Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Hàm số $y = \sin x$ có tập xác định là:

A

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Câu 2 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = 1 + 3\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$

A

$\max y = - 2,\min y = 4$
B

$\max y = 2,\min y = 4$
C

$\max y = - 2,\min y = 3$
D

$\max y = 4,\min y = - 2$

Câu 3 :

Hàm số $y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}$ xác định trên:

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 4 :

Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha $. Chọn kết luận đúng.

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 5 :

Nghiệm của phương trình $2\cos x - 1 = 0$ là:

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 6 :

Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A

$y = \cot x$
B

$y = \tan x$
C

$y = \sin x$
D

$y = \cos x$

Câu 7 :

Nghiệm của phương trình $\cos 3x = \cos x$ là:

A

$k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$
D

$k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 8 :

Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$.

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 9 :

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = \sqrt {2\sin x + 3} $

A

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1$
B

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0$
C

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 $
D

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3$

Câu 10 :

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x - 1$:

A

$\min y = - 6;\max y = 4$
B

$\min y = - 5;\max y = 5$
C

$\min y = - 3;\max y = 4$
D

$\min y = - 6;\max y = 6$

Câu 11 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Câu 12 :

Nghiệm của phương trình $\sin 3x = \cos x$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hàm số $y = \sin x$ có tập xác định là:

A

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Hàm $y = \sin x$ có TXĐ $D = R$.

Câu 2 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = 1 + 3\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$

A

$\max y = - 2,\min y = 4$
B

$\max y = 2,\min y = 4$
C

$\max y = - 2,\min y = 3$
D

$\max y = 4,\min y = - 2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng đánh giá $ - 1 \le \sin u \le 1$ để đánh giá biểu thức $1 + 3\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $-1 \le \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 \\\Leftrightarrow 3.\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 3.1\\ \Rightarrow y=1 + 3\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 + 3 = 4\end{array}$

$\max y = 4$. Dấu "=" xảy ra khi $\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)=1$.

Ta có:

$ \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge - 1$

$ \Leftrightarrow 3.\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 3.\left( { - 1} \right)$

$ \Rightarrow y = 1 + 3\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 1 + 3.(-1) = - 2$

$\min y = - 2$. Dấu "=" xảy ra khi $\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)=-1$.

Vậy $\max y = 4,\min y = - 2$

Câu 3 :

Hàm số $y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}$ xác định trên:

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}$ xác định nếu $f\left( x \right) \ne 0$.

Sử dụng công thức $\cos a \ne 1 \Leftrightarrow a \ne k2\pi$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\cos 3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k2\pi }}{3}$

Câu 4 :

Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha $. Chọn kết luận đúng.

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 5 :

Nghiệm của phương trình $2\cos x - 1 = 0$ là:

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có: $2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 6 :

Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A

$y = \cot x$
B

$y = \tan x$
C

$y = \sin x$
D

$y = \cos x$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Nhận xét:

Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ có đồ thị hình sin nên loại.

Đường cong trên từng đoạn có hướng đi xuống nên hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn đó.

Trong các đáp án đã cho thì chỉ có hàm số $y = \cot x$ có dạng đồ thị như trên.

Câu 7 :

Nghiệm của phương trình $\cos 3x = \cos x$ là:

A

$k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$
D

$k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Áp dụng $\cos x = \cos y \Leftrightarrow x = \pm y + k2\pi $ để giải phương trình.

Bước 2: Kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác.

Cách kết hợp:

+) Xét từng họ nghiệm và xác định điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn.

+) Tổng hợp các điểm biểu diễn và nhận xét vị trí tương quan giữa các điểm.

+) Các họ nghiệm có điểm biểu diễn cách đều:

+) Xác định góc $\alpha$ (nếu cần thiết) như trên hình và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Ta có: $\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\4x = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. $

Bước 2:

+) Với họ nghiệm $x=k\pi$ ta có:

Khi $k=0$ thì $x=0$, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k chẵn)

Khi $k=1$ thì $x=\pi$, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k lẻ).

Như thế họ nghiệm $x=k\pi$ có $2$ điểm biểu diễn là $A,A'$.

+) Với họ nghiệm $x= \dfrac{{k\pi }}{2}$ ta có:

Khi $k=0$ thì $x=0$, điểm biểu diễn là điểm A (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m, tức là k chia hết cho 4)

Khi $k=1$ thì $x= \dfrac{{\pi }}{2}$, điểm biểu diễn là B (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+1).

Khi $k=2$ thì $x= \pi$, điểm biểu diễn là A' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+2).

Khi $k=3$ thì $x= \dfrac{{3\pi }}{2}$, điểm biểu diễn là B' (Vẫn là điểm đó khi k có dạng 4m+3).

Như thế họ nghiệm $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ có $4$ điểm biểu diễn là $A,A',B,B'$.

+) Kết hợp các điểm này lại ta được tổng cộng vẫn là 4 điểm $A,A',B,B'$. Mà 4 điểm này là 4 điểm biểu diễn của chính họ nghiệm $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ nên nghiệm của phương trình ban đầu là $x = \dfrac{{k\pi }}{2}$ $k \in Z$.

Câu 8 :

Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$.

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \tan u\left( x \right)$ xác định nếu $\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{k\pi }{2}$

Câu 9 :

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = \sqrt {2\sin x + 3} $

A

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1$
B

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0$
C

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 $
D

$\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng $ - 1 \le \sin x \le 1$ để đánh giá biểu thức $\sqrt {2\sin x + 3} $, từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Do $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2 $$\Rightarrow -2+3 \le2\sin x + 3 \le 2+3 $$\Rightarrow1 \le \sqrt {2\sin x + 3} \le \sqrt 5 $.

Dấu “=” xảy ra khi lần lượt $\sin x = - 1$ và $\sin x = 1$

Câu 10 :

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x - 1$:

A

$\min y = - 6;\max y = 4$
B

$\min y = - 5;\max y = 5$
C

$\min y = - 3;\max y = 4$
D

$\min y = - 6;\max y = 6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Biến đổi $(y+1)^2$

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: ${\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) $.

Bước 3: Xét dấu bằng xảy ra

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$

Áp dụng công thức $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a + k\pi$ để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Ta có: $y = 3\sin x + 4\cos x - 1 $ $\Leftrightarrow y + 1 = 3\sin x + 4\cos x$

$\Rightarrow{\left( {y + 1} \right)^2}= {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} $

Bước 2:

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: ${\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) $ . Với $a=3, c=\sin x, b=4, d=\cos x$

Khi đó ${\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$$ = \left( {{3^2} + {4^2}} \right).1 = 25 $ $\Rightarrow - 5 \le y + 1 \le 5 \Leftrightarrow - 6 \le y \le 4$

Bước 3:

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{3} = \dfrac{{\cos x}}{4} $$\Leftrightarrow \tan x = \dfrac{3}{4}$ $ \Leftrightarrow x = \arctan \dfrac{3}{4} + k\pi $

Câu 11 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\tan x.\cot x = 1$ nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Do $\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D$ nên tập nghiệm của phương trình là $R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Câu 12 :

Nghiệm của phương trình $\sin 3x = \cos x$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = \sin y$ hoặc $\cos x = \cos y$

Sử dụng công thức: $\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)=\cos x$

- Giải phương trình lượng giác cơ bản:

$\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =\left( { \dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \\3x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \end{array} \right. $

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Bài liên quan