Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 4: Giới hạn - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
Câu 2 :
Cho \(\lim {u_n} = L\). Chọn mệnh đề đúng:
Câu 3 :
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
Câu 4 :
Cho các dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1\) và \({v_n} = {n^2},n \ge 1\). Khi đó:
Câu 5 :
Cho ${u_n} = \dfrac{{{3^n} + {5^n}}}{{{5^n}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
Câu 6 :
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
Câu 7 :
Chọn mệnh đề sai:
Câu 8 :
Biết \(\lim {u_n} = 3\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Câu 9 :
Giới hạn $\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$bằng?
Câu 10 :
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 11 :
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}$ Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
Câu 12 :
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${5^n}$. Bước 2: Sử dụng giới hạn \(\lim {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\). Lời giải chi tiết :
Bước 1: $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$ $ = \lim \dfrac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} $ $= \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$ Bước 2: $ =\dfrac{2.0-3+5.0}{3.0+9}= \dfrac{{ - 3}}{9} = - \dfrac{1}{3}.$
Câu 2 :
Cho \(\lim {u_n} = L\). Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó: i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\). ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \) Từ định lý trên ta thấy chỉ có đáp án D đúng.
Câu 3 :
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^2}$. Lời giải chi tiết :
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^2}}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{3}{n}}}{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 4}} = \dfrac{1}{{ - 4}} = - \dfrac{1}{4}.$
Câu 4 :
Cho các dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1\) và \({v_n} = {n^2},n \ge 1\). Khi đó:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim \left( {\dfrac{1}{n}.{n^2}} \right) = \lim n = + \infty \).
Câu 5 :
Cho ${u_n} = \dfrac{{{3^n} + {5^n}}}{{{5^n}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${5^n}$. - Sử dụng giới hạn \(\lim {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\). Lời giải chi tiết :
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{3^n} + {5^n}}}{{{5^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 1}}{1} = \dfrac{1}{1} = 1.$
Câu 6 :
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) mà \({u_n} = \dfrac{2}{n}\) có giới hạn \(0\).
Câu 7 :
Chọn mệnh đề sai:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n = + \infty ,\) \(\lim \sqrt[3]{n} = + \infty ,\) \(\lim \dfrac{1}{n} = 0 \) Vậy chỉ có đáp án D là sai.
Câu 8 :
Biết \(\lim {u_n} = 3\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay \(\lim {u_n} = 3\) vào biểu thức tính giới hạn bài cho và tính toán. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\lim \dfrac{{3{u_n} - 1}}{{{u_n} + 1}} = \dfrac{{3\lim {u_n} - 1}}{{\lim {u_n} + 1}}\) \( = \dfrac{{3.3 - 1}}{{3 + 1}} = \dfrac{8}{4} = 2\)
Câu 9 :
Giới hạn $\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 5n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$bằng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^5}$. Lời giải chi tiết :
$\lim \dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}{{(n + 1)}^2}}}{{2 - 25{n^5}}}$ $ = \lim \dfrac{{\dfrac{{{{(2 - 5n)}^3}}}{{{n^3}}}.\dfrac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{{2 - 25{n^5}}}{{{n^5}}}}}$ $ = \dfrac{{{{\left( {\frac{{2 - 5n}}{n}} \right)}^3}.{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{n^5}}} - 25}}$ $ = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 5} \right)}^3}.{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^2}}}{{\dfrac{2}{{{n^5}}} - 25}} $ $ = \dfrac{{{{\left( {0 - 5} \right)}^3}{{\left( {1 + 0} \right)}^2}}}{{0 - 25}}$ $= \dfrac{{{{( - 5)}^3}{{.1}^2}}}{{ - 25}} = 5$.
Câu 10 :
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số. - Rút ra nhận xét. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + 1}}{2} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{{\dfrac{5}{4} + 1}}{2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}\) Chứng minh bằng quy nạp: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$: * Với $n = 1$: ${u_2} = \dfrac{{{u_1} + 1}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$ : (*) đúng * Giả sử (*) đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${u_k} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$ Ta có : ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$ Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*). Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$ Từ (*) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) \) \(= \dfrac{1}{{{2^n}}} - \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm và \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow \)$({u_n})$ là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $
Câu 11 :
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}$ Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn. Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}}+ ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{2}. \left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}+ ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) \\ = \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right)\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{2}.\end{array}$
Câu 12 :
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^2}$. - Giới hạn $\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \infty $ Lời giải chi tiết :
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$ $ = \lim \dfrac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}} $ $= \lim \dfrac{{\dfrac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\dfrac{{{n^3} + 5n - 1}}{{{n^6}}}}}}}$ $=\lim \dfrac{{ - 6 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{n^3}}} + \dfrac{5}{{{n^5}}} - \dfrac{1}{{{n^6}}}}}}} = - \infty .$ |