Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2, 3 - Đề số 3 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1.

a.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {x^2} + 4x$ .

b.Tìm các giá trị của m để phương trình $\left| x \right|\left( {x + 4} \right) + m = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Câu 2.

a.Giải và biện luận phương trình $\left| {mx + 2} \right| = \left| {2x - m} \right|$ .

b.Xác định m để phương trình $\dfrac{{2x - m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} - 4\sqrt {x - 1}  = \dfrac{{x - 2m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }}$ có nghiệm.

Câu 3. Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 3 = 0{\rm{ (1)}}$ .

a.Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b.Xác định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 = 14$ .

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a. Xét hàm số $y = {x^2} + 4x$.

Tập xác định $\mathbb R$

Đồ thị parabol có

+ Đỉnh $I(-2;-4)$

+ Trục đối xứng $x= -2$

+ Cắt Oy tại $(0;0)$, cắt Ox tại $(0;0)$ và $(-4;0).$

Bảng biến thiên

Đồ thị

b.Ta có $\left| x \right|\left( {x + 4} \right) + m = 0$

$\Leftrightarrow \left| x \right|\left( {x + 4} \right) =  - m$ .

Phương trình trên là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| x \right|\left( {x + 4} \right)$ và đường thẳng y= -m.

Ta có

$y = \left| x \right|\left( {x + 4} \right)$$\; = \left\{ \matrix{  {x^2} + 4x{\rm{ \text{ khi } x}} \ge {\rm{0 }} \hfill \cr  {\rm{ - }}\left( {{x^2} + 4x} \right){\rm{\text{ khi }x < 0}} \hfill \cr}  \right.$.

Suy ra đồ thị hàm số này gồm phần đồ thị hàm số $y = {x^2} + 4x$ khi $x \ge 0$ và phần đối xứng với đồ thị này qua trục Ox khi $x<0.$

Theo đồ thị phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$0 <  - m < 4 \Leftrightarrow  - 4 < m < 0$ .

Câu 2.

a.Ta có:$\left| {mx + 2} \right| = \left| {2x - m} \right|$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{  mx + 2 = 2x - m \hfill \cr  mx + 2 =  - 2x + m \hfill \cr}  \right.$

Với: $mx + 2 = 2x - m$

$\Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x =  - \left( {m + 2} \right)$     (1)

+ $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$ : Phương trình (1) có nghiệm $x =  - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}}$

+ $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ : Phương trình trở thành $0x= -4$. Phương trình này cô nghiệm.

Với: $mx + 2 =  - 2x + m$$\,\Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)x = m - 2$   (2)

+ $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2$ : Phương trình (2) có nghiệm $x = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}$

+ $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2$ : Phương trình trở thành $0x =  - 4$ . Phương trình này vô nghiệm.

Ta có $- \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}$

$\Leftrightarrow  - {\left( {m + 2} \right)^2} = {\left( {m - 2} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2{m^2} + 8 = 0$

Phương trình này vô nghiệm nên khả năng này không xảy ra.

Kết luận:

$m \ne  \pm 2$ : Hai nghiệm $x_1 =  - \dfrac{{m + 2}}{{m - 2}},x_1 = \dfrac{{m - 2}}{{m + 2}}$

$m =  \pm 2$ : Một nghiệm $x = 0$ .

b. Xét phương trình $\dfrac{{2x - m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} - 4\sqrt {x - 1}  = \dfrac{{x - 2m + 1}}{{\sqrt {x - 1} }}$

Điều kiện xác định $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.$

Với điều kiện xác định đó thì phương trình tương đương

$2x + m + 1 - 4\left( {x - 1} \right) = x - 2m + 1$

$\Leftrightarrow 3x = 3m + 4$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{3m + 4}{ 3}$ .

Phương trình đã cho có nghiệm khi nghiệm trên thỏa mãn điều kiện $x> 1$

$\dfrac{{3m + 4}}{3} > 1 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{3}$

Kết luận: Phương trình có nghiệm khi $m >  - \dfrac{1}{3}$

Câu 3.

a. Xét phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 3 = 0{\rm{ (1)}}$.

Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right)$$\,= {m^2} - 2m + 4 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m$ .

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b.Theo định lí Viet ${x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right),{x_1}{x_2} = 4m - 3$ .

Suy ra $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$$\,= 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 3} \right) = 4{m^2} + 10$ .

Do đó: $x_1^2 + x_2^2 = 14 \Leftrightarrow 4{m^2} + 10 = 14$

$\Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1$

 Loigiaihay.com