Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 1: Hàm số - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 2 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thuộc \((a;b)\) thì
Câu 3 :
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:
Câu 4 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới, chọn khẳng định sai:
Câu 5 :
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
Câu 6 :
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 7 :
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
Câu 8 :
Chọn phát biểu đúng:
Câu 9 :
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.
Câu 10 :
Hãy lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$
Câu 11 :
Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.
Câu 12 :
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị hàm số và rút ra các nhận xét về cực đại, cực tiểu, GTLN, GTNN, khoảng đồng biến, nghịch biến. Lời giải chi tiết :
A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất. B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)$. C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu. D đúng vì trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $ - 1$ đạt được tại $x = 2$.
Câu 2 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thuộc \((a;b)\) thì
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} - h} \right) \hfill \\f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số. Lời giải chi tiết :
Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 3 :
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
GTNN của $f\left( x \right)$ trên $\left[ {0;2} \right]$ bằng $5$ nên $f\left( x \right) \geqslant 5,\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \geqslant 5$.
Câu 4 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới, chọn khẳng định sai:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Quan sát và nhận xét bảng biến thiên. Lời giải chi tiết :
Từ bảng biến thiên ta thấy: Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x = 2$ nên $x = 2$ là điểm cực đại của hàm số, $y = 3$ là giá trị cực đại của hàm số và $\left( {2;3} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Ngoài ra, đạo hàm không đổi dấu qua điểm $x = - 2$ nên $x = - 2$ không là điểm cực trị của hàm số.
Câu 5 :
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Bước 1: Tính $y',y''$. - Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số: + $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ + $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ - Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
TXĐ $D = \mathbb{R}$ $y' = - {x^2} + \dfrac{2}{3}mx \Rightarrow y'' = - 2x + \dfrac{2}{3}m$ Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y'(2) = 0 \hfill \\ y''\left( 2 \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - {2^2} + \dfrac{2}{3}m.2 = 0 \hfill \\ - 2.2 + \dfrac{2}{3}m. < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 + \dfrac{4}{3}m = 0 \hfill \\- 4 + \dfrac{2}{3}m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\m < 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 3$
Câu 6 :
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Khi đạo hàm của hàm số mang dấu dương trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Lời giải chi tiết :
Hàm số $y = f'\left( x \right)$ dương trong khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ $ \Rightarrow $ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$
Câu 7 :
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Xét các hàm số theo từng đáp án. +) Hàm số nào có $y' \ge 0$ với mọi $x \in R$ thì hàm số đó đồng biến trên R. Lời giải chi tiết :
+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$ Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$ Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$. +) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$ Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R$ Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$ +) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$. +) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$. Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.
Câu 8 :
Chọn phát biểu đúng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng chú ý số cực trị của hàm số bậc ba: Hàm bậc ba chỉ có thể có $2$ cực trị (cả cực đại và cực tiểu) hoặc không có cực trị nào. Lời giải chi tiết :
Hàm số bậc ba chỉ có thể có $2$ cực trị hoặc không có cực trị nào nên nếu nó có cực đại thì chắc chắn sẽ có cực tiểu và ngược lại nên A, B sai. Không phải lúc nào hàm bậc ba cũng có $2$ cực trị, vẫn có trường hợp không có cực trị nên D sai.
Câu 9 :
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên $D$: + Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in D$. + Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in D$. - Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$. Chú ý: Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng: - Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$. - Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$. - Kết luận: Đánh giá $g(x)$ suy ra giá trị của $m$ - Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$. Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $ - 2 < x < 0$) Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có: $g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$ Suy ra \(g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) hay \( - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) Khi đó \(4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{3}\) Vậy $m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
Câu 10 :
Hãy lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Gọi ${x_0}$ là một điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$, khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_o}} \right) = 0\\{y_o} = x_o^3 + 3mx_0^2 - 3{x_o}\end{array} \right.\) - Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Lời giải chi tiết :
Có: $y\left( x \right) = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$ $ \Rightarrow y'\left( x \right) = 3{x^2} + 6mx - 3$ Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $2$ cực trị của $(C)$ nên $\left( {{x_o};{y_o}} \right) \in d$ thỏa mãn: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_o}} \right) = 0\\{y_o} = x_o^3 + 3mx_0^2 - 3{x_o}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_o^2 + 6m{x_o} - 3 = 0\\{y_o} = {x_o}\left( {x_o^2 + 2m{x_o}} \right) - 3{x_0} + mx_0^2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_o^2 + 2m{x_o} = 1\\{y_o} = - 2{x_o} + mx_o^2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_o^2 = - 2m{x_o} + 1\\{y_o} = - 2{x_o} + m\left( { - 2m{x_o} + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_o} = - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x_o} + m\end{array}\)
Câu 11 :
Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị. - Tìm điều kiện để hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện bài cho. Lời giải chi tiết :
Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 3\left( {m + 2} \right) = 3\left[ {{x^2} + 4x + \left( {m + 2} \right)} \right].$ Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$ - Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \Delta ' = 4 - \left( {m + 2} \right) = 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2\) Hai điểm cực trị thỏa mãn \({x_1} < - 1 < {x_2}\) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow y'\left( { - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 1.\)
Câu 12 :
Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 6$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $2$ khi:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Tính $y'$ và tìm nghiệm của $y' = 0$. - Biện luận các trường hợp điểm $x = 3$ nằm trong, nằm ngoài khoảng 2 nghiệm để suy ra kết luận. Các TH cần xét: 1) $m=0$ 2) $m>0$ ta có $0<2m$ nên chia thành 2 TH nhỏ: $0<2m<3$ và $0<3 \le 2m$ 3) $m<0$ ta có $2m<0 $ nên ta có luôn $2m<0<3$ Lời giải chi tiết :
TXĐ: $D = \mathbb{R}$ $y' = 3{x^2} - 6mx.$ Ta có: $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \Rightarrow y = 6 \hfill \\x = 2m \Rightarrow y = - 4{m^3} + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=0 \Rightarrow y=6 \\ x=2 m \Rightarrow y=-4 m^{3}+6\end{array}\right.$ Xét TH1: $m = 0$. Hàm số đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$ $ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow $ loại. Xét TH2: $m \geqslant \dfrac{3}{2} \Rightarrow 2m \ge 3 > 0$. Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[ {0;3} \right] \subset \left[ {0;2m} \right]$ $ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Rightarrow m = \dfrac{{31}}{{27}} < \dfrac{3}{2}$(loại) Xét TH3: $\dfrac{3}{2} > m > 0 \Rightarrow 3 > 2m > 0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left( {0;6} \right)$ và điểm cực tiểu là $\left( {2m, - 4{m^3} + 6} \right).$ Khi đó , GTNN trên $\left[ {0;3} \right]$ là $y\left( {2m} \right) = - 4{m^3} + 6$ $ \Rightarrow - 4{m^3} + 6 = 2 \Leftrightarrow {m^3} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn) Xét TH4: $m < 0 \Rightarrow \left( {0;6} \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[ {0;3} \right]$ hàm số đồng biến. $ \Rightarrow {y_{min}} = 6 \Rightarrow $ loại. Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm. |