Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 6: Mặt nón, trụ, cầu - Đề số 3

Đề bài

Câu 1 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông $ABCD$ và $A'B'C'D'$ là:

A

$\sqrt 2 \pi {a^2}$
B

$2\pi {a^2}$
C

$\pi {a^2}$
D

$2\sqrt 2 \pi {a^2}$

Câu 2 :

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r = 3cm$ và độ dài đường sinh $4cm$ là:

A

$12({m^2})$
B

$12\pi (c{m^3})$
C

$12\pi (c{m^2})$
D

$4\pi (c{m^2})$

Câu 3 :

Cho hình trụ có chiều cao bằng $5a$, cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $3a$ được thiết diện có diện tích bằng $20{a^2}$. Thể tích khối trụ là:

A
$5\pi {a^3}$
B
$125\pi {a^3}$
C
$65\pi {a^3}$
D
$\dfrac{{65\pi {a^3}}}{3}$

Câu 4 :

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính 10 cm và mặt phẳng $\left( P \right)$ cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?

A
$\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có vô số điểm chung.
B
$\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ theo một đường tròn bán kính 3 cm.
C
$\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$.
D
$\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$.

Câu 5 :

Cho mặt cầu $\left( S \right)$. Nếu $\left( P \right)$ là mặt phẳng kính của mặt cầu $\left( S \right)$ thì:

A

$\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( S \right)$
B

$\left( P \right)$ không cắt $\left( S \right)$
C

$\left( P \right)$ không đi qua tâm mặt cầu.
D

$\left( P \right)$ đi qua tâm mặt cầu.

Câu 6 :

Cho hình $\left( H \right)$ bao gồm tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $\left( C \right)$. Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục đối xứng của nó ta được:

A

hình nón nội tiếp hình cầu
B

hình trụ nội tiếp hình cầu
C

hình nón ngoại tiếp hình cầu
D

hình cầu nội tiếp hình trụ

Câu 7 :

Số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu tối đa có thể có là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

Vô số

Câu 8 :

Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn được gọi là:

A

trục đường tròn
B

đường kính đường tròn
C

bán kính đường tròn
D

không xác định được

Câu 9 :

Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Cắt hình nón $\left( \aleph \right)$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng ${30^o}$, ta được thiết diện là tam giác đều cạnh $2a.$ Diện tích xung quanh của $\left( \aleph \right)$ bằng

A
$\sqrt 7 \pi {a^2}$
B
$\sqrt {13} \pi {a^2}$
C
$2\sqrt {13} \pi {a^2}$
D
$2\sqrt 7 \pi {a^2}$

Câu 10 :

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Cho tứ giác $AMCD$ và các điểm trong của nó quay quanh trục $AD$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.

A

$\dfrac{{7\pi }}{3}$
B

$\dfrac{{7\pi }}{6}$
C

$\dfrac{{14\pi }}{3}$
D

$\dfrac{{14\pi }}{9}$

Câu 11 :

Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi bằng 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng

A
$16\pi .$
B
$32\pi .$
C
$8\pi .$
D
$64\pi .$

Câu 12 :

Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước $2m,3m,2m$ lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo nước hình trụ có chiều cao là $5cm$ và bán kính đường tròn đáy là $4cm$. Trung bình một ngày được múc ra $170$ gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiêu ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước?

A

$280$ ngày
B

$281$ ngày
C

$282$ ngày
D

$882$ ngày

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

$\sqrt 2 \pi {a^2}$
B

$2\pi {a^2}$
C

$\pi {a^2}$
D

$2\sqrt 2 \pi {a^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy $R,\;$chiều cao $h:\;\;{S_{xq}} = 2\pi Rh.$

Lời giải chi tiết :

Ta có hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng $a$

$ \Rightarrow AA' = a$ là đường sinh của hình trụ.

Bán kính đáy của hình trụ là $R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

$ \Rightarrow $ Diện tích xung quanh của hình trụ là:

${S_{xq}} = 2\pi Rl = 2\pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \sqrt 2 \pi {a^2}.$

Câu 2 :

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r = 3cm$ và độ dài đường sinh $4cm$ là:

A

$12({m^2})$
B

$12\pi (c{m^3})$
C

$12\pi (c{m^2})$
D

$4\pi (c{m^2})$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh ${S_{xq}} = \pi rl$.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta được: ${S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Câu 3 :

A
$5\pi {a^3}$
B
$125\pi {a^3}$
C
$65\pi {a^3}$
D
$\dfrac{{65\pi {a^3}}}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính đáy của hình trụ.

- Thể tích khối trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $R$ là $V = \pi {R^2}h$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật $ABCD$.

Ta có: ${S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow 20{a^2} = AB.5a \Leftrightarrow AB = 4a$ $ \Rightarrow AH = 2a$.

Gọi $O,\,\,O'$ lần lượt là tâm hai đáy của hình trụ, $H$ là trung điểm của $AB$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OH = 3a$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $OAH$ ta có: $OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {9{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt {13} $.

Vậy thể tích khối trụ là $V = \pi .O{A^2}.BC = \pi .{\left( {a\sqrt {13} } \right)^2}.5a = 65\pi {a^3}$.

Câu 4 :

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính 10 cm và mặt phẳng $\left( P \right)$ cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?

A
$\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có vô số điểm chung.
B
$\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ theo một đường tròn bán kính 3 cm.
C
$\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$.
D
$\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tìm bán kính của mặt cầu.

- So sánh bán kính $R$ của mặt cầu với khoảng cách $d$ từ tâm đến mặt phẳng $\left( P \right)$.

+ Nếu $R > d$ thì $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn có bán kính $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} $.

+ Nếu $R = d$ thì $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$.

+ Nếu $R < d$ thì $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ không có điểm chung nào.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính là 10cm bán kính $R = 5cm$.

Mà khoảng cách từ tâm của mặt cầu và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $d = 4cm < R$.

Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn có bán kính $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = 3\,\,\left( {cm} \right)$.

Vậy trong 4 đáp án chỉ có đáp án C sai.

Câu 5 :

Cho mặt cầu $\left( S \right)$. Nếu $\left( P \right)$ là mặt phẳng kính của mặt cầu $\left( S \right)$ thì:

A

$\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( S \right)$
B

$\left( P \right)$ không cắt $\left( S \right)$
C

$\left( P \right)$ không đi qua tâm mặt cầu.
D

$\left( P \right)$ đi qua tâm mặt cầu.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $\left( P \right)$ là mặt phẳng kính thì $OH = 0\left( {H \equiv O} \right)$ hay $\left( P \right)$ đi qua $O$ là tâm mặt cầu.

Câu 6 :

Cho hình $\left( H \right)$ bao gồm tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $\left( C \right)$. Quay hình $\left( H \right)$ quanh trục đối xứng của nó ta được:

A

hình nón nội tiếp hình cầu
B

hình trụ nội tiếp hình cầu
C

hình nón ngoại tiếp hình cầu
D

hình cầu nội tiếp hình trụ

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựng hình và kết luận đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

Quan sát hình vẽ ta thấy, khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục đối xứng ta được hình nón nội tiếp hình cầu.

Câu 7 :

Số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu tối đa có thể có là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

Vô số

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng và mặt cầu chỉ có thể có số giao điểm là $0;1;2$ nên số giao điểm lớn nhất có thể có là $2$ giao điểm.

Câu 8 :

Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn được gọi là:

A

trục đường tròn
B

đường kính đường tròn
C

bán kính đường tròn
D

không xác định được

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn được gọi là trục đường tròn.

Câu 9 :

Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

A
$\sqrt 7 \pi {a^2}$
B
$\sqrt {13} \pi {a^2}$
C
$2\sqrt {13} \pi {a^2}$
D
$2\sqrt 7 \pi {a^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc giữa đáy và mặt phẳng qua đỉnh.

Từ đó tìm được mối quan hệ giữa chiều cao của hình nón và bán kính đáy.

Biến đổi, tính toán để tìm được bán kính đáy.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh nón: ${S_{xq}} = \pi rl.$

Lời giải chi tiết :

Gọi mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón là $\left( {SMN} \right)$.

Do thiết diện của $\left( {SMN} \right)$ và hình nón là tam giác đều cạnh $2a$ nên $SM = MN = SN = 2a$

Kẻ $OH \bot AB$. Nối $S$ với $H.$

Khi đó $H$ là trung điểm $MN$ nên $SH = a\sqrt 3 $

Ta có: góc giữa $\left( {SMN} \right)$ và mặt đáy là $\angle SHO$

Trong tam giác $SHO$ vuông tại $O$ ta có: $\tan SHO = \dfrac{{SO}}{{OH}}$$ \Rightarrow \tan {30^o} = \dfrac{{SO}}{{OH}} \Rightarrow SO = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.OH$

Theo định lí py-ta-go ta có: $S{O^2} + O{H^2} = S{H^2}$$ \Rightarrow \dfrac{4}{3}O{H^2} = S{H^2} \Rightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}SH = \dfrac{{3a}}{2}$

$ \Rightarrow SO = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a$$ \Rightarrow OM = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}$

Diện tích xung quanh của hình nón: ${S_{xq}} = \pi .\dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}.2a = \pi \sqrt {13} {a^2}$

Câu 10 :

A

$\dfrac{{7\pi }}{3}$
B

$\dfrac{{7\pi }}{6}$
C

$\dfrac{{14\pi }}{3}$
D

$\dfrac{{14\pi }}{9}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vẽ thêm hình, sử dụng phương pháp cộng trừ thể tích các khối nón suy ra kết quả.

Chú ý: Công thức tính thể tích khối nón: $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h$.

Lời giải chi tiết :

Kéo dài $CM$ cắt $DA$ tại $E$. Quay hình thang vuông $AMCD$ quanh trục $AD$ ta được hình nón cụt như hình vẽ.

Quay tam giác $EDC$ quanh trục $ED$ ta được hình nón.

Dễ thấy ${V_{nc}} = {V_1} - {V_2}$, ở đó ${V_1}$ là thể tích khối nón đỉnh $E$, bán kính đáy $DC = 2$ và ${V_2}$ là thể tích khối nón đỉnh $E$, bán kính đáy $AM = 1$.

Có $\dfrac{{EA}}{{ED}} = \dfrac{{AM}}{{DC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow EA = AD = 2 \Rightarrow ED = 4$

$ \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi D{C^2}.ED = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.4 = \dfrac{{16\pi }}{3}$ ;

${V_2} = \dfrac{1}{3}\pi A{M^2}EA = \dfrac{1}{3}\pi {.1^2}.2 = \dfrac{{2\pi }}{3}$.

Vậy $V = {V_1} - {V_2} = \dfrac{{16\pi }}{3} - \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{{14\pi }}{3}$.

Câu 11 :

Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi bằng 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng

A
$16\pi .$
B
$32\pi .$
C
$8\pi .$
D
$64\pi .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi $R,\,\,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Dựa vào chu vi thiết diện biểu diễn $h$ theo $R$.

- Thể tích khối trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $R$ là $V = \pi {R^2}h$.

- Sử dụng BĐT Cô-si: $abc \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}$, dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $R,\,\,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Giả sử thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật $ABCD$ như hình vẽ, ta có $AB = 2R$ và $AD = h$.

Chu vi thiết diện chứa trục bằng 12 $ \Rightarrow 2R + h = 6 \Rightarrow h = 6 - 2R$.

Khi đó thể tích khối trụ:

$\begin{array}{l}V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}\left( {6 - 2R} \right) = \pi .R.R\left( {6 - 2R} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \pi .{\left( {\dfrac{{R + R + 6 - 2R}}{3}} \right)^3} = 8\pi \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $R = 6 - 2R \Leftrightarrow R = 2.$

Vậy thể tích khối trụ lớn nhất là $8\pi $ khi $R = 2$.

Câu 12 :

A

$280$ ngày
B

$281$ ngày
C

$282$ ngày
D

$882$ ngày

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Tính thể tích của gáo nước từ đó tính lượng nước được múc ra trong một ngày

+ Tính thể tích bể nước suy ra số ngày để dùng hết nước trong bể

Lời giải chi tiết :

Thể tích gáo ${V_1} = \pi {R^2}.h = \pi .0,{04^2}.0,05 = 8\pi {.10^{ - 5}}({m^3})$

Số nước múc ra trong một ngày ${V_2} = 170{V_1} = 170.8.\pi {.10^{ - 5}} = 0,0136\pi \left( {{m^3}} \right)$

Số ngày dùng hết nước là $\dfrac{{2.3.2}}{{{V_2}}} = \dfrac{{12}}{{0,0136\pi }} \approx 281$(ngày)

Bài liên quan