Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 3: Dãy số - Đề số 3

Đề bài

Câu 1 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A

Dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = 3n - 5$
B

Dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ với ${b_n} = \sqrt 3 - \sqrt 5 n$
C

Dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ với ${c_n} = {n^2} - n$
D

Dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ với ${d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018$

Câu 2 :

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi ${x_1} = 5$ và ${x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*$. Số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ là:

A

${x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}$
B

${x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}$
C

${x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}$
D

${x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}$

Câu 3 :

Tìm số hạng lớn nhất của dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ có ${a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*$ .

A

$14$
B

$15$
C

$13$
D

$12$

Câu 4 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_1} = \dfrac{1}{2}$ và ${u_n} = {u_{n - 1}} + 2n$ với mọi $n \ge 2$. Khi đó ${u_{50}}$ bằng:

A

$1274,5$
B

$2548,5$
C

$5096,5$
D

$2550,5$

Câu 5 :

Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A

$x = 2,y = 5$
B

$x = 4,y = 6$
C

$x = 2,y = - 6$
D

$x = 4,y = - 6$.

Câu 6 :

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..$ Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
B

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
C

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
D

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

Câu 7 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.$với $n \ge 1$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?

A

$ - 1;\,2;\,5.$
B

$2;5;8$
C

$4;\,7;\,10.$
D

$-1;3;7.$

Câu 8 :

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số $\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

A

Ba số ${x^2},{y^2},{z^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
B

Ba số ${y^2},{z^2},{x^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
C

Ba số ${y^2},{x^2},{z^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
D

Ba số ${z^2},{y^2},{x^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Câu 9 :

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi ${x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A

${x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}$
B

${x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}$
C

${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0$
D

${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0$

Câu 10 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ , với ${u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới và bị chặn trên.
D

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ không bị chặn.

Câu 11 :

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A

Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
B

Ba số $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ lập thành cấp số cộng.
C

Ba số ${a^2},{b^2},{c^2}$ lập thành cấp số cộng
D

Ba số $\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c $ lập thành cấp số cộng.

Câu 12 :

Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt $7$ hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là $5$ hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là $5$ hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết $25450$ hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

A

$98$ ô
B

$100$ ô
C

$102$ ô
D

$104$ ô

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A

Dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = 3n - 5$
B

Dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ với ${b_n} = \sqrt 3 - \sqrt 5 n$
C

Dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ với ${c_n} = {n^2} - n$
D

Dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ với ${d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chứng minh hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = const\,\,\forall n \ge 1$.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A ta có ${a_{n + 1}} - {a_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {3n - 5} \right)$ $ = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3 $

$\Rightarrow \left( {{a_n}} \right)$ là 1 CSC có công sai $d = 3.$

Đáp án B ta có ${b_{n + 1}} - {b_n} = \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 \left( {n + 1} \right)} \right) - \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 n} \right) $ $= \sqrt 3 - \sqrt 5 n - \sqrt 5 - \sqrt 3 + \sqrt 5 n = - \sqrt 5 $

$\Rightarrow \left( {{b_n}} \right)$ là 1 CSC có công sai $d = - \sqrt 5 $

Đáp án C ta có ${c_{n + 1}} - {c_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - \left( {n + 1} \right) - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$ không là CSC.

Đáp án D ta có $\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} = 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_n} = 2018\,\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 \Rightarrow \left( {{d_n}} \right)$ là CSC có công sai $d = 0.$

Câu 2 :

A

${x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}$
B

${x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}$
C

${x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}$
D

${x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy số.

Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh số hạng tổng quát đó đúng bằng phương pháp quy nạp

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}$

Dự đoán ${x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N^*$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, $(*)$ đúng với $n = 1$.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k\ge 1),$ tức là ${x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,$ ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh ${x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$.

Ta có: ${x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi $n \in N^*$.

Vậy ${x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2},\forall n \in N^*$

Câu 3 :

Tìm số hạng lớn nhất của dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ có ${a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*$ .

A

$14$
B

$15$
C

$13$
D

$12$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích để xuất hiện hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

${a_n} = - {n^2} + 4n + 11 = - {n^2} + 4n - 4 + 15 = - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2$

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng $15$.

Câu 4 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_1} = \dfrac{1}{2}$ và ${u_n} = {u_{n - 1}} + 2n$ với mọi $n \ge 2$. Khi đó ${u_{50}}$ bằng:

A

$1274,5$
B

$2548,5$
C

$5096,5$
D

$2550,5$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dự đoán và chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học sau đó tìm số hạng thứ 50.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${u_1} = \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.2 = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{2} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3} \right)\\{u_4} = {u_3} + 2.4 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)\\...\end{array}$

Dự đoán số hạng tổng quát ${u_n} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy $(*)$ đúng với $n = 2.$

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k \ge 2$ , tức là ${u_k} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)$, ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)$

Ta có: ${u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)$

Vậy $(*)$ đúng với mọi $n \ge 2$.

Mặt khác ta có $1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} $ $\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1$

Khi đó số hạng ${u_{50}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {\dfrac{{50.51}}{2} - 1} \right) = 2548,5$

Câu 5 :

Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A

$x = 2,y = 5$
B

$x = 4,y = 6$
C

$x = 2,y = - 6$
D

$x = 4,y = - 6$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của CSC ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}6 - 2 = 2x\\x + y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 6\end{array} \right.$

Câu 6 :

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..$ Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
B

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
C

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
D

$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm hai số khi biết tổng $S$ và tích $P$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$

Lời giải chi tiết :

$\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

TH1 : $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

TH2 : $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.

Câu 7 :

A

$ - 1;\,2;\,5.$
B

$2;5;8$
C

$4;\,7;\,10.$
D

$-1;3;7.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lần lượt tính các giá trị ${u_2},{u_3}$ dựa vào công thức truy hồi.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${u_1} = - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.$

Câu 8 :

A

Ba số ${x^2},{y^2},{z^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
B

Ba số ${y^2},{z^2},{x^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
C

Ba số ${y^2},{x^2},{z^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
D

Ba số ${z^2},{y^2},{x^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của cấp số cộng ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right) \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}$

Vậy ba số ${y^2},{x^2},{z^2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Câu 9 :

Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi ${x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A

${x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}$
B

${x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}$
C

${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0$
D

${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định ${x_{n + 2}},{x_{n + 1}}$ và tìm đẳng thức liên hệ giữa ${x_{n + 2}},{x_{n + 1}},{x_n}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có :

$\begin{array}{l}{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}\\\,{x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n}\end{array}$

- Đáp án A : $5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {18.3^n} - {20.2^n} = {x_{n + 2}} \Rightarrow $ A đúng.

- Đáp án B: $6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {16.3^n} - {35.2^n} \ne {x_{n + 2}} \Rightarrow B$ sai.

- Đáp án C : ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0 \Rightarrow C$sai.

- Đáp án D : ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0 \Rightarrow D$ sai.

Câu 10 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ , với ${u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới và bị chặn trên.
D

Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ không bị chặn.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhận xét tính tăng giảm của dãy $\left( {{u_n}} \right)$, suy ra tính bị chặn và chứng minh dãy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên (dưới, bị chặn) bởi số xác định.

Lời giải chi tiết :

Ta có :

${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{3\left( {n + 1} \right) - 1}}{{3\left( {n + 1} \right) + 7}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}} $ $= \dfrac{{3n + 2}}{{3n + 10}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}$ $ = \dfrac{{9{n^2} + 27n + 14 - 9{n^2} - 27n + 10}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}} $ $= \dfrac{{24}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}} > 0$

Do đó $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Ta có ${u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}} = 1 - \dfrac{8}{{3n + 7}} < 1\,\,\forall n \ge 1$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên bởi $1$.

${u_1} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới bởi $\dfrac{1}{5}$ .

Câu 11 :

A

Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
B

Ba số $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ lập thành cấp số cộng.
C

Ba số ${a^2},{b^2},{c^2}$ lập thành cấp số cộng
D

Ba số $\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c $ lập thành cấp số cộng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của CSC: ${u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} + \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {ac} + \sqrt {bc} + a + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + c + \sqrt {ab} + \sqrt {ac} = 2\sqrt {ab} + 2b + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} \\ \Leftrightarrow a + c = 2b\end{array}$

Khi đó $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.

Câu 12 :

A

$98$ ô
B

$100$ ô
C

$102$ ô
D

$104$ ô

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n}$ là số hạt dẻ ở ô thứ n là một cấp số cộng có ${u_1} = 7$ và công sai $d = 5$. Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSC: ${S_n} = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}$

Lời giải chi tiết :

Gọi ${u_n}$ là số hạt dẻ ở ô thứ $n$ . Khi đó ta có ${u_1} = 7$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 5,\forall n \ge 1.$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 7$ và công sai $d = 5$ nên ta có

${S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2.7 + \left( {n - 1} \right)5} \right]}}{2} = \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2}$

Theo giả thiết ta có ${S_n} = 25450$ $ \Rightarrow \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2} = 25450 \Leftrightarrow n = 100$

Vậy bàn cờ có $100$ ô.

Bài liên quan