Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 2 – Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {2 - x} ,\,y = x$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây :

A. $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^2}\,dx} }$.  

B. $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx}$.

C. $V = \pi \int\limits_0^1 {x\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} \,dx} }$.     

D. $V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} }$.

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$ là

A. $\tan x + C$.         

B. $\dfrac{{ - 1}}{{\cos x}} + C$.

C. $\cot x + C$.           

D. $\dfrac{1}{{\cos x}} + C$.

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {x^2},\,\,y = 2x$ là:

A. $\dfrac{4}{3}$                          B. $\dfrac{3}{2}$

C. $\dfrac{5}{3}$                           D. $\dfrac{{23}}{{15}}$.

Câu 4. Nếu f(1) = 12, f’(x) liên tục và $\int\limits_1^4 {f'(x)\,dx = 17}$ thì giá trị của f(4) bằng bao nhiêu ?

A. 29                         B. 5

C. 19                         D. 40 .

Câu 5. Cho f(x), g(x)  là các hàm liên tục trên [a ; b]. Lựa chọn phương án đúng.

A. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \ge \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$. 

B. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \le \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$.

C. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$.   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 6. Giả sử f(x) là hàm liên tục và 0 < f(x) < 1, $\forall x \in [0;1]$. Hình phẳng S giới hạn bởi các đường  y = f(x), y = 0, x = 0, x = 1. Hình này quay quanh trục tạo nên các vật thể có thể tích la V_x. Lựa chọn phương án đúng :

A. $0 < {V_x} < \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx}$.  

B. ${V_x} < \pi \int\limits_0^1 {{f^4}(x)\,dx}$.

C. ${V_x} > \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx}$   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 7. Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx}$ ta được:

A. $- \cot x - 2\tan x + C$.   

B. $\cot x - 2\tan x + C$.

C. $\cot x + 2\tan x + C$.                

D. $- \cot x + 2\tan x + C$.

Câu 8. Nếu $F(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}$ thì (a , b ,c) bằng bao nhiêu ?

A. (1 ; 3 ; 2).                   

B. (2 ;  - 3 ; 1).

C. (1 ; - 1 ; 1).                      

D. Một kết quả khác.

Câu 9. Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 4x$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và trục Ox được tính bằng công thức:

A. $\left| {\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} } \right|$.         

B. $\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx}$.

C. $\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx + \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} }$.

D. $\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx - \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} }$.

Câu 10. Cho $I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\,,\,\,u = {x^2} - 1}$. Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. $I = \int\limits_0^3 {\sqrt u \,du}$.     

B. $I = \dfrac{2}{3}\sqrt {27}$.

C. $\int\limits_1^2 {\sqrt u \,du}$.                 

D. $I = \dfrac{2}{3}{u^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.$.

Câu 11. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\int\limits_a^b {[f(x) + g(x)]\,dx}  = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_a^b {g(x)\,dx} }$.

B. f(x) liên tục trên [a ; c] và a < b < c thì $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } }$.

C. Nếu $f(x) \ge 0$ trên đoạn [a ; b] thì $\int\limits_a^b {f(x)\,dx \ge 0}$.

D. $\int {\dfrac{{u'(x)dx}}{{u(x)}} = \ln \left| {u(x)} \right|}  + C$.

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)$.

A. $F(x) = {e^x} - 3{e^{ - 3x}} + C$.

B. $F(x) = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C$.

C. $F(x) = {e^x} - 3{e^{ - x}} + C$.    

D. $F(x) = {e^x} + C$.

Câu 13. Cho $\int\limits_1^4 {f(x)\,dx = 9}$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f(3x + 1)\,dx}$ .      

A. I= 27                      B. I= 3

C. I= 9                        D. I= 1.

Câu 14. Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên R và $k \ne 0$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây .

A. $\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx.\int {g(x)\,dx} }$

B. $\int {k.f(x)\,dx = k\int {f(x)\,dx} }$

C. $\int {f'(x)\,dx}  = f(x) + C$

D. $\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]\,dx = \int {f(x)\,dx \pm \int {g(x)\,dx} } }$

Câu 15. Cho số thực a thỏa mãn $\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx = {e^2} - 1$. Khi đó a có giá trị bằng:

A. 0                              B. -1

C. 1                              D. 2.

Câu 16. Tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}}$ có giá trị bằng:

A. $2\ln \dfrac{1}{3}$.                        B . $2\ln 3$.

C. $\dfrac{1}{2}\ln 3$.                         D. $\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}$.

Câu 17. Tích phân $I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx}$ bằng :

A. $\dfrac{{{e^2} - 1}}{2}$.                      B. $\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}$. 

C. $\dfrac{{{e^2} - 3}}{4}$.                     D. $\dfrac{{{e^2} - 3}}{2}$.

Câu 18. Tìm $I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx}$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$.

A. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{3}{x^{ - \dfrac{2}{3}}} - \tan x + C$.

B. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C$.

C. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{{{x^2}}} - \tan x + C$. 

D. $I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} + \tan x + C$.

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = {x^2} - x + 3,\,\,y = 2x + 1$ là:

A. $\dfrac{3}{2}$                       B. $\dfrac{{ - 3}}{2}$

C. $\dfrac{1}{6}$                       D. $- \dfrac{1}{6}$.

Câu 20. Hàm số y = sinx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

A. y = sin + 1.            B. y = cosx.

C. y = cotx.                 D. y = - cosx.

Câu 21. Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx}$ ta được:

A. $\dfrac{1}{3}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C$. 

B. $\dfrac{1}{{15}}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C$.

C. $\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^5}}}{5} + C$.   

D. $\dfrac{1}{5}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C$.

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \left( {e + 1} \right)x\,,\,\,y = \left( {{e^x} + 1} \right)x$ là:

A. $\dfrac{{2 - e}}{e}$.                    B. e   

C. $\dfrac{{e - 2}}{e}$                    D. 2e.

Câu 23. Xét f(x) là một hàm số liên tục trê đoạn [a ; b], ( với a  < b) và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $\int\limits_a^b {f(3x + 5)\,dx = F(3x + 5)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.}$.

B. $\int\limits_a^b {f(x + 1)\,dx = F(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.}$.

C. $\int\limits_a^b {f(2x)\,dx = 2\left( {F(b) - F(a)} \right)}$. 

D. $\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Câu 24. Cho $f(x) = \dfrac{{4m}}{\pi } + {\sin ^2}x$. Tìmmđể nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)  thỏa mãn F(0) = 1 và $F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}$.

A. $- \dfrac{3}{4}$.                        B. $\dfrac{3}{4}$  

C.  $- \dfrac{4}{3}$                        D. $\dfrac{4}{3}$.

Câu 25. Xét hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a ; b]. Khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) + F(b)}$.

. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b)}$.

C. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)}$.   

D. $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = f(b) - f(a)}$.

Lời giải chi tiết

 

1	2	3	4	5
D	D	A	A	B
6	7	8	9	10
A	A	B	D	C
11	12	13	14	15
B	B	B	A	C
16	17	18	19	20
C	D	B	C	B
21	22	23	24	25
B	C	D	A	C

 Lời giải chi tiết

Câu 1

Điều kiện: $x \le 2$

Xét hương trình hoành độ giao điểm ta có:

$\sqrt {2 - x}  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2 - x = {x^2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính được xác được bởi công thức: $V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} }$

Chọn đáp án D.

Câu 2.

Ta có: $\int {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx =  - \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,d\left( {\cos x} \right)$$\, = \dfrac{1}{{\cos x}} + C.$

Chọn đáp án D.

Câu 3.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Khi đó, diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

$S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right|\,dx}$$\,= \left| {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right.$$\,= \left| {\left( {\dfrac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right)} \right| - 0 = \dfrac{4}{3}$

Chọn đáp án A.

Câu 4.

Ta có: $\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)\,dx = 17}$

$\Rightarrow f\left( x \right)\left| {_1^4} \right. = 17 \Leftrightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = 17$

$\Rightarrow f\left( 4 \right) = 17 + f\left( 1 \right) = 17 + 12 = 29.$

Chọn đáp án A.

Câu 5.

Khi Cho $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ ta luôn có: $\left| {\int\limits_a^b {f\left( {x\,} \right)dx} } \right| \le \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx}$

Chọn đáp án B.

Câu 6.

Thể tích của hình phẳng tạo ra là

Câu 7.

Ta có:

$\begin{array}{l}\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \\ = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx - 2\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } \\ =  - \cot x - 2\tan x + C\end{array}$

Chọn đáp án A.

Câu 8.

Ta có: $\int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}} \,dx$$\,=  - \int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right)d} \left( {{e^{ - x}}} \right)$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u =  - 2{x^2} + 7x - 4\\dv = d\left( {{e^{ - x}}} \right)\end{array} \right.$$\,\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - 4x + 7} \right)\,dx\\v = {e^{ - x}}\end{array} \right.$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}} \,dx\\ =  - \int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right)d} \left( {{e^{ - x}}} \right)\\ =  - \left[ {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \int {{e^{ - x}}\left( { - 4x + 7} \right)dx} } \right]\end{array}$

$=  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}\left( { - 4x + 7} \right)dx}$

$=  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \int {\left( { - 4x + 7} \right)d\left( {{e^{ - x}}} \right)}$$=  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \left[ {\left( { - 4x + 7} \right){e^{ - x}} + 4\int {{e^{ - x}}dx} } \right]$

$=  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} + \left( {4x - 7} \right){e^{ - x}} - 4\left( { - {e^{ - x}}} \right) + C$

$= \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right){e^{ - x}} + C$

Chọn đáp án B.

Câu 9

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^3} - 3{x^2} - 4x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x - 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\\x =  - 1\end{array} \right.$

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox được xác định bằng công thức:

$S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx$

Mà ta có: $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 4x = x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)$

+ Với $- 1 < x < 0 \Rightarrow f\left( x \right) > 0$

+ Với $0 < x < 4 \Rightarrow f\left( x \right) < 0$

Khi đó ta có: $S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx$$S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \;dx - \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \;dx$

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Đặt $u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2x\,dx$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to u = 0\\x = 2 \to u = 3\end{array} \right.$

Khi đó $I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\, = \int\limits_0^3 {\sqrt u } } \,du$

$\to$ Đáp án C sai

Chọn đáp án C.

Câu 11.

+ Áp dụng tính chất của tích phân, ta có $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)\,} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( {x\,} \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,dx} }$

$\to$ Khẳng định A đúng.

+ Tính chất của tích phân: Nếu $f\left( x \right) \ge 0$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,dx \ge 0}$

$\to$ Khẳng định C đúng.

+ Ta có: $\int {\dfrac{{u'\left( x \right)dx}}{{u\left( x \right)}} = \int {\dfrac{{d\left( {u\left( x \right)} \right)}}{{u\left( x \right)}}} }  = \ln \left| {u\left( x \right)} \right| + C$

$\to$ Khẳng định D đúng.

$\to$ Khẳng định B sai.

Chọn đáp án B.

Câu 12.

Ta có: $\int {{e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)\,dx}  = \int {\left( {1 - \dfrac{3}{{{{\left( {{e^x}} \right)}^2}}}} \right)} \;d\left( {{e^x}} \right)$$\, = {e^x} + \dfrac{3}{{{e^x}}} + C = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C$

Chọn đáp án B.

Câu 13.

Đặt $u = 3x + 1$

$\Rightarrow du = d\left( {3x + 1} \right) = 3\,dx$

$\Leftrightarrow dx = \dfrac{{du}}{3}$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to u = 1\\x = 1 \to u = 4\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = \dfrac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( u \right)\,} du = \dfrac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( x \right)\,dx}$$\,= \dfrac{1}{3}.9 = 3.$

Chọn đáp án B.

Câu 14.

Áp dụng tính chất của nguyên hàm ta có:

+ $\int {k.f\left( x \right)\,dx = k\int {f\left( x \right)\,dx} }$

+ $\int {f'\left( x \right)\,dx}  = f\left( x \right) + C$

+ $\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]\,dx = \int {f\left( x \right)\,dx \pm \int {g\left( x \right)\,dx} } }$

$\to$ Khẳng định A sai

Chọn đáp án A.

Câu 15.

Ta có: $\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx$

$= e\int\limits_{ - 1}^a {{e^x}\,d} \left( x \right)$

$= e\left( {{e^x}} \right)\left| {_{ - 1}^a} \right.$

$= e\left( {{e^a} - {e^{ - 1}}} \right) + C = {e^{a + 1}} - e + C$

Khi đó $a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1$

Chọn đáp án C.

Câu 16.

Ta có:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}x}}} \,dx\\ =  - \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{1 - {{\cos }^2}x}}} \\ =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{1}{{1 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}}} \right)} \;d\left( {\cos x} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{1 - \cos x}}d\left( {1 - \cos x} \right)}  - \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{1 + \cos x}}d\left( {1 + \cos x} \right)} \\ = \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 - \cos x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. - \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 + \cos x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right.\\ = \left( {\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}\end{array}$

Chọn đáp án D.

Câu 17.

Ta có: $I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx}$$\, = \int\limits_1^e {2x\,dx}  - 2\int\limits_1^e {x\ln \,dx}$$\,  = {x^2}\left| {_1^e} \right. - 2\int\limits_1^e {x\ln \,dx}$

Đặt ${I_1} = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx}$     

Ta có:

${I_1} = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx}  = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1^{}\end{array} \right. - \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}dx}$

$= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1^{}\end{array} \right. - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^e\\_1^{}\end{array} \right.$

$= \dfrac{e^2}{2}\ln e - \left( {\dfrac{e^2}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{e^2}{2}+\dfrac {1}{4}$

Khi đó ta có: $I = {e^2} - 1 - 2.\left( {\dfrac{{{e^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{{e^2} - 3}}{2}$

Câu 18.

Ta có:$I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx}$$\, = \int {\left( {2{x^2} - {x^{ - \dfrac{1}{3}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx}$$\,= \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C$

Chọn đáp án B.

Câu 19.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} - x + 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì được xác định bằng công thức

$\begin{array}{l}S = \int\limits_1^2 {\left| {\left( {{x^2} - x + 3} \right) - \left( {2x + 1} \right)} \right|\,dx} \\ = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|} \,dx\\ = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right.\\ = \left| {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}} \right| = \dfrac{1}{6}.\end{array}$

Chọn đáp án C.

Câu 20.

Ta có: $\int {\left( { - \cos x} \right)} \,dx = \sin x + C.$

Chọn đáp án A.

Câu 21.

Ta có:

$\begin{array}{l}\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx} \\ = \int {\left( {{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}} \right)} \,d\left( {\ln x} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\int {\left( {{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}} \right)} \,d\left( {3\ln x + 2} \right)\\ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{{\left( {3\ln 2 + 2} \right)}^5}}}{5} = \dfrac{{{{\left( {3\ln 2 + 2} \right)}^5}}}{{15}} + C.\end{array}$

Chọn đáp án B.

Câu 22.

Phương trình hoành độ giao điểm là: $\left( {e + 1} \right)x\, = \left( {{e^x} + 1} \right)x$

$\Leftrightarrow x\left( {{e^x} + 1 - e - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {{e^x} - e} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Khi đó, diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị là:

$\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{e^x} + 1} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|\,dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}x - ex} \right|\,dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}x} \right)} \,dx\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{e{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}xdx} \end{array}$

Đặt $I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx}$

Ta có: $\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx}  = \int\limits_0^1 {x\,d\left( {{e^x}} \right)} \\\,\,\, = \left( {x.{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx\\\,\,\, = e - \left( {{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\end{array}$

Khi đó: $S = \dfrac{e}{2} - 1 = \dfrac{{e - 2}}{2}.$

Chọn đáp án C.

Câu 23.

Áp dụng khái niệm của tích phân: Xét $f\left( x \right)$ là một hàm số liên tục trê đoạn $\left[ {a;b} \right]$, ( với $a < b$) và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ ta có$\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Chọn đáp án D.

Câu 24.

Ta có:

$\int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + {{\sin }^2}x} \right)\,dx}$

$= \int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} \,dx$

$= \int {\left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }} - \dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right)\,dx}$

$= \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{1}{4}\int {\cos 2x\,d\left( {2x} \right)}$

$= \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C$

Theo giả thiết ta có:

+ $F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$

+ $F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}$

$\Rightarrow \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right).\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{\pi }{8}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{8m + \pi }}{8} = \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{{\pi  - 6}}{8}$

$\Leftrightarrow 8m =  - 6 \Rightarrow m =  - \dfrac{3}{4}$.

Chọn đáp án A.

Câu 25.

Áp dụng định nghĩa của tích phân ta có: $\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)}$

Chọn đáp án C

Loigiaihay.com