Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 5: Đạo hàm - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

A

$ - \dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
B

$\dfrac{3}{{x + 2}}$
C

$\dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

Câu 2 :

Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ac \ne 0} \right)$ là:

A

$\dfrac{a}{c}$
B

$\dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$
C

$\dfrac{{ad + bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{ad - bc}}{{cx + d}}$

Câu 3 :

Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$ ta được:

A

$y' = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
B

$y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
C

$y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
D

$y' = \dfrac{{ - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Câu 4 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.$. Giá trị của $f'\left( 1 \right)$ bằng:

A

$0$
B

$4$
C

$5$
D

không tồn tại

Câu 5 :

Khi tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 5x - 3$ tại điểm ${x_0} = 2$, một học sinh đã tính theo các bước sau:

Bước 1: $f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( x \right) - 11$

Bước 2: $\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2} + 5x - 3 - 11}}{{x - 2}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{x - 2}} = x + 7$

Bước 3: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 7} \right) = 9 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = 9$

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?

A

Bước 1
B

Bước 2
C

Bước 3
D

Tính toán đúng

Câu 6 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f'\left( 8 \right)$ bằng:

A

$\dfrac{1}{6}$
B

$\dfrac{1}{{12}}$
C

$ - \dfrac{1}{6}$
D

$ - \dfrac{1}{{12}}$

Câu 7 :

Tính tỷ số $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ của hàm số $y = 2{x^3}$ theo $x$ và $\Delta x.$

A

$\,\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{2{x^3} - 2{{\left( {\Delta x} \right)}^3}}}{{\Delta x}}.$
B

$\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 2{\left( {\Delta x} \right)^2}.$
C

$\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 6{x^2} + 6x\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2}.$
D

$\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + 3x\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2}.$

Câu 8 :

Cho hàm số $y = \dfrac{3}{{1 - x}}$. Để $y' < 0$ thì $x$ nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A

$\{1\}$
B

$\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
C

$\emptyset $
D

$R$

Câu 9 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}$. Tính đạo hàm của hàm số tại ${x_0} = - 1$.

A

$2$
B

$1$
C

$0$
D

Không tồn tại.

Câu 10 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \tan \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)$. Giá trị $f'\left( 0 \right)$ bằng:

A

$ - \sqrt 3 $
B

$4$
C

$ - 3$
D

$\sqrt 3 $

Câu 11 :

Đạo hàm của hàm số $y = {\tan ^2}x - co{t^2}x$ là:

A

$y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}$
B

$y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}$
C

$y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}}$
D

$y' = 2\tan x - 2\cot x$

Câu 12 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}$. Hàm số có đạo hàm $f'\left( x \right)$ bằng:

A

$\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)$
B

$x\sqrt x - 3\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }}$
C

$\dfrac{3}{2}\left( { - \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)$
D

$\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

A

$ - \dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
B

$\dfrac{3}{{x + 2}}$
C

$\dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của một thương $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết :

$y' = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)'.\left( {x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right) - 2x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

Câu 2 :

Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ac \ne 0} \right)$ là:

A

$\dfrac{a}{c}$
B

$\dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$
C

$\dfrac{{ad + bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$
D

$\dfrac{{ad - bc}}{{cx + d}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của một thương $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {ax + b} \right)'\left( {cx + d} \right) - \left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right)'}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \dfrac{{a\left( {cx + d} \right) - c\left( {ax + b} \right)}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{acx + ad - acx - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\end{array}$

Câu 3 :

Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$ ta được:

A

$y' = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
B

$y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
C

$y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
D

$y' = \dfrac{{ - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của một thương $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 2x - x + 1 - {x^2} + x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Câu 4 :

A

$0$
B

$4$
C

$5$
D

không tồn tại

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ là $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ (nếu tồn tại).

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x + 3 - 5}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} - 5}}{{x - 1}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 12x + 9}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x - 9}}{{x - 1}} = + \infty $

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x = 1.$

Câu 5 :

Khi tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + 5x - 3$ tại điểm ${x_0} = 2$, một học sinh đã tính theo các bước sau:

Bước 1: $f\left( x \right) - f\left( 2 \right) = f\left( x \right) - 11$

Bước 2: $\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2} + 5x - 3 - 11}}{{x - 2}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{x - 2}} = x + 7$

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?

A

Bước 1
B

Bước 2
C

Bước 3
D

Tính toán đúng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét tính đúng sai ở từng bước.

Lời giải chi tiết :

Bài giải trên hoàn toàn đúng.

Câu 6 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f'\left( 8 \right)$ bằng:

A

$\dfrac{1}{6}$
B

$\dfrac{1}{{12}}$
C

$ - \dfrac{1}{6}$
D

$ - \dfrac{1}{{12}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Đưa hàm số về dạng ${x^n}$ và áp dụng công thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$

+) Thay $x = 8$ và tính $f'\left( 8 \right)$

Lời giải chi tiết :

$f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}.{x^{\frac{1}{3} - 1}} = \dfrac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}$ $\Rightarrow f'\left( 8 \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{8^2}}}}} = \dfrac{1}{{12}}$

Câu 7 :

Tính tỷ số $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ của hàm số $y = 2{x^3}$ theo $x$ và $\Delta x.$

A

$\,\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{2{x^3} - 2{{\left( {\Delta x} \right)}^3}}}{{\Delta x}}.$
B

$\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 2{\left( {\Delta x} \right)^2}.$
C

$\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 6{x^2} + 6x\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2}.$
D

$\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + 3x\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)$.

- Tính $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right) = 2{\left( {x + \Delta x} \right)^3} - 2{x^3} = 6{x^2}\Delta x + 6x{\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{\left( {\Delta x} \right)^3}$

$ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 6{x^2} + 6x\Delta x + 2{\left( {\Delta x} \right)^2}.$

Câu 8 :

Cho hàm số $y = \dfrac{3}{{1 - x}}$. Để $y' < 0$ thì $x$ nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A

$\{1\}$
B

$\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
C

$\emptyset $
D

$R$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng công thức tính đạo hàm của một thương $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Bước 2: Đánh giá y' để tìm tập nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$y' = \dfrac{{3'\left( {1 - x} \right) - 3\left( {1 - x} \right)'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} $$= \dfrac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} $

Bước 2:

Ta có $y'=\dfrac{3}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 1 $

$\Rightarrow $Tập nghiệm của bất phương trình $y' < 0$ là $\emptyset $.

Câu 9 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}$. Tính đạo hàm của hàm số tại ${x_0} = - 1$.

A

$2$
B

$1$
C

$0$
D

Không tồn tại.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

$f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} \right)} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}$

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{x + 1}}{x} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{x} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{x - 1}}{x} = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\end{array}\)

Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to \left( { - 1} \right)} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}$, vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại ${x_0} = - 1$.

Câu 10 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \tan \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)$. Giá trị $f'\left( 0 \right)$ bằng:

A

$ - \sqrt 3 $
B

$4$
C

$ - 3$
D

$\sqrt 3 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}$, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \tan \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\tan x - \tan \dfrac{{2\pi }}{3}}}{{1 + \tan x.\tan \dfrac{{2\pi }}{3}}} = \dfrac{{\tan x + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 \tan x}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)'\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)'}}{{{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sqrt 3 \tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\sqrt 3 \tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{4}{{{{\cos }^2}x{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{4}{{1\left( {1 - \sqrt 3 .0} \right)}} = 4\end{array}\)

Câu 11 :

Đạo hàm của hàm số $y = {\tan ^2}x - co{t^2}x$ là:

A

$y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}$
B

$y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}$
C

$y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}}$
D

$y' = 2\tan x - 2\cot x$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích: $\left( {uv} \right)' = u'v + uv'$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}y = {\tan ^2}x - co{t^2}x = \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)\\y' = \left( {\tan x - \cot x} \right)'\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)'\\y' = \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\y' = \dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\tan x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{\cot x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\\y' = 2\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2\dfrac{{\cot x}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array}$

Câu 12 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}$. Hàm số có đạo hàm $f'\left( x \right)$ bằng:

A

$\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)$
B

$x\sqrt x - 3\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }}$
C

$\dfrac{3}{2}\left( { - \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)$
D

$\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng khai triển hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^3}$, đưa các hạng tử về dạng ${x^n}$ và sử dụng công thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$ .

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3} = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - 3{\left( {\sqrt x } \right)^2}.\dfrac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt x {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\\f\left( x \right) = {x^{\dfrac{3}{2}}} - 3\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^{\dfrac{3}{2}}}}}\\f\left( x \right) = {x^{\dfrac{3}{2}}} - 3\sqrt x + 3{x^{ - \dfrac{1}{2}}} - {x^{ - \dfrac{3}{2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{3}{2} - 1}} - \dfrac{3}{{2\sqrt x }} + 3.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right){x^{ - \dfrac{1}{2} - 1}} + \dfrac{3}{2}{x^{ - \dfrac{3}{2} - 1}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\sqrt x - \dfrac{3}{{2\sqrt x }} - \dfrac{3}{2}{x^{ - \dfrac{3}{2}}} + \dfrac{3}{2}{x^{ - \dfrac{5}{2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\end{array}$

Bài liên quan