thể tích $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABC

Vì chóp S.ABC đều nên $SO \bot \left( {ABC} \right)$

$ \Rightarrow OA$ là hình chiếu vuông góc của SA lên $\left( {ABC} \right)$$ \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO} = {60^0}$

$SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SAO$ vuông tại O

Gọi D là trung điểm của BC ta có: $AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$ \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$ \Rightarrow SO = AO.\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a$

Vì tam giác ABC đều nên ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Vậy ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}a\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$

Câu 26 :

Gọi $G\left( {4; - 1;3} \right)$ là tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ với $A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)$. Tìm tọa độ điểm $C$.

A

$C\left( { - 1;3;2} \right)$
B

$C\left( {11; - 2;10} \right)$
C

$C\left( {5; - 6;2} \right)$
D

$C\left( {13; - 8;8} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác $G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nếu:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.4 - 0 - \left( { - 1} \right) = 13\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.\left( { - 1} \right) - 2 - 3 = - 8\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.3 - \left( { - 1} \right) - 2 = 8\end{array} \right. $

$\Rightarrow C\left( {13; - 8;8} \right)$

Câu 27 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\left( C \right).$ Tất cả các giá trị của m để (C) có 3 đường tiệm cận là:

A

$m < 1$
B

$m \ne 0$
C

$m = - 3$
D

$m < 1;\,m \ne 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận là nó phải có 2 tiệm cận đứng.

Lời giải chi tiết :

$y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{m}{{{x^2}}}}} = 0 $

Suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận $\Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng

$ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $2$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ {2^2} - 2.2 + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - m > 0 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 28 :

A

$m = - 3$
B

$m = - 2$
C

$m = 3$
D

$m = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Tính $y'$.

+ Tìm điều kiện để đường thẳng $d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt.

+ Đánh giá và tìm GTNN của biểu thức $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ sử dụng bất đẳng thức Cô-si với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.

+ Tìm điều kiện để $d$ đi qua giao điểm $I$ của $2$ đường tiệm cận của $\left( H \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ đã cho và $\left( H \right)$.

$\begin{array}{l} - 2x + m = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( { - 2x + m} \right) = 2x + 3\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + \left( {m - 4} \right)x + 2m = 2x + 3\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {6 - m} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}$

$d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác $ - 2$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {6 - m} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {6 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.$

(luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm $A,B$ lần lượt là ${x_1},{x_2}$, khi đó:$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.$

Ta có:

${k_1}.{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} \right]}^2}}}$

$ = \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\dfrac{{3 - 2m}}{2} + 2.\dfrac{{m - 6}}{2} + 4} \right]}^2}}}$

$ = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 - 2m + 2m - 12 + 8}}{2}} \right)}^2}}} = 4$

Khi đó $P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2{\left| {{k_1}{k_2}} \right|^{1009}} = {2.4^{1009}} = {2^{2019}}$.

Dấu “=” xảy ra khi ${k_1} = {k_2} = 2$ hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng $I$ của đồ thị $\left( H \right)$ hay $d$ đi qua $I\left( { - 2;2} \right)$ là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

$ \Leftrightarrow I \in d \Leftrightarrow 2 = -2.\left( {-2} \right) + m \Leftrightarrow m = -2$

Câu 29 :

A

$5.345.000$ đồng
B

$4.000.000$ đồng
C

$3.900.695$ đồng
D

$3.852.500$ đồng

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Xác định số tiền vay ban đầu $T$.

- Bước 2: Xác định lãi suất $r$ và định kỳ (theo tháng, quý, năm,…)

- Bước 3: Xác định số kỳ hạn $N$ (số tháng, số quý, số năm,…)

- Bước 4: Tính số tiền cuối mỗi tháng phải trả bằng công thức $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}T = 23000000\\r = 0,5\% \\N = 6\end{array}$

Vậy $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}} = \dfrac{{23000000.0,5\% {{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^6}}}{{{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^6} - 1}} = 3900695$ đồng.

Câu 30 :

Đặt $a = {\log _2}5$ và $b = {\log _2}6$. Hãy biểu diễn ${\log _3}90$ theo $a$ và $b$?

A

${\log _3}90 = \dfrac{{a - 2b + 1}}{{b + 1}}$
B

${\log _3}90 = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}$
C

${\log _3}90 = \dfrac{{2a - b + 1}}{{a + 1}}$
D

${\log _3}90 = \dfrac{{2a + b - 1}}{{a - 1}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Chọn cơ số thích hợp nhất (thường là số xuất hiện nhiều lần)

+ Tính các logarit cơ số đó theo a và b

+ Sử dụng các công thức ${\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}};{\log _c}\left( {{a^m}.{b^n}} \right) = m{\log _c}a + n{\log _c}b$, biểu diễn logarit cần tính theo logarit cơ số đó

Lời giải chi tiết :

Có $b = {\log _2}6 = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = b - 1$

${\log _3}90 = {\log _3}({3^2}.2.5) = 2 + {\log _3}2 + {\log _3}5$ $ = 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}3}} + \dfrac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + a}}{{b - 1}} = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}$

Câu 31 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}}$. Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?

A

$f\left( x \right) > 9 \Leftrightarrow x-2 - \left( {{x^2} - 4} \right)\log_{3}7 > 0$
B

$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\ln 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\ln 7>0$
C

$f\left( x \right)>9~\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\log 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\log 7>0$
D

$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right){{\log }_{0,2}}3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right){{\log }_{0,2}}7>0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dùng phương pháp logarit hai vế.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}f(x) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}} > 9 \Leftrightarrow {3^x} > {9.7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^x} > {3^2}{.7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^{x - 2}} > {\log _3}{7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow x - 2 > ({x^2} - 4){\log _3}7\end{array}$

Từ đó dựa vào các đáp án ta thấy A đúng.

$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \ln {3^{x - 2}} > \ln {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\ln3 > ({x^2} - 4)\ln 7\end{array}$ => B đúng

$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \log {3^{x - 2}} > \log {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\log3 > ({x^2} - 4)\log 7\end{array}$ => C đúng

$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _{0,2}}{3^{x - 2}} < {\log _{0,2}}{7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\log_{{0,2}}3 < ({x^2} - 4){\log _{0,2}}7\end{array}$ => D sai

Câu 32 :

Ta có $\int {{x^2}.{e^x}dx = \left( {{x^2} + mx + n} \right)} {e^x} + C$ khi đó $m.n$ bằng.

A

$ - 4$.
B

$5$.
C

$4$.
D

$0$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

- Đồng nhất hệ số tìm $m,n$ và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow \int {{x^2}.{e^x}dx} = {x^2}{e^x} - \int {2x{e^x}dx} $.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$.

$ \Rightarrow \int {2x{e^x}dx} = 2x{e^x} - \int {2{e^x}dx} = 2x{e^x} - 2{e^x} + C$.

$ \Rightarrow \int {{x^2}.{e^x}dx} = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} + C$.

Khi đó $m.n = - 4$.

Câu 33 :

A

$a=-\frac{\pi }{2},\,\,b=2.$
B

$a=\pi ,\,\,b=-\,1.$
C

$a=\frac{\pi }{2},\,\,b=2.$
D
$a=-\,\pi ,\,\,b=1.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tính tích phân với hàm số lượng giác

Lời giải chi tiết :

Ta có $f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b\Rightarrow f\left( 1 \right)=a.\cos \frac{\pi }{2}+b=1\Rightarrow b=1.$

Và $\int\limits_{0}^{3}{\left[ a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+1 \right]\,\text{d}x}=\left. \left( \frac{2a}{\pi }\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)+x \right) \right|_{0}^{3}=\frac{2a}{\pi }.\sin \frac{3\pi }{2}+3=-\frac{2a}{\pi }+3=5\Rightarrow a=-\,\pi .$

Câu 34 :

A

$OM=2\sqrt{5}$
B

$OM = 3\sqrt {10} $
C

$OM = 15$
D

$OM = 10$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi $M\left( {a;{a^2}} \right)$ và viết phương trình đường thẳng $OM$.

- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$:

- Bước 1: Giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|$

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $

Lời giải chi tiết :

Giả sử $M\left( {a;{a^2}} \right) \in (P)$ thì ta có phương trình đường thẳng $OM$ là: $y = ax$

Khi đó diện tích mảnh vườn nhỏ là: $S = \int\limits_0^a {(ax - {x^2})dx = \left. {\left( {a\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|} _0^a = \dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3$

Khi đó ta có: $OM = 3\sqrt {10} $

Câu 35 :

A

$m = - 3$
B

$m = 1$
C

$m = - 1$
D

$m = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tích vô hướng $2$ véc tơ vuông góc với nhau thì bằng $0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${z_2} = 2i$

Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Câu 36 :

Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3$, gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó $\left| {{z_0}} \right|$ là

A

$3$
B

$4$
C

$5$
D

$8$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$

- Bước 2: Thay $z$ vào biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của $x,y$ suy ra tập hợp biểu diễn của số phức $z$.

- Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá biểu thức của $x,y$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $z = x + yi$;

Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$

$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Vậy quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $

$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$

Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30$ (theo bunhiacopxki)

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$

Câu 37 :

A

$\dfrac{{{a^3}}}{4}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính thể tích khối chóp ${V_{C.A'AB}}$

- Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABB’A’$. Ta có $CO \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CO \bot OA;CO \bot OB$

$\Delta COA = \Delta COB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OB \Rightarrow AB' = A'B \Rightarrow ABB'A'$ là hình chữ nhật.

Lại có $AB = BB' = a \Rightarrow ABB'A'$ là hình vuông

Khi đó $OA = OB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}$

Xét tam giác vuông $OAC$ có: $OC = \sqrt {A{C^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$ \Rightarrow {V_{C.A'AB}} = \dfrac{1}{3}OC.{S_{A'AB}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Mà ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.\dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.{V_{A'.ABC}}$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{C.A'AB}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$

Câu 38 :

A

$R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } $
B

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}$
C

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
D

$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Chứng minh được tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $ABCC'B'$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Lời giải chi tiết :

Gọi $AA'$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

$AC \bot A'C;\,AB \bot A'B$

Ta chứng minh $AC' \bot A'C'$

$SA \bot A'C;\,AC \bot A'C \Rightarrow A'C \bot AC'$

Mà $AC' \bot SC \Rightarrow AC' \bot A'C'$

Tương tự $AB' \bot A'B'$

Như vậy $B,C,C',B'$ cùng nhìn $AA'$ bằng $1$ góc vuông nên $A,B,C,B',C'$ cùng thuộc $1$ mặt cầu có đường kính là $AA'$ và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tính $BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2b\cos \alpha } $

Trong tam giác $ABC:\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$

Câu 39 :

A

$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.$
B

$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.$
C

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.$
D

$\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Gọi $A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)$$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$

+) Vì mặt phẳng chắn trên các trục tọa độ nên sử dụng phương trình đoạn chắn và áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho việc xác định thể tích min. Từ đó lập được phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Gọi $A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)$$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$

Vì $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc $\Rightarrow $ Thể tích khối chóp $O.ABC$ là $V=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{abc}{6}.$

Điểm $M\in \left( P \right)$ suy ra $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}$ $\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{6}{abc}$ $\Rightarrow abc\ge 162\Rightarrow V\ge 27.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=6 \\ & c=9 \\\end{align} \right..$ Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.$

Câu 40 :

A

$\Delta :\dfrac{x}{{ - 6}} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{9}$
B

$\Delta :\dfrac{{x - 3}}{{50}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 75}}$
C

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}$
D

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{5} = \dfrac{z}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vì $\Delta $ vuông góc với $d$ và song song với $ (P) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = {\rm{[}}\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} {\rm{]}}$

Phương trình đường thẳng qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto $\overrightarrow u = (a;b;c)$ có dạng:

$d:\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$

Lời giải chi tiết :

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 2; - 5;3)$

Vì $\Delta $ vuông góc với $d$ và song song với $ (P)\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 2; - 5;3} \right)$

Ta có:

$(\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} = ( - 2; - 5;3)\\A(1;1; - 2) \in (\Delta )\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 2}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}$

Câu 41 :

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Câu 42 :

A

$2x - 2y + z - 2 = 0$ và $2x - 2y + z + 16 = 0$
B

$2x - 2y + z + 2 = 0$ và $2x - 2y + z - 16 = 0$
C

$2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$
D

$2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0$ và $2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu

Lời giải chi tiết :

Tâm mặt cầu $I(1;-2;1)$, bán kính $R=3$.

Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta $ có phương trình dạng $2{\rm{x - }}2y + z + D = 0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu nên ${\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Rightarrow \left| {D - 7} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 2}\\{D = - 16}\end{array}} \right.$

Phương trình $(P)$ là $2x-2y+z+2=0; 2x-2y+z-16=0$.

Câu 43 :

A

$S = \dfrac{8}{3}$
B

$S = \dfrac{4}{3}$
C

$S = 4$
D

$S = \dfrac{{16}}{9}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đây là một trong những bài toàn phức tạp nhất trong đề thi. Cần vận dụng các linh hoạt các hệ thức vi-et để “gò” biểu thức theo 1 biến là $m$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm $d$ và $\left( P \right)$

Có: ${x^2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0 (1) \Rightarrow \Delta = {m^2} + 4 > 0$

Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi $m$.

Giả sử $A,B$ lần lượt có hoành độ là $a,{\rm{ }}b$ nên $A\left( {a;ma + 2} \right)$ và $B\left( {b;mb + 2} \right){\rm{ }}\left( {a < b} \right)$

Với $x$ thuộc $x \in \left( {a;b} \right)$ thì $mx + 2 \ge {x^2} + 1$

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $\left( P \right)$

$S = \int_a^b {\left( {mx + 2 - {x^2} - 1} \right)dx = \int_a^b {(mx - {x^2} + 1)dx = \left. {\left( {\dfrac{{m{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_a^b} } $

$= \left( {b - a} \right)\left[ {\dfrac{m}{2}(a + b) + 1 - \dfrac{1}{3}({a^2} + {b^2} + ab)} \right]$

$ = (b - a)\left[ {\dfrac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \dfrac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{3}ab} \right] $

$\Rightarrow {S^2} = {(b - a)^2}{\left[ {\dfrac{m}{2}(b + a) + 1 - \dfrac{1}{3}{{(a + b)}^2} + \dfrac{1}{3}ab} \right]^2}$

$ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]{\left[ {\dfrac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \dfrac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{3}ab} \right]^2}$

Vì $a,b$ là nghiệm của pt $(1)$ nên $a + b = m$ và $ab = - 1$

Suy ra ${S^2} = {\left( {{m^2} + 4} \right)}{\left( {\dfrac{{{m^2}}}{6} + \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 4.\dfrac{4}{9} = \dfrac{{16}}{9} \Rightarrow S \ge \sqrt {\dfrac{{16}}{9}} = \dfrac{4}{3}\,khi\,m = 0$

Câu 44 :

A

$m = \dfrac{3}{5}$
B

$m = \dfrac{2}{5}$
C

$m = \dfrac{3}{4}$
D

$m = \dfrac{2}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Điều kiện để ba véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} $ đồng phẳng là $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{m + 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&m\\{m + 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {m - 4;2m + 1;2 - {m^2} - m} \right)$

$\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m)$

$\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng khi

$\begin{array}{l}\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m) = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + m - 2 + 4 - 2{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow - 5m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\end{array}$

Câu 45 :

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\tan ^5}x$.

A

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
B

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
C

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
D

$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đặt $t = \tan x$ rồi tính $dx$ theo $dt$ và thay vào tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

$I = \int {f(x)dx} = \int {{{\tan }^5}xdx} $.

Đặt $\tan {\mkern 1mu} x = t \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = dt \Rightarrow ({\tan ^2}x + 1)dx = dt \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}$

Khi đó:

$\begin{array}{*{20}{l}}{I = \int {{t^5}.\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} = \int {({t^3} - t + \dfrac{t}{{{t^2} + 1}})dt} = \int {{t^3}dt} - \int {tdt} + \int {\dfrac{t}{{{t^2} + 1}}dt} }\\{ = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d({t^2} + 1)}}{{{t^2} + 1}}} = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {{t^2} + 1} \right| + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C}\end{array}$

Câu 46 :

A

$3\sqrt[3]{2}$
B

$3\sqrt[3]{4}$
C

$2\sqrt 2 $
D

$2\sqrt[3]{4}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a:V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$ để tính thể tích các khối tứ diện đều trong bài.

Lời giải chi tiết :

Tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a$ có thể tích là ${V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Vì tứ diện đều $ABCD$ cạnh $8$ nên ${V_{ABCD}} = \dfrac{{{8^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}$

Tứ diện đều $FAHI$ cạnh $x$ nên ${V_1} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Tương tự ta có: ${V_2} = {V_3} = {V_4} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

$ \Rightarrow $Khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích là $V = {V_{ABCD}} - 4{V_1} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} - 4\dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3}$

Vì khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng $\dfrac{3}{4}$ thể tích tứ diện $ABCD$ nên ta có:

$\dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow 128 - {x^3} = 96 \Leftrightarrow {x^3} = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{32}} = 2\sqrt[3]{4}$

Câu 47 :

A

$P = \sqrt {13} + \sqrt {73} $
B

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
C

$P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} $
D

$P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi $z = x + yi$ và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn bài toán.

- Biểu diễn tập hợp điểm đó trên hệ trục tọa độ từ đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết :

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$

Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì

$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB\end{array}$

Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB

Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$

Do đó $P{C_{\min }}$ khi $P$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$ và $P{C_{\max }}$ khi $P \equiv B$

Suy ra $M = CB = \sqrt {73} $.

Ta có: $AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0$$ \Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}$

$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$

Câu 48 :

A

$f\left( 1 \right) \leqslant - \dfrac{{11}}{4}$
B

$f\left( 1 \right) < - \dfrac{{11}}{4}$
C

$f\left( 1 \right) > - \dfrac{{11}}{4}$
D

$f\left( 1 \right) \geqslant - \dfrac{{11}}{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính $\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'$.

- Thay $x=1$ vào các đạo hàm $f'\left( x \right),g'\left( x \right),\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'$ để tìm mối quan hệ của $f\left( 1 \right),g\left( 1 \right)$.

- Rút $f\left( 1 \right)$ theo $g\left( 1 \right)$ và đánh giá biểu thức chỉ chứa $g\left( 1 \right)\Rightarrow f\left( 1 \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$y'=\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'=\dfrac{f'\left( x \right)\left( g\left( x \right)+1 \right)-g'\left( x \right)\left( f\left( x \right)+3 \right)}{{{\left( g\left( x \right)+1 \right)}^{2}}}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - g'\left( 1 \right)\left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2 = {\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) = - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3\end{array}$

Xét phương trình $ - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3 = 0$ có:

$\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = - 11 < 0;a = - 1 < 0$

$\dfrac{{ - \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - 11}}{4}\,\,\, \Rightarrow f\left( 1 \right) \le \dfrac{{ - 11}}{4}$

Câu 49 :

Số nghiệm của phương trình ${\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)$là

A

$3$
B

$2$
C

$1$
D

$4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Điều kiện của hàm $lo{g_a}f\left( x \right)$ có nghĩa là: $0 < a \ne 1;f\left( x \right) > 0$ .

Bài toán sử dụng phương pháp hàm số.

Lời giải chi tiết :

Đặt ${x^2} - \sqrt 2 x = t$ khi đó ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)(t > - 2;t \ne 0)$

Đặt ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}|t| = {3^a}\\t + 2 = {5^a}\end{array} \right. $

$\Rightarrow \left| {{5^a} - 2} \right| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} - 2 = - {3^a}\\{5^a} - 2 = {3^a}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} + {3^a} = 2(1)\\{5^a} = {3^a} + 2(2)\end{array} \right.$

Xét (1): $f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0(\forall a \in R)$ nên hàm số đồng biến trên $R$

Mặt khác $f(0) = 2$ do đó phương trình $f(a) = f(0)$ có 1 nghiệm duy nhất $a = 0 \Rightarrow t = -1$

Suy ra: ${x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Xét (2) $ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} = 1$.

Đặt $g(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{3}{5} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{1}{5} < 0(\forall a \in R)$

Nên hàm số $g(a)$ nghịch biến trên $R$ do đó phương trình $g(a) = 1$ có tối đa 1 nghiệm.

Mà $g(a) = g(1)$ nên $ a = 1$

Suy ra $t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm.

Câu 50 :

A

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C

$mn = 4$
D

$mn = - 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ biết VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ và đi qua $A$.

- $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)$.

- Tìm GTLN của biểu thức $d\left( {B,\left( P \right)} \right)$ và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

Bài liên quan