Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 5: Khối đa diện và thể tích - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
Câu 2 :
Khối đa diện lồi có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt thì có số cạnh là:
Câu 3 :
Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của tất cả bao nhiêu mặt?
Câu 4 :
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân tại $A$. \(AB = AC = 2a,\widehat {CAB} = {120^0}.\) Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ là:
Câu 5 :
Đáy của hình chóp $S.ABCD$ là một hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài là \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) bằng:
Câu 6 :
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
Câu 7 :
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
Câu 8 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = 2a,\,\,\,AC = 3a,\,\,AD = 4a.\) Thể tích của khối tứ diện đó là:
Câu 9 :
Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:
Câu 10 :
Có bao nhiêu cách chọn ra ba đỉnh từ các đỉnh của một hình lập phương để thu được một tam giác đều ?
Câu 11 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SB\) vuông góc với đáy. Biết \(SB = a,SC\) hợp với \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\) và \(\left( {SAC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp là:
Câu 12 :
Cho đa diện \(ABCDEF\) có \(AD,BE,CF\) đôi một song song. \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AD + BE + CF = 5\), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(10\). Thể tích đa diện \(ABCDEF\) bằng
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất khối đa diện: mối cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt. Lời giải chi tiết :
Trong các hình đã cho chỉ có hình a) là khối đa diện. Hình b) có 3 cạnh ở trên không phải cạnh chung của 2 mặt, hình c) và d) có 1 cạnh là không là cạnh chung của 2 mặt.
Câu 2 :
Khối đa diện lồi có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt thì có số cạnh là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Ơ le cho khối đa diện lồi \(D - C + M = 2\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(D = 8,M = 6\) thì \(D - C + M = 2 \Leftrightarrow 8 - C + 6 = 2 \Leftrightarrow C = 12\) Vậy số cạnh là \(12\).
Câu 3 :
Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của tất cả bao nhiêu mặt?
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Hình đa diện lồi cũng là hình đa diện nên mỗi cạnh của nó là cạnh chung của đúng \(2\) mặt.
Câu 4 :
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân tại $A$. \(AB = AC = 2a,\widehat {CAB} = {120^0}.\) Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\): góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. - Tính độ dài đường cao \(h = AA'\). - Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'}}\). - Tính thể tích khối lăng trụ \(V = Sh\). Lời giải chi tiết :
Gọi $D$ là trung điểm của $B'C'$. Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại $A'$ nên \(A'D \bot B'C'\) (trung tuyến đồng thời là đường cao). Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đứng nên $AA' \bot (A'B'C')$. Ta có: \(\left. \begin{array}{l}A'D \bot B'C'\\AA' \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow B'C' \bot AD\) \(\left. \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AB'C'} \right) \supset AD \bot B'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset A'D \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD;A'D} \right)} = \widehat {ADA'} = {60^0}\) Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại $A'$ nên \(\widehat {DA'C'} = \dfrac{1}{2}\widehat {B'A'C'} = {60^0}\) (trung tuyến đồng thời là phân giác) Xét tam giác vuông \(A'D'C'\) có: \(A'D = A'C'.cos60 = 2a.\dfrac{1}{2} = a\) Xét tam giác vuông \(AA'D\) có: \(AA' = A'D.\tan 60 = a.\sqrt 3 \) \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.2a.2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 \) Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}\)
Câu 5 :
Đáy của hình chóp $S.ABCD$ là một hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài là \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) bằng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Bước 1: Tính diện tích đáy \({S_{\Delta BCD}}\) - Bước 2: Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\) \({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)
Câu 6 :
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'D'}}\) và độ dài đường cao \(BB'\). - Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\). Lời giải chi tiết :
Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông cạnh $a$ nên \(B'D' = a\sqrt 2 \) \(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot B'D' \Rightarrow \Delta BB'D'\) vuông tại \(B' \Rightarrow BB' = \sqrt {BD{'^2} - B'D{'^2}} = \sqrt {6{a^2} - 2{a^2}} = 2a\) Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = BB'.{S_{ABCD}} = 2a.{a^2} = 2{a^3}\)
Câu 7 :
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), tính \(OE,SE \Rightarrow SO\). - Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\). Lời giải chi tiết :
Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì chóp $S.ABCD$ đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $ABCD$ là hình vuông \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\left( {cm} \right) = AD\) Gọi $E$ là trung điểm của AB\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác ABD\( \Rightarrow OE//AD \Rightarrow OE \bot AB\) và \(OE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)\) \(\left. \begin{array}{l}OE \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow AB \bot SE\) \( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SE.AB = 8\sqrt 3 \Rightarrow SE = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{{AB}} = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\) \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OE \Rightarrow \Delta SOE\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {48 - 4} = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \left( {cm} \right)\) Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt {11} .16 = \dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)
Câu 8 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = 2a,\,\,\,AC = 3a,\,\,AD = 4a.\) Thể tích của khối tứ diện đó là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thể tích của tứ diện \(OABC\) có \(OA = a,\,\,OB = b,\,\,OC = c\) đôi một vuông góc là: \(V = \frac{1}{6}abc.\) Lời giải chi tiết :
Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đã cho là: \(V = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.2a.3a.4a = 4{a^3}.\)
Câu 9 :
Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Khối đa diện A là khối chóp tứ giác. Khối đa diện D không phải là khối đa diện lồi Khối đa diện B, C là khối đa diện lồi
Câu 10 :
Có bao nhiêu cách chọn ra ba đỉnh từ các đỉnh của một hình lập phương để thu được một tam giác đều ?
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Nối các đường chéo của các mặt của hình lập phương. - Đếm số tam giác đều. Lời giải chi tiết :
Nối các đường chéo của các mặt ta được 2 tứ diện đều không có đỉnh nào chung. Mỗi tứ diện đều có 4 tmặt là 4 tam giác đều. Nên tổng cộng có 8 tam giác đều.
Câu 11 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SB\) vuông góc với đáy. Biết \(SB = a,SC\) hợp với \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\) và \(\left( {SAC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Xác định góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. - Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến. - Tính diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}}\) và chiều cao \(h = SB\). - Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SB\,\,\left( {SB \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SA\) \( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}$ \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SA \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AB} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}\) \(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại $B$ \( \Rightarrow AB = SB.\cot {60^0} = a.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\) Xét tam giác vuông $SAC$ ta có: \(AC = SA.\tan {30^0} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\) \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\) \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
Câu 12 :
Cho đa diện \(ABCDEF\) có \(AD,BE,CF\) đôi một song song. \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AD + BE + CF = 5\), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(10\). Thể tích đa diện \(ABCDEF\) bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chọn điểm rơi: chọn \(AD = BE = CF = \dfrac{5}{3}\) và tính thể tích khối lăng trụ tam giác theo công thức \(V = Bh\) với \(B\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao. Lời giải chi tiết :
Chọn \(AD = BE = CF = \dfrac{5}{3}\) thì đa diện là hình lăng trụ đứng \(ABC.DEF\) có diện tích đáy \({S_{ABC}} = 10\) và chiều cao \(AD = \dfrac{5}{3}\). Thể tích \(V = {S_{ABC}}.AD = 10.\dfrac{5}{3} = \dfrac{{50}}{3}\). |