Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 3: Nguyên hàm - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Với \(C \ne 0\) là một hằng số bất kì, hàm nào sau đây cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)?
Câu 2 :
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
Câu 3 :
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$
Câu 4 :
Cho \(I=\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+5}dx}\), đặt \(u=\sqrt{{{x}^{2}}+5}\) khi đó viết \(I\) theo \(u\) và \(du\) ta được:
Câu 5 :
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Câu 6 :
Tính \(I = \int {\cos \sqrt x dx} \) ta được:
Câu 7 :
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
Câu 8 :
Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?
Câu 9 :
Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$. Khi đó $b - a$ là
Câu 10 :
Cho \(A = \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx = a} {t^7} + b{t^5} + c{t^3} + C\) , với \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \). Tính \(A = a - b - c\)
Câu 11 :
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x\) bằng
Câu 12 :
Biết rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x\), trong đó a, b, c là các hằng số. Giá trị của tổng \(S = a + b\) thỏa mãn:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Với \(C \ne 0\) là một hằng số bất kì, hàm nào sau đây cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) hay \(F\left( x \right) - C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) (\(C \ne 0\) là một hằng số) Lời giải chi tiết :
Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) hay \(F\left( x \right) - C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) (\(C \ne 0\) là một hằng số).
Câu 2 :
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}} + C\) Lời giải chi tiết :
\(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}\)
Câu 3 :
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho hàm logarit: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) - Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \) Lời giải chi tiết :
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{3}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^3}.\dfrac{3}{{3x}}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^2}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \dfrac{1}{9}{x^3} + C\)
Câu 4 :
Cho \(I=\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+5}dx}\), đặt \(u=\sqrt{{{x}^{2}}+5}\) khi đó viết \(I\) theo \(u\) và \(du\) ta được:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Tính \({{u}^{2}}={{x}^{2}}+5\Rightarrow du=dx\) và thay vào \(I\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sqrt{{{x}^{2}}+5}=u\Rightarrow {{u}^{2}}={{x}^{2}}+5\Rightarrow 2udu=2xdx\Rightarrow {{x}^{3}}dx={{x}^{2}}.xdx=\left( {{u}^{2}}-5 \right).udu\) Khi đó: \(I=\int{\left( {{u}^{2}}-5 \right).u.udu}=\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{2}} \right)du}\)
Câu 5 :
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân ở các đáp án. Lời giải chi tiết :
Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau: $\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)d(2x)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \\\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)d(x + 1)} = \int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 2} \\\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \end{array}$ Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.
Câu 6 :
Tính \(I = \int {\cos \sqrt x dx} \) ta được:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Trước hết ta nên đặt \(t = \sqrt x \) để đưa nguyên hàm về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. Lời giải chi tiết :
Đặt \(\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = 2\int {t\cos tdt} .\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = \cos tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = \sin t\end{array} \right. \) $\Rightarrow I = 2\left( {t\sin t - \int {{\mathop{\rm sint}\nolimits} dt} + C} \right) = 2\left( {t\sin t + \cos t + C} \right) $ $= 2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C.$
Câu 7 :
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \). Lời giải chi tiết :
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Câu 8 :
Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính tích phân theo $m$ rồi thay vào điều kiện bài cho tìm $m$. Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}{\rm{\;}}I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - {m^2}x} \right)} \right|_0^1 = 1 - {m^2}\\{\rm{ \;}}I + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array}$ $m$ là số nguyên dương $ \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}$.
Câu 9 :
Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$. Khi đó $b - a$ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp nguyên hàm nguyên hàm từng phần cho dạng bài hàm số mũ: - Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\) - Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv - \int {vdu} \) Lời giải chi tiết :
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$.$ \Rightarrow \int {(2x + 3){e^x}dx} = (2x + 3){e^x} - \int {{e^x}2dx = } (2x + 3){e^x} - 2{e^x} = (2x + 1){e^x}$ Khi đó \(a = 2,b = 1\)
Câu 10 :
Cho \(A = \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx = a} {t^7} + b{t^5} + c{t^3} + C\) , với \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \). Tính \(A = a - b - c\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \) - Tính \(dx\) theo \(dt\) và tìm nguyên hàm. Lời giải chi tiết :
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {x^2} = {t^2} - 1 \Rightarrow xdx = tdt\) \(A = \int {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}{t^2}dt} = \int {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt} \)\( = \dfrac{{{t^7}}}{7} - \dfrac{2}{5}{t^5} + \dfrac{{{t^3}}}{3} + C\) \( \Rightarrow a = \dfrac{1}{7};b = - \dfrac{2}{5};c = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow a - b - c = \dfrac{{22}}{{105}}\)
Câu 11 :
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x\) bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bấm máy hoặc sử dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ để tính tích phân. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x=\left. -\,{{e}^{-\,x}} \right|_{0}^{1}=-\,{{e}^{-\,1}}-\left( -\,{{e}^{0}} \right)=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}.\)
Câu 12 :
Biết rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x\), trong đó a, b, c là các hằng số. Giá trị của tổng \(S = a + b\) thỏa mãn:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đối với bài toán này ta có thể tính đạo hàm rồi đồng nhất hệ số tìm \(a,b,c\). Lời giải chi tiết :
Đặt $F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$. Ta có $F'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x$ $ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x$ Để $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x$, điều kiện là $F'\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 1\\2b - 3a = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{{13}}\\b = \dfrac{3}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{{13}}$ Do đó \(\dfrac{1}{3} < S < \dfrac{1}{2}\). |