Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 4: Số phức - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Tìm số phức có phần thực bằng $12$ và mô đun bằng $13$:
Câu 2 :
Cho số phức $z = a + bi$ với $a,b$ là hai số thực khác $0$. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\bar z\) làm nghiệm với mọi $a,b$ là:
Câu 3 :
Cho phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Câu 4 :
Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \)
Câu 5 :
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Câu 6 :
Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)
Câu 7 :
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
Câu 8 :
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là:
Câu 9 :
Cho số phức $z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}$. Khi đó:
Câu 10 :
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
Câu 11 :
Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0\). Tổng \(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}\) bằng:
Câu 12 :
Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$. Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Tìm số phức có phần thực bằng $12$ và mô đun bằng $13$:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Mô đun số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) Lời giải chi tiết :
Ta có: \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left| z \right|^2} - {a^2} \Leftrightarrow b = \pm \sqrt {{{\left| z \right|}^2} - {a^2}} \) Vậy phần ảo của số phức đó là $ b=\pm \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = \pm 5$.
Câu 2 :
Cho số phức $z = a + bi$ với $a,b$ là hai số thực khác $0$. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\bar z\) làm nghiệm với mọi $a,b$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giải từng phương trình và kết luận. Lời giải chi tiết :
Đáp án A: $z = a + bi$ hoặc $z = - a - bi$ (loại) Đáp án B: $z = \pm \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ (loại) Đáp án C: Giải phương trình bậc hai ẩn $z$ có nghiệm $z = a + bi;z = a - bi$ (thỏa mãn) Đáp án D: Giải phương trình ta được hai nghiệm $a \pm b$ nên loại.
Câu 3 :
Cho phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tính \(\Delta \) từ đó giải phương trình theo \(\Delta \) Lời giải chi tiết :
\(\Delta ' = 1 - 2 = - 1 < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm là \(z = 1 + i\) và \(z = 1 - i\). Vậy phương trình có hai nghiệm phức. Do đó các đáp án A, B, D đều đúng
Câu 4 :
Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(a - bi\). Phần thực và phần ảo của \(z = a + bi\) lần lượt là \(a,b\). Lời giải chi tiết :
Số phức liên hợp của $z$ là $3 + 2i$, phần thực $3$, phần ảo $2$.
Câu 5 :
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {B^2} - 4AC\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3i} \right)^2} - 4.2.i = 9{i^2} - 8i = - 9 - 8i\)
Câu 6 :
Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa về số phức: $z = a + bi,a,b \in R$, trong đó $a$ là phần thực của số phức và $b$ là phần ảo của số phức Lời giải chi tiết :
Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $ - 2\sqrt 2 $ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$
Câu 7 :
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
Đáp án : D Phương pháp giải :
Cho số phức $ z = a + bi\Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{(a - bi)(a + bi)}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} - {{(bi)}^2}}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $ $= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$
Câu 8 :
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \).
Câu 9 :
Cho số phức $z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}$. Khi đó:
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Áp dụng: ${i^2} = - 1;{i^3} = {i^2}.i = - i;{i^4} = {i^3}.i = 1...$ Lời giải chi tiết :
$z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9} = 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 + i = 1 + i$
Câu 10 :
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng công thức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi;\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Lời giải chi tiết :
Ta có: $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $
Câu 11 :
Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0\). Tổng \(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}\) bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải phương trình phức từ đó tính tổng. Lời giải chi tiết :
\(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 \\z = \pm i\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)\(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2} = 2 + 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 5\)
Câu 12 :
Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} - {z^2} - 12 = 0$. Tính tổng $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Đưa phương trình về dạng tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}{z^4} - {z^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 4} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm 2\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow T = 2 + 2 + \sqrt 3 + \sqrt 3 = 4 + 2\sqrt 3 \end{array}$ |