Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 2 :
Cho hai đường thẳng \(a,b\) và \(mp\left( P \right)\). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Câu 3 :
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây là sai ?
Câu 4 :
Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
Câu 5 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)?
Câu 6 :
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Câu 7 :
Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng \(a\). Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
Câu 8 :
Cho tứ diện đều \(ABCD.\) Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng:
Câu 9 :
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DH} \)?
Câu 10 :
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Giả sử tam giác \(AB'C\) và \(A'DC'\) đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'D\) là góc nào sau đây?
Câu 11 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Vẽ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\), \(H \in \left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 12 :
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng \(AC'\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Câu 2 :
Cho hai đường thẳng \(a,b\) và \(mp\left( P \right)\). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Câu A sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\) . Câu B đúng bởi \(a//\left( P \right) \Rightarrow \exists a' \subset \left( P \right)\) sao cho \(a//a',b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a'\). Khi đó \(a \bot b\). Câu C sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\). Câu D sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).
Câu 3 :
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây là sai ?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng và ngược lại. Lời giải chi tiết :
 Vì $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right)\,\,\, \Rightarrow \,\,SA \bot BD.$ Mà $ABCD$ là hình thoi tâm $O$$ \Rightarrow $$AC \bot BD$ nên suy ra $BD \bot \left( {SAC} \right).$ Mặt khác $SO \subset \left( {SAC} \right)$ và $SC \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot SC\end{array} \right.$. Và $AD,\,\,\,SC$ là hai đường thẳng chéo nhau.
Câu 4 :
Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét tính đúng, sai của từng đáp án Lời giải chi tiết :
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD $ \Rightarrow $ G là trung điểm của MN $ \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $ nên B đúng Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GD} $ $ = 4\overrightarrow {OG} + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} ) = 4\overrightarrow {OG} $ nên A đúng Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án sai là C
Câu 5 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) và kết luận đáp án đúng. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \(\begin{array}{l} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ .\end{array}\) Mà \(AC = AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ \).
Câu 6 :
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc cùng nằm trên một mặt phẳng. Lời giải chi tiết :
 Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD $ \Rightarrow $ Ba vec tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN} $ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MNPQ) nên 3 véc tơ này đồng phẳng $ \Rightarrow $ A đúng Ba vec tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} $ không đồng phẳng $ \Rightarrow $ B đúng Ba vec tơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {CM} ,\overrightarrow {MN} $ có giá không thể song song với mặt phẳng nào $ \Rightarrow $ C sai
Câu 7 :
Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng \(a\). Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét tính đúng, sai của từng đáp án, sử dụng các quy tắc cộng, trừ véc tơ và nhân vô hướng hai véc tơ. Lời giải chi tiết :
Phương án A: $\overrightarrow {{\rm{AD}}} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BD} \ne \overrightarrow 0 $ nên A sai Phương án B:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = a.a.\cos {\rm{6}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{\dfrac{a}{2}^2}$ nên B sai Phương án C: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} ) = 0 \Leftrightarrow {\overrightarrow {AC} ^2} = 0$ nên C sai. Phương án D: Do tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AB \bot CD\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\).
Câu 8 :
Cho tứ diện đều \(ABCD.\) Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). - Tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) và suy ra góc cần tính. Lời giải chi tiết :
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Ta có \(\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM} = \vec 0\) và \(\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MB} = \vec 0\). Do đó \(\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right) = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MB} = \vec 0\). Suy ra $AB \bot CD$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \({90^0}.\)
Câu 9 :
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DH} \)?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\b//c\end{array} \right. \Rightarrow a \bot c\) Lời giải chi tiết :
$\left. \begin{array}{l}AB \bot AE\\AE\,{\rm{//}}\,DH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot DH $ $\Rightarrow \widehat {\left( {AB,DH} \right)} = 90^\circ $
Câu 10 :
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Giả sử tam giác \(AB'C\) và \(A'DC'\) đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'D\) là góc nào sau đây?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(AC{\rm{ // }}A'C'\) (tính chất của hình hộp) \( \Rightarrow \left( {AC,A'D} \right) = \left( {A'C',A'D} \right) = \widehat {DA'C'}\) (do giả thiết cho \(\Delta DA'C'\) nhọn).
Câu 11 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Vẽ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\), \(H \in \left( {ABC} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất: Điểm \(S\) thỏa mãn \(SA = SB = SC\) thì \(HA = HB = HC\) với \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Lời giải chi tiết :
Do \(SA = SB = SC\) nên \(HA = HB = HC\). Suy ra \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(H\) là trung điểm của \(AC\).
Câu 12 :
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng \(AC'\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\) Lời giải chi tiết :
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'D \bot AD'{\rm{ }}\left( \text{t/c hình vuông} \right)}\\{A'D \bot C'D'{\rm{ }}\left( {C'D' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow A'D \bot \left( {AC'D'} \right) \Rightarrow A'D \bot AC'{\rm{ }}\left( 1 \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'B \bot AB'{\rm{ }}\left( \text{t/c hình vuông} \right)}\\{A'B \bot B'C'{\rm{ }}\left( {B'C' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow A'B \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'B \bot AC'{\rm{ }}\left( 2 \right)$ Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AC' \bot \left( {A'BD} \right)$ |
