Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 1 - Đề số 2 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1 (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD, \(AB = 3;AD = 4\) Hãy tính?

a. \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right|\)

b. \(\left| {2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AD} } \right|\)

Câu 2 (1đ) Cho \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM.  Chứng minh các đẳng thức vectơ sau:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {CB} \)

b) \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Câu 3 (2đ) Cho các véc tơ : \(\overrightarrow a  = (2; - 3)\) , \(\overrightarrow b  = ( - 5;1)\) và \(\overrightarrow c  = ( - 5; - 12)\).

a) Tính toạ độ véc tơ  \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {2a}  + 3\overrightarrow b \)  .

b) Phân tích vectơ \(\overrightarrow c \) theo hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Câu 4 (2.5đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4;1); B(0;3); C(1;2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ của trung điểm cạnh AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ điểm D của hình bình hành ABCD.

e) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho \(AE + BE\)  đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1đ) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB.

a. Tính \(\overrightarrow {DM} \) theo \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {DC} \);

b. Gọi N là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {NC}  + 2\overrightarrow {NA}  = \overrightarrow 0 \). Chứng minh D, N, M thẳng hàng.

Câu 6 (0.75đ) Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

\(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\)

Câu 7 (0.75đ) Biết tháp Eiffel ở thủ đô Paris nước Pháp có chiều cao là 324m. Khi xây dựng người ta thiết kế theo tỉ lệ vàng. Tính độ cao từ mặt đất tới tầng 2 của tháp (Đoạn AB)

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

a) Ta có:

ABCD là hình chữ nhật nên \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)

Tam giác ABC vuông tại B nên theo Pitago ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) \( = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 5\).

b) Dựng các điểm E, F sao cho \(\overrightarrow {AE}  = 2\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AF}  = 3\overrightarrow {AD} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AE = 2AB = 2.3 = 6\\AF = 3AD = 3.4 = 12\end{array}\)

Dựng hình chữ nhật \(AEMF\) ta có :

\(\left| {2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM\)

Tam giác \(AEM\) vuông tại E nên theo Pitago ta có:

\(AM = \sqrt {A{E^2} + E{M^2}} \)\( = \sqrt {{6^2} + {{12}^2}}  = 6\sqrt 5 \) 

Câu 2 (1 điểm)

a. 

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AI} } \right) + \overrightarrow {CI}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

b. \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IM} } \right) = \overrightarrow 0 \) (đúng vì I là trung điểm của AM)

(đpcm)

Câu 3 (2 điểm)

\(\overrightarrow a  = (2; - 3)\) , \(\overrightarrow b  = ( - 5;1)\) và \(\overrightarrow c  = ( - 5; - 12)\)

a.

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow a  = (4; - 6)\\3\overrightarrow b  = ( - 15;3)\end{array}\) 

\(\overrightarrow u  = \overrightarrow {2a}  + 3\overrightarrow b  = \left( { - 11; - 3} \right)\)

b.     Gọi hai số m, n thoã mãn \(\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \)

Ta có hệ phương trình :\(\left\{ \begin{array}{l}2m - 5n =  - 5\\ - 3m + n =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 3\end{array} \right.\)

Vậy : \(\overrightarrow c  = 5\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \)

Câu 4 (2.5 điểm)

A(4;1); B(0;3); C(1;2).

a. \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;2} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1} \right)\)

Ta có \(\dfrac{{ - 4}}{{ - 3}} \ne \dfrac{2}{1}\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Vậy A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.

b. Gọi \(M\)  là trung điểm của \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{4 + 0}}{2} = 2\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {2;2} \right)\)

Vậy tọa độ trung điểm của AB là :\(M\left( {2;2} \right)\)

c. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{4 + 0 + 1}}{3} = \dfrac{5}{3}\\{y_G} = \dfrac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow G\left( {\dfrac{5}{3};2} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: \(G\left( {\dfrac{5}{3};2} \right)\)

d. \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 1} \right)\)

ABCD là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 1\\{y_D} - 1 =  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {5;0} \right)\)

e.

Gọi \(E\left( {{x_E};0} \right) \in Ox\)

Gọi B’ đối xứng với B qua trục Ox thì \(B'\left( {0; - 3} \right)\)

\(AE + BE = AE + B'E \ge AB'\)

Do đó \(AE + BE\) đạt GTNN bằng \(AB'\) khi A,B’,E thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 =  - 4k\\0 - 1 = k.\left( { - 4} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{4}\\{x_E} = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(E\left( {3;0} \right)\)

Câu 5 (1 điểm)

a. \(\overrightarrow {DM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} } \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC} \)  (1)

b. \(\overrightarrow {NC}  + 2\overrightarrow {NA}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DN}  + 2\left( {\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DN} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DN}  + 2\overrightarrow {DA}  - 2\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {DN}  = 2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {DA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\overrightarrow {DM}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN} \) nên 3 điểm D, M, N thẳng hàng.

Câu 6 (0.75 điểm)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Khi đó

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \\\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {2\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow MG = MI\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn GI.

Câu 7 (0.75 điểm)

Do xây theo tỉ lệ vàng nên ta có \(\dfrac{{BC}}{{AB}} = 1,618 \Rightarrow BC = 1,618AB\)

Mà \(BC + AB = 324\) nên \(1,618AB + AB = 324\)

\( \Leftrightarrow 2,618AB = 324\) \( \Leftrightarrow AB = 123,76\)

Vậy độ cao của tháp là \(123,76\left( m \right)\).

Sưu tầm

Loigiaihay.com