Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 4: Số phức - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
Câu 2 :
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(5\bar z + 3 - i = \left( { - 2 + 5i} \right)z\). Tính $P = \left| {3i{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right|$.
Câu 3 :
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là:
Câu 4 :
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là:
Câu 5 :
Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức \(w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z \)
Câu 6 :
Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)
Câu 7 :
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Câu 8 :
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Câu 9 :
Tìm môđun của số phức \(z\), biết \(\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i.\)
Câu 10 :
Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)
Câu 11 :
Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:
Câu 12 :
Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Bước 1: Tính \(\Delta = {B^2} - 4AC\). - Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \) - Bước 3: Tính các nghiệm: + Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\) + Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \)) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\Delta ' = 1 - 5 = - 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 2i\\{z_2} = - 1 - 2i\end{array} \right. \) $\Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} + \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$
Câu 2 :
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(5\bar z + 3 - i = \left( { - 2 + 5i} \right)z\). Tính $P = \left| {3i{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right|$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$ thay vào đẳng thức tìm \(z\). - Thay \(z\) vào \(P\), tính toán và kết luận. Lời giải chi tiết :
Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a - bi$. Theo giả thiết, ta có \(5\left( {a - bi} \right) + 3 - i = \left( { - 2 + 5i} \right)\left( {a + bi} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5a + 3 - \left( {5b + 1} \right)i = - 2a - 5b + \left( {5a - 2b} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a + 3 = - 2a - 5b\\5b + 1 = 2b - 5a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7a + 5b + 3 = 0\\5a + 3b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right..\end{array}\) Suy ra \(z = 1 - 2i\), suy ra \(3i{\left( {z - 1} \right)^2} = - 12i\). Vậy $P = \left| {3i{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right| = \left| { - 12i} \right| = 12$.
Câu 3 :
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \).
Câu 4 :
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là:
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Phần thực của số phức \(z\) là \(a\).
Câu 5 :
Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức \(w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z \)
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Sử dụng các quy tắc nhân chia số phức thông thường +\(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) Lời giải chi tiết :
${\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\overline z = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i) $ $= 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i$
Câu 6 :
Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa về số phức: $z = a + bi,a,b \in R$, trong đó $a$ là phần thực của số phức và $b$ là phần ảo của số phức Lời giải chi tiết :
Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $ - 2\sqrt 2 $ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$
Câu 7 :
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A} = \dfrac{{ - 2i}}{1} = - 2i\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} = \dfrac{i}{1} = i\end{array} \right.\) Vậy \({z_1} + {z_2} = - 2i\).
Câu 8 :
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {B^2} - 4AC\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3i} \right)^2} - 4.2.i = 9{i^2} - 8i = - 9 - 8i\)
Câu 9 :
Tìm môđun của số phức \(z\), biết \(\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i.\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tính \({z^2}\) suy ra \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}\) rồi tính \(\left| z \right|\). Lời giải chi tiết :
Từ giả thiết, ta có $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i = \dfrac{{1 + i}}{2} \Rightarrow {z^2} = \dfrac{2}{{1 + i}} = 1 - i.$. Lấy môđun hai vế và chú ý $\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}$, ta được ${\left| z \right|^2} = \sqrt 2 \leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$
Câu 10 :
Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = u_1.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\). Lời giải chi tiết :
Ta có $w = {i^5}\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right) $ $= i.\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right).$ Dễ thấy $T = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}$ là tổng của cấp số nhân có $14$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = i$. Do đó $T = {u_1}\dfrac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {i^{14}}}}{{1 - i}} = \dfrac{{1 + 1}}{{1 - i}}$ $ = \dfrac{{2\left( {1 + i} \right)}}{{1 + 1}} = 1 + i$ Vậy \(w = i\left( {1 + i} \right) = - 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = a + b = 0\)
Câu 11 :
Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai. - Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) - Thay vào biểu thức cần tính giá trị. Lời giải chi tiết :
Phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0$ Ta có: ${z_1} + {z_2} = - 1;{z_1}.{z_2} = 1$ Khi đó $P = {z_1}^3 + {z_2}^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_1}^2 - {z_1}{z_2} + {z_2}^2} \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right] = - 1.(1 - 3) = 2$
Câu 12 :
Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập hợp số phức: - Bước 1: Tính \(\Delta = {B^2} - 4AC\). - Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \) - Bước 3: Tính các nghiệm: + Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\) + Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \)) Lời giải chi tiết :
Ta có: ${z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 2 + i\\{z_2} = - 2 - i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + 1 = i - 1\\{z_2} + 1 = - i - 1\end{array} \right.$ Khi đó ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^2} = {(i - 1)^2} = - 2i\\{({z_2} + 1)^2} = {( - i - 1)^2} = 2i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^4} = - 4\\{({z_2} + 1)^4} = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {({z_1} + 1)^{100}} + {({z_2} + 1)^{100}} = {\left( { - 4} \right)^{25}} + {\left( { - 4} \right)^{25}} = 2.{\left( { - {2^2}} \right)^{25}} = - {2^{51}}\end{array}\) |