Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 3Đề bài
Câu 1 :
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
Câu 2 :
Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ với $M = C{D_1} \cap {C_1}D$. Khi đó:
Câu 3 :
Cho $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Câu 4 :
Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
Câu 5 :
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 6 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Biết \(HK \bot \left( {ABC} \right)\), khẳng định nào sau đây sai?
Câu 7 :
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
Câu 8 :
Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Câu 9 :
Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $\;a$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Số đo của góc $\left( {IJ,\;CD} \right)$ bằng:
Câu 10 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (\(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là
Câu 11 :
Cho hình chóp $S.ABC$ có \(SA \bot (ABC)\) và tam giác $ABC$ không vuông, gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác$ABC$ và $SBC$. Các đường thẳng $AH,{\rm{ }}SK,{\rm{ }}BC$ thỏa mãn:
Câu 12 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(mp(BCD)\). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng và ngược lại. Lời giải chi tiết :
 +) \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC.\) Do đó A đúng. +) Do \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(OH \bot AB\) nên B đúng. Gọi \(I = AH \cap BC.\) Theo giả thiết ta có $OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC.$ Suy ra \(BC \bot \left( {AOI} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot OI,BC \bot AI\) Gọi \(J = BH \cap AC.\) Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot BJ\). Suy ra $H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\) Do đó C đúng. Vậy D là đáp án sai vì \(AO \bot \left( {OBC} \right)\) và \(AO \ne AH\).
Câu 2 :
Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ với $M = C{D_1} \cap {C_1}D$. Khi đó:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xen các điểm thích hợp, biểu diễn véc tơ \(\overrightarrow {AM} \) qua các véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A{A_1}} \) Lời giải chi tiết :
 Ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {D{C_1}} $ $ = AD + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {D{D_1}} } \right)$ $ = \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
Câu 3 :
Cho $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xen điểm thích hợp, biểu diễn véc tơ \(\overrightarrow {AK} \) qua các véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A{A_1}} \) Lời giải chi tiết :
 Có $\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CK} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
Câu 4 :
Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \exists m,n\) sao cho \(\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \) (.$m,n$. là duy nhất). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \\\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {MN} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \end{array}\) Vậy ba vecto $\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN} $ đồng phẳng. 
Câu 5 :
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Câu 6 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Biết \(HK \bot \left( {ABC} \right)\), khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh \(CH \bot \left( {SAB} \right)\). Lời giải chi tiết :
 Ta có: \(HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow HK \bot CH\) hay A đúng. Do \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) nên \(CH \bot AB\). Mà \(HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\). Do đó \(CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot AK\) hay C đúng. Ngoài ra \(HK \bot AB\), mà \(AB \bot CH\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)\) hay B đúng. D sai vì \(BC\) không vuông góc với \(AC\) nên không có \(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Câu 7 :
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). - Tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {CD} \) rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
 Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên \(AM \bot CD,\,\,OM \bot CD.\) Ta có \(\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MO} } \right) = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MO} = 0.\) Suy ra \(\overrightarrow {AO} \bot \overrightarrow {CD} \) nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AO$ và $CD$ bằng \({90^0}.\)
Câu 8 :
Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình chóp đều. Lời giải chi tiết :
Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.
Câu 9 :
Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $\;a$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Số đo của góc $\left( {IJ,\;CD} \right)$ bằng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào mối quan hệ song song và các kiến thức hình học đã biết để tính góc giữa \(IJ\) và \(CD\). Lời giải chi tiết :
 Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD \Rightarrow \)\(OJ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD.\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}OJ\,\parallel \,CD\\OJ = \dfrac{1}{2}CD\end{array} \right.\). Vì \(CD\,\parallel \,OJ \Rightarrow \left( {IJ,CD} \right) = \left( {IJ,OJ} \right)\). Xét tam giác $IOJ$, có \(\left\{ \begin{array}{l}IJ = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2}\\OJ = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\\IO = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\) $ \Rightarrow \Delta IOJ$ đều. Vậy \(\left( {IJ,CD} \right) = \left( {IJ,OJ} \right) = \widehat {IJO} = 60^\circ \).
Câu 10 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (\(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}\) Lời giải chi tiết :
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(AC\), \(BD.\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MI = NI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\\MI{\text{ // }}AB{\text{ // }}NJ,MJ//CD//IN\end{array} \right. \Rightarrow MINJ\) là hình thoi. Gọi \(O\) là giao điểm của \(MN\) và \(IJ\). Ta có: \(\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}\). Xét \(\Delta MIO\) vuông tại \(O\), ta có: \(\cos \widehat {MIO} = \dfrac{{IO}}{{MI}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MIO} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {MIN} = 60^\circ \) Mà: \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN} = 60^\circ \)
Câu 11 :
Cho hình chóp $S.ABC$ có \(SA \bot (ABC)\) và tam giác $ABC$ không vuông, gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác$ABC$ và $SBC$. Các đường thẳng $AH,{\rm{ }}SK,{\rm{ }}BC$ thỏa mãn:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\) Lời giải chi tiết :
 Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $ABC$ \( \Rightarrow AA' \bot BC\) mà \(BC \bot SA\) nên \(BC \bot SA' \Rightarrow A' \in SK\) (vì \(K\) là trực tâm của tam giác)
Câu 12 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(mp(BCD)\). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot BH\). Tương tự \(BD \bot CH\) Suy ra \(H\) là trực tâm \(\Delta BCD\). Suy ra đáp án A, B đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AD\), suy ra C đúng. |
